坐标系与参数方程知识整理
参数方程讲义
再相互转化。
直角坐标方程
极坐标方程
参数方程
x2 a2
y2 b2
1
带入法
x cos y sin
（ cos )2 ( sin )2
a2
b2
1
两边同乘 sin y
cos x
x a cos y b sin
化为普通
两边平方 ，两式子相加
( x )2 cos2 a ( y )2 sin 2 b
2
2
x
过 点（， ）与 极 轴 平 (a, )
2
2
行的直线
O
sin (0 )
x
（四）参数方程
1 参数方程的定义：
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某
个变数 t 的函数，即
x f (t) y f (t)
并且对于 t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M（x，y）都
系. （1）求 C1 ， C2 的极坐标方程；（2）若曲线 c3 的极坐标方程
sin( ) 2 4
2 ，求曲线 c3 的直角坐标方程
【答案】（Ⅰ） cos 2 , 2 2 cos 4 sin 4 0（II）x y 4 0
【解析】 用直角坐标与极坐标互化公式即可；用和差公式张开化
，则点 M
对应的参数值 tM
t1
t2 2
二、考点突破
题型一：参数方程化普通方程、极坐标方程化普通方程
对直线、曲线方程进行消参，通过定义及公式进行化简
经典例题分析：例 1. 在直角坐标系 xy 中，直线 l 的参数方程为
x
3
1 2
t
（
t
为参数）．以原点为极点，
x
轴正半轴为极轴建立极坐标
高考数学考点专题：坐标系与参数方程、不等式选讲：坐标系
坐标系【考点梳理】1．坐标系 (1)坐标变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x (λ>0)y ′＝μ·y (μ>0)的作用下，点P (x ，y )对应到点(λx ，μy )，称φ为坐标系中的伸缩变换． (2)极坐标系在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝yx (x ≠0).【教材改编】1．(选修4－4 P 5思考改编)曲线y ＝sin x 经过变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝3y 得到曲线C ，则曲线C 的( )A ．T ＝π，y max ＝3B ．T ＝4π，y max ＝3C ．T ＝π，y max ＝13 D ．T ＝4π，y max ＝13[答案] A[解析] 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝3y 代入y ＝sin x 得 13y ′＝sin 2x ′， 即y ′＝3 sin2x ′. 即曲线C 的解析式为y ＝3sin 2x ，故T ＝2π2＝π，y max ＝3.故选A.2．(选修4－4 P 8习题T 5改编)椭圆C ：x 2＋9y 2＝9经过变换Γ后变成圆x 2＋y 2＝1.则变换Γ可能为( )A.⎩⎨⎧x ′＝3x y ′＝y B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝13x y ′＝y C.⎩⎨⎧x ′＝x y ′＝3y D.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x y ′＝13y [答案] B[解析] 设变换Γ：⎩⎨⎧x ′＝λx ，y ′＝μy ，将Γ代入x 2＋9y 2＝9得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′λ2＋9·⎝ ⎛⎭⎪⎫y ′μ2＝9，即19λ2x ′2＋1μ2y ′2＝1. 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧19λ2＝1，1μ2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝±13，μ＝±1，故选B. 3．(选修4－4 P 12习题T 3改编)在极坐标系中A (2，－π3)，B (4，2π3)两点间的距离为( )A ．2B ．3C ．6D ．3 3[答案] C[解析] 法一：(数形结合)在极坐标系中，A 、B 两点如图所示，|AB |＝|OA |＋|OB |＝6.法二：A (2，－π3)；B (4，2π3)的直角坐标为A (2cos(－π3)，2sin(－π3)) ＝A (1，－3)，B (4cos 2π3，4sin 2π3)＝B (－2,23)．∴|AB |＝(－2－1)2＋(23＋3)2＝36＝6.故选C.4．(选修4－4 P 12探究改编)在极坐标系中，曲线ρ＝a cos θ围成的几何图形的周长为( )A ．2πaB ．πaC ．2π|a |D ．π|a |[答案] D[解析] 由ρ＝a cos θ得ρ2＝aρcos θ，即x 2＋y 2－ax ＝0， 即(x －a 2)2＋y 2＝(a 2)2， 曲线表示半径r ＝|a |2的圆， 其周长为2πr ＝2π·|a |2＝π|a |，故选D.5．(选修4－4 P 15习题T 3(4)改编)双曲线ρ2cos 2θ＝c (c ≠0)的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D.2或2 2 [答案] A[解析] 由ρ2cos 2θ＝c 得ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝c ，即x 2－y 2＝c (c ≠0)， ①当c >0时，双曲线为x 2c －y 2c ＝1， 离心率e ＝c ＋cc＝ 2. 当c <0时，双曲线为y 2－c －x 2－c ＝1，离心率为e ＝－c －c－c＝ 2.故选A. 6．