广东高考数学二轮复习资料
新广东高考人教版理科数学二轮复习方略教师配套作业9.4变量间的相关关系与统计案例(含答案解析)
课时提升作业(六十三)一、选择题1.下面是2×2列联表:则表中a,b的值分别为()(A)94,72(B)52,50(C)52,74(D)74,522.对于给定的两个变量的统计数据,下列说法正确的是()(A)都可以分析出两个变量的关系(B)都可以用一条直线近似地表示两者的关系(C)都可以作出散点图(D)都可以用确定的表达式表示两者的关系3.(2013·佛山模拟)变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5),变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1).r1表示变量Y与X之间的线性相关系数,r2表示变量V与U之间的线性相关系数,则()(A)r2<r1<0 (B)0<r2<r1(C)r2<0<r1(D)r2=r1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)是变量x和y的n个样本点,直线l4.(2013·鞍山模拟)设(x是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图),以下结论中正确的是()(A)x和y的相关系数为直线l的斜率(B)x和y的相关系数在0到1之间(C)当n为偶数时,分布在l两侧的样本点的个数一定相同(D)直线l过点(,)5.(2013·安庆模拟)某著名纺织集团为了减轻生产成本继续走高的压力,计划提高某种产品的价格,为此销售部在10月1日至10月5日连续五天对某个大型批发市场中该产品一天的销售量及其价格进行了调查,其中该产品的价格x(元)与销售量y(万件)之间的数据如下表所示:已知销售量y与价格x之间具有线性相关关系,其回归直线方程为:=-3.2x+,若该集团提高价格后该批发市场的日销售量为7.36万件,则该产品的价格约为()(A)14.2元(B)10.8元(C)14.8元(D)10.2元二、填空题6.(2013·南昌模拟)对一些城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查后知,y与x具有相关关系,满足回归方程=0.66x+1.562.若某被调查城市的居民人均消费水平为7.675(千元),则可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为%(结果保留两个有效数字).7.在500人身上试验某种血清预防感冒的作用,把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较,结果如表所示.问:在犯错误的概率不超过0.01的前提下该种血清(填“能”“不能”)起到预防感冒的作用.8.(能力挑战题)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位:小时)与当天投篮命中率y之间的关系:小李这5天的平均投篮命中率为;用线性回归分析的方法,预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为.三、解答题9.设三组实验数据(x,y1),(x2,y2),(x3,y3)的回归直线方程是:=x+,使代数式-(x1+)]2+[y2-(x2+)]2+[y3-(x3+)]2的值最小时,=-,=(,分别是这[y三组数据的横、纵坐标的平均数),若有7组数据列表如下:(1)求上表中前3组数据的回归直线方程.-(x i+)|≤0.2,即称(x i,y i)为(1)中回归直线的拟合“好点”,求后4组数据中拟合“好点”(2)若|y的概率.答案解析1.【解析】选C.∵a+21=73,∴a=52,又a+22=b,∴b=74.2.【解析】选C.给出一组样本数据,总可以作出相应的散点图,但不一定能分析出两个变量的关系,更不一定符合线性相关或函数关系,故选C.3.【思路点拨】先根据数据作出X与Y及U与V的散点图,再根据散点图判断出变量之间的正负相关性.【解析】选C.结合散点图可得:变量X与Y成正相关,变量V与U成负相关,故r1>0,r2<0. 4.【思路点拨】根据最小二乘法的有关概念:样本点的中心、相关系数、线性回归方程的意义等进行判断.【解析】选D.在A中,相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度,直线的斜率表示直线的倾斜程度,它们的计算公式也不相同,故A不正确;在B中,相关系数的值有正有负,还可以是0;当相关系数在0到1之间时,两个变量为正相关,在-1到0之间时,两个变量负相关,故B不正确;在C中,l两侧的样本点的个数分布与n的奇偶性无关,也不一定是平均分布,故C不正确;由回归直线方程的计算公式=-可知直线l必过点(,),故D正确.5.【解析】选D.依题意=10,=8.因为线性回归直线必过样本中心点(,),所以8=-3.2×10+,解得=40.所以回归直线方程为=-3.2x+40.令y=7.36,则7.36=-3.2x+40,解得x=10.2.所以该产品的价格约为10.2元.6.【解析】依题意得,当y=7.675时,有0.66x+1.562=7.675,x≈9.262.因此,可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为≈83%.答案:837.【思路点拨】在使用该种血清的人中,有=48.4%的人患过感冒;在没有使用该种血清的人中,有=56.8%的人患过感冒,使用过血清的人与没有使用过血清的人的患病率相差较大.从直观上来看,使用过血清的人与没有使用过血清的人患感冒的可能性存在差异.【解析】由列联表中的数据,求得K2的观测值k=≈7.075.∵k>6.635,因此在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为:该种血清能起到预防感冒的作用.答案:能【方法技巧】两个分类变量是否有关的直观判断在列联表中,可以估计满足条件X=x1的个体中具有Y=y1的个体所占的比重,和满足条件X=x2的个体中具有Y=y1的个体所占的比重,若两个分类变量无关,则两个比重应差别不大,即≈,因此两个比重和相差越大,两个分类变量有关的可能性就越大.8.【解析】平均命中率=×(0.4+0.5+0. 6+0.6+0.4)=0.5,而=3,(x i-)(y i-)=(-2)×(-0.1)+(-1)×0+0×0.1+1×0.1+2×(-0.1)=0.1,-)2=(-2)2+(-1)2+02+12+22=10,于是=0.01,=-=0.47,∴=0.01x+0.47,令x=6,得=0.53.(x答案0.50.539.【解析】(1)前3组数的平均数:=3,=5,根据公式:==,∴=5-×3=,∴回归直线方程是=x+.(2)|6.2-3.5-0.5×5|=0.2≤0.2,|8-3.5-0.5×6|=1.5>0.2,|7.1-3.5-0.5×7|=0.1<0.2,|8.6-3.5-0.5×8|=1.1>0.2,综上,拟合的“好点”有2组,∴“好点”的概率P==.。
高考数学二轮复习计数原理与概率
6
x
3 2
k
，k≤6，k∈N，
由 6－32k＝0，解得k＝4，
则 T5＝(－1)4×32×C46＝135，
√A.144种
C.672种
B.336种 D.1 008种
选取的 3 个名称中含有祝融的共有 C29种不同的情况. 分析选取的 3 个名称的不同情况有 A33种， 其中祝融是第 3 个被分析的情况有 A22种， 故祝融不是第 3 个被分析的情况有 C29(A33－A22)＝144(种).
(2)(2022·广东联考)现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪
√D.P(A|C)＝P(B|C)
由题知，从 10 个数中随机地抽取 3 个数，共有 C310＝120(种)可能情况， 对于A选项，“恰好抽的是2,4,6”和“恰好抽取的是6,7,8”为互斥事 件，则P(AB)＝0，而P(A)P(B)≠0，故A选项错误； 对于 B 选项，P(C)＝CC31290＝13260＝130，故 B 选项错误； 对于 C 选项，P(AB)＝0，P(C)＝130，故 C 选项错误； 对于 D 选项，由于 P(AC)＝P(BC)＝C129＝316，故由条件概率公式得 P(A|C) ＝P(B|C)，故 D 选项正确.
跟踪演练2 (1)(2022·淄博模拟)若(1－x)8＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋
a8(1＋x)8，则a6等于
A.－448
B.－112
√C.112
D.448
(1－x)8＝(x－1)8＝[(1＋x)－2]8 ＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a8(1＋x)8， a6＝C28×(－2)2＝112.
③P(B)＝12；④B 与 A1 相互独立.
A1，A2，A3中任何两个事件都不可能同时发生，因此它们两两互斥，
广东专版高考数学二轮复习每日一题规范练第五周理
每日一题 规范练(第五周)[题目1] (本小题满分12分)已知函数f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12. (1)求f (x )的最小值，并写出取得最小值时的自变量x 的集合；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝0，若sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值．解：(1)f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin(2x －π6)－1. 当2x －π6＝2k π－π2，即x ＝k π－π6(k ∈Z)时，f (x )min ＝－2.此时自变量x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π6，k ∈Z .(2)由f (C )＝0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1，又C ∈(0，π)，所以2C －π6＝π2⇒C ＝π3.在△ABC 中，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得，b ＝2a .① 又c ＝3，由余弦定理得，(3)2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，所以a 2＋b 2－ab ＝3.② 联立①②得a ＝1，b ＝2.[题目2] (本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n ＞0(n ∈N *)，S 6＋a 6是S 4＋a 4，S 5＋a 5的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 12a 2n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2b n b n ＋1的前n 项和为T n ，求T n . 解：(1)因为S 6＋a 6是S 4＋a 4，S 5＋a 5的等差中项， 所以2(S 6＋a 6)＝S 4＋a 4＋S 5＋a 5， 所以S 6＋a 6－S 4－a 4＝S 5＋a 5－S 6－a 6， 化简得4a 6＝a 4，设等比数列{a n }的公比为q ，则q 2＝a 6a 4＝14，因为a n ＞0(n ∈N *)，所以q ＞0，所以q ＝12，所以a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2.(2)由(1)得，b n ＝log 12a 2n －1＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －3＝2n －3，设C n ＝2b n b n ＋1＝2（2n －3）（2n －1）＝12n －3－12n －1， 所以T n ＝C 1＋C 2＋…＋C n ＝(1－1－11)＋(11－13)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋(12n －3－12n －1)＝－1－12n －1＝－2n2n －1. [题目3] (本小题满分12分)某部门为了了解一企业在生产过程中的用水量情况，对其每天的用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图(单位：吨)．若用水量不低于95吨，则称这一天的用水量超标．(1)从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天的用水量超标的概率；(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数，记随机变量X 为未来这3天中用水量超标的天数，求X 的分布和数学期望．解：(1)记“从这12天的数据中随机抽取3个，至多有1天的用水量超标”为事件A ， 则P (A )＝C 14C 28C 312＋C 38C 312＝168220＝4255.(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，易知用水量超标的概率为13.X 的所有可能取值为0，1，2，3，易知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13，P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫13k·⎝ ⎛⎭⎪⎫233－k，k ＝0，1，2，3，则P (X ＝0)＝827，P (X ＝1)＝49，P (X ＝2)＝29，P (X ＝3)＝127.所以随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 P8274929127数学期望E (X )＝3×3＝1.[题目4] (本小题满分12分)如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝A 1D ，AB ＝BC ，∠ABC ＝120°.(1)证明：AD ⊥BA 1；(2)若平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，且A 1D ＝AB ，求直线BA 1与平面A 1B 1CD 所成角的正弦值． (1)证明：取AD 中点O ，连接OB ，OA 1，BD ，如图1.图1因为AA 1＝A 1D ， 所以AD ⊥OA 1.