【全国百强校word】【衡水金卷】2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(一)理数试题

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（一）

理数

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{}

2|20A x x x =-≤，{}

|1381x B x =<<，{}|2,C x x n n N ==∈，则()A B C =（ ）

A ．{}2

B ．{}0,2

C ．{}0,2,4

D ．{}2,4

2.设i 是虚数单位，若5()2i

i x yi i

+=-，x ，y R ∈，则复数x yi +的共轭复数是（ ） A ．2i -

B ．2i --

C ．2i +

D ．2i -+

3.已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，且456718a a a a +++=，则下列命题正确的是（ ） A ．5a 是常数

B ．5S 是常数

C ．10a 是常数

D ．10S 是常数

4.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）

A ．

3

16

B ．

38

C ．

14

D ．

18

5.已知点F 为双曲线C ：22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的右焦点，点F 到渐近线的距离是点F 到左顶点

的距离的一半，则双曲线C 的离心率为（ ） A

或

5

3

B ．

53

C ．2 D

6.已知函数[

]sin ,,0,

()(0,1],

x x f x x π?∈-?=∈则1()f x dx π-=?（ ）

A ．2π+

B ．

2π C ．22

π-+ D ．

24

π

-

7.执行如图程序框图，则输出的S 的值为（ ）

A

B

C ．

D ．1

8.已知函数2()sin cos 0)f x x x x ωωωω=>的相邻两个零点差的绝对值为4

π

，则函数()f x 的图象（ ）

A ．可由函数()cos 4g x x =的图象向左平移524π

个单位而得 B ．可由函数()cos 4g x x =的图象向右平移524π

个单位而得

C ．可由函数()cos 2g x x =的图象向右平移724π

个单位而得

D ．可由函数()cos 2g x x =的图象向右平移56

π

个单位而得

9.61

(23)(1)x x

-+的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（ ）

A ．73-

B ．61-

C ．55-

D ．63-

10.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一个正六边形及其三条对角线，则该几何体的外接球的表面积是（ ）

A ．4π

B ．8π

C ．16π

D ．32π

11.设O 为坐标原点，点P 为抛物线C ：2

2(0)y px p =>上异于原点的任意一点，过点P 作斜率为0的直

线交y 轴于点M ，点P 是线段MN 的中点，连接ON 并延长交抛物线于点H ，则

||

||

OH ON 的值为（ ） A ．p B ．

12

C ．2

D ．

32

12.若函数()y f x =，x M ∈，对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数

x ，都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的类周期，函数()y f x =是M 上的a 级类周期函数，

若函数()y f x =是定义在区间[0,)+∞内的2级类周期函数，且2T =，当[0,2)x ∈时，

2

12,01,

()2(2),12,x x f x f x x ?-≤≤?=??-<

21()()0g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是（ ）

A ．5

(,]2

-∞

B ．13(,

]2

-∞ C ．3(,]2

-∞-

D ．13

[

,)2

+∞ 第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知向量(2sin ,cos )a αα=，(1,1)b =-，且a b ⊥，则2()a b -= ．

14.已知x ，y 满足约束条件20,20,4180,x y x y x y -≤??

-≥??+-≤?

则目标函数53z x y =-的最小值为 ．

15.在等比数列{}n a 中，2412a a a ?=，

且4a 与72a 的等差中项为17，设(1)n n n b a =-，*n N ∈，则数列{}n b 的前2018项和为 ．

16.有一个容器，下部是高为5.5cm 的圆柱体，上部是与圆柱共底面且母线长为6cm 的圆锥，现不考虑该容器内壁的厚度，则该容器的最大容积为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知ABC ?的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 分别满足22c b ==，2cos cos cos 0b A a C c A ++=，又点D 满足12

33

AD AB AC =

+．

（1）求a 及角A 的大小； （2）求||AD 的值．

18.在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，且1BC BB ==

1160A AB A AD ∠=∠=?．

（1）求证：1BD CC ⊥；

（2）若动点E 在棱11C D 上，试确定点E 的位置，使得直线DE 与平面1BDB ． 19.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．

（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x （同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布2

(,)N μσ，利用该正态分布，求Z 落在(14.55,38.45)内的概率；

②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望．

附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为11.95σ=≈； ②若2

~(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<≤+=．

20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若直线l ：2y kx =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，点D 的坐标为1

(0,)2

，问直线AD 与BD 的斜率之和AD BD k k +是否为定值？若是，求出该定值，若不是，试说明理由． 21.已知函数()2(1)x

f x e a x b =---，其中e 为自然对数的底数． （1）若函数()f x 在区间[]0,1上是单调函数，试求实数a 的取值范围；

（2）已知函数2

()(1)1x

g x e a x bx =----，且(1)0g =，若函数()g x 在区间[]0,1上恰有3个零点，求

实数a 的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，圆1C 的参数方程为1cos ,

1sin x a y a θθ

=-=??