(选修4－4 P 15习题T 2改编)在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成图形的面积是________．[答案]3－34[解析] θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1三直线对应的直角坐标方程分别为：y ＝0，y ＝3x ，x ＋y ＝1，作出图形得围成图形为如图△OAB ，S ＝3－34.7．(选修4－4 P 15习题T 6改编)在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝62cos 2θ＋3sin 2θ，A 、B 是C 上两点，O 为极点，若OA ⊥OB ，则△OAB 面积的最大值为________．[答案] 62[解析] 可设A (ρA ，θ)，B (ρB ，θ±π2)．∴ρ2A＝62cos 2θ＋3sin 2θ，ρ2B ＝62sin 2θ＋3cos 2θ， ∴ρ2A ρ2B ＝36(2cos 2θ＋3sin 2 θ)(2sin 2θ＋3cos 2θ)＝3614sin 22θ＋6，∴当sin 22θ＝0时，(ρ2A ρ2B )max ＝6，即(ρA ρB )max ＝ 6.∴S ＝12ρA ρB 的最大值为62.8．(选修4－4 P 15习题T 5改编)在极坐标系中，求点A (2，－π4)到直线ρsin(θ＋π4)＝2的距离．[解析] 法一：点A (2，－π4)的直角坐标为(2cos(－π4)， 2sin(－π4))，即(2，－2)， 由直线ρsin(θ＋π4)＝2，得 ρsin θcos π4＋ρcos θsin π4＝2， 即x ＋y －22＝0.点(2，－2)到直线x ＋y －22＝0的距离 d ＝|2－2－22|12＋12＝2.法二：(数形结合法)在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2是过点M (22，0)，N (2，π4)的直线，如图，显然A 到直线l 的距离为|AM |＝2.9．(选修4－4 P 15习题T 4(4)改编)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C与x 轴、y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． [解析] (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1， 即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0)． N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，233.则P 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．。
参数方程
4.直线的参数方程
过点 M(x0，y0线的参数方程为 y＝y0＋tsin α
(t 为参数)。设 A、B 是直线上的两点，其对应的参数分别为 t1、 t2 ， 则:
AM
MB t1t2
2
AB t1 t2 (t1 t2 ) 4tt 1 2
点 M 的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则：
x＝ρcos θ， y＝ρsin θ，
2、圆的极坐标方程
几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为 r：ρ＝r； (2)当圆心位于 M(r，0)，半径为 r：ρ＝2rcos θ； (3)当圆心位于
π Mr，2 ，半径为
1 点P的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为___________
x 4 cos t (t 为参数)， 2、（2015.甘肃期考）已知曲线C1 ： y 3 sin t x 8cos ( 为参数) 曲线C1 ： y 3sin （1）化C1 ，C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1 上的点P 对应的参数为t
高考第二轮复习：
坐标系与参数方程 —最值问题
邓乙梅 高三（1）班
复习目标
1、能写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程，
并能进行参数方程与极坐标方程、普通方
程之间的互化。
2、练习并掌握极坐标方程与参数方程的综合
应用——最值问题，掌握高考考点。
1、直角坐标与极坐标的互化
知识梳理
ρ2＝x2＋y2， y tan θ＝x（x≠0）.
x 2cos 4、(2018.湖北联考)已知曲线C 的参数方程为 ( 为参数)， y 2 sin 以平面直角坐标系xoy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的 单位长度建立极坐标系，设直线l 的极坐标方程为 (cos 2 sin ) 6. (1)求曲线C 和直线l 的普通方程； (2)设P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最值。
坐标系与参数方程及其应用精品课件
的作用下，点 P(x，y)对应到点 Q(X，Y)，称
φ 为平面直角坐标系中的伸缩变换．
2．极坐标系 (1)极坐标系的概念 ①在平面内取一个定点O为极点，引一条 射线Ox为极轴，再选定一个长度单位和 角度单位及正方向(通常取逆时针方向)， 就建立了一个极坐标系．对于极坐标系内 任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用 θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极 径，θ叫做点M的极角，有序实数对(ρ，θ) 就叫做点M的极坐标．如无特别说明时， ρ≥0，θ∈R.