又∠ABC ＝120°，AD ＝AB ，所以△ABD 是等边三角形，所以AD ⊥OB ， 所以AD ⊥平面A 1OB ，因为A 1B ⊂平面A 1OB ，所以AD ⊥A 1B . (2)解：因为平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ， 平面ADD 1A 1∩平面ABCD ＝AD ， 又A 1O ⊥AD ，所以A 1O ⊥平面ABCD ， 所以OA 、OA 1、OB 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OA 1所在射线为x 、y 、z 轴建立如图1所示的空间直角坐标系O xyz ，设AB ＝AD ＝A 1D ＝2，则A (1，0，0)，A 1(0，0，3)，B (0，3，0)，D (－1，0，0)． 则DA 1→＝(1，0，3)，DC →＝AB →＝(－1，3，0)，BA 1→＝(0，－3，3)． 设平面A 1B 1CD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝x －3y ＝0，n ·DA 1→＝x ＋3z ＝0，令x ＝3，则y ＝1，z ＝－1，所以n ＝(3，1，－1)．设直线BA 1与平面A 1B 1CD 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，BA 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BA 1→|n ||BA 1→|＝|－3－3|5·6＝105. [题目5] (本小题满分12分)设f (x )＝ln x ，g (x )＝12x |x |.(1)求g (x )在x ＝－1处的切线方程；(2)令F (x )＝x ·f (x )－g (x )，求F (x )的单调区间；(3)若任意x 1，x 2∈[1，＋∞)且x 1＞x 2，都有m [g (x 1)－g (x 2)]＞x 1f (x 1)－x 2f (x 2)恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当x ＜0时，g (x )＝－12x 2，g ′(x )＝－x ，故g (－1)＝－12，g ′(－1)＝1，所以g (x )在x ＝－1处的切线方程是y ＋12＝1×(x ＋1)，即x －y ＋12＝0.(2)由题意知，F (x )＝x ln x －12x |x |＝x ln x －12x 2(x ＞0)，F ′(x )＝ln x －x ＋1，令t (x )＝F ′(x )＝ln x －x ＋1，则t ′(x )＝1x－1，令t ′(x )＞0，解得0＜x ＜1，令t ′(x )＜0，解得x ＞1， 故F ′(x )在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减， 故F ′(x )≤F ′(1)＝0， 故F (x )在(0，＋∞)上递减．(3)已知可转化为x 1＞x 2≥1时，mg (x 1)－x 1f (x 1)＞mg (x 2)－x 2f (x 2)恒成立，令h (x )＝mg (x )－xf (x )＝m2x 2－x ln x ，则h (x )在(0，＋∞)上为单调增函数，故h ′(x )＝mx －ln x －1≥0恒成立，即m ≥ln x ＋1x恒成立，令m (x )＝ln x ＋1x ，则m ′(x )＝－ln x x2，所以当x ∈[1，＋∞)时，m ′(x )≤0，m (x )单调递减，m (x )≤m (1)＝1，即m ≥1，故实数m 的取值范围是[1，＋∞)．[题目6] (本小题满分12分)已知平面上动点P 到点F (3，0)的距离与到直线x ＝433的距离之比为32，记动点P 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程；(2)设M (m ，n )是曲线E 上的动点，直线l 的方程为mx ＋ny ＝1. ①设直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于不同两点C ，D ，求|CD |的取值范围；②求与动直线l 恒相切的定椭圆E ′的方程；并探究：若M (m ，n )是曲线H ：Ax 2＋By2＝1(A ·B ≠0)上的动点，是否存在与直线l ：mx ＋ny ＝1恒相切的定曲线H ′？若存在，直接写出曲线H ′的方程；若不存在，说明理由．解：(1)设P (x ，y )，由题意，得（x －3）2＋y2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －433＝32， 整理，得x 24＋y 2＝1，所以曲线E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①圆心(0，0)到直线l 的距离为d ＝1m 2＋n 2，因为直线与圆有两个不同交点C ，D ，所以|CD |2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋n 2，又m 24＋n 2＝1(n ≠0)，故|CD |2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－43m 2＋4，由0＜d ＜1，得m ＞0，又|m |≤2，所以0＜m ≤2. 所以0＜1－43m 2＋4≤34，因此|CD |2∈(0，3]，|CD |∈(0，3]， 故|CD |的取值范围为(0，3]．②当m ＝0，n ＝1时，直线l 的方程为y ＝1； 当m ＝2，n ＝0时，直线l 的方程为x ＝12.根据椭圆对称性，猜想E ′方程为4x 2＋y 2＝1.下证：直线mx ＋ny ＝1(n ≠0)与4x 2＋y 2＝1相切，其中m 24＋n 2＝1，即m 2＋4n 2＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝1－mx n ，消去y 得，(m 2＋4n 2)x 2－2mx ＋1－n 2＝0， 即4x 2－2mx ＋1－n 2＝0，所以Δ＝4m 2－16(1－n 2)＝4(m 2＋4n 2－4)＝0恒成立． 从而直线mx ＋ny ＝1与椭圆E ′：4x 2＋y 2＝1恒相切．若点M (m ，n )是曲线H ：Ax 2＋By 2＝1(A ·B ≠0)上的动点，则直线l ：mx ＋ny ＝1与定曲线H ′：x 2A ＋y 2B＝1(A ·B ≠0)恒相切．[题目7] 1.(本小题满分10分)[选修44：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＋4sin θ＝ρ.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点M 在直角坐标系中的坐标为(2，2)．若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B ，求|MA |·|MB |的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t 消去参数t 可得y ＝3(x －2)＋2，所以直线l 的普通方程为3x －y ＋2－23＝0.因为ρsin 2θ＋4sin θ＝ρ，所以ρ2sin 2θ＋4ρsin θ＝ρ2. 因为ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＝4y .(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t代入抛物线方程x 2＝4y 中，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋t 22＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32t ，即t 2＋(8－83)t －16＝0.因为Δ＞0，且点M 在直线l 上，所以此方程的两个实数根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2， 所以t 1t 2＝－16，所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝16.2．(本小题满分10分)[选修45：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|x －2|＋k |x ＋1|，k ∈R.(1)当k ＝1时，若不等式f (x )＜4的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}，求x 1＋x 2的值； (2)当x ∈R 时，若关于x 的不等式f (x )≥k 恒成立，求k 的最大值． 解：(1)由题意，得|x －2|＋|x ＋1|＜4.当x ＞2时，原不等式可化为2x ＜5，所以2＜x ＜52；当x ＜－1时，原不等式可化为－2x ＜3，所以－32＜x ＜－1；当－1≤x ≤2时，原不等式可化为3＜4，成立，所以－1≤x ≤2. 综上，原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪－32＜x ＜52}，即x 1＝－32，x 2＝52.所以x 1＋x 2＝1.(2)由题意，得|x －2|＋k |x ＋1|≥k . 当x ＝2时，即不等式3k ≥k 成立， 所以k ≥0.当x ≤－2或x ≥0时，因为|x ＋1|≥1， 所以不等式|x －2|＋k |x ＋1|≥k 恒成立．当－2＜x ≤－1时，原不等式可化为2－x －kx －k ≥k ，可得k ≤2－x x ＋2＝－1＋4x ＋2，则k≤3.当－1＜x ＜0时，原不等式可化为2－x ＋kx ＋k ≥k ，可得k ≤1－2x，所以k ≤3.综上可得，0≤k ≤3，即k 的最大值为3.。
广东省届高考数学二轮总复习第04课时 指数函数 对数函数 幂函数精品PPT课件
x
1 x， x 1
变式2 一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量 迅速上升到0.3 mg / mL，在停止喝酒后，血液中 的酒精含量以每小时25%的速度减少．为了保障 交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液中的 酒精含量不得超过0.08 mg / mL.问喝了少量酒的 驾驶员，至少过几小时才能开车？(精确到小时)
解 析 ： 设 过 x( x N * )小 时 才 能 开 车 ，
4
例3
已知函数f
x
loga
1 mx x 1
是奇函数(a
0，a
1)．
1求m的值；
2判断f x在区间(1， )上的
单调性并加以证明；
3当a 1，x (r，a 2)时，
f x的值域是(1， )，求a与r的值
切入点： 1利用函数的奇偶性，把函数问题
转化为方程问题，从而确定解题的方向；
2利用函数的单调性进行判断； 3将f x的值域问题转化为x的范围，从而建立
p
：
4
x
( 0 ，) ，( 1 ) x 2
lo g
1 3
x
其 中 的 真 命 题 是 ( )
A
.
p
，
1
p3
C
.
p
，
2
p3
B
.
p
，
1
p4
D
.
p
，
2
p4
切入点： 本题主要考查幂函数、指数函数、 对数函数的图象与性质，可借助其图象和 性质进行判断．
解析： 对于p1： (0， )，
幂函数y x在(0， )上为增函数，
又1 1，(1)a (1)a， 23 2 3
故p1为假命题；
(广东重点推荐)新2020高考数学二轮复习 第二部分 专题二 三角函数与解三角形满分示范练 文【下载】
满分示范课——三角函数与解三角形【典例】 (满分12分)(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sin A. (1)求sin B sin C .(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．[规范解答](1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A，2分 则12c sin B ＝a 3sin A.3分 由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A 3sin A. 故sin B sin C ＝23.6分 (2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12， 则cos(B ＋C )＝－12，所以B ＋C ＝2π3. 故A ＝π3.8分 由题设得12bc sin A ＝a 23sin A， 即bc ＝8.10分由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9，由bc ＝8，得b ＋c ＝33.故△ABC 的周长为3＋33.12分高考状元满分心得(1)写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点步骤一定要写全，如第(1)问中只要写出12ac sin B ＝a 23sin A 就有分；第(2)问中求出cos B cos C －sin B sin C ＝－12就有分．(2)写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时要写清得分关键点，如第(1)问中由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A 3sin A ；第(2)问由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9.(3)计算正确是得分保证：解题过程中计算准确，是得满分的根本保证，如cos B cos C －sin B sin C ＝－12化简如果出现错误，本题的第(2)问就全错了，不能得分． [解题程序] 第一步：由面积公式，建立边角关系；第二步：利用正弦定理，将边统一为角的边，求sin B sin C 的值； 第三步：利用条件与(1)的结论，求得cos(B ＋C )，进而求角A ；第四步：由余弦定理与面积公式，求bc 及b ＋c ，得到△ABC 的周长； 第五步：检验易错易混，规范解题步骤，得出结论．[跟踪训练] (2018·北京卷)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17. (1)求角A ；(2)求边AC 上的高．解：(1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17， 所以sin B ＝1－cos 2 B ＝437. 由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝32. 由题设知π2＜∠B ＜π，所以0＜∠A ＜π2. 所以∠A ＝π3. (2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3314， 所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.。
数学(理)高考二轮复习：专题五第二讲《椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质》课件(共46张PPT)
a2＋b2＝25
a2＝20
依题意1＝ba×2
，解得b2＝5 ，∴双曲线 C 的方程为
2x02 －y52＝1.
