南京盐城2019届高三一模数学试题及答案
江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试数学试题(WORD解析版)
南京市、盐城市2019届高三年级第二次模拟考试数 学2019.03注意事项：1. 本试卷共4也，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分.本试卷满分为160分，考试试卷为120分钟.2. 答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级卸载答题卡上.试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题卡.一、填空题：本题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1、已知集合{|13}A x x =<<，{|24}B x x =<<，则A B = .答案：{|14}x x << 考点：并集的运算。
解析：并集，即属于A 或属于B 的部分，故有A B ={|14}x x <<2、若复数2zi a i=+（i 为虚数单位），且实部和虚部相等，则实数a 的值为 . 答案：－2考点：复数的概念与运算。
解析：(2)2z i a i ai =+=-+，实部和虚部相等，所以，a ＝－23、某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、，第二组，… …，第五组，右图市根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组钟人数为 .答案：18考点：频率分布直方图。
解析：第一、二组的频率为：1×（0.24+0.16）＝0.4， 总人数：200.4＝50（人），第三组人数：50×1×0.36＝18 4、右图是某算法的伪代码，输出的结果S 的值为.答案：16 考点：算法初步。
解析：第1步：i ＝3，S ＝4；第2步：i ＝5，S ＝9；第3步：i ＝7，S ＝16，退出循环，此时S ＝16。
5、现有5件相同的产品，其中3件合格，2件不合格，从中随机抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为 . 答案：35考点：古典概型。
南京盐城一模数学试卷及答案.pdf
……………3 分
因为四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC 交 BD 于点 O ，
所以点 O 是 AC 的中点，所以 AO OC ，
所以在 ACC1 中，
PC1 PC
AO OC
1.
……………6 分
（2）证明：连结 A1C1 .
因为 ABCD A1B1C1D1 为直四棱柱，所以侧棱 C1C 垂直于底面 ABCD ，
b sin
B
c sin C
可得
AC
sin
3
AB sin C
，所以
AB 2 .
………………7 分
（2）由（1）知
B
3
，所以
A
0,
3
时，
3
A (0,
3
)
，
由
cos
B
A
4 5
即
cos(3
A)
4 5
可得
sin( 3
A)
1
cos2 ( 3
A)
3 5
， ……………10 分
∴ sin
A
sin(
所以 BD 面 ACC1A1 . ……………………………………… …………………………………………12 分 又因为 P CC1, CC1 面ACC1A1 ,所以 P 面ACC1A1 ，又因为 A1 面ACC1A1 ，
所以 A1P 面 ACC1A1,所以 BD A1P ．
………………………………………………14 分
最低点的横坐标为π，则ω的值为 ▲ ． 6
高三数学试题第 1页（共 4 页）
11．已知 H 是△ABC 的垂心(三角形三条高所在直线的交点)，→ AH ＝1→ AB ＋1→ AC ，则 cos∠BAC
【精品试题】江苏省盐城中学2019届高三仿真练习(2019.5.30 )数学试题答案解析全国百强校
数学答案解析一、填空题1．已知集合}1,1{-=a A ，}3,2{=B ，且}3{=B A ，则实数a 的值为_________.【答案】42．若复数iai-+21（i 是虚数单位）为纯虚数，则实数a ＝．【答案】23．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）后得到频率分布直方图（如图），则分数在［70，80）内的人数是________.【答案】304．执行如图所示算法的伪代码，则输出S 的值为．【答案】165．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线经过点)2,1(，则该双曲线的离心率的值为．【答案】56．定义在R 上的奇函数)(x f ，当0>x 时，22)(x x f x-=，则)1(-f ._______=【答案】1-7．已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．现从这4瓶饮料中随机取2瓶，则其中恰有1瓶是果汁类饮料的概率为．【答案】328．已知函数)0()42sin(2)(>-=ωπωx x f 的最大值与最小正周期相同，则函数)(x f 在]1,1[-上的单调增区间为．【答案】]43,41[-9．圆锥的侧面展开图是圆心角为π3，面积为π32的扇形，则圆锥的体积是_________．【答案】π10．各项均为正数的等比数列}{n a 的前n 项和n S ，若462=a a ，13=a ，则nn a S 2)49(2+的最小值为_________.【答案】811．如图，在梯形ABCD 中，,2,234,//MD AM CD AD AB CD AB ====，，若3-=⋅BM AC ，则=⋅AD AB .S←0For I From 1To 7Step 2S←S +I End For Print S【答案】2312．已知F 是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点，B A ,为椭圆C 的左、右顶点，点P 在椭圆C 上，且PF x ⊥轴，过点A 的直线与线段PF交与点M ,与y 轴交与点E ,直线BM 与y 轴交于点N ，若ON NE 2=,则椭圆C 的离心率为.【答案】2113．若函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=)0(2)0(4)(3x ax x x a e x f x 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_________.