(2)极坐标和直角坐标的互化公式 若点 M 的极坐标为(ρ，θ)，直角坐标为(x，y)，则
x＝ρcosθ y＝ρsinθ
ρ2＝x2＋y2 . y tanθ＝x，x≠0
(3)求曲线的极坐标方程f(ρ，θ)＝0的步骤 与求曲线的直角坐标方程步骤完全相 同．特别注意的是求极坐标方程时，常常 要解一个三角形．
π a， 2
处且过极点的圆方程为 ρ＝
2asinθ(0≤ຫໍສະໝຸດ ≤π)．④过极点倾角为 α 的直线的极坐标方程为： θ＝α 或 θ＝π＋α. ⑤过 A(a,0)(a>0)与极轴垂直的直线 ρcosθ＝a. ⑥过
π Aa，2(a>0)与极轴平行的直线
ρsinθ＝a.
(4)极坐标方程 ρ＝ρ(θ)表示的平面图形的对称性： 若 ρ(－θ)＝ρ(θ)，则图形关于极轴对称； π 若 ρ(π－θ)＝ρ(θ)，则图形关于射线 θ＝2对称； 若 ρ(π＋θ)＝ρ(θ)，则图形关于极点对称．
(5)特殊的常见曲线(包括直线)的极坐标方程 ①圆心在极轴上点 C(a,0)， 过极点的圆方程 ρ＝2acosθ. ②圆心在极点、半径为 r 的圆的极坐标方程 ρ＝r. ③圆心在
高考数学冲刺讲义选修4-4坐标系与参数方程(选考)
(1 t ) (1 t ) 4,
2 2
因此t1 1, t2 1
t 1
2
x1 0 分别代入直线方程，得 y1 2 交点为A(0，2)和B(2，0)。
x2 2 y2 0
选修4-4
六.圆锥曲线的参数方程
x x0 lt ,t R y y0 mt
例10:直线过点A(1，3)，且与向量(2，-4)共线: (1)求出直线的参数方程；(2)练习:求点P(-2，-1) 到此直线的距离。
x 1 2t y 3 4t
解:(1)
(2)解第二问的方法很多，最简单的方法就是把直线才 参数方程转换为直线的一般方程，然后利用点到直线 的距离公式求解。 答案: 2 2
又因为(t以s为单位)，得参数方程
x 2 cos 60 t ,t 0 y 2 sin t 60
O
A 2 x
曲线的直角坐标方程常常可以转化为参数方程，转化的 关键是找到一个适当的参数。
曲线的普通方程和参数方程之间有些容易转化，有些则 较困难，有些无法转化。
由此可见，平面上的点与它的极坐标不是一一对应关系。这是极 坐标与直角坐标的 0 ，此时极坐标 ( , ) 对应的点M 的位置下面规则确定:点M在与极轴成 角的射线的反向 延长线上， 它到极点O的距离为 ，即规定当 0 时，点
M ( , ) 就是点M ( , ) 。
选修4-4
坐标系 与 参数方程
选修4-4
一.坐标系 在生产实践中，随着活动范围的扩大和对精度要 求的提高，为了更快，更准确的表述物体的位置， 我们通常要建立新的坐标系，叫做极坐标。
坐标系与参数方程复习 课件(北师大版选修4-4)
则θ =_____. 【解析】直线为y=xtanθ，圆为(x-4)2+y2=4,作出图形, 相切时，易知倾斜角为 或 5 .