第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质
考点一
课前自主诊断
课堂对点补短 限时规范训练 上页 下页
试题
通解 优解
考点一
考点二
考点三
2．设 F1，F2 分别为椭圆x42＋y2＝1 的左、右焦点，点 P 在椭圆上，
第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质 课前自主诊断 课堂对点补短
考点三 直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系
限时规范训练 上页 下页
试题
解析
考点一 考点二
考点三
6．(2016·高考全国Ⅰ卷)设圆 x2＋y2＋2x－15＝0 的圆心为 A，直 线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程； (2)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M，N 两点，过 B 且 与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积 的取值范围．
10，点 P(2,1)在 C 的一条渐近线上，则 C 的方程为( A )
A.2x02 －y52＝1
B.x52－2y02 ＝1
C.8x02－2y02 ＝1
D.2x02－8y02 ＝1
第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质
考点一
课前自主诊断
课堂对点补短
限时规范训练 上页 下页
试题
解析
考点一 考点二 考点三
长即可表示出面积，解方程求 b 即可． 由题意知双曲线的渐近线方程为 y＝±b2x，圆的方程为 x2＋y2＝4，
新广东高考人教版理科数学二轮复习方略教师配套作业2.12导数与生活中的优化问题及综合应用(含答案解析)
课时提升作业(十五)一、选择题1.设f(x),g(x)在[a,b]上可导,且f′(x)>g′(x),则当a<x<b时,有()(A)f(x)>g(x)(B)f(x)<g(x)(C)f(x)+g(a)>g(x)+f (a)(D)f(x)+g(b)>g(x)+f(b)2.若对任意的x>0,恒有lnx≤px-1(p>0),则p的取值范围是()(A)(0,1] (B)(1,+∞)(C)(0, 1) (D)[1,+∞)3.(2013·伊春模拟)在半径为R的半球内有一内接圆柱,则这个圆柱的体积的最大值是()(A)πR3(B)πR3(C)πR3(D)πR34.(2013·茂名模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x>0时,()()2xf x f xx'->0,且f(-2)=0,则不等式>0的解集是()(A)(-2,0)∪(0,2)(B)(-∞,-2)∪(2,+∞)(C)(-2,0)∪(2,+∞)(D)(-∞,-2)∪(0,2)5.(2013·烟台模拟)函数y=2x3+1的图象与函数y=3x2-b的图象有三个不相同的交点,则实数b的取值范围是()(A)(-2,-1) (B)(-1,0)(C)(0,1) (D)(1,2)6.(2013·中山模拟)已知函数f(x)=-x2-x4-x6,x1,x2,x3∈R且x1+x2<0,x2+x3<0,x3+x1<0,则f′(x1)+f′(x2)+f′(x3)的值(f′(x)是f(x)的导数)()(A)一定小于零(B)等于零(C)一定大于零(D)正负均有可能二、填空题7.已知函数f(x)=xsinx,x∈R,f(-4),f(),f(-)的大小关系为(用“<”连接).8.(2013·江西师大附中模拟)已知f(x)=x3-3x+m,在区间[0,2]上任取三个不同的数a,b,c,均存在以f(a),f(b),f(c)为边长的三角形,则m的取值范围是.9.(能力挑战题)已知函数f(x)=ax+lnx,g(x)=x2-2x+2.若对任意x1∈(0,+∞),存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),则实数a的取值范围是.三、解答题10.(2013·石家庄模拟)已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.(1)讨论函数f(x)的单调性.(2)设a≤-2,证明:对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|.11.(2013·揭阳模拟)某企业科研课题组计划投资研发一种新产品,根据分析和预测,能获得10万元～1000万元的投资收益.企业拟制定方案对课题组进行奖励,奖励方案为:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过9万元,同时奖金小于投资收益的20%,并用函数y=f(x)模拟这一奖励方案.(1)试写出模拟函数y=f(x)所满足的条件.(2)试分析函数模型y=4lgx-3是否符合奖励方案的要求?并说明理由.12.(能力挑战题)已知函数f(x)=x3-x2+ax-a(a∈R).(1)当a=-3时,求函数f(x)的极值.(2)若函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点,求a的取值范围.答案解析1.【解析】选C.∵f′(x)>g′(x),∴[f(x)-g(x)]′>0,∴f(x)-g(x)在[a,b]上是增函数.∴f(a)-g(a)<f(x)-g(x),即f(x)+g(a)>g(x)+f(a).2.【解析】选D.原不等式可化为lnx-px+1≤0,令f(x)=lnx-px+1,故只需f(x)max≤0.由f′(x)=-p,知f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减.故f(x)max=f()=-lnp,由-lnp≤0得p≥1.3.【解析】选A.设圆柱的高为h,则圆柱的底面半径为,圆柱的体积为V=π(R2-h2)h=-πh3+πR2h(0<h<R),V′=-3πh2+πR2=0,h=时V有最大值为V=πR3.4.【解析】选C.令F(x)=,则F′(x)=()()2xf x f xx'-,当x>0时,F′(x)>0,故F(x)在(0,+∞)上为增函数,又F(-x)==-=-F(x),故F(x)是奇函数.>0,即F(x)>0.当x>0时,由F(x)>F(2)得x>2;当x<0时,由F(x)>F(-2)得-2<x<0,故x∈(-2,0)∪(2,+∞).5.【解析】选B.由题意知方程2x3+1=3x2-b,即2x3-3x2+1=-b有三个不相同的实数根,令f(x)=2x3-3x2+1,即函数y=f(x)=2x3-3x2+1与直线y=-b有三个交点.由f′(x)=6x2-6x=6x(x-1)知,函数y=f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故f(0)是函数的极大值,f(1)是函数的极小值,若函数y=f(x)=2x3-3x2+1与直线y=-b 有三个交点,则f(1)< -b<f(0),解得-1<b<0.6.【解析】选C.令g(x)=f′(x)=-2x-4x3-6x5,则g′(x)=-2-12x2-30x4<0,所以f′(x)在R上既是奇函数又是减函数,由x1<-x2,x2<-x3,x3<-x1,得f′(x1)>f′(-x2)=-f′(x2),f′(x2)>f′(-x3)=-f′(x3),f′(x3)>f′(-x1)=-f′(x1),相加得f′(x1)+f′(x2)+f′(x3)>0.7.【解析】f′(x)=sinx+xcosx,当x∈[,]时,sinx<0,cosx<0,∴f′(x)=sinx+xcosx<0,则函数f(x)在x∈[,]时为减函数,∴f()<f(4)<f(),又函数f(x)为偶函数,∴f()<f(-4)<f(-).答案:f()<f(-4)<f(-)8.【思路点拨】关键是在[0,2]上任取三个不同的数a,b,c,均存在以f(a),f(b),f(c)为边长的三角形,三个不同的数a,b,c,对应的f(a),f(b),f(c)可以有两个相同.【解析】f(x)=x3-3x+m,f′(x)=3x2-3,由f′(x)=0得到x=1或x=-1,在[0,2]上,函数先减小后增加,计算两端及最小值f(0)=m,f(2)=2+m,f(1)=-2+m.在[0,2]上任取三个不同的数a,b,c,均存在以f(a),f(b),f(c)为边的三角形,三个不同的数a,b,c对应的f(a),f(b),f(c)可以有两个相同.由三角形两边之和大于第三边,可知最小边长的二倍必须大于最大边长.由题意知,f(1)=-2+m>0①f(1)+f(1)>f(0),得到-4+2m>m②f(1)+f(1)>f(2),得到-4+2m>2+m③由①②③得到m>6,即为所求.答案:m>69.【解析】只需满足f(x1)max<g(x2)max,x1∈(0,+∞),x2∈[0,1].∵g(x)max=2,f′(x)=a+=(x>0).①当a≥0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,值域为R,故不符合题意.②当a<0时,由f′(x)=0,得x=-.所以,函数f(x)的单调递增区间为(0,-),单调递减区间为(-,+∞).故f(x)的极大值即为最大值,∴f(x1)max=f(-)=-1+ln()=-1-ln(-a),∴-1-ln(-a)<2,∴a<-.答案:(-∞,-)【变式备选】已知两函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,其中k为实数.(1)对任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立,求k的取值范围.(2)存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,求k的取值范围.(3)对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),求k的取值范围.【解析】(1)设h(x)=g(x)-f(x)=2x3-3x2-12x+k,问题转化为x∈[-3,3]时,h(x)≥0恒成立,即h(x)min≥0,x∈[-3,3].令h′(x)=6x2-6x-12=0,得x=2或x=-1.∵h(-3)=k-45,h(-1)=k+7,h(2)=k-20,h(3)=k-9,∴h(x)min=k-45≥0,得k≥45.(2)据题意:存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,即为h(x)=g(x)-f(x)≥0在x∈[-3,3]上能成立,∴h(x)max≥0.∴h(x)max=k+7≥0,得k≥-7.(3)据题意:f(x)max≤g(x)min,x∈[-3,3],易得f(x)max=f(3)=120-k,g(x)min=g(-3)=-21.∴120-k≤-21,得k≥141.10.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=+2ax=. 当a≥0时,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调增加;当a≤-1时,f′(x)<0,故f(x)在(0,+∞)上单调减少;当-1<a<0时,令f′(x)=0,得x=.当x∈(0,)时,f′(x)>0;当x∈(,+∞)时,f′(x)<0,故f(x)在(0,)上单调增加, 在(,+∞)上单调减少.综上所述,a≥0时,f(x)在(0,+∞)上单调增加;-1<a<0时,f(x)在(0,)上单调增加,在(,+∞)上单调减少;a≤-1时,f(x)在(0,+∞)上单调减少.(2)不妨设x1≤x2.由于a≤-2,故f(x)在(0,+∞)上单调减少.所以|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|等价于f(x1)-f(x2)≥4x2-4x1,即f(x2)+4x2≤f(x1)+4x1.令g(x)=f(x)+4x,则g′(x)=+2ax+4=.令h(x)=2ax2+4x+a+1,因为a≤-2,Δ=42-8a(a+1)=-8(a-1)(a+2)≤0.于是g′(x)≤0.从而g(x)在(0,+∞)上单调减少,故g(x1)≥g(x2),即f(x1)+4x1≥f(x2)+4x2,故对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|.11.【解析】(1)由题意,模拟函数y=f(x)满足的条件是:①f(x)在[10,1000]上是增函数;②f(x)≤9;③f(x)<x.(2)对于y=4lgx-3,显然它在[10,1000]上是增函数,满足条件①,又当10≤x≤1000时,4lg10-3≤y≤4lg1000-3,即y∈[1,9],从而满足条件②.下面证明:f(x)<x,即4lgx-3<x,对于x∈[10,1000]恒成立.令g(x)=4lgx-3-x(10≤x≤1000),则g′(x)=-=20lg e x,5x∵∴,∴20lge<10≤x, ∴20lge-x<0,∴g′(x)<0对于x∈[10,1000]恒成立.∴g(x)在[10,1000]上是减函数,当x∈[10,1000]时,g(x)≤g(10)=4lg10-3-×10=-1<0,即4lgx-3-x<0,即4lgx-3<x对于x∈[10,1000]恒成立.从而满足条件③.故函数模型y=4lgx-3符合奖励方案的要求.12.【思路点拨】(1)求出导函数的零点,再判断零点两侧导数的符号.(2)三次函数的零点决定于函数的极值的符号,若函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点,则此时极大值与极小值同号. 【解析】(1)当a=-3时,f(x)=x3-x2-3x+3.f′(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).令f′(x)=0,得x1=-1,x2=3.当x<-1时,f′(x)>0,则函数在(-∞,-1)上是增函数,当-1<x<3时,f′(x)<0,则函数在(-1,3)上是减函数,当x>3时,f′(x)>0,则函数在(3,+∞)上是增函数.所以当x=-1时,函数f(x)取得极大值为f(-1)=--1+3+3=,当x=3时,函数f(x)取得极小值为f(3)=×27-9-9+3=-6.(2)因为f′(x)=x2-2x+a,所以Δ=4-4a=4(1-a).①当a≥1时,则Δ≤0,∴f′(x)≥0在R上恒成立,所以f(x)在R上单调递增.f(0)=-a<0,f(3)=2a>0,所以,当a≥1时函数的图象与x轴有且只有一个交点.②a<1时,则Δ>0,∴f′(x)=0有两个不等实数根,不妨设为x1,x2(x1<x2),∴x1+x2=2,x1·x2=a,当x变化时,f(x),f′(x)的变化情况如下表:∵-2x1+a=0,∴a=-+2x1,∴f(x1)=-+ax1-a=-+ax1+-2x1=+(a-2)x1=x1[+3(a-2)],同理f(x2)=x2[+3(a-2)].∴f(x1)·f(x2)=x1x2[+3(a-2)][+3(a-2)]=a(a2-3a+3).令f(x1)·f(x2)>0,解得a>0.而当0<a<1时,f(0)=-a<0,f(3)=2a>0.故0<a<1时,函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点.综上所述,a的取值范围是(0,+∞).【方法技巧】巧解方程根的个数问题当函数的极值点很难求解时,可采用设而不求的思想.设出极值点后(设极大值为M,极小值为m),将M与m的符号问题转化为M与m乘积的符号问题,最后把M与m乘积转化为根与系数的关系解决.。
