信赖域方法概论
应用数学系列讲座--最优化理论与方法
应用数学系列讲座---最优化理论与方法肖伟Part 1 最优化发展的历史背景最优化亦称数学规划，她追求一种尽善尽美之道，此乃人类贪婪之本性、追求极致之欲念。
可以说，最优化首先是这种理念，然后才是一种方法。
她是人类追求完美的一种最佳决策理念与方法。
1．问题在人类的生活、科学研究、工程、经济、工业、军事等领域都会遇到许多最优化问题：（1）运输问题。
生产厂家要将自己的产品运输到用户，如何运输既能满足用户需求，又能花费最少？（2）金融投资问题。
如何设计比较好的证券组合或投资项目组合，以便在可接受的风险限度内获得最大的投资回报？（3）产业结构调整、人员优化组合、多种商品的生产计划与调度等资源分配问题。
如何分配有效的资源以便在特定的空间与时间内谋求最大的经济效益？（4）工程设计问题。
在工程设计中如何选择适当的参数使得工程方案既满足实际需要，又能够降低工程造价？（5）曲面选择问题。
如何设计汽车、飞机、宇宙飞船的最佳外形，既保证其运动的稳定性，又减少运动阻力，甚至满足隐身要求？（6）飞行器的最优轨迹问题。
导弹防御系统的开发与部署的有效性实际上就是能否在敌方导弹到达己方某一重要区域之前，对飞行目标的轨迹进行准确跟踪和预测，并且引导拦截器将其摧毁？（7）过程控制问题。
如何控制一个化学过程或者机械装置，既优化其性能，又满足鲁棒性要求？2．背景最优化作为一门学科，孕育于20世纪30年代，诞生于20世纪40年代第二次世界大战弥漫的硝烟中，以线性规划模型（美国空军军力规划问题、运输问题、资源分配问题等）和单纯行算法的出现为标志。
因此，最优化的历史，早期也就是线性规划的历史。
作为最优化理念与方法，无论国内，还是国外，都可以追溯到很久以前。
1637年，Fermat发表了“求极大和极小的方法”，文中包含了Fermat定理结论。
1684年，Newton和Leibniz发明的微积分为求解一大类单变量极值问题提供了通用工具。
当年Leibniz发表的第一篇微分学论文被定名为“一种求极大与极小值和求切线的新方法”。
【课件】运筹学与最优化方法(华南理工)第3章(07-4)
的最优解S(k)和最优值
(k +1) (k ) (k )
q(S(k) )
(k + 1) (k )
) f (X = X + S 若 f (X (3)令 X 取 X * = X (k+1) ,停止,否则转(4) (4)计算 f = f (X (k) ) f (X (k+1) ), q = f (X (k) ) q(S(k) ) 1/ 2k ..若 f < 0.1q 令
第三章
无约束非线性规划
3.4 信赖域法, Matlab解无约束非线性规划
一.信赖域法: 1.思想: 1) 前两节方法的结构原理为用二次模型产生下降方 向,在下降方向上确定可接受的步长,得到新迭代点. 若二次模型不近似原目标函数,则在搜索方向上无 法找到满意的下降迭代点. 能否先指定步长的界,再用二次模型确定方向和步 长? *注:保证在下近似,可使f(x)与 二次模
y(1) = x +α(x xmax )
2 扩展:给定扩展系数 >1,计算.(加速) 扩展:给定扩展系数γ 计算.(加速) 计算.(加速
y(2) = x +γ ( y(1) x)
3.5 直接算法
一, 2,改进单纯形法: (续) ,改进单纯形法: (1)若f(y(1))<f(x min), 则 若 那么y 取代x 否则, 取代x 若f(y(1))> f(y(2)), 那么 (2)取代 max; 否则, y(1)取代 max (2)若max{f(x(i))| x(i) ≠x max } ≥ f(y(1)) ≥ f(x min), y(1)取代 max . 取代x 若 3° 收缩:若f(x max )> f(y(1)) > f(x(i)), x(i) ≠x max ,计算 ° 收缩: 计算
无约束最优化的信赖域BB法_刘亚君
目
标 函 数 的 二阶 信 息 本 文 将