=-+?（θ是参数，a 是大于0的常数）．以坐

标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程为)4

π

ρθ=-．

（1）求圆1C 的极坐标方程和圆2C 的直角坐标方程； （2）分别记直线l ：12

π

θ=

，R ρ∈与圆1C 、圆2C 的异于原点的交点为A ，B ，若圆1C 与圆2C 外切，

试求实数a 的值及线段||AB 的长． 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21|f x x =+．

（1）求不等式()10|3|f x x ≤--；

（2）若正数m ，n 满足2m n mn +=，求证：()(2)16f m f n +-≥．

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（一）答案

一、选择题

1-5:BADAB 6-10:DCBAB 11、12：CB

二、填空题

13.185 14.2- 15.100841312- 16.312256cm π

三、解答题

17.解：（1）由2cos cos cos 0b A a C c A ++=及正弦定理得2sin cos sin cos cos sin B A A C A C -=+， 即2sin cos sin()sin B A A C B -=+=， 在ABC ?中，sin 0B >， 所以1

cos 2

A =-

， 又(0,)A π∈，所以23

A π=

． 在ABC ?中，由余弦定理得222222cos 7a b c bc A b c bc =+-=++=，

所以a =

（2）由1233AD AB AC =+，得2212()33AD AB AC =+44414

21()99929=++???-=，

所以2

||3

AD =．

18.解：（1）连接1A B ，1A D ，AC ，

因为1AB AA AD ==，1160A AB A AD ∠=∠=?， 所以1A AB ?和1A AD ?均为正三角形， 于是11A B A D =．

设AC 与BD 的交点为O ，连接1AO ，则1

AO BD ⊥， 又四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥， 而1

AO AC O =，所以BD ⊥平面1A AC ，

又1AA ?平面1A AC ，所以1BD AA ⊥， 又11//CC AA ，所以1BD CC ⊥．

（2）由11A B A D ==2BD ==，知11A B A D ⊥，

于是1112AO A O BD AA ==

=，从而1

AO AO ⊥，

结合1

AO BD ⊥，AO BD O =，

得1A O ⊥底面ABCD ， 所以OA 、OB 、OA 两两垂直．

如图，以点O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，

则(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,1,0)D -，1(0,0,1)A ，(1,0,0)C -，(0,2,0)DB =，11(1,0,1)BB AA ==-，

11(1,1,0)D C DC ==-，

由11(1,0,1)DD AA ==-，易求得1(1,1,1)D --．

设111D E D C λ=（[]0,1λ∈），则(1,1,1)(1,1,0)E E E x y z λ++-=-，即(1,1,1)E λλ---． 设平面1B BD 的一个法向量为(,,)n x y z =，

由10,0,n DB n BB ??=???=??得0,0,

y x z =??-+=?令1x =，得(1,0,1)n =， 设直线DE 与平面1BDB 所成角为θ，则sin |cos ,|DE n θ=<

>==

解得12λ=

或1

3

λ=-（舍去）. 所以当E 为11D C 的中点时，直线DE 与平面1BDB

.

19.解：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x 为：

50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =?+?+?+?+?=．

（2）①∵Z 服从正态分布2

(,)N μσ，且26μ=，11.95σ≈，

∴(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826P Z P Z <<=-<<+=， ∴Z 落在(14.55,38.45)内的概率是0.6826． ②根据题意得1~(4,)2X B ，

04411(0)()216P X C ===；14411(1)()24P X C ===；24413(2)()28P X C ===；34

411(3)()24

P X C ===；

44

411(4)()216

P X C ===.

∴X 的分布列为

∴1

()422

E X =?

=． 20.解：（1）由已知可得2222sin 4,c a c a b c π?=

??

?

=??

?=+??解得22a =，221

b c ==，

故所求的椭圆方程为2

21

2

x y +=．

（2）由22

1,22,x y y kx ?+=???=+?