【K12教育学习资料】[学习](广东专版)2019高考数学二轮复习 客观题限时满分练(四)理
客观题限时满分练(四)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x |x 2＋2x －3≤0}，B ＝{x |y ＝ln(x ＋2)}，则A ∩B ＝( ) A ．(－2，－1] B ．(－2，3] C ．(－2，1]D ．[－2，1]解析：A ＝{x |x 2＋2x －3≤0}＝[－3，1]，B ＝{x |y ＝ln(x ＋2)}＝(－2，＋∞)，所以A ∩B ＝(－2，1]．答案：C2．设i 为虚数单位，若复数i 1＋i的实部为a ，复数(1＋i)2的虚部为b ，则复数z ＝a －b i 在复平面内的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为i 1＋i ＝i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝12＋12i ，所以a ＝12，因为(1＋i)2＝2i ，所以b ＝2，则z ＝a －b i 对应点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，位于第四象限．答案：D3．下列命题中正确的是( )A ．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是“对任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1＜0” B ．若p 为真命题，q 为假命题，则(¬p )∨q 为真命题C ．为了了解高考前高三学生每天的学习时间情况，现要用系统抽样的方法从某班50名学生中抽取一个容量为10的样本，已知50名学生的编号为1，2，3，…，50，若8号被选出，则18号也会被选出D ．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α∩β＝m ，则“n ⊂α，n ⊥m ”是“α⊥β”的充分条件解析：选项A ，需要先换量词，再否定结论，故命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”的否定为“对任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，选项A 错误；选项B ，因为¬p 为假命题，q 为假命题，所以(¬p )∨q 为假命题，选项B 错误；选项C ，根据系统抽样的特点，从50名学生中抽取10人，需间隔5人抽取1人，8＋2×5＝18，18号会被选出，故选项C 正确；选项D ，根据线面垂直的判定定理可知，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线才能得出该直线与该平面垂直，故由n ⊥m 不能得到n ⊥β，进而不能得到α⊥β，故选项D 错误．答案：C4．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a·b ＝－1，则a·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 解析：因为|a |＝1，a·b ＝－1，所以a·(2a －b )＝2|a |2－a·b ＝2×12－(－1)＝3. 答案：B5．(2018·河北“五个一”名校联盟测试)已知奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (1－x )，若当x ∈(－1，1)时，f (x )＝lg 1＋x1－x，且f (2 018－a )＝1，则实数a 的值可以是( )A.911 B.119 C ．－911 D ．－119解析：因为f (x ＋1)＝f (1－x )，所以f (x )＝f (2－x )，又函数f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (2－x )，所以f (2＋x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )为周期函数，周期为4.当x ∈(－1，1)时，令f (x )＝lg 1＋x 1－x ＝1，得x ＝911.又f (2 018－a )＝f (2－a )＝f (a )，所以a 可以是911.答案：A6．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )A ．13B ．14C ．15D ．16解析：所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体，如图中ABCD A ′B ′C ′D ′所示，长方体的长、宽、高分别为4，2，3，两个三棱柱的高为2，底面是两直角边长分别为3和1.5的直角三角形，故该几何体的体积V ＝4×2×3－2×12×3×32×2＝15.答案：C7．(2018·全国卷Ⅱ)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4解析：由程序框图的算法功能知执行框N ＝N ＋1i计算的是连续奇数的倒数和，而执行框T ＝T ＋1i ＋1计算的是连续偶数的倒数和． 所以在空白执行框中应填入的命令是i ＝i ＋2. 答案：B8．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＝3，点P n (n ，a n )对任意的n ∈N *，都有P n P n ＋1＝(1，2)，则数列{a n }的前n 项和S n 为( )A ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －43B ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －34C ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －23 D ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12 解析：因为P n P n ＋1＝OP n ＋1－OP n →＝(n ＋1，a n ＋1)－(n ，a n )＝(1，a n ＋1－a n )＝(1，2)， 所以a n ＋1－a n ＝2.所以{a n }是公差为2的等差数列． 由a 1＋2a 2＝3，得a 1＝－13，所以S n ＝－n 3＋12n (n －1)×2＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －43. 答案：A9．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如下表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )A.15万元 B ．16解析：设该企业每天生产x 吨甲产品，y 吨乙产品，可获得利润为z 万元，则z ＝3x ＋4y ，且x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0.画出可行域如图中阴影部分所示，直线z ＝3x ＋4y 过点M 时，z ＝3x ＋4y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝12，x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，所以M (2，3)，故z ＝3x ＋4y 的最大值为18. 答案：D10．(2018·河北“五个一名校联盟”测试)已知函数f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋3φ)是偶函数，其中φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则下列关于函数g (x )＝cos(2x －φ)的正确描述是( )A ．g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π3上的最小值为－1 B ．g (x )的图象可由函数f (x )的图象向上平移2个单位长度，向右平移π3个单位长度得到C ．g (x )的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0D ．g (x )的一个单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2解析：因为f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋3φ)是偶函数， 所以y ＝cos(x ＋3φ)是偶函数，3φ＝k π，k ∈z . 又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，因此φ＝π3.所以g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当－π12≤x ≤π3时，－π2≤2x －π3≤π3，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈[0，1]，故A 错误；f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋π)＝1－2cos 2x ＝－cos 2x ，显然B 错误；当x ＝－π12时，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0，故C 正确；当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，g (x )＝cos(2x －π3)有增有减，故D 错误．答案：C11．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P ，|OP |＝|OF |，其中O 为原点，则双曲线C 的离心率为( )A ．5 B. 5 C.53 D.54解析：在直线4x －3y ＋20＝0中，令y ＝0，得x ＝－5，故c ＝5，取右焦点为F ′，由|OF |＝|OP |＝|OF ′|，可得PF ⊥PF ′.由直线4x －3y ＋20＝0，可得tan ∠F ′FP ＝43，又|FF ′|＝10，故|PF |＝6，|PF ′|＝8.所以|PF ′|－|PF |＝2＝2a ，所以a ＝1，故双曲线C 的离心率为e ＝c a＝5. 答案：A12．(2018·佛山质检)已知函数y ＝f (x )对任意的x ∈(0，π)满足f ′(x )sin x ＞f (x )cos x (其中f ′(x )为函数f (x )的导函数)，则下列不等式成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＜2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＞2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4解析：设g (x )＝f （x ）sin x， 则g ′(x )＝f ′（x ）sin x －f （x ）cos xsin 2x＞0. 所以g (x )在x ∈(0，π)上是增函数．则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＞g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sinπ4＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6sinπ6.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＞2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6. 答案：B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填写在各小题的横线上．)13．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c ＞0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是________．解析：依题意得，圆心坐标是(0，1)，于是有b ＋c ＝1， 4b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4b ＋1c (b ＋c )＝5＋4c b ＋bc≥5＋24c b ×bc ＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝1（bc ＞0），4c b ＝b c，即b ＝2c ＝23时取等号，因此4b ＋1c的最小值是9.答案：914．已知定义在区间[－3，3]上的函数f (x )＝2x＋m 满足f (2)＝6，在[－3，3]上任取一个实数x ，则使得f (x )的值不小于4的概率为________．解析：由f (2)＝4＋m ＝6，所以m ＝2. 因为f (x )≥4，所以x ≥1. 又x ∈[－3，3]．故所求事件的概率P ＝26＝13.答案：1315．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3，若sin C＋sin(B －A )＝2sin 2A ，则A ＝________．解析：在△ABC 中，由sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ， 得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 所以cos A sin B ＝2sin A cos A ， 即cos A (sin B －2sin A )＝0. 则cos A ＝0或sin B ＝2sin A . (1)若cos A ＝0，则A ＝π2.(2)若sin B ＝2sin A ，则b ＝2a . 由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 且c ＝2，C ＝π3.所以a 2＋b 2－ab ＝4，联立b ＝2a ，得a ＝233(负值舍去)，b ＝433， 又b 2＝a 2＋c 2，所以B ＝π2，从而A ＝π6.综上，A ＝π2或π6.答案：π2或π616．(2018·衡水中学检测)若函数y ＝f (x )满足：对于y ＝f (x )图象上任意一点P ，在其图象上总存在点P ′，使得OP →·OP ′→＝0成立，称函数y ＝f (x )是“特殊对点函数”．给出下列五个函数：①y ＝x －1；②y ＝e x －2(其中e 为自然对数的底数)；③y ＝ln x ；④y ＝1－x 2.其中是“特殊对点函数”的序号是________(写出所有正确的序号)． 解析：依题意，OP →⊥OP ′→.①y ＝x －1.作出函数y ＝x －1的图象，如图(1)．当P (1，1)时，满足OP →·OP ′→＝0点的P ′不在y ＝x －1上，故①y ＝x －1不是“特殊点函数”；②y ＝e x－2.作出函数y ＝e x－2的图象，如图(2)．由图象知，满足OP →⊥OP ′→的点P ′(x 2，f (x 2))都在y ＝f (x )图象上，则②是“特殊对点函数”；③y ＝ln x ．作出函数y ＝ln x 的图象，如图(3)．当P (1，0)时，满足OP →⊥OP ′→的点P ′不在y ＝ln x 上，故③y ＝ln x 不是“特殊对点函数”；④y ＝1－x 2.作出函数y ＝1－x 2的图象，如图(4)．由图象知，满足OP →⊥OP ′→的点P ′(x 2，f (x 2))都在y ＝f (x )图象上，则④是“特殊对点函数”．答案：②④。
