高中数学2.3幂函数教案新人教版必修1

高中数学2.3幂函数教案新人教版必修1

教学目的：

1．通过实例，了解幂函数的概念．

2．具体结合函数1

2

13

2

,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图象，了解幂函数的变化情况．

3．在归纳五个幂函数的基本性质时，应注意引导学生类比前面研究一般的函数、指数函数、对函数等过程中的思想方法，对研究这些函数的思路作出指导． 教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质．

教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难． 一、新课导入

先看五个具体的问题：

（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要支付p=w 元，这里p 是w 的函数； （2）如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积2

a S =，这里S 是a 的函数； （3）如果立方体的边长为a ，求立方体的体积3

a V =，这里V 是a 的函数；

（4）如果一个正方形场地的面积为S ，那么这个正方形的边长2

1S a =，这里a 是S 的函数； （5）如果某人t s 内骑车进行了1km ，那么他骑车的平均速度1

-=t v km/s ，这里v 是t 的函数．

讨论：以上五个问题中的函数具有什么共同特征？

它们具有的共同特征：幂的底数是自变量，指数是常数． 从上述函数中，我们观察到，它们都是形如y x α

=的函数．

二、师生互动，新课讲解： 1、幂函数的定义

一般地，函数αx y =)(R a ∈叫做幂函数（power function ），其中x 是自变量，α是常数．对于幂函数α

x y =，我们只讨论1,2

1

,3,2,1-=α时的情形． 2、幂函数的图象

在同一直角坐标系内作出幂函数x y =；2

1x y =；2x y =；1-=x y ；3

x y =的图象．

观察

以上函数的图象的特征，归纳出幂函数的性质．

x y =

2x y =

3x y =

2

1x y =

1-=x y

定义域 R R R ),0[+∞ }0|{≠x x 值 域 R ),0[+∞

R ),0[+∞

}0|{≠y y

奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性

增

增

增

3、幂函数的性

质

1）．五个具体的幂函数的性质

（1）函数x y =；2

1

x y =；2x y =；3x y =和1

-=x y 的图象都通过点（1，1）；

（2）函数x y =；3x y =；1-=x y 是奇函数，函数2

x y =是偶函数；

（3）在区间),0(+∞上，函数x y =，2

x y =，3

x y =和2

1x y =是增函数，函数1

-=x y 是减函数；

（4）在第一象限内，函数1

-=x y 的图象向上与y 轴无限接近，向右与x 轴无限接近． 2）．一般的幂函数的性质

（1）所有的幂函数α

x y =在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数；

α>1时，图象向上，靠近y 轴； 0<α<1，图景向上，靠近x 轴； α=1是条直线。

（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴；

（4）幂函数α

x y =的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数α由小到大；y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α由小到大．

课堂练习： 已知幂函数α

x y =在第一象限内的图象如图所示，且α分别取1

1122

-，，，四个值，则相应于曲线

1234C C C C ，，，的α的值依次为．

例1：（课本第78页例1）证明幂函数x x f =

)(在),0[+∞上是增函数．

变式训练1：利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小： （1）4

3

3.2，43

4.2；（2）5631.0，5

635.0；（3）2

3

)

2(-

，2

3)

3(-

；（4）2

1

1

.1-

，

2

19.0-

．

例2：求下列函数的定义域，并判断它们的奇偶性：

（1）3y x =；（2）2

y x -=；（3）12y x =； （4）13

y x = 解 （1）函数3

y x =的定义域是R ，它是奇函数； （2）函数2

y x -=即21

y x

=，其定义域是(,0)(0,)-∞+∞，它是偶函数； （3）函数12

y x =即y x =，其定义域是[0,)+∞，它既不是奇函数，也不是偶函数； （4）函数1

3

y x =即3

y x =，其定义域是R ，它是奇函数．

变式训练2：

公共点 （1,1）

（1）.设11132a ??∈-????

，，，，则使函数a

y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为（ A ）．

(A)1，3 (B)1-，1 (C) 1-，3 (D) 1-，1，3

（2）. 若函数3

()()f x x x =∈R ，则函数()y f x =-在其定义域上是（ B ）． (A) 单调递减的偶函数 (B) 单调递减的奇函数 (C) 单调递增的偶函数 (D) 单调递增的奇函数

（3）若幂函数f (x )的图象经过点(3，1

9

)，则其定义域为( )

A ．{x |x ∈R ，x >0}

B ．{x |x ∈R ，x <0}

C ．{x |x ∈R ，且x ≠0} D．R

解析：设f (x )＝x α.∵图象过点(3，19)，∴19＝3α，即3－2＝3a ，∴α＝－2，即f (x )＝x －2＝1x 2，∴x 2

≠0，即x ≠0.

答案：C

例3：在同一坐标系作出函数y=x 2与y=2x

的图象。 变式训练3：已知幂函数f (x )＝ (m ∈N *

)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝

________.

解析：∵幂函数f (x )＝

在(0，＋∞)上是减函数，∴m 2－2m －3<0，∴－1

，∴m ＝1或2，

当m ＝1时，f (x )＝x －4

，其图象关于y 轴对称，符合；当m ＝2时，f (x )＝x －3

是奇函数，不符合，∴m ＝1.

答案：1

布置作业： A 组：

1．下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是( )

解析：注意到函数y ＝x 2

≥0，且该函数是偶函数，其图象关于y 轴对称，结合选项知，该函数图象应与②对应；y ＝

＝x 的定义域、值域都是[0，＋∞)，结合选项知，该函数图象应与③对应；y ＝x －1

＝1x

，结合选项知，其图象

应与④对应；图象①与y ＝x 3

大致对应．综上述所述，选B.

答案：B

2．已知n ∈{－1,0,1,2,3}，若(－12)n >(－15

)n

，则n ＝__________.

解析：可以逐一进行检验，也可利用幂函数的单调性求解． 答案：－1或2

3．（课本P79习题2.3 NO:1）已知幂函数)(x f y =的图象过点)2,2(，试求出这个函数的解析式．

4．(课本P79习题2.3 NO:2)在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v （单位：cm 3

/s ）与管道半径r(单位：cm)的四次方成正比．

（1）写出气流流量速率v 关于管道半径r 的函数解析式；

（2）若气体在半径为3cm 的管道中，流量速率为400cm 3

/s ，求该气体通过半径为r 的管道时，其流量速率v 的表达式；

（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm ，计算该气体的流量速率（精确到1cm 3

/s ）． 5．讨论函数3

2x y =的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说出函数的单调性． 6．已知函数f (x )＝2x －x m

，且f (4)＝－72

.

(1)求m 的值；

(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． 解：(1)∵f (4)＝－72，∴24－4m ＝－7

2.∴m ＝1.

(2)f (x )＝2

x

－x 在(0，＋∞)上单调递减，

证明如下：

任取0

＝(2x 1－x 1)－(2x 2－x 2)＝(x 2－x 1)(2x 1x 2

＋1)．

∵00，

2

x 1x 2

＋1>0.

∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)， 即f (x )＝2

x

－x 在(0，＋∞)上单调递减．

B 组：

1．如果幂函数f (x )＝ (p ∈Z )是偶函数．且在(0，＋∞)上是增函数．求p 的值，并写出相应的

函数f (x )的解析式．

解析：∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴－12p 2＋p ＋32>0，即p 2

－2p －3<0.∴－1

Z .∴p ＝1，故f (x )＝x 2

.