生成Delaunay三角网的合成算法

❖ 如图4所示，面积坐标(L1,L2,L3)，其中，
❖ 这里的三角形面积是有向面积，按顶点顺 序，逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.
❖ 若P在三角形中，必有其所有面积坐标大于零(见 图4(a))，即L1>0, L 2>0, L 3>0; 若P在三角形外， 则至少有一个面积坐标小于零.如图4( b)所示，P 在三角形P2P3边外侧，则 L1<0, L 2>0, L 3>0;若 P在三角形边上(这儿排除P与三角形顶点重合的 情况)，那么必有值为0的面积坐标.如图4c所示， P在三角形P2P3边上，则有L1=0, L 2>0, L 3>0;
• 合成算法结合了传统的递归分割法和逐点插入法 的优点，兼顾空间和时间性能然而，该算法不可 避免地继承了两种传统算法的不足，在执行效率 上受到限制，为了解决执行效率问题，[吴宇晓， 张登荣 2004]提出了快速合成算法，对合成算进 行了改进和优化。该算法基于面积坐标的点定位 算法和简化的高效空外接圆判断算法，从而大大 提高算法的整体执行效率;同时充分考虑平面点 集的任意性，适用于对任意平面点集构建 Delaunay三角网。
• 把分治算法与逐点插入法结合起来的具体做 法是，以分治算法为主体，当递归分割数据 集的过程进行到子集中的数据量小于一个预 定值——分割阈值时终止，然后用逐点插入 法在子集中生成子三角网。我们把这一新的 算法称为合成算法。它的流程图见图1。其中 v表示数据集:Nv是V的数据量;Nd是分割阈值 ;Nl, Nr分别表示两个子集的数据量;Tl,Tr分别 表示在子集中建立的两个子三角网。
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• 需要注意的是，点集是任意离散的，出发点P1可能与多点共线 .如图3 ( a)所示，点P1一P5共线，而事实上点P2一P4不参加
构成初始三角网，因此，需要在建立初始三角网前对凸壳进行 修正。如果存在点P3, P4,...Pk(2< k<n)，与P1P2共线，则必 须删去点P2, P3, ..., Pk-1，并由P1Pk代替P1P2成为初始边.同 样，如果存在点Pk,Pk+1...,Pn-1(2< k<n)与PnP1共线，则必 须删去点Pk+1...,Pn-1，并由PkP1代替PnP1，成为终止边(如 图3所示).经修正后，所有凸壳点按逆时针重新编号.
• 1引言
•
分治算法和逐点插入法由于易于实现，是当前应用较广
的两类算法。这两类算法所采用的实现方法决定了它们存在
着明显的局限性，分治算法需要大量的内存，逐点插入法运 行速度极慢。当数据量较大或计算机性能较差时，它们的使 用都将遇到困难。
• 武晓波,2000提出了一个成功地解决了上述问题的合成算法。 该算法将逐点插入法嵌入到分治算法中，使它们优势互补， 弥补了各自的缺陷。经过一个有2533个点数据测试，表明合 成算法的运算效率大大高于逐点插入法，在大多数情况下也 高便于分割，在执行各模块之前，首先 要对初始点集按升序以x坐标为主，y坐标为 辅进行排列，确保子三角网不相互叠置.
❖ 4. 1格雷厄姆法计算凸壳
❖ 4. 2初始三角网的建立与修正 ❖ 以凸壳上y值最小的点(设为点P1)为出发点，
按序与凸壳上其余的点相连(如图3( b)所示).
❖ 4.3.2点定位后的三角网修改
❖ 由于所有待插入点必在凸壳内，所以待插 入点必在三角形内或三角边上.跟据点与所处 三角形的关系，点插入三角网的情况及相应 的三角网修改方法分为如下3种情况(见图6) .
• 插入点在三角形内.如图6( a)所示，待插入点P在三角形 P1P2P3内.此时，将点P与此三角形的三个顶点相连，形 成3个三角形.
❖ 综上分析可知，正是小于0的面积坐标指明了 目标三角形的方向.在建立了三角形拓扑关系 的三角网中，利用面积坐标的这一特性，可 很快查到包含点所在的三角形或所处的三角 边.
❖ 基于面积坐标的定位过程如图5所示.设三角形P1P2P3 为搜索的起点，计算点P的面积坐标可知L1< 0，取L1 的对应边P2P3的邻接三角形P3P2P4作为下一个判断 的三角形.依次进行判断，直至三角形P7P6P8.此时若 L1>0, L 2>0, L 3>0都大于0，则点P在三角形P7P6P8 内;若Li(i=1，2, 3)=0，则点P在Li所对应的边上.
• 待插入点在非凸壳边上.由于所在边不是凸壳边，此边必 是两个三角形的公共边.如图6( b)所示，待插入点P在边 P2P3上，P2P3是三角形P1P2P3和P2P3P4的公共边.此 时，点P与P2P3两个三角形的对应点P1和P4相连，形成4 个三角形.
❖ 4. 3插点入网
❖ 该了模块分为两个步骤:首先，定位待插入 点，即确定点在哪个三角形中;然后，根据点 在三角形的位置，修改三角网.
❖ 4. 3. 1基于面积坐标的点定位算法
❖ 随着点数增加，三角形数目也成倍增加.当 三角形数目较大时，利用点在多边形中的判 断方法，扫描整个或局部三角网格，是相当 费时的.快速合成算法利用三角形面积坐标和 三角网拓扑关系来解决这一问题。
• 2己有算法介绍2. 1分治算法2. 2逐点插入法2. 3三角网生长法
• 3合成算法
• 由以上介绍不难看出，目前采用较多的前两类算法各具优势 又有局限，同时，它们又具有明显的互补性。分治算法时间性 能好，空间性能差;逐点插入法空间性能好，时间性能差。我 们评价一个算法的优劣是看它对时间和空间的消耗，即时空性 能的综合表现。因此，就产生了一个非常自然的想法，为何不 把它们结合起来，取长补短，从而提高算法的性能呢?
❖ 一种生成Delaunay三角网的合成算法 2000 武晓波，王世新，肖春生
❖ 生成Del aunay三角网的快速合成算法 吴宇 晓，张登荣 2004
• 经过20多年的研究，自动生成Delaunay三角网的算法 已趋于成熟。它们基本上可分为分治算法逐点插入法、 三角网生长法等3类。其中前两类较第3类在应用户上更 加广泛。但即使这两类算法也分别存在着时间和空间效 率上的缺陷，使它们的应用受到了一定的限制。武晓 波,2000提出了一个融以上两类算法优点于一体，兼顾 空间与时间性能的合成算法。经测试，它的运算效率大 大高于逐点插入法，在大多数情况下，也高于分治算法， 在分割阈值约为总数据量的十分之一时，效率最高。