高三数学二轮复习资料
高三数学二轮复习资料
高三是每个学子都经历的时期，这一年不仅是对于学生们整个学习生涯的检验，而且也是对教育的一个挑战。
数学作为高考的一大门必修课程，一直是学生们考试的重头戏。
因此，在高三二轮复习期间，找到一套有效的数学复习资料是必不可少的。
一、教科书
教科书作为学生学习的基础，是数学复习过程中最重要的资料之一。
在二轮复习过程中，通过对教科书的复习可以帮助学生巩固知识点，强化基础。
教科书是数学复习的重要依据，对于理解概念、记忆定理公式有很大的帮助。
二、历年试题
历年试题是数学复习过程中必不可少的一部分，它能够帮助学生更好地了解高考试卷的出题规律和难点，有助于学生把握考试趋势和难点内容，从而更好地备考。
同时，历年试题还有助于学生发现自身的弱点和问题，有针对性地进行复习，强化学生的记忆和理解能力。
三、专业辅导资料
在高三复习期间，专业辅导资料是非常重要的。
专业辅导资料精心地编写，囊括了各种难点知识点的详细解析和巧妙题型的技巧分析，有助于学生掌握更多的考试技巧和策略，达到更好的备考效果。
四、网络资源
网络资源是当前社会信息化发展的一个重要体现。
网络上存在大量的数学资料，如解题视频、数学教学网站等资源，可以提供更加丰富的学习内容和方便的学习方式。
不过，在使用网络资源时应该谨慎，避免从网络上下载不可靠的资料。
最后，需要提醒的是，所有复习资料都是为学生提供参考的，学生在复习时应该根据自身的情况进行选择和使用。
学生应该根据自己的情况和需要，选取最适合自己的复习资料，善用这些资料，给自己的高考复习打好坚实的基础。
2023高考数学二轮复习专题复习03 等式与不等式的性质 (解析版)
专题03等式与不等式的性质【考点预测】1.比较大小基本方法（1）基本性质bc【方法技巧与总结】1.应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.2.比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.比较法又分为作差比较法和作商比较法.作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.【题型归纳目录】 题型一：不等式性质的应用题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式 题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围 题型四：不等式的综合问题【典例例题】题型一：不等式性质的应用例1．（2022·北京海淀·二模）已知,x y ∈R ，且0x y +>，则（ ）A ．110x y +>B ．330x y +>C ．lg()0x y +>D ．sin()0x y +>【答案】B 【解析】 【分析】取特殊值即可判断A 、C 、D 选项，因式分解即可判断B 选项. 【详解】对于A ，令11,2x y ==-，显然01112yx +=-<，错误；对于B ，()()()23322213024x y x y x xy y x y x y y ⎡⎤⎛⎫+=+-+=+-+≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又1,02x y y ==不能同时成立，故()2213024x y x y y ⎡⎤⎛⎫+-+>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，正确；对于C ，取1,0x y ==，则lg()0x y +=，错误； 对于D ，取1,3x y ==，则sin()sin 40x y +=<，错误. 故选：B.例2．（2022·山东日照·二模）若a ，b ，c 为实数，且a b <，0c >，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．a c b c +<+ B ．11a b< C ．ac bc > D ．b a c ->【答案】A【解析】 【分析】由不等式的基本性质和特值法即可求解. 【详解】对于A 选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则a b a c b c <⇒+<+，A 选项正确；对于B 选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若2a =-，1b =-，则11a b>，B 选项错误； 对于C 选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，0c >，0a b ac bc <<⇒<，C 选项错误；对于D 选项，因为0a b b a <⇒->，0c >，所以无法判断b a -与c 大小，D 选项错误. 例3．（2022·山西·模拟预测（文））若0αβ<<，则下列结论中正确的是（ ） A ．22αβ< B ．2βααβ+>C ．1122αβ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．sin sin αβ<【答案】B 【解析】 【分析】对于A ，利用不等式的性质判断，对于B ，利用基本不等式判断，对于C ，利用指数函数的性质判断，对于D ，举例判断 【详解】∵0αβ<<，∴0αβ->->，∴22αβ>，故A 错误；∵0αβ<<，∴0,0αββα>>，∴2βαααββ+≥=． ∵αβ≠，∴2βααβ+>，故B 正确； ∵101,2αβ<<<，∴1122αβ>⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故C 错误；令,2παπβ=-=-，此时sin 0,sin 1,sin sin αβαβ==->．故D 错误．故选：B ．（多选题）例4．（2022·辽宁·二模）己知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．221a b >+B ．122a b +>C ．24a b >D ．1ab b>+ 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用不等式的性质及特殊值法判断即可． 【详解】解：对于非零实数a ，b 满足||1a b >+，则()22||1a b >+，即2222||11a b b b >++>+，故A 一定成立； 因为1||1122a b a b b +>+≥+⇒>，故B 一定成立；又()2||10b -≥，即212||b b +≥，所以24||4a b b >≥，故C 一定成立； 对于D ：令5a =，3b =，满足||1a b >+，此时5143a b b =<+=，故D 不一定成立． 故选：ABC（多选题）例5．（2022·重庆八中模拟预测）已知0a >，0b >，且3ab a b ++=，则下列不等关系成立的是（ ） A ．1ab ≤ B ．2a b +≥ C ．1a b -> D ．3a b -<【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式以及适当的代数式变形即可判断. 【详解】对于A ，由3ab a b ++= ，a b +≥，当且仅当a b = 时等号成立，3ab ∴+≤ ，)310≤ ，1ab ∴≤ ，当且仅当1a b == 时等号成立，故A 正确； 对于B ，由3ab a b ++=，得()()4114,11a b b a ++=∴+=+ ， 由基本不等式得)44(1)(1)2122211a b a b a a a +=+++-=++-≥-=++ ，当且仅当a=b =1时成立；故B 正确；对于C ，若1,1,a b == 满足3ab a b ++=，01a b -=＜，故C 错误； 对于D ，∵3ab a b ++=，∴3ab a b a b =+++＞ ，由B 的结论得23a b ≤+＜ ，()()()()222949439a b a b ab a b a b --=+--=+--+-⎡⎤⎣⎦()()()()2421730a b a b a b a b =+++-=+++-＜ ，()29,3a b a b ∴--＜＜ ，故D 正确； 故选：ABD.（多选题）例6．（2022·广东汕头·二模）已知a ，b ，c 满足c <a <b ，且ac <0，那么下列各式中一定成立的是（ ） A ．ac （a -c ）>0 B ．c （b -a ）<0 C ．22cb ab < D ．ab ac >【答案】BCD 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质求解. 【详解】解：因为a ，b ，c 满足c <a <b ，且ac <0， 所以0,0,0,0,0c a b a c b a <>>->->，所以ac （a -c ）<0 ，c （b -a ）<0，22cb ab <，ab ac >， 故选：BCD（多选题）例7．（2022·福建三明·模拟预测）设a b c <<，且0a b c ++=，则（ ） A ．2ab b < B ．ac bc < C ．11a c< D ．1c ac b-<- 【答案】BC 【解析】 【分析】根据条件可得0<<a c ，b 的符号不能确定，然后依次判断即可. 【详解】因为a b c <<，0a b c ++=，所以0<<a c ，b 的符号不能确定， 当0b =时，2ab b =，故A 错误，因为a b <，0c >，所以ac bc <，故B 正确， 因为0<<a c ，所以11a c<，故C 正确， 因为a b <，所以a b ->-，所以0c a c b ->->，所以1c ac b->-，故D 错误， 故选：BC【方法技巧与总结】1．判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明． 2．充分利用基本初等函数性质进行判断．3．小题可以用特殊值法做快速判断．题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式例8．（2022·全国·高三专题练习（文））设2312m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1312n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2315p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．m p n << B ．p m n <<C ．n m p <<D ．p n m <<【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性判断n m >，再由作商法判断m p >.【详解】因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，所以12331122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以n m > 2320323155212215⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以m p >， 所以n m p >> 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用指数函数的单调性比较大小，属于中档题. 例9．（2022·全国·高三专题练习）若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)． 【答案】＜ 【解析】 【分析】作商法比较大小，结合对数的运算律和性质，即得解 【详解】易知a ，b 都是正数，b a ＝232ln 3ln 3ln 93ln 2ln 2ln8==＝log 89＞1，所以b ＞a .故答案为：＜例10．（2022·全国·高一）（1）试比较()()15x x ++与()23x +的大小；（2）已知a b >，11a b<，求证：0ab >．【答案】（1）()()()2153x x x ++<+；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）()()15x x ++与()23x +作差，判断差的正负即可得出结论；（2）结合不等式的性质分析即可证出结论. 【详解】（1）由题意，()()()2153x x x ++-+ 22656940x x x x =++---=-<，所以()()()2153x x x ++<+． （2）证明：因为11a b<，所以110a b -<，即0b aab -<， 而a b >，所以0b a -<，则0ab >．得证．例11．（2022·湖南·高一课时练习）比较()()213a a +-与()()62745a a -++的大小． 【答案】()()213a a +-<()()62745a a -++ 【解析】 【分析】做差比较大小即可. 【详解】()()()()2221362745(253)(253)60a a a a a a a a +---++=----+=-<⎡⎤⎣⎦,∴()()213a a +-<()()62745a a -++.例12．（2022·湖南·高一课时练习）比较下列各题中两个代数式值的大小：(1))21与)21；(2)()()2211xx ++与()()2211xx x x ++-+．【答案】(1)221)1)≤(2)()()2211x x ++()()2211x x x x ≤++-+【解析】 【分析】利用作差法得出大小关系. (1)))()()221111m m -=--+=-因为0m ≥，所以221)1)0-≤，当且仅当0m =时，取等号.即221)1)≤ (2)()()2211xx ++()()2211x x x x -++-+()()2222222121x x x x x ⎡⎤⎡⎤=+--+-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因为0x ≥，所以()()2222221210x x x x ⎡⎤⎡⎤+--+-≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当且仅当0x =时，取等号.故()()2211x x ++()()2211x x x x ≤++-+.【方法技巧与总结】比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性. 