ｓｅ
，
法 与 信 赖 域方法 相 结 合 利 用
，
ＢＢ
步
，
长 的 倒 数去 近 似 目 标 函 数 的 Ｈｅ ｓ
矩 阵 同 时 利 用 信 赖 域子 问 题 更 加 灵 活 地 选 取 梯 度 法 的 步 长
ＢＢ
给 出 求 解无 约 束 最优 化 问 题 的 单 调 和 非 单 调 信 赖域
８
［
，
９
］
分 别 应用 公 式
后 步长 的 思 考
，
．
（
１
．
１
〇）
求 解 无 约 束优 化 问 题 和 界 约 束 优 化 问 题 对
． １ ，
ＢＢ
步长 的 研究 引 发 了 对滞
一
在梯 度 法 中 更 多滞 后 的 ＢＢ 步长被 研 究 气 并 得 出 与 Ｂ Ｂ 法 研 究发 现 更 多 的 滞 后 步 增 强 了 Ｂ Ｂ 法 的 非 单 调 性 因 此 可 能 加快 收 敛速 度 Ｐ
，
Ｈ ｅｓ ｓ ｅ
矩阵
Ｖ２／
（
：
ｒ ｆ ｃ
）
或其近
．
应 用 最广 的 修 正 公 式 是 Ｂ Ｆ ＧＳ 修 正 公 式 其 数值稳 定 性 比 其他 修 正 公 式 要好 心 被 称 为 信 赖域 半 径 被 称 为 信赖域 子 问 题 对 于 当 前 迭 代 点 ％ 通 过 求 解模 型
２０１ ６
年
２
月
计 算 数 学第
３８
卷第
．
１
期
．
Ｆ ｅｂ
．
带回溯线搜索步的双子问题信赖域算法
带回溯线搜索步的双子问题信赖域算法唐明筠【摘要】无约束非线性优化问题广泛存在于工程、科学计算等实际应用领域.本文在信赖域算法的框架下提出无约束子问题,将它与信赖子问题相结合,构造了求解无约束优化问题的双子问题信赖域算法.同时利用信赖域子问题得到的试探步一定是目标函数充分下降方向的性质使得每次求解信赖域子问题之后均能得到使目标函数下降的步.在标准假设下证明了该算法具有全局收敛性和局部二次收敛速度.数值结果表明该算法比传统的信赖域算法速度更快更有效.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2010(027)004【总页数】10页(P627-636)【关键词】无约束优化;信赖域方法;双子问题;回溯;收敛性【作者】唐明筠【作者单位】中国农业大学理学院,北京100083【正文语种】中文【中图分类】O221.21 引言无约束优化是非线性最优化中的基本问题，它不但具有重要的理论意义，还在金融、工程、科学等许多领域都有着广泛的应用。
求解无约束优化问题的算法很多，信赖域方法就是其中一种非常有效的方法。
信赖域方法兴起于上个世纪七、八十年代，至今已建立了比较完善的框架和理论体系。
但有时候由于信赖域约束的影响，算法的迭代步过于保守。
比如当目标函数在一个比当前信赖域大很多的区域上凸时，可能需要很多步迭代才能使信赖域半径扩大到包含局部极小值点的区域。
为了尽量减少这种情况的产生我们设计了一个新的算法，力图在保持信赖域算法优越的收敛性的同时节省计算量和计算时间。
一方面，通过引入一个不要求信赖域约束的无约束子问题，我们可以求得一个步长为1的牛顿步。
根据模型函数的性质，我们选择求解信赖域子问题或者求解无约束问题。
另一方面，由于信赖域子问题得到的试探步一定是目标函数的充分下降方向，可以将信赖域与线搜索技巧相结合，在试探步失败时进行回溯的线搜索[1]。
2 无约束子问题和双子问题信赖域算法考虑无约束优化问题其中f是Rn上的实值二次连续可微函数，假设它是下方有界的。
可信区间文档
可信区间1. 引言在统计学中，可信区间（Confidence Interval）是用来估计某个总体参数的范围的一种方法。
可信区间提供了一个估计范围，使我们可以对总体参数的真实值进行推断，并评估这个估计的可靠性。
本文将介绍可信区间的概念、计算方法以及在实际应用中的一些注意事项。
2. 可信区间的概念可信区间是对总体参数的一个估计范围。
在统计学中，我们通常无法直接观察到整个总体，而只能通过抽样得到一部分数据。