6 6
2 0
A(4,0)点， 3
则x+y的最大值等于_____.
x= 3 cosθ
2 解析:设椭圆 x y2 1在第一象限部分上的点P
x 3cos
1 x cos x t t x cos （为参数） （为参数） y 1 sin （t为参数） y 1 cos y t 1 t
【例1】(2011·安徽皖南八校模拟改编)在平面直角坐标系
6
A(4，
) 3
4 【规律方法】点的极坐标是距离和角组成的实数对，求三 O 5 角形的面积常常利用两边和夹角的正弦积的一半计算. 5 B(5，)
6
x
【例3】在以O为极点的极坐标系中，直线l的极坐标方程是
ρ cosθ -2=0,直线l与极轴相交于点M，以OM为直径的圆的极
坐标方程是_____. 【审题指导】先求圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程. 【自主解答】直线l：ρcosθ-2=0的普通方程为x=2, M(2,0),以OM为直径的圆的普通方程是(x-1)2+y2=1,即 x2+y2=2x，化为极坐标方程为ρ=2cosθ.
小结（学习要求）：
作业：
练习册P220-222
谢谢！
(x-2)2+y2=4.圆心(2,0)到直线x+ 3 y-4=0的距离为
d 2 30 4 12
3
2
1,
∵d=1<r=2,∴直线与圆相交.
d<r d=r d>r
极坐标与参数方程知识点与习题
参数方程极坐标一、知识点：1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
5．极坐标与直角坐标的互化：6.圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ；在极坐标系中，以 )0,(a C )0(>a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρcos 2a =；在极坐标系中，以 )2,(πa C )0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是θρsin 2a =； 7.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线. 在极坐标系中，过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a =θρcos .8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。
高考文科数学复习专题-极坐标与参数方程
1．曲线的极坐标方程．(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox称为极轴．(2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．明显，每一个有序实数对(ρ，θ)，确定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．极坐标系和直角坐标系的最大区分在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的．(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，假如平面曲线C上的随意一点的极坐标满意方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．直线的极坐标方程．(1)过极点且与极轴成φ0角的直线方程是θ＝φ0和θ＝π－φ0，如下图所示．(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a，如下图所示．(3)与极轴平行且在x轴的上方，与x轴的距离为a的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a，如下图所示．3．圆的极坐标方程．(1)以极点为圆心，半径为r的圆的方程为ρ＝r，如图1所示．(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的方程为ρ＝2rcos_θ，如图2所示．(3)圆心在过极点且与极轴成π2的射线上，过极点且半径为r的圆的方程为ρ2rsin_θ，如图3所示．4．极坐标与直角坐标的互化．若极点在原点且极轴为x 轴的正半轴，则平面内随意一点M 的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(x ，y)的公式如下：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或者ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x ，其中要结合点所在的象限确定角θ的值．1．曲线的参数方程的定义．在平面直角坐标系中，假如曲线上随意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程．(1)过定点P(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)， 其中参数t 是以定点P(x 0，y 0)为起点，点M(x ，y)为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．依据t 的几何意义，有以下结论：①设A ，B 是直线上随意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则|AB|＝|t B －t A |＝（t B ＋t A ）2－4t A ·t B ；②线段AB 的中点所对应的参数值等于t A ＋t B2.(2)中心在P(x 0，y 0)，半径等于r 的圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数) (3)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的椭圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bcos θ，y ＝asin θ. 中心在点P(x 0，y 0)，焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋acos α，y ＝y 0＋bsin α(α为参数)．(4)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的双曲线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asec θ，y ＝btan θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝btan θ，y ＝asec θ. (5)顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上的抛物线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p(t 为参数，p>0)． 注：sec θ＝1cos θ.3．参数方程化为一般方程．由参数方程化为一般方程就是要消去参数，消参数时经常采纳代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要留意参数的取值范围对x ，y 的限制．1．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，则点A 的直角坐标是(2，－23)．2．把点P 的直角坐标(6，－2)化为极坐标，结果为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－π6．