比较法又分为作差比较法和作商比较法. 作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论. 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：若0,0a b >>，则1b b a a >⇔>；1b b a a <⇔<；1bb a a =⇔=；若0,0a b <<，则1b b a a >⇔<；1b b a a <⇔>；1bb a a=⇔=. 题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围例13．（2022·浙江·模拟预测）若实数x ，y 满足1522x y x y +≥⎧⎨+≥⎩，则2x y +的取值范围（ ）A ．[1,)+∞B ．[3,)+∞C ．[4,)+∞D ．[9,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】设2()(52)x y m x y n x y +=+++，求出,m n ，再根据不等式的性质即可得出答案. 【详解】解：设2()(52)x y m x y n x y +=+++，则5221m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得13m n ==，故112()(52)33x y x y x y +=+++，又因1522x y x y +≥⎧⎨+≥⎩，所以()()1112,523333x y x y +≥+≥， 所以21x y +≥. 故选：A.例14．（2022·全国·高三专题练习）已知12a ≤≤，14b -≤≤，则2a b -的取值范围是（ ） A ．724a b -≤-≤ B ．629a b -≤-≤ C ．629a b ≤-≤ D ．228a b -≤-≤【答案】A 【解析】 【分析】先求2b -的范围，再根据不等式的性质，求2a b -的范围. 【详解】因为14b -≤≤，所以822b -≤-≤， 由12a ≤≤，得724a b -≤-≤. 故选：A.例15．（2022·全国·高三专题练习）若,x y 满足44x y ππ-<<<，则x y -的取值范围是（ ）A ．(,0)2π-B ．(,)22ππ-C ．(,0)4π-D ．(),44ππ-【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质，求得0x y -<，且22x y ππ-<-<，即可求解.【详解】由x y <，可得0x y -<， 又由44y ππ-<<，可得44y ππ-<-<，因为44x ππ-<<，可得22x y ππ-<-<，所以02x y π-<-<，即x y -的取值范围是(,0)2π-.故选：A.例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知－3<a <－2，3<b <4，则2a b的取值范围为（ ）A ．(1，3)B ．4934⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．2334⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【答案】A 【解析】 【分析】先求出a 2的范围，利用不等式的性质即可求出2a b的范围.【详解】因为－3<a <－2，所以a 2∈(4，9)，而3<b <4，故2a b的取值范围为(1，3)，故选：A ．例17．（2022·江西·二模（文））已知122x y ≤-≤，1231x y -≤+≤，则6x ＋5y 的取值范围为______． 【答案】[]1,4- 【解析】 【分析】由()652223x y x y x y +=-++结合不等式的性质得出答案. 【详解】解：()652223x y x y x y +=-++，即()()1212223221x y x y +⨯-≤-++≤+⨯ 故6x ＋5y 的取值范围为[]1,4-． 故答案为：[]1,4-例18．（2022·全国·高三专题练习）设二次函数()()22,f x mx x n m n =-+∈R ，若函数()f x 的值域为[)0,∞+，且()12f ≤，则222211m n n m +++的取值范围为___________. 【答案】[1,13] 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m 与n 的关系，化简222211m n n m +++后利用不等式即可求出其范围. 【详解】二次函数f (x )对称轴为1x m=， ∵f (x )值域为[]0,∞+，∴0m >且21121001f m n n mn m m mm ⎛⎫⎛⎫=⇒⋅-+=⇒=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，n ＞0.()12224f m n m n ≤⇒-+≤⇒+≤，∵()()()()2222224422222222221111111m m n n m n m n m n n m m n m n m n +++++++==+++++++ =()22222222222m n m n m n m n +-++++=()()222222222m n mn m n +++-++=()()222222212m n m n m n +++-++=221mn +-∴221211m n mn +-≥-=，22221()34313m n m n +-=+-≤-=， ∴222211m n n m +++∈[1,13]. 故答案为：[1,13].例19．（2022·全国·高三专题练习）已知有理数a ，b ，c ，满足a b c >>，且0a b c ++=，那么ca的取值范围是_________． 【答案】122c a -<<- 【解析】 【分析】根据不等式的性质求得ca的取值范围.【详解】由于a b c >>，且0a b c ++=，所以0,0a c ><，,,2,2cb ac a c a a c a=----<>->-， 1,2,2c a c c a c a -->-><-， 所以122c a -<<-. 故答案为：122c a -<<-例20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()34f x x ax b =++，当[]1,1x ∈-时，()1f x ≤恒成立，则a b +=____________． 【答案】-3 【解析】 【分析】可以取特殊值112x x =±=±，时，()11f x -≤≤恒成立，从而求出a 和b ﹒【详解】当[]1,1x ∈-时，()1f x ≤恒成立，则()11f x -≤≤对任意[]1,1x ∈-恒成立， 则112x x =±=±，时，()11f x -≤≤恒成立1141x a b =-≤++≤，①1141141x a b a b =--≤--+≤⇒-≤+-≤，②1111222a xb =-≤++≤，③111111122222a a xb b =--≤--+≤⇒-≤+-≤，④①+②282253a a -≤+≤⇒-≤≤-：③+④21231a a -≤+≤⇒-≤≤： 3a ∴=-，代入①20b -≤≤： 代入③02b ≤≤： 0b ∴=，30a b ∴=-=，，3a b ∴+=-﹒证明()343f x x x =-满足题意：()343f x x x =-，则()()2112302f x x f x x ''=-=⇒=±，，由表可知，|f (x )|≤1在[-1，1]上恒成立满足题意﹒故答案为：-3. 【点睛】本题考察恒成立问题，根据函数和区间的特殊性，可取特殊值得到关于a 和b 的不等式组，求出a 和b 的范围，从而确定a 和b 的取值﹒例21．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a ，b 满足5﹣3a ≤b ≤4﹣a ，ln b ≥a ，则ba的取值范围是___.【答案】[e ，7] 【解析】 【分析】 由题意可求得b a≤7；由ln b ≥a 可得b ba lnb ≥（b 12e ≥），设函数f （x ）x lnx =（x 12e ≥），利用其导数可求得f （x ）的极小值，也就是ba的最小值.【详解】∵正数a ，b 满足5﹣3a ≤b ≤4﹣a ， ∴5﹣3a ≤4﹣a ， ∴a 12≥. ∵5﹣3a ≤b ≤4﹣a ， ∴5a -34b a a ≤≤-1.从而ba≤7， ∵ln b ≥a ，∴b ba lnb≥（b 12e ≥）， 设f （x ）x lnx =（x 12e ≥），则f ′（x ）21lnx lnx -=（）， 当0＜x ＜e 时，f ′（x ）＜0，当x ＞e 时，f ′（x ）＞0，当x ＝e 时，f ′（x ）＝0， ∴当x ＝e 时，f （x ）取到极小值，也是最小值. ∴f （x ）min ＝f （e ）＝e . ∴ba≥e ， ∴ba的取值范围是[e ，7]. 故答案为：[e ，7].例22．（2022·全国·高三专题练习）已知,,a b c 均为正实数，且111,,232425abbc ca a bb cc a+++，那么111a b c ++的大值为__________．【答案】4 【解析】 【分析】本题目主要考察不等式的简单性质，将已知条件进行简单变形即可 【详解】因为,,a b c 均为正实数，所以由题可得：22203,04,05a b b c a c b bc ac a +++<≤<≤<≤，即1203b a<+≤，1204c b <+≤，1205a c <+≤，三式相加得：1110312a b c ⎛⎫<++≤ ⎪⎝⎭，所以11104a b c <++≤所以111a b c++的最大值为4故答案为：4【方法技巧与总结】在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.题型四：不等式的综合问题例23．（2022·江西鹰潭·二模（理））已知0,0a b >>，且2e1b aa b -+=+则下列不等式中恒成立的个数是（ ）①1122b a --< ②11b a a b -<- ③e e b a b a -<- ④5ln 5a b +<+A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】 【分析】①，分析得到,a b <所以1122b a --<正确；②，构造函数举反例判断得解；③，构造函数利用函数单调性判断得解；④，转化为判断2ln(5)2ln(5)a b +<+再构造函数利用导数判断函数的单调性即得解. 【详解】解：①，若02,e e 1,11b aa ab b -+≥∴≤=∴>+，所以矛盾，所以,a b <所以1122b a --<正确； ②，1111b a a b a b a b -<-∴+<+，，设21(1)(1)(),(0),()x x f x x x f x x x +-'=+>∴=， 所以当(0,1)x ∈时，函数()f x 单调递减，当(1,+)x ∈∞时，函数()f x 单调递增，因为a b <，所以11a b ab+<+不恒成立，如1151,(),1,(1)2()2222a fb f f ====<，所以该命题错误；③，e e a b a b -<-，设()e ,()e 10,()x x g x x g x g x '=-∴=->∴在(0,)+∞单调递增，因为a b <，所以e e a b a b -<-恒成立，所以该命题正确；④，5ln2ln(5)2ln(5)5a a b b +<⇔+<++设()2ln(5)h x x =+所以2()h x '==所以函数()h x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减. 取131,e,(1)e 3e,1b b a b b -==∴+=+ 设()(1)e ,()(2)e 0x x k x x k x x '=+∴=+>，所以()k x 在(0,)+∞单调递增， (1)2e 3e k =<，2(2)3e 3e k =>，所以存在(1,2),(1)e 3e b b b ∈+>，此时2ln(5)2ln(5)a b +>+ 所以该命题错误. 故选：B例24．（2022·江西·临川一中高三期中（文））若实数a ，b 满足65a a b <，则下列选项中一定成立的有（ ） A ．a b < B ．33a b <C ．e 1a b ->D ．ln 0a b ⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】先由65a a b <得到0a b <<或0b a <<，再利用不等式的性质、函数的单调性进行判定. 【详解】因为65a a b <，所以655()0a a b a a b --=<， 显然0a ≠，所以()0a a b -<，所以00a a b >⎧⎨-<⎩或00a a b <⎧⎨->⎩，即0a b <<或0b a <<；若0a b <<，则a b <，33a b <，0e e 1a b -<=，ln ln10a b ⎛⎫<= ⎪⎝⎭；若0b a <<，则a b >，33a b >，0>e e 1a b -=，ln ln10a b ⎛⎫<= ⎪⎝⎭；即一定成立的是选项D. 故选：D.例25．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）若m ，n ∈+N ，则下列选项中正确的是（ ） A ．()()1log 1log 2m m m m ++<+ B ．(n m m n mn ⋅≥C ．()()22sin 1sin 31n n n n n ππ⋅<+⋅>+ D ．1121111n n n n n n n n +++++<++ 【答案】C 【解析】 【分析】对于A ，作商比较，对于B ，令1,2m n ==判断，对于C ，利用在单位圆中，内接正n 边形的面积小于内接正()1n +边形的面积判断，对于D ，利用放缩法判断 【详解】解：对于A 选项，由于m ，n ∈+N ，故由对数的定义得2,N m m +≥∈，()()1log 10,log 20m m m m ++>+>， 所以()()()()211111log 2log 2log log 2log log 12m m m m m m m m m m m m ++++++++⎛⎫=+⋅≤ ⎪+⎝⎭()()()22211log 1log2144m m m m m ++⎡⎤++⎣⎦=<=，所以()()1log 1log 2m m m m ++>+，故A 错误； 对于B 选项，令1,2m n ==，则(21122,n m m n mn =⨯==⋅(n m m n mn <⋅B 错误；对于C 选项，因为，在单位圆中，内接正n 边形的面积小于内接正()1n +边形的面积， 所以()112π12π11sin 111sin 221n n S n S n n n +=⋅⋅⋅⋅<=+⋅⋅⋅⋅+，故C 正确；对于D 选项，由于112111,111n n n n n n n n n +++++===++，故D 错误． 故选：C（多选题）例26．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知0,0a b >>，直线2y x a =+与曲线1e 1x y b -=-+相切，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．19ab ≤B ．