【答案】]4,3(14．在ABC∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知52=c ，且C b B b A a B C a sin 25sin sin cos sin 2+-=，点O 满足0=++OC OB OA ，83cos =∠CAO ，则ABC∆的面积为__________.【答案】55二、解答题15.（本小题满分14分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -为长方体，点P 是CD 中点，Q 是11A B 的中点．（Ⅰ）求证：AQ ∥平面1PBC ；（Ⅱ）若1BC CC =，求证：平面11A B C ⊥平面1PBC ．解：（Ⅰ）取AB 中点为R ，连接PR ，1B R ．由已知点P 是CD 中点，Q 是11A B 的中点可以证得，四边形111AQB R PRB C ，都为平行四边形，所以1AQ B R ∥，11B R PC ∥，所以1AQ PC ∥，··········································4分因为AQ ⊄平面1PBC ，1PC ⊂平面1PBC ，所以AQ ∥平面1PBC ．······················································7分（Ⅱ）因为四棱柱1111ABCD A B C D -为长方体，1BC CC =，所以11B C BC ⊥······8分因为11A B ⊥平面11BB C C ，所以11A B ⊥1BC ······9分因为1111A B B C B = ，11A B ⊂平面11A B C，1B C ⊂平面11A B C ，所以1BC ⊥平面11A B C ，·1BC ⊂平面1PBC ，所以平面11A B C ⊥平面1PBC ．······14分16．三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，且2sin B ＝3cos B ．(1)若cos A ＝13，求sin C 的值；P A FO EN M yxr rh(2)若b ＝7，sin A ＝3sin C ，求三角形ABC 的面积．解(1)由2sin B ＝3cos B ，两边平方得2sin 2B ＝3cos B ，即2(1－cos 2B )＝3cos B ，解得cos B ＝12或cos B ＝－2(舍去)．又B 为三角形内角，则B ＝π3．因为cos A ＝13，且A 为三角形内角，则sin A ＝223，故sin C ＝sin(B ＋A )＝sin(π3＋A )＝32cos A ＋12sin A ＝3＋226．(2)解法一因为sin A ＝3sin C ，由正弦定理可得a ＝3c ．由余弦定理知：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，则7＝9c 2＋c 2－3c 2，解得c ＝1，则a ＝3．面积S ＝12ac sin B ＝334．解法二由sin A ＝3sin C 得sin(C ＋B )＝3sin C ，即sin(C ＋π3)＝3sin C ，则12sin C ＋32cos C ＝3sin C ，即32cos C ＝52sin C ，故可得tan C ＝35．又C 为三角形的内角，则sin C ＝2114．由正弦定理知b sin B ＝csin C ，则c ＝1．又sin A ＝3sin C ＝32114，故面积S ＝12bc sin A ＝334．17.为了在雨季来之前处理好受污染的化工原料，某公司拟建造如图所示的蓄水池密封存放，该蓄水池下方是高为h 的圆柱体，上方是半径为r 的半球体.设计要求，蓄水池总体积为64π33m ，且h ≥2r.经测算，上方半球形部分每平方米建造费用为c(c 为常数且c ＞3)千元，下方圆柱体的侧面和底面部分平均每平方米建造费用为3千元，设该蓄水池的总建造费用为y 千元.（1）求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）当该蓄水池的总建造费用y 最小时，求半径r 的值.（1）rr c y ππ128)12(2+-=定义域为(]2,0（2）当293≤<c ，2=r 时总费用最小；当29>c 时31264-=c r 18．如图，在RtΔABC 中，∠A 为直角，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1，1)在直线AC 上，斜边中点为M (2，0)．(1)求BC 边所在直线的方程；(2)若动圆P 过点N (－2，0)，且与RtΔABC 的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P 中半径最小的圆方程．解(1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，AC 与AB 垂直，所以直线AC 的斜率为－3．故AC 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0．设C 为(x 0，－3x 0－2)，因为M 为BC 中点，所以B (4－x 0，3x 0＋2)．xyOT M点B 代入x －3y －6＝0，解得x 0＝－45，所以C (－45，25)．所以BC 所在直线方程为：x ＋7y －2＝0．(2)因为RtΔABC 斜边中点为M (2，0)，所以M 为RtΔABC 外接圆的圆心．又AM ＝22，从而RtΔABC 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．设P (a ，b )，因为动圆P 过点N ，所以该圆的半径r ＝(a ＋2)2＋b 2，圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．由于⊙P 与⊙M 相交，则公共弦所在直线的方程m 为：(4－2a )x －2by ＋a 2＋b 2－r 2＋4＝0．因为公共弦长为4，r ＝22，所以M (2，0)到m 的距离d ＝2，即|2(4－2a )＋a 2＋b 2－r 2＋4|2(2－a )2＋b 2＝2，化简得b 2＝3a 2－4a ，所以r ＝(a ＋2)2＋b 2＝4a 2＋4．当a ＝0时，r 最小值为2，此时b ＝0，圆的方程为x 2＋y 2＝4．19.已知函数xe x x xf 22)(+-=，2)(x a ax e x g x --=。