得22

(12)860k x kx +++=，

则2

2

2

6424(12)16240k k k ?=-+=->，解得k <或k > 设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则122812k x x k +=-

+，122

6

12x x k

=+， 则1112AD y k x -

=

，22

1

2BD

y k x -

=，

所以122112121()2AD BD

y x y x x x k k x x +-++=1212123

2()

2kx x x x x x ++=6603

k k -==，

所以AD BD k k +为定值，且定值为0． 21.解：（1）'()2(1)x

f x e a =--，

当函数()f x 在区间[]0,1上单调递增时，'()2(1)0x f x e a =--≥在区间[]0,1上恒成立， ∴min 2(1)()1x a e -≤=（其中[]0,1x ∈），解得3

2

a ≤

； 当函数()f x 在区间[]0,1上单调递减时，'()2(1)0x

f x e a =--≤在区间[]0,1上恒成立， ∴max 2(1)()x a e e -≥=（其中[]0,1x ∈），解得12

e

a ≥

+． 综上所述，实数a 的取值范围是3(,][1,)22

e -∞++∞． （2）'()2(1)()x

g x e a x b f x =---=．

由(0)(1)0g g ==，知()g x 在区间(0,1)内恰有一个零点， 设该零点为0x ，则()g x 在区间0(0,)x 内不单调， 所以()f x 在区间0(0,)x 内存在零点1x ， 同理，()f x 在区间0(,1)x 内存在零点2x ， 所以()f x 在区间(0,1)内恰有两个零点． 由（1）知，当3

2

a ≤时，()f x 在区间[]0,1上单调递增，故()f x 在区间(0,1)内至多有一个零点，不合题意．

当12e

a ≥

+时，()f x 在区间[]0,1上单调递减，故()f x 在区间(0,1)内至多有一个零点，不合题意， 所以3122

e

a <<+．

令'()0f x =，得ln(22)(0,1)x a =-∈，

所以函数()f x 在区间[]0,ln(22)a -上单调递减，在区间(ln(22),1]a -内单调递增． 记()f x 的两个零点为1x ，2x 12()x x <,

因此1(0,ln(22)]x a ∈-，2(ln(22),1)x a ∈-，必有(0)10f b =->，(1)220f e a b =-+->． 由(1)0g =，得a b e +=，

所以1()1()102

f a b e =

+-+=+-<，

又(0)10f a e =-+>，(1)20f a =->， 所以12e a -<<．

综上所述，实数a 的取值范围为(1,2)e -．

22.解：（1）圆1C ：1cos ,

1sin x a y a θθ

=-+??

=-+?（θ是参数）消去参数θ，

得其普通方程为2

2

2

(1)(1)x y a +++=， 将cos x ρθ=

，sin y ρθ=代入上式并化简，

得圆1C 的极坐标方程为2

2sin()204

a π

ρθ++-+=．

由圆2C 的极坐标方程)4

π

ρθ=-，得22cos 2sin ρρθρθ=+．

将cos x ρθ=

，sin y ρθ=，222x y ρ+=代入上式，

得圆2C 的直角坐标方程为2

2

(1)(1)2x y -+-=．

（2）由（1）知圆1C 的圆心1C (1,1)--，半径1r a =；圆2C 的圆心2(1,1)C ，半径2r =

12||C C =

=，

∵圆1C 与圆2C 外切，

a =，解得a =

即圆1C 的极坐标方程为)4

π

ρθ=-+，

将12

π

θ=

代入1C ，得sin(

)124

ππ

ρ=-+，得ρ=，

将12

π

θ=

代入2C ，得)124

ππ

ρ=-，得ρ=，

故12||||AB ρρ=-=．

23.解：（1）此不等式等价于

1,221(3)10,x x x ?<-??

?--+-≤?或1

3,

221(3)10,

x x x ?-≤≤???++-≤?或3,21310.x x x >??++-≤? 解得8132x -

≤<-或1

32

x -≤≤，或34x <≤， 即不等式的解集为8

,43

??-???

?

．

（2）∵0m >，0n >，2m n mn +=，

2

1(2)2(2)28

m n m n m n ++=?≤

，即28m n +≥， 当且仅当2,2,m n m n mn =??+=?即4,

2m n =??=?

时取等号．

∴()(2)|21||41|f m f n m n +-=++-+|(21)(41)|m n ≥+--+|24|m n =+2(2)16m n =+≥， 当且仅当410n -+≤，即1

4

n ≥时取等号， ∴()(2)16f m f n +-≥．