219a b+≥CD【答案】BCD 【解析】【分析】根据导数的几何意义得21a b +=，再根据基本不等式与柯西不等式可判断出答案. 【详解】设切点为00(,)x y ，因为1e x y -'=，所以01e 1x -=，得01x =， 所以122a b +=-，所以21a b +=， 对于 A，12a b =+≥18ab ≤，当且仅当11,42a b 时，等号成立，故A 不正确； 对于B，212122()(2)55b a a b a b a b a b+=++=++≥+9=，当且仅当13a b ==时，等号成立，故B 正确；对于C=25a =，15b =时，等号成立，故C 正确；对于D，22222(12⎡⎤⎡⎤≤+⋅+⎢⎥⎣⎦⎣⎦33(2)22a b =+⋅=， 所以，又21a b +=，即12,63a b ==时，等号成立. 故选：BCD（多选题）例27．（2022·辽宁辽阳·二模）已知0a >，0b >，且24a b +=，则（ ） A ．124a b ->B ．22log log 1a b +≤ C≥D ．412528a b +≥ 【答案】BD 【解析】 【分析】由不等式的性质与基本不等式对选项逐一判断 【详解】对于A ，02a <<，()()42344,2a b a a a -=--=-∈-，所以12416a b -<<，故A 错误，对于B ，420a b =+≥>，即0<02ab ，()222log log log 1a b ab +=≤，故B 正确，对于C，228a b =++≤C 错误，对于D，4122171725288488a b a b b a a b a b a b ++⎛⎫+=+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当825a b ==时，等号成立，故D 正确． 故选：BD（多选题）例28．（2022·重庆八中模拟预测）已知0a >，0b >，且3ab a b ++=，则下列不等关系成立的是（ ） A ．1ab ≤ B ．2a b +≥ C ．1a b -> D ．3a b -<【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式以及适当的代数式变形即可判断. 【详解】对于A ，由3ab a b ++= ，a b +≥，当且仅当a b = 时等号成立，3ab ∴+≤ ，)310≤ ，1ab ∴≤ ，当且仅当1a b == 时等号成立，故A 正确； 对于B ，由3ab a b ++=，得()()4114,11a b b a ++=∴+=+ ， 由基本不等式得)44(1)(1)2122211a b a b a a a +=+++-=++-≥-=++ ，当且仅当a=b =1时成立；故B 正确；对于C ，若1,1,a b == 满足3ab a b ++=，01a b -=＜，故C 错误； 对于D ，∵3ab a b ++=，∴3ab a b a b =+++＞ ，由B 的结论得23a b ≤+＜ ，()()()()222949439a b a b ab a b a b --=+--=+--+-⎡⎤⎣⎦()()()()2421730a b a b a b a b =+++-=+++-＜ ，()29,3a b a b ∴--＜＜ ，故D 正确； 故选：ABD.例29．（2022·全国·高三专题练习）若x ，y R ∈，设2223M x xy y x y =-+-+，则M 的最小值为__． 【答案】14-##0.25-【解析】 【分析】将M 化简可得2211224M x y y ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，由此即可求出结果.【详解】因为()()2222221121321344M x y x y y x y x y y y y y y ⎡⎤=-+++=-++++++---⎢⎥⎣⎦221112244x y y ⎛⎫=--+-≥- ⎪⎝⎭．当且仅当0y =，12x =时取等号． 所以M 的最小值为14-．故答案为：14-．例30.（2022·四川泸州·三模（理））已知x 、y ∈R ，且224x y +=，给出下列四个结论： ①2x y +≤；②1xy ≥；③23x y +≤；④448x y +≥． 其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)． 【答案】①④ 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断①和④，取特殊值x ＝0、y ＝2log 3可判断②，取特殊值y ＝12可判断③． 【详解】对于①，∵20,20x y >>，∴由224x y +=得，422x y =+≥即4≥，解得2x y +≤(当且仅当1x y ==时取等号)，故①一定成立； 对于②，当20,log x y ==3时，224x y +=成立，但1xy ≥不成立，故②不一定成立；对于③，当12y =时，由224x y +=得24x =则132343022xy +-=-=>，即23x y +>，故③不一定成立；④将224x y +=两边平方得144216x y x y ++++=， ∴144162x y x y +++=-，由①可知：131********x y x y x y x y +++++≤⇒++≤⇒≤=⇒-≥-11621688x y ++⇒-≥-=，∴448x y +≥，当且仅当1x y ==时取等号，因此④一定成立﹒ 故答案为：①④﹒ 【点睛】本题①和④利用基本不等式即可求解，需要熟练运用基本不等式求范围.对于②和③，取特殊值验算即可快速求解﹒【过关测试】一、单选题 1．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）小李从甲地到乙地的平均速度为a ，从乙地到甲地的平均速度为(0)b a b >>，他往返甲乙两地的平均速度为v ，则（ ） A ．2a bv +=B．v =C2a bv +< D．b v <<【答案】D 【解析】 【分析】平均速度等于总路程除以总时间 【详解】设从甲地到乙地的的路程为s ，从甲地到乙地的时间为t 1，从乙地到甲地的时间为t 2，则 1s t a=，2s t b =，1222211s s v s s t t a b a b===+++，∴221111v ba bb b=>=++，2211ab v a b a b==<=++ 故选:D.2．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知0a b <<，则（ ） A ．110->a bB ．sin sin 0a b ->C ．0a b -<D ．ln()ln()0a b -+->【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊值法，结合已知逐一判断即可. 【详解】因为0a b <<，所以110b aa b ab--=>，选项A 正确； 当2π,πa b =-=-时，显然满足0a b <<，但sin sin 0a b -=，选项B 不正确； 当2π,πa b =-=-时，显然满足0a b <<，但0a b ->，选项C 不正确； 当1,123a b =-=-时，显然满足0a b <<，但是ln()ln()0a b -+-<，选项D 不正确， 故选：A3．（2022·陕西宝鸡·三模（理））若a b <，则下列结论正确的是（ ） A ．330a b -> B ．22a b < C ．()ln 0a b -> D ．a b <【答案】B 【解析】 【分析】对于A 、B ，构造函数，借助函数单调性比大小； 对于C ， ()ln a b -没有意义； 对于D ，取特值判断. 【详解】对于A ，构造函数3()f x x =，因为3()f x x =单调递增，又a b <，所以()()f a f b <，33a b ∴<，330a b ∴-<，故A 答案不对；对于B ，构造函数()2x f x =，因为()2x f x =单调递增，又a b <，所以()()f a f b <，22a b ∴<，故B 答案正确；对于C ，a b <，()ln a b ∴-没有意义，故C 答案不对；对于D ，取=11a b ，-=时，=a b ，故D 答案不对； 故选：B.4．（2022·重庆·二模）若非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．11a b< B ．a b +>C ．22lg lg a b > D ．33a b >【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质、基本不等式的条件和对数的运算，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A 中，由11b aa b ab--=，因为a b >，可得0b a -<，当ab 不确定，所以A 错误；对于B 中，只有当0,0,a b a b >>，不相等时，才有a b +>B 错误； 对于C 中，例如1,2a b ==-，此时满足a b >，但22lg lg a b <，所以C 错误； 对于D 中，由不等式的基本性质，当a b >时，可得33a b >成立，所以D 正确. 故选：D.5．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数a 、b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．22a b >B ．11b b a a +<+ C ．22ac bc > D ．332a b -+>【答案】D 【解析】 【分析】对于A ，B ，C 可以取特殊值验证，对于D ，根据题意得330a b >>，3333a b b b --+>+，利用基本不等式求解即可. 【详解】对于A ：当2a =，4b =-时不成立，故A 错误；对于B ：当12a =-，1b =-，所以2b a =，101b a +=+，即11b b a a +>+，故C 错误；对于C ：当0c 时不成立，故C 错误；对于D ：因为a b >，所以330a b >>，又30b ->，所以33332b a b b --≥+>+=（等号成立的条件是0b =），故D 正确. 故选：D.6．（2022·安徽·芜湖一中高三阶段练习（理））已知0a >，0b >，22a b m +=，则以下正确的是( ) A ．若1m =，则1a b + B ．若1m =，则331a b + C ．若2m =，则2a b +> D ．若2m =，则332a b +【答案】D 【解析】 【分析】A ：取特例a b ==B ：求出01a <<，01b <<，根据幂函数在(0，1)之间的性质即可判断；C ：根据不等关系2222a b a b ++ D ：构造33222()(())a b a b a b ++-+并判断其范围，表示出33+a b ，结合C 项范围即可判断. 【详解】A ：若221a b +=，取a b ==1a b +，故A 错误； B ：若221a b +=，则01a <<，01b <<，∴33221a b a b +<+=，故B 错误； C ：当222a b +=时，∵222a bab +，∴()222222a ba b ab +++，∴222()24a b a b ++，∴221222a b a b a b ++=⇒+，故C 错误；D ：当222a b +=时，3322233222()(()2()0)a b a b a b a b b a a b ab a b ++-+=+-=-， 22233()4a b a ba b a b+∴+=++，由C 知，2a b +，42a b∴+，332a b ∴+，故D 正确. 故选：D.7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知32a =，53b =，则下列结论正确的有（ ） ①a b < ②11a b a b+<+ ③2a b ab +< ④b a a a b b +<+ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B 【解析】 【分析】求出a 、b 的值，比较a 、b 的大小，利用指数函数的单调性、导数法、不等式的基本性质以及基本不等式逐项判断可得出合适的选项. 【详解】因为32a =，53b =，则3log 2a =，5log 3b =.对于①，3223<，则2323<，从而2333320log 1log 2log 33a =<=<=，3235>，则2335>，则235552log 5log 3log 513b =<=<=，即2013a b <<<<，①对；对于②，()()()11111a b ab a b a b a b a b ab --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为2013a b <<<<，则0a b -<，01ab <<，所以，11a b a b+>+，②错； 对于③，355522log 2log 32log 2log 4ab =⋅==，所以，355353542log 2log 3log 4log 2log log log 03a b ab +-=+-=->， 所以，2a b ab +>，③错； 对于④，构造函数()ln x f x x =，其中0e x <<，则()21ln xf x x -'=. 当0e x <<时，()0f x '>，则函数()f x 在()0,e 上单调递增， 因为01a b <<<，则()()f a f b <，即ln ln a ba b<，可得b a a b <，所以，b a a a b b +<+，④对. 故选：B.8．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．1423b b b b +≤+ B ．4132b b b b ≤-- C ．3124a a a a ≥ D ．3124a a a a ≤【答案】D 【解析】 【分析】对选项A ，令112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭即可检验；对选项B ，令2nn b =即可检验；对选项C ，令n a n =即可检验；对选项D ，设出等差数列的首项和公比，然后作差即可. 【详解】 若112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则12341111,,,248b b b b ==-==-可得：14237184b b b b +=>=-+，故选项A 错误； 若2nn b =，则12342,4,8,16b b b b ====可得：4132144b b b b -=>-=，故选项B 错误； 若n a n =，则12341,2,3,4a a a a ==== 可得：124346a a a a =<=，故选项C 错误； 不妨设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则有：()112411133a a a a d a a d =+=+()()22311121223a d a d a d a a d a =++=++则有：4223120a a a a d -=≥，故选项D 正确故选：D 二、多选题9．（2022·辽宁·一模）已知不相等的两个正实数a 和b ，满足1ab >，下列不等式正确的是（ ） A ．1ab a b +>+ B ．()2log 1a b +> C ．