基于这部分样本数据，我们可以利用统计方法来计算出一个区间，这个区间称之为可信区间。
可信区间是用样本数据对总体参数进行估计的一种方法，其结果是一个区间范围，表示我们对总体参数的估计结果具有一定的置信程度。
置信程度是以概率的形式表示的，通常为95%或99%，表示我们对总体参数的估计有95%或99%的置信程度。
3. 可信区间的计算方法可信区间的计算方法主要分为两种：基于正态分布的计算方法和基于t分布的计算方法。
3.1 基于正态分布的计算方法当样本量充分大且总体标准差已知时，可信区间的计算可以基于正态分布。
计算步骤如下：1.计算样本均值和样本标准差。
2.根据正态分布的特性，确定置信水平对应的Z值。
3.根据公式：可信区间 = 样本均值 ± Z值 *（总体标准差 / sqrt(样本量)）。
3.2 基于t分布的计算方法当样本量较小或总体标准差未知时，可信区间的计算一般采用t分布。
计算步骤如下：1.计算样本均值和样本标准差。
2.根据自由度（样本量-1）和置信水平，查找t分布表得到t值。
3.根据公式：可信区间 = 样本均值 ± t值 *（样本标准差 / sqrt(样本量)）。
4. 可信区间的应用注意事项在使用可信区间进行参数估计时，需要注意以下几点：•样本量的大小对可信区间的宽度有影响。
当样本量增大时，可信区间的宽度会减小，估计结果会更加精确。
•置信水平的选择也会影响可信区间的宽度。
较高的置信水平会导致可信区间变宽，较低的置信水平会导致可信区间变窄。
trust-region-reflective原理
trust-region-reflective原理
trust-region-reflective（TRR）是一种数值优化算法，主要用于非线性最小二乘问题和一些其他的优化问题。
TRR算法使用反射性的思想来更新迭代方向，并使用一个信任域来控制迭代步长。
TRR算法的主要原理如下：
1.信任域：TRR算法使用一个信任域来控制每次迭代的步长。
信任域是一个球形区域，它的半径表示该区域内的解有多好。
在每次迭代中，TRR算法从当前解开始搜索迭代步长，并保证新的解在信任域内。
2.反射性：TRR算法使用反射性的思想来更新迭代方向。
其基本思想是：先计算当前解的负梯度方向，然后根据该方向与过当前解的曲面的交点，得到反射方向。
最后，使用反射方向和信任域来计算新的迭代步长。
3.优化问题：TRR算法主要用于非线性最小二乘问题和一些其他的优化问题。
对于非线性最小二乘问题，TRR算法求解的是一个无约束问题，它使用反射性的思想寻找最优解，并使用信任域来控制迭代步长。
对于其他优化问题，TRR算法需要将问题转化为无约束问题。
通过上述原理，TRR算法可以快速的寻找非线性最小二乘问题的最优解。
同时，TRR算法还可以通过优化问题的特性，来处理一些其他的优化问题。
一类新的自适应信赖域算法
一类新的自适应信赖域算法摘要:对无约束优化问题提出一种类似带记忆的自适应信赖域算法,迭代过程中利用前面得到的迭代点的导数的信息自动产生一个信赖域半径。
在一定的条件下,证明了算法的收敛性,并通过数值实验验证了算法的有效性。
关键词:无约束优化;自适应信赖域算法;全局收敛性1引言考虑无约束优化问题:minf(x),其中f:R→Rn是二次连续可微函数。
传统的信赖域[1]是一种迭代的方法,每次迭代要求计算如下信赖域子问题:(1)其中gk=△f(xk),Bk是近似于Hessian阵△2f(xk) 的对称矩阵,△k是信赖域半径。
传统的信赖域算法都是根据实际下降量与预测下降量的比值比值来控制信赖域半径的变化[1],这样可能会增加算法的计算量。
基于此,许多自适应信赖域算法[1-6]被提出。
其中Sartenaer[2],张[3-4]都提出依赖于目标函数的一阶梯度及二阶Hessian矩阵(或其近似矩阵)的无记忆型信赖域半径选取机制。
这类无记忆信赖域迭代由于缺乏更全局的信息,可能会使收敛过程过早地陷入局部极小点。