南京市、盐城市2019届高三年级数学第二次模拟考试参考答案(终稿)
南京市､盐城市2019届高三年级第二次模拟考试 数学参考答案及评分标准 2019.03说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{ x |1＜x ＜4} 2．－2 3． 18 4． 16 5．356． －4 7．y ＝±233x 8． 3 9．4＋4 3 10．(－2，3) 11．±21 12．2 13．(－9，13) 14．2＋12二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：(1)由a ＋b 与a －b 互相垂直，可得(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0，所以cos 2α＋λ2sin 2α－1＝0． ·································································· 2分 又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以（λ2－1）sin 2α＝0． ····································· 4分 因为0＜α＜π2，所以sin 2α≠0，所以λ2－1＝0．又因为λ＞0，所以λ＝1． ···································································· 6分 (2)由(1)知a ＝(cos α，sin α)．由a ·b ＝45，得cos αcos β＋sin αsin β＝45，即cos(α－β)＝45． ···························· 8分因为0＜α＜β＜π2，所以—π2＜α－β＜0，所以sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－35． ············································· 10分所以tan(α－β)＝sin(α－β) cos(α－β)＝－34， ······················································· 12分因此tan α＝tan(α－β＋β)＝tan(α－β)＋tan β1－tan(α－β) tan β＝12． ···································· 14分16．(本小题满分14分)证明：(1)连接A 1B ，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1∥BB 1且AA 1＝BB 1， 所以四边形AA 1B 1B 是平行四边形．又因为D 是AB 1的中点，所以D 也是BA 1的中点． ································ 2分在△BA 1C 中，D 和E 分别是BA 1和BC 的中点，所以DE ∥A 1C ． 又因为DE ⊄平面ACC 1A 1，A 1C ⊂平面ACC 1A 1，所以DE //平面ACC 1A 1． ···································································· 6分 (2)由(1)知DE ∥A 1C ，因为A 1C ⊥BC 1，所以BC 1⊥DE ． ······························· 8分 又因为BC 1⊥AB 1，AB 1∩DE ＝D ，AB 1，DE ⊂平面ADE ，所以BC 1⊥平面ADE ． 又因为AE ⊂平面ADE ，所以AE ⊥BC 1． ············································· 10分 在△ABC 中，AB ＝AC ，E 是BC 的中点，所以AE ⊥BC ．······················· 12分 因为AE ⊥BC 1，AE ⊥BC ，BC 1∩BC ＝B ，BC 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，所以AE ⊥平面BCC 1B 1． ································································· 14分17．(本小题满分14分)解：过O 作OH 垂直于AB ，垂足为H ．在直角三角形OHA 中，OA ＝20，∠OAH ＝α，所以AH ＝20cos α，因此AB ＝2AH ＝40cos α． ··········································· 4分 由图可知，点P 处观众离点O 处最远． ····················································· 5分 在三角形OAP 中，由余弦定理可知OP 2＝OA 2＋AP 2－2OA ·AP ·cos(α＋2π3) ·········· 7分＝400＋(40cos α)2－2×20×40cos α·(－12cos α－32sin α)＝400(6cos 2α＋23sin αcos α＋1)＝400(3cos2α＋3sin2α＋4)＝8003sin(2α＋π3)＋1600． ·················································· 10分因为α∈(0，π3)，所以当2α＝π6时，即α＝π12时，(OP 2)max ＝8003＋1600，即(OP )max ＝203＋20．······································· 12分因为203＋20＜60，所以观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过60米． ········································ 13分 答：对于任意α，上述设计方案均能符合要求． ········································· 14分18．(本小题满分16分)解：(1)依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a ＝ 2 ，解得⎩⎨⎧c ＝1，a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1． ···························································· 2分(2)解法1设直线的方程为y ＝k (x －2)，代入椭圆C 的方程，消去y ，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0．