绝对值不等式的性质定理及推论

定理引入
试考虑两数和的绝对值与两数绝对值的和与
差的关系，请填表观察．
ａ
０ １ －１
２ －３
ｂ
１ ２ －２ －３ １
｜ａ｜＋｜ｂ｜ １ ３ ３
５
４
｜ａ＋ｂ｜ １ ３ ３
１２
｜ａ｜－｜ｂ｜－１ －１ －１ －１ ２
｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜ ≤｜ａ｜＋｜ｂ｜
定理变式
定理： a b a b a b
（B）若 ab 0,则 a b a b
（C）若 ab 0,则 a b a b
（D）若 ab 0,则 a b a b
2. a, b是实数,则使 a 成b 立1的
充分不必要条件的是
(A) a b 1
(C)a 1
(B) a 1 且 b 1
2
2
(D)b 1
定理应用
a b ab a b
a b ab a b
例1. 已知 x , y , z ,
3
6
9
求证 x 2 y 3z 练习3
例2.求函数 f (x) x 1 x 2 最小值 。
变题1：求函数 f (x) x 1 x 2最小值 。 变题2: 1.求函数 f (x) x 1 x 2最大值 。
定理能不能推广到三个字母以上呢?
推论一：a1 a2 a3 a1 a2 a3
推 广：a1 a2 a3 ..... an a1 a2 a3 ..... an (n N, n 2)
定理能不能再变形了呢？
变形:把定理中的b换为-b,定理可变为
推论二：|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|
总结
• 含有绝对值的不等式求解和证明，主要 理论依据是最简单的绝对值的解集，绝 对值不等式的性质定理及推论。
• 含有绝对值不等式的证明不一定是要使 用定理和推论，有时候只用不等式的性 质就可证的。
知识的建构
绝对值不 等式定理
绝对值不等式定理 的两个重要的推论
应用(证明不 等式,求值域
2.求上述函数的值域。
例3 :不等式 x 1 x 2 a恒成立, 求实数a的取值范
围。
是否存在这样的a使 x 1 x 2 a 集呢？
解集是空
变题1:不等式 x 1 x 2 a的解集是空集, 求实数a的
取值范围。
变题2:不等式 x 1 x 2 a的解集不是空集, 求实数a
的取值范围。
| x | a x2 a2 x a或x a
5.a与|a|及-|a|的大小关系如何？
| a | a | a | 练习：
（1）已知|h|< ,|k|< （ε>0),求证|hk|<ε ；
（2）已知|h| <cε，|x|>c（c>0,ε>0），
求证 h
x
如果a>b>0,且c>d>0,那么 ac>bd
含绝对值的不等式
青 白 江 中 学 刘莉
基础知识回顾
1.绝对值的概念
a (a 0)
a
0
(a
0)
2.|a|的几-a何(a意义0)：
数轴上表示实数a的点与原点间的距离.
3.绝对值的基本运算性质 ab a . b
4.|x|<a与|x|>a的解集|Leabharlann x | a x2 a2 a x a
a a bb
变形:把定理中的a换为b,b换为a,定理可变为
a,b满足什么 条件时取等
号
|b|-|a|≤|a+b|≤|a|+|b|
变形:结合定理和变形又可变式为
︱|a|-|b|︱≤|a+b|≤|a|+|b|
更为严格的变形 a b a b a b
练习题
1.下列各命题中真命题的是
（A）若ab 0,则 a b a b