本文基于这类记忆性的信赖域方法,提出一种全新的半径构造机制,提出了一种无约束问题的自适应信赖域算法。
2非单调自适应信赖域算法具体算法如下:算法2.1(非单调自适应信赖域算法)步1给定步2若||gk||≤ε则终止算法。
步3令计算信赖半径△k=λkθk||gk|| 求解子问题(1.2)得到试探步dk,计算。
步4若rk≥η,则xk+1=xk+dk;否则i=i+1转步2。
步5修正Bk,i=0,k:=k+1,转步2。
3算法的收敛性分析假设3.1(H1):对任意的k,存在有节有界闭集Ω使得xk、xk+1∈Ω。
(H2):对使得: 成立,且也成立。
引理3.2[1]引理3.3[1]引理3.3[5] 算法是适定的,即算法2.1中步2与步4间的循环是有限的。
定理3.4 若假设3.1成立且ε=0则算法有限终止于某个||gk||=0 或产生无穷点列使得:证明若结论不成立,即,则对任意k,存在ε0>0使得||gk||≥ε0。
无约束无导数最优化的改进信赖域算法
硕士学位论文
无约束无导数最优化的改进信赖域算法
学位申请人： 耿燕 指 导 教 师 ： 王熙照 教授
周庆华 副教授 学 位 类 别 ： 理学硕士 学 科 专 业 ： 基础数学 授 予 单 位 ： 河北大学 答 辩 日 期 ： 二〇一二年六月
Classified Index: U.D.C.:
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非线性优化中的信赖域方法及其应用
摘要
信赖域方法是非线性优化的一类重要的数值计算方法它在近二十年来受到
了非线性优化研究界非常的重视。特别是最近几年，一直是非线性优化的研究
热点。目前，信赖域方法已经和传统的线收索方法并列为非线性规划的两类主
要数值方法。
关键词：信赖域法 非线性优化 约束条件
引言
非线性最优化是20世纪50年代发展起来的，它讨论非线性决策问题的最
佳选择之特性，构造寻求最佳解的计算方法，研究这些计算方法的理论性质及
实际计算表现。随着电子计算机的发展和应用，非线性最优化理论和方法有了
很大发展。目前，它已成为运筹学的一个重要分支，并且在自然科学，工程技
术，经济管理，系统工程，特别是“优化设计”等诸多领域得到广泛的应用，
成为一门十分活跃的学科。
非线性优化的传统方法几乎都是线搜索类型的方法，即每次迭代时产生一
搜索方向，然后在搜索方向上进行精确的或不精确的一维搜索，以得到下一个
迭代点。信赖域方法是一类很新的方法，它和线搜索法并列为目前求解非线性
规划的两类主要的数值方法。信赖域方法思想新颖，算法可靠，具有很强的收
敛性，它不仅能很快地解决良态问题 ,而且也能有效地求解病态 (ill-
conditioned) 的优化问题。因而对信赖域方法的研究是近20年来非线性规划领
域的一个重要的研究方向，是当今寻求如何构造新的优化计算方法的主要途
径。
信赖域方法的研究起源于Powell 1970 年的工作，他提出了一个求解无约
束优化问题的算法，该算法在每次迭代时强制性地要求新的迭代点与当前的迭
代点之间的距离不超过某一控制量。引入控制步长是因为传统的线搜索方法常
常由于步长过大而导致算法失败，特别是当问题是病态时尤为如此。控制步长
实质上等价于在以当前迭代点为中心的一个邻域内对一个近似于原问题的简单
模型求极值。这种技巧可理解为只在一个邻域内对近似模型信赖，所以此邻域
被称为信赖域 (trust region)。利用这一技巧的方法也就被称为信赖域法。信赖
域的大小通过迭代逐步调节。一般来说 ,如果在当前迭代模型较好地逼近原问
题，则信赖域可扩大，否则信赖域应缩小。后来，人们发现信赖域方法的基本
技巧在一定意义下等价于十分著名的求解非线性最小二乘问题的Levenberg -
2Marquadt方法。
一、算法理论
信赖域方法与线搜索技术一样，也是优化算法中的一种保证全局收敛的重要
技术。它们的功能都是在优化算法中求出每次迭代的位移，从而确定新的迭代点.