11a b ab+<+ D ．11a b a b+>+ 【答案】BD 【解析】 【分析】A 选项，利用()()1110a b ab a b --=+--<作出判断；B 选项，利用基本不等式即函数单调性求解；CD 选项，用作差法求解.由于两个不相等的正实数a 和b ，满足1ab >，所以a 和b 可取一个比1大，一个比1小，即()()1110a b ab a b --=+--<，故1ab a b +<+，A 错误；由题意得：2a b +>>，所以()2log 1a b +>，B 正确；()111111a b a b a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫+-+=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中110ab ->，但不知道a 和b 的大小关系，故当a b >时，11a b a b+>+，当a b <时，11a b a b +<+，C 错误；()1111a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫+-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中110ab ->，0a b +>，所以()11110a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫+-+=+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11a b a b+>+，D 正确. 故选：BD10．（2022·湖南省隆回县第二中学高三阶段练习）已知a b c >>，且0a b c ++=，则下列结论正确的是（ ） A ．2ab b > B ．ac bc <C ．11a c> D ．1a cb c->- 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质依次判断选项即可. 【详解】A ：由a b c >>且0a b c ++=，可知a >0，c <0，b 的值不确定， 故由a b >，不能推出2ab b >，故A 错误；B ：由0a b c ><，，得ac bc <，故B 正确；C ：由于0a >，0c <，得11a c>，故C 正确； D ：由a b c >>得0a c b c ->->.所以1a cb c->-，故D 正确， 故选：BCD.11．（2022·广东·广州市第四中学高三阶段练习）已知实数a ，b ，c 满足1,01a b c >><<，则下列不等式一定成立的有（ ） A ．()()c c a c b c -<- B ．log (1)log (1)a b c c +<+ C ．log log 2a c c a +≥ D ．22224a c b c c >>【答案】BD 【解析】对于A ，利用幂函数的性质判断，对于BC ，利用对数函数的性质判断，对于D ，利用不等式的性质分析判断 【详解】对于A ，因为01c <<，所以c y x =在(0,)+∞上单调递增，因为,01a b c c >><<，所以0a c b c ->->，所以()()cca cbc ->-，所以A 错误，对于B ，因为1a b >>，所以当1x >时，log log a b x x <，因为01c <<，所以11c +>，所以log (1)log (1)a b c c +<+，所以B 正确，对于C ，因为1,01a b c >><<，所以log 0,log 0a c c a <<，所以log log 0a c c a +<，所以C 错误， 对于D ，因为1,01a b c >><<，所以22210a b c >>>>，所以22224a c b c c >>，所以D 正确， 故选：BD12．（2022·河北保定·一模）已知a 、b 分别是方程20x x +=，30x x +=的两个实数根，则下列选项中正确的是（ ）. A ．10b a -<<< B ．10a b -<<< C ．33a b b a ⋅<⋅ D ．22b a a b ⋅<⋅【答案】BD 【解析】 【分析】在同一直角坐标系中画出2,3,x x y y y x ===-的图象，可判断AB ，然后结合不等式的性质可判断CD. 【详解】函数2,3,x x y y y x ===-在同一坐标系中的图象如下：所以10a b -<<<，所以22,33,0a b a b b a<<<-<-所以()()22,33a b a bb a b a -⋅<-⋅-⋅<-⋅所以22b a a b ⋅<⋅，33a b b a ⋅⋅> 故选：BD 三、填空题13．（2022·四川泸州·三模（文））已知x ，R y ∈，满足224x y +=，给出下列四个结论：①2x y +≤；②1xy ≥；③23x y +<；④448x y +≥．其中一定成立的结论是______（写出所有成立结论的编号）． 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据基本不等式，结合特殊值法逐一判断即可. 【详解】①：因为224x y +=，所以有4222422x y x y x y +=+≥≥≥⇒+≤，故本结论一定成立； ②：当20,log 3x y ==时，显然224x y +=成立，但是1xy ≥不成立，故本结论不一定成立； ③：当1x y ==时，显然224x y +=成立，但是23x y +<不成立，故本结论不一定成立； ④：因为224x y +=，所以114421644162x y x y x y x y ++++++=⇒+=-，由①可知： 1311213228281621688x y x y x y x y x y +++++++≤⇒++≤⇒≤=⇒-≥-⇒-≥-=，所以448x y +≥，因此本结论一定成立， 故答案为：①④14．（2022·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））已知实数x 、y 满足223x y -≤+≤，220x y -≤-≤，则34x y -的取值范围为______． 【答案】[7,2]- 【解析】 【分析】设34(2)(2)x y m x y n x y -=++-，利用待定系数法求出,m n 的值，然后根据不等式的性质即可求解. 【详解】解：设34(2)(2)x y m x y n x y -=++-，则2324m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得12m n =-⎧⎨=⎩，所以34(2)x y x y -=-++2(2)x y -， 因为223x y -≤+≤，220x y -≤-≤， 所以3(2)2x y -≤-+≤，42(2)0x y -≤-≤， 所以7342x y -≤-≤， 故答案为：[7,2]-.15．（2022·全国·高三专题练习）如果a >b ，给出下列不等式：①11a b<；②a 3>b 32ac 2>2bc 2；⑤ab >1；⑥a 2＋b 2＋1>ab ＋a ＋b .其中一定成立的不等式的序号是________． 【答案】②⑥ 【解析】 【分析】对,a b 分别赋值，然后对各个不等式进行排除，对于无法排除的选项利用函数的单调性和差比较法证明成立. 【详解】令1,1a b ==-，11a b>=11a b =-<，排除⑤.当0c 时，排除④.由于幂函数3y x =为R 上的递增函数，故33a b >，②是一定成立的.由于()()()()22222111102a b ab a b a b a b ⎡⎤++-++=-+-+->⎣⎦，故221a b ab a b ++>++.故⑥正确.所以一定成立的是②⑥. 【点睛】本小题主要考查实数比较大小，使用的方法较多，一个是特殊值比较法，也就是对问题中的,a b 举出一些具体的数值，然后对不等式的正确与否进行判断.第二个是用函数的单调性的方法来比较，即是如果要比较的两个数和某个函数有点接近，如本题中②，用幂函数的单调性来判断.第三个是用差比较法来判断，如本题中的⑥.16．（2022·全国·高三专题练习）设x ，y 为实数，满足238xy ≤≤，249x y≤≤，则3x y 的最小值是______.【答案】12 【解析】利用方程组形式，可得()223nm x x xy y y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，求得,m n 后结合不等式性质即可求得3x y 的最小值. 【详解】设()223nm x x xy y y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭即322m n m n xy x y -+-=⋅所以2123m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得11m n =-⎧⎨=⎩所以()2123x x xy y y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭因为238xy ≤≤，249x y≤≤， 所以()121183xy-≤≤ 由不等式性质可知()212132x xy y -⎛⎫≤⋅≤ ⎪⎝⎭即3132x y ≤≤，当且仅当()212418x yxy -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号，解得74552,2x y ==. 综上可知，3x y的最小值为12. 故答案为：12. 【点睛】本题考查了不等式的化简变形应用，不等式性质求最值，关键是要求出两个不等式间的关系，属于中档题. 四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）已知1a >，1b >，2222,1111a b b a M N a b a b =+=+----． （1）试比较M 与N 的大小，并证明； （2）分别求M ，N 的最小值．【答案】（1）M N ≤；证明见解析 ；（2） M ，N 的最小值都是8． 【解析】 【分析】（1）利用作差比较法，得到2()()0(1)(1)a b a b M N a b -+-=-≤--，即可求解； （2）化简1111411a b a M b =-++-++--，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）M 与N 的大小为M N ≤，证明：由22222()()1111(1)(1)a b b a a b a b M N a a b b a b -+-=-+-=-------， 因为1a >，1b >，所以0a b +>，10a ->，10b ->，2()0a b -≥，所以2()()0(1)(1)a b a b a b -+-≤--，所以M N ≤. （2）因为2222[(1)1][(1)1]1111a b a b M a b a b -+-+=+=+----111144811a b a b =-++-++≥=--， 当2a b ==时取等号，又由（1）N M ≥，所以M ，N 的最小值都是8．18．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b 均为正实数.试比较33+a b 与22a b ab +的大小； （2）已知a ≠1且a ∈R ，试比较11a-与1a +的大小. 【答案】（1）33+a b ≥22a b ab +；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）将目标代数式作差得2()()a b a b -+，即可知大小关系；（2）利用“作差法”有21(1)11a a a a-+=--，对a 分类讨论即可判断大小. 【详解】（1）∵a ，b 均为正实数，∴332222222()()()()()()()0a b a b ab a a b b a b a b a b a b a b +-+=---=--=-+≥，即33+a b ≥22a b ab +. （2）由21(1)11a a a a-+=--. ①当a =0时，21a a=-0，则11a =-1a +； ②当a <1且a ≠0时，21a a >-0，则11a >-1a +； ③当a >1时，21a a<-0，则11a <-1a +. 综上，当a =0时，11a =-1a +；当a <1且a ≠0时，11a >-1a +；当a >1时，11a<-1a +. 19．（2022·全国·高三专题练习）已知下列三个不等式：①0ab >；②c da b>；③bc ad >，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？并选取一个结论证明. 【答案】可组成3个正确命题，证明见解析. 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个分析每个命题的真假即可. 【详解】 （1）对②变形：0c d bc ad a b ab->⇔>，由0,ab bc ad >>得②成立，∴①③⇒②.。
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广东高考数学二轮复习资料
每年的高考对于每一个学生来说都是非常重要的一件事情，对
于广东的学生来说，高考因为竞争压力大，准备更加充分。
而数
学作为高考中被对于最为重要的学科之一，对于广东的学生来说
也是不可或缺的一门学科。
那么如何有效地进行数学二轮复习呢？下面就来为大家介绍几种广东高考数学二轮复习资料。
1. 高考数学辅导书
高考数学的辅导书可以说是广大学生在备考中的一种必备资料。
高考数学复习辅导书籍具有可操作性、系统性强等特点。
在选择
辅导书的时候，可以根据自己阅读习惯和水平来选购。
在市面上，一些知名的出版社推出的辅导书籍都堪称经典，例
如数学必修一、二、三同步辅导、高考数学应对全攻略、数学公
式图表速查手册等等。
这些辅导资料都是经过较为严谨的编辑和
筛选，其内容既有深度，也有广度，从整体上对高考数学的复习
有非常大的帮助。
2. 高考数学练习题集
数学作为一种基础学科，其内容比较浩繁、范围广泛。
因此在
进行数学二轮复习的过程中，练习题集也是极其必要的一种资料。
市面上有很多的数学练习题集，可以选择相关的出版社的书籍，也可以根据个人需求，选择偏向于练习范围、偏向于名校真题、
偏向于难度选择等方面的题目集。
像一些比较典型的题目集，例
如《高考数学3000题》、《名校预测题10年完型填空精选》等等，这些题目都经过了较为严格的筛选和编排，具有良好的操作
性和独特的出题思路，对于学生进行复习也有极大的帮助。
3. 高考数学考试真题
在进行高考数学二轮复习的过程中，广大学生最为关注的就是
真题解析。
在进行真题解析的过程中，既能够帮助学生熟悉高考
试题的出题特点，也能够适应考试的答题节奏，对于提升考试的
应变能力和答题技巧等方面有一定的帮助。
市面上出版的高考数学真题解析较多，像各种大牌出版社，比
如北京大学出版社、人民邮电出版社、教育部考试中心出版社等等。
在选择高考数学考试真题集合的时候，建议学生选择颇具权
威的出版社，也可以参照其他学生的使用经验和反馈来选择，这
样可以对复习有很好的帮助。
总之，数学对于高考来说是非常重要的，准备充分和复习的全
面性对于广东的高中生来说都是非常重要的。
在准备进行数学二
轮复习的过程中，可以根据自己的思路和需求来选择合适的资料，较为系统地进行复习，这样可以在高考复试中拥有更高的得分机会。