因为直线l 交椭圆C 于两点，所以△＝(－8k 2)2－4(1＋2k 2)( 8k 2－2)＞0，解得－22＜k ＜22． ············································································ 4分设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2．①设AB 中点为M (x 0，y 0)，则有x 0＝x 1＋x 22＝4k 21＋2k 2，y 0＝k (x 0－2)＝－2k1＋2k 2． ································ 6分 当k ≠0时，因为QA ＝QB ，所以QM ⊥l ，即k QM ·k ＝－2k1＋2k 2－0 4k 21＋2k 2－m ·k ＝－1．解得m ＝2k 21＋2k 2． ············································································ 8分当k ＝0时，可得m ＝0，符合m ＝2k 21＋2k 2．因此m ＝2k 21＋2k 2．由0≤k 2＝m 2(1－m )＜12，解得0≤m ＜12． ············································· 10分②因为点Q 为△F AB 的外心，且F (－1，0)，所以QA ＝QB ＝QF ．由⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋1)2＝(x －m )2＋y 2，x 22＋y 2＝1， ······························································ 12分 消去y ，得x 2－4mx －4m ＝0，所以x 1，x 2也是此方程的两个根，所以x 1＋x 2＝4m ，x 1x 2＝－4m ． ························································ 14分 又因为x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，所以8k 21＋2k 2＝－8k 2－21＋2k 2，解得k 2＝18． 所以m ＝2k 21＋2k 2＝15． ······································································ 16分解法2①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点为M (x 0，y 0)，依题意⎩⎨⎧x 122＋y 12＝1，x 222＋y 22＝1，两式作差，得y 1－y 2x 1－x 2×y 0x 0＝－12 (x 0≠0)．又因为y 1－y 2x 1－x 2＝k AB ＝y 0－0x 0－2，所以y 02＝－12x 0(x 0－2)．当x 0＝0时，y 0＝0，符合y 02＝－12x 0(x 0－2)．(i) ···································· 4分又因为QA ＝QB ，所以QM ⊥l ，所以(x 0－m )(x 0－2)＋(y 0－0)(y 0－0)＝0， 即y 02＝－(x 0－m )(x 0－2)．(ii) ····························································· 6分 由(i) (ii)，解得x 0＝2m ，因此y 02＝2m －2m 2． ········································ 8分 因为直线l 与椭圆C 相交，所以点M 在椭圆C 内，所以(2m )22＋(2m －2m 2)＜1，解得m ＜12．又y 02＝2m －2m 2≥0，得0≤m ≤1．综上，0≤m ＜12． ·········································································· 10分②因为点Q 为△F AB 的外心，且F (－1，0)，所以QA ＝QB ＝QF ．由⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋1)2＝(x －m )2＋y 2，x 22＋y 2＝1，消去y ，得x 2－4mx －4m ＝0． (iii) ················· 12分 当y 0≠0时，则直线l 为y ＝－x 02y 0(x －2)，代入椭圆的方程，得(2y 02＋x 02)x 2－4x 02x ＋4x 02－4y 02＝0． 将(i)带入上式化得x 2－2x 0x ＋3x 0－2＝0．(iv)当y 0＝0时，此时x 0＝0，x 1＝－2，x 2＝2也满足上式． ····················· 14分由①可知m ＝x 02，代入(iii)化得x 2－2x 0x －2x 0＝0．(v)因为(iv)(v)是同一个方程，所以3x 0－2＝－2x 0，解得x 0＝25，所以m ＝x 02＝15． ············································································ 16分19．(本小题满分16分)解：(1)当a ＝2时，f (x )＝ln x －2x －2x ＋3，f '(x )＝1x －8(x ＋3)2，则f '(1)＝12． 又因为f (1)＝0，所以函数f (x )图象在x ＝1处的切线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0． ·············································································· 2分 (2)因为 f (x )＝ln x －2x －2x －1＋2a所以f '(x )＝1x －4a (x －1＋2a )2＝x 2－2x ＋4a 2－4a ＋1x (x －1＋2a )2＝(x －1)2＋4a 2－4a x (x －1＋2a )2， ··········· 4分 且f (1)＝0．