3．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4．4．以极坐标系中的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6为圆心、1为半径的圆的极坐标方程是ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6．5．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的右顶点，则常数a 的值为3．解析：由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，得y ＝x －a.由椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ，得x 29＝y24＝1.所以椭圆C 的右顶点为(3，0)．因为直线l 过椭圆的右顶点，所以0＝3－a ，即a ＝3.一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是(C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－4π3 2．若圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是(B )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定3．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l 被圆C 截得的弦长为(D )A.14 B ．214 C. 2 D ．2 2解析：由题意可得直线和圆的方程分别为x －y －4＝0，x 2＋y 2＝4x ，所以圆心C(2，0)，半径r ＝2，圆心(2，0)到直线l 的距离d ＝2，由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形，解得弦长为2 2.4．已知动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，则直线l 与圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的位置关系是(A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．过圆心解析：动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，即圆心(2，1)在直线l 上，又圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ的一般方程为x 2＋y 2＝9且22＋12<9，故点(2，1)在圆O 内，则直线l 与圆O 的位置关系是相交．二、填空题5．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为ρ2＋4ρsin_θ＋3＝0．解析：在平面直角坐标系xOy 中，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝sin θ，x ＝cos θ.依据sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得x 2＋(y ＋2)2＝1，即x 2＋y 2＋4y ＋3＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ2＋4ρsin θ＋3＝0.6．在平面直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2．三、解答题7．求极点到直线2ρ＝1sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4(ρ∈R)的距离．解析：由2ρ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4⇒ρsin θ＋ρcos θ＝1⇒x ＋y ＝1，故d ＝|0＋0－1|12＋12＝22. 8．极坐标系中，A 为曲线ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点，B 为直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0上的动点，求|AB|的最小值．9．(2015·大连模拟)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，将曲线C 1上全部点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C 2.以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6.(1)求曲线C 2和直线l 的一般方程；(2)P 为曲线C 2上随意一点，求点P 到直线l 的距离的最值．解析：(1)由题意可得C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，即C 2：x 24＋y23＝1，直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6化为直角坐标方程为x －2y －6＝0.(2)设点P(2cos θ，3sin θ)，由点到直线的距离公式得点P 到直线l 的距离为 d ＝|2cos θ－23sin θ－6|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π65＝55⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6. 所以255≤d ≤25，故点P 到直线l 的距离的最大值为25，最小值为255.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程．(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA|·|PB|的值．解析：(1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，得一般方程为(x －1)2＋(y －2)2＝16，即x 2＋y 2－2x －4y ＝11＝0.直线l 经过定点P(3，5)，倾斜角为π3，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 是参数)．(2)将直线的参数方程代入x 2＋y 2－2x －4y －11＝0，整理，得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－3，因为直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，所以|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝3.。
4-29坐标系与参数方程(选修4-4)
① ② ③ ④
32 由①得 ρ1ρ2＝ 代入④得 3
数学（理） 第30页
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2 3 π 0<θ< ，即为所求极坐标方程． ρ＝ π 3 sinθsin －θ 3
x＝a＋rcosθ 它的参数方程为 y＝b＋rsinθ
(θ 为参数)．
数学（理） 第17页
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6．椭圆的参数方程 以坐标原点 O 为中心，焦点在 x 轴上的椭圆的标准