所不同的是: 线搜索技术是先产生位移方向(亦称为搜索方向)，然后确定位移的
长度(亦称为搜索步长)。而信赖域技术则是直接确定位移，产生新的迭代点。
信赖域方法的基本思想是:首先给定一个所谓的“信赖域半径”作为位移长
度的上界，并以当前迭代点为中心以此“上界”为半径确定一个称之为“信赖域”
的闭球区域。然后,通过求解这个区域内的“信赖域子问题”(目标函数的二次近
似模型)的最优点来确定“候选位移”。若候选位移能使目标函数值有充分的下降
量，则接受该候选位移作为新的位移,并保持或扩大信赖域半径，继续新的迭代。
否则，说明二次模型与目标函数的近似度不够理想,需要缩小信赖域半径，再通
过求解新的信赖域内的子问题得到新的候选位移。如此重复下去，直到满足迭代
终止条件。
信赖域方法解决无约束线性规划的基本算法结构：
f(x)Rxmin
设kx是第k次迭代点，记)f(xfkk，)f(xgkk，kB是Hesse阵
)f(xk2
的第k次近似，则第k次迭代步的信赖域子问题具有如下形式：
,21g(d)minTkdBddqkTk
k
dts..
其中k是信赖域半径，是任一种向量范数，通常取2-范数或-范数，
定义kf为f在第k步的实际下降量：
),df(xfΔfkkkk-
定义kq对应的预测下降量：
.-0kkkkdqqq
定义他们的比值为：
k
k
k
qfr
一般的，我们有0kq。因此，若0kr，则0kf，kkdx不能作为下
一个迭代点，需要缩小信赖半径重新求解问题。若kr比较接近于1，说明二次模
型与目标函数在信赖与范围内有很好的相似，此时kkkdxx1可以作为新的迭
代点，同时下一次迭代时可以增大信赖半径，对于其他情况，信赖半径可以保持
不变。
二、信赖域方法的初期发展
1975 年，Powell 给出了信赖域法的第一个收敛性结果，他在仅假定目标
函数连续可微，且近似海色阵满足 ‖B k ‖ ≤c (1 + ∑ k k =1 ‖si ‖) 的条件下证明了
无约束优化的信赖域法的超线性收敛性. Powell 还在B k是由PSB公式产生时 ,
证明了信赖域法的超线性收敛性. 1984 年，Powell 又在 ‖B k ‖ ≤ck 的假定下证
明了收敛性,他只要求新点是一下降点，收敛是弱意义下的，即inf ‖gk ‖→0 ( k
→+ ∞ )。在要求新点是一足够下降点和其他假定下，Shultz GA，Byrd R H和
Schnabel R B于1985年证明了在强收敛意义下的全局收敛性。
1982年，国际著名优化专家Fletcher R提出了用信赖域法求解复合非光滑
优化(composite nonsmooth optimization) 问题，他给出了一个模型算法，并在模
型二次函数的海色矩阵一致有界的假定下证明了该算法的全局收敛性。
关于非光滑优化的信赖域方法的收敛性研究，我国优化专家袁亚湘研究员
得到了一系列在国际上多次被引用的结果，他在仅要求近似海色阵满足‖B k ‖ ≤
ck 的假定下证明了一大类非光滑优化的信赖域方法的全局收敛性。此外，他在
1984 年构造出一个极大极小问题，指出一类非光滑优化的信赖域方法无论 B k
怎样选取也仅有线性收敛速度。为了克服这一类似于Marotos效应的现象，须