因为a ＞0，所以1－2a ＜1． ①当4a 2－4a ≥0时，即a ≥1时，因为f '(x )＞0在区间(1，＋∞)上恒成立，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递增． 当x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥f (1)＝0，所以a ≥1满足条件． ······································································· 6分 ②当4a 2－4a ＜0时，即0＜a ＜1时，由f '(x )＝0，得x 1＝1－2a －a 2∈(0，1)，x 2＝1＋2a －a 2∈(1，＋∞) 当x ∈(1，x 2)时，f '(x )＜0，则f (x )在(1，x 2)上单调递减，所以当x ∈(1，x 2)时，f (x )＜f (1)＝0，这与x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥0恒成立矛盾． 所以0＜a ＜1不满足条件．综上，a 的取值范围为[1，＋∞)． ·························································· 8分 (3)①当a ≥1时，因为f '(x )≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (x )不存在极值，所以a ≥1不满足条件． ······································· 9分 ②当 12＜a ＜1时，1－2a ＜0，所以函数f (x )的定义域为(0， ＋∞)，由f '(x )＝0，得x 1＝1－2a －a 2∈(0，1)，x 2＝1＋2a －a 2∈(1，＋∞)列表如下：由于f (x )在(x 1 ，x 2)是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意，所以12＜a ＜1不满足条件． ······························································ 11分③当a ＝12时，由f '(x )＝0，得x ＝2．列表如下：此时f (x )仅存在极小值，不合题意，所以a ＝12不满足条件．····································································· 12分④当0＜a ＜12时，函数f (x )的定义域为(0，1－2a )∪( 1－2a ， ＋∞)，且0＜x 1＝1－2a －a 2＜1－2a ，x 2＝1＋2a －a 2＞1－2a ．列表如下：所以f (x )存在极大值f (x 1)和极小值f (x 2)，················································ 14分 此时f (x 1)－f (x 2)＝ln x 1－2x 1－2x 1－1＋2a －ln x 2＋2x 2－2x 2－1＋2a＝ln x 1x 2－4a (x 1－x 2)(x 1－1＋2a )( x 2－1＋2a )因为0＜x 1＜1－2a ＜x 2，所以ln x 1x 2＜0，x 1－x 2＜0，x 1－1＋2a ＜0，x 2－1＋2a ＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以0＜a ＜12满足条件．综上，所以a 的取值范围为(0，12)． ·························································· 16分20．(本小题满分16分)解：(1)因为(a 1a 2)2＝a 13a 3，所以a 22＝a 1a 3，因此a 1，a 2，a 3成等比数列． ················ 2分设公比为t ，因为a 1，2a 2，3a 3成等差数列，所以4a 2＝a 1＋3a 3，即4×a 2a 1＝1＋3×a 3a 1，于是4t ＝1＋3t 2，解得t ＝1或13，所以a 2a 1＝1或13． ················································································· 4分(2)①因为(a 1a 2…a n )2＝a 1n ＋1a n ＋1n －1，所以(a 1a 2…a n a n ＋1)2＝a 1n ＋2a n ＋2n ，两式相除得a n ＋12＝a 1a n ＋2n a n ＋1n －1，即a n ＋1n ＋1＝a 1a n ＋2n ，(*) ······························ 6分 由（*），得a n ＋2n ＋2＝a 1a n ＋3n ＋1，(**)(*)(**)两式相除得a n ＋2n ＋2a n ＋1n ＋1＝a n ＋3n ＋1a n ＋2n ，即a n ＋22n ＋2＝a n ＋1n ＋1a n ＋3n ＋1， 所以a n ＋22＝a n ＋1a n ＋3，即a n ＋12＝a n a n ＋2，n ≥2，n ∈N *， ···························· 8分 由(1)知a 22＝a 1a 3，所以a n ＋12＝a n a n ＋2， n ∈N *，因此数列{a n }为等比数列． ······························································ 10分 ②当0＜q ≤2时，由n ＝1时，可得0＜a 1≤1，所以a n ＝a 1q n －1≤2 n －1，因此a 1＋a 2＋…＋a n ≤1＋2＋…＋2 n －1＝2n －1，所以0＜q ≤2满足条件． ································································· 12分 当q ＞2时，由a 1＋a 2＋…＋a n ≤2n－1，得a 1(1－q n )1－q≤2n－1，整理得a 1q n ≤(q －1)2n ＋a 1－q ＋1． ···················································· 14分 因为q ＞2，0＜a 1≤1，所以a 1－q ＋1＜0， 因此a 1q n ＜(q －1)2n ，即(q 2)n ＜q －1a 1，由于q2＞1，因此n ＜log q 2 q －1a 1，与任意n ∈N *恒成立相矛盾，所以q ＞2不满足条件．综上，公比q 的取值范围为0＜q ≤2． ··············································· 16分南京市､盐城市2019届高三年级第二次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2019.03说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．题．卡指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换 解：(1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b a 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110－1，AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤214 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b ＝1，a ＝4， a －3＝1，即⎩⎨⎧b ＝1，a ＝4． ·································································· 4分(2)因为|A |＝2×3－1×4＝2， ······································································ 6分所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －12 －42 22 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －12 －21． ··········································· 10分B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)化为普通方程为：3x －y ＋2＝0． ······ 2分设P (cos θ，3sin θ) ，则点P 到直线l 的距离d ＝|3cos θ－3sin θ＋2|(3)2+1＝|6cos(θ＋π4)＋2|2， ················ 6分取θ＝－π4时，cos(θ＋π4)＝1，此时d 取最大值，所以距离d 的最大值为6＋22． ······························································ 10分C ．选修4—5：不等式选讲解：当x ≥12时，有2x －1－x ≥2，得x ≥3． ······················································ 4分当x ＜12时，有1－2x －x ≥2，得x ≤－13． ··················································· 4分综上，原不等式的解集为{x |x ≥3或x ≤－13}． ··········································· 10分22．（本小题满分10分）解：(1)设“甲从进口A 开始到出口B 经过点C ”为事件M ，甲选中间的路的概率为13，在前面从岔路到达点C 的概率为12，这两步事件相互独立，所以选择从中间一条路走到点C 的概率为P 1＝13×12＝16． ···························· 2分同理，选择从最右边的道路走到点C 的概率为P 2＝13×12＝16．因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥， 所以 P (M )＝P 1＋P 2＝16＋16＝13．答：甲从进口A 开始到出口B 经过点C 的概率13． ····································· 4分(2)随机变量可能的取值X ＝0，1，2，3，4， ··············································· 5分 则P (X ＝0)＝C 04×(13)0×(23)4＝1681， P (X ＝1)＝C 14×(13)1×(23)3＝3281， P (X ＝2)＝C 24×(13)2×(23)2＝2481， P (X ＝3)＝C 34×(13)3×(23)1＝881， P (X ＝4)＝C 44×(13)4×(23)0＝181， ························································ 8分 概率分布为：数学期望E (X )＝0×1681＋1×3281＋2×2481＋3×881＋4×181＝43． ······················· 10分23．（本小题满分10分）解：(1)当n ＝3时，共有6个点，若染红色的点的个数为0个或6个，则T ＝C 36＝20；若染红色的点的个数为1个或5个，则T ＝C 35＝10；若染红色的点的个数为2个或4个，则T ＝C 34＝4；若染红色的点的个数为3，则T ＝C 33＋C 33＝2；因此T 的最小值为2． ······································································ 3分(2)首先证明：任意n ，k ∈N *，n ≥k ，有C k n ＋1＞C kn ．证明：因为C k n ＋1－C k n ＝C k －1n ＞0，所以C k n ＋1＞C kn ．设2n 个点中含有p (p ∈N ，p ≤2n )个染红色的点， ①当p ∈{0，1，2}时，T ＝C 32n －p ≥C 32n －2＝(2n －2)(2n －3)(2n －4)6＝4×(n －1)(n －2)(2n －3)6， 因为n ≥4，所以2n －3＞n ，于是T ＞4×n (n －1)(n －2)6＝4C 3n ＞2C 3n ． ·············································· 5分②当p ∈{2n －2，2n －1，2n }时，T ＝C 3p ≥C 32n －2，同上可得T ＞2C 3n ． ········································································· 6分 ③当3≤p ≤2n －3