x＝acosφ x2 y2 方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)，其参数方程为 (φ 为 a b y＝bsinφ
半径为 r 的圆
过极点，倾斜角为 α 的直线
＝π＋α(ρ∈R) (2)θ＝α(ρ≥0)和 θ＝ π＋α(ρ≥0)
数学（理） 第13页
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过点(a,0)，与极轴垂 直的直线
π 过点a， ，与极轴 2
ρcosθ＝a
π π － <θ< 2 2
ρsinθ＝a (0<θ<π)
2 3 π N ， . 3 2
数学（理） 第25页
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(2)M 点 的 直 角 坐 标 为 (2,0) ， N 点 的 直 角 坐标 为
2 3 . 0， 3
所以 P
2 3 π ， ， 3 6
点的直角坐标为1，
9．直线的参数方程 经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为
Hale Waihona Puke π αα≠ 的直线 2 l 的普通
直角坐标系中曲线的参数方程
参数方程的参数范围和周期性
参数t有一个特定的取值范围，表示曲线上点的运动轨迹。当 参数t超出其取值范围时，曲线上的点会重复出现。
对于具有周期性的曲线，其参数方程可能具有周期性，即当 参数t增加一个特定的值时，曲线上的点会重复出现。这种周 期性可以通过观察曲线的形状和参数t的变化规律来识别。
04
参数方程的求解方法
参数方程用于描述曲线的形状和变化 规律，通过设定参数的变化范围，可 以绘制出完整的曲线图形。
参数方程简化了曲线绘制的计算过程 ，使得绘制复杂的曲线变得相对简单 。
参数方程在解决物理问题中的应用
在物理问题中，很多物理量是随时间 变化的，参数方程可以描述这种变化 过程，帮助我们理解物理现象和规律。
例如，振动和波动的问题可以用参数 方程来描述，通过求解参数方程，可 以得到物理量的变化规律。
利用三角函数求解参数方程
总结词
利用三角函数求解参数方程是一种常见的方法，适用于参数方程中含有三角函数的情况。
详细描述
当参数方程中含有三角函数时，可以利用三角函数的性质和恒等式来求解。例如，如果 参数方程中包含正弦函数和余弦函数，可以利用三角恒等式将它们转换为单一的三角函 数形式，从而简化求解过程。此外，还可以利用三角函数的周期性和对称性等性质来简
05
参数方程的应用实例
地球的运动轨迹描述
要点一
总结词
参数方程在描述地球的运动轨迹时，可以精确地表示地球 绕太阳的椭圆轨道。
要点二
详细描述
参数方程通过引入两个参数（通常是时间和角度）来表示 地球在直角坐标系中的位置，能够精确地描述地球绕太阳 的椭圆轨道，包括地球的近日点和远日点。
摆线的参数方程表示
参数方程与直角坐标方程的转换
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坐标系与参数方程
一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：
1．坐标系
① 理解坐标系的作用.
② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，
能进行极坐标和直角坐标的互化.
④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图
形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.
2．参数方程
① 了解参数方程，了解参数的意义.
② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
二、知识归纳总结
1．平面直角坐标系中的伸缩变换：设点),(yxP是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
).0(,yy
0),(x,x
:
的作用下，点),(yxP对应到点),(yxP，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩
变换，简称伸缩变换。
2．极坐标系的概念：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一
个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系
3．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离||OM叫做点M的极径，记为；以极
轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角，记为。有序数对),(叫做点M的极坐
标，记为),(M.
★一般地，不做特殊说明，我们认为ρ≥0，可取任何值
★极坐标),(与)Z)(2,(kk表示同一个点。极点O的坐标为)R)(,0(.
4．若0,则0,规定点),(与点),(关于极点对称，即),(与),(表示同一点。
如果规定20,0，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(表示；同时，极坐标
),(
表示的点也是唯一确
定的。
5．极坐标与直角坐标的互化：
222
sincos,tn(0)yxyxyaxx，
，
ρ
θ
O
x
M(ρ, θ)
6．圆的极坐标方程
在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是 r；
在极坐标系中，以 )0,(aC)0(a为圆心， a为半径的圆的极坐标方程是cos2a；
在极坐标系中，以 )2,(aC)0(a为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是sin2a；
7．直线的极坐标方程
在极坐标系中，)0(表示以极点为起点的一条射线；)R(表示过极点的一条直线.
在极坐标系中，过点)0)(0,(aaA，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是acos.
8．参数方程的概念
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标yx,都是某个变数t的函数),(),(tgytfx 并且对于t的每
一个允许值，由这个方程所确定的点),(yxM都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，
联系变数yx,的变数t叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
9．各圆锥曲线及直线的参数方程
①圆222)()(rbyax的参数方程可表示为)(.sin,cos为参数rbyrax.
②椭圆12222byax)0(ba的参数方程可表示为cos,()sin.xayb为参数.
★规定的范围是[0,2)
★椭圆上任意一点的坐标可以设为(cos,sin)ab，这是求解椭圆相关问题的重要方法
③双曲线22221xyab(0,0)ab的参数方程可表示为sec,()tan.xayb为参数.
★规定的范围是[0,2)，且3,22 （1seccos）
★双曲线上任意一点的坐标可以设为(sec,tan)ab，这是求解椭圆相关问题的重要方法
④抛物线pxy22的参数方程可表示为22,()2.xpttypt为参数.
★几何意义：参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数1tant
⑤经过点000(,)Mxy，倾斜角为的直线l的参数方程可表示为00cos,sin.xxtyyt（t为参数）.
★几何意义：直线上的动点M与定点0M的距离，等于参数t的绝对值0MMt∣∣∣∣