对算法进行修正。其中方法之一是基于Fletcher R提出的二阶校正步信赖域
法。该方法基本上和它的模型信赖域算法一样，只是在一些迭代中需另外求解
一个二阶校正子问题。关于有二阶校正步的信赖域方法的超线性收敛性的证明
由袁亚湘于1985年给出，并且他还指出，如果Lagrange乘子的估计较好，则
该方法还是二次收敛的。
以上所述的关于无约束优化的信赖域方法的研究工作都是基石性的。有关
这方面的其他研究工作都是它们的推广或更进一步的研究。信赖域方法应用到
约束优化的一个明显困难是线性化的约束在信赖域区域内可能无解。于是不可
能像线搜索方法那样在线性化约束的可行域内找到新的迭代点。对于这一困
难，目前有2种处理方法。第1种是将线性化约束条件的约束函数值项都乘上
一个属于(0 ,1)区间上的参数，它实际上是将每一个线性化约束的可行域向当前
迭代点平移。这种技巧在线搜索方法逐步二次规划 (SQP) 方法中早已用来处理
线性化约束不相容的情况。第2 种办法是将所有的线性化约束之误差的平方和
当作一个约束，使得该平方和不超过某一容许量。
约束优化的信赖域方法另一重要因素是价值函数 (merit function) 的选取。
价值函数是用来判别一个试探点是否被接受，通常是某种形式的罚函数。在文
献所述的方法中，价值函数是L 1精确罚函数。利用L 1 精确罚函数的优点在
于可容易地证明算法的全局收敛性。由于L 1精确罚函数是非光滑的，Maratos
效应可能发生，故不能保证算法超线性收敛性。为此，Byrd R H等人在1987
年提出的算法中，当试探步不能接受时就计算一个二阶校正步，这样就能保证
方法的超线性收敛性。另外，在 1986 年，袁亚湘和Powell合作。构造了利用
Fletcher R光滑罚函数作为价值函数的信赖域方法。这是第一个利用光滑价值函
数的信赖域方法. 利用光滑罚函数的优点是Maratos效应不可能出现，从而比较
容易得到超线性收敛结果。美中不足的是，计算光滑函数的导数时需要目标函
数和约束函数的二阶导数。为了克服这一困难，袁亚湘又提出了价值函数预估
下降量的一种特别的近似计算公式，避免了计算任何二阶导数，而且还能保证
算法的全局收敛性和局部超线性收敛性。
1991年，袁亚湘和Nocedal J合作，首创性地提出了用信赖域方法和传统
的线搜索方法相结合来构造新的计算方法，并依此给出了一个利用信赖域以及
回溯 (back2tracking) 技巧的求解无约束优化的算法。这是综合了两大类方法之
优点的一个大胆尝试。另外，他在1993年还提出了利用L ∞精确罚函数处理约
束优化的信赖域方法。在该方法中，袁亚湘给出了一个简单的很有技巧性的调
节罚因子的公式，从而保证了算法的收敛性。同时，他还证明了在渐近情况下
这个方法和SQR方法的等价性。
参考文献
[1]欧宜贵.非线性优化问题的信赖域方法研究综述[J].海南大学学报:自然科学
版,2003,21(3):272-277.
[2]袁亚湘.信赖域方法的收敛性[J].计算数学,1994,16(3):333-346.
[3]马昌凤.最优化方法及其Matlab程序设计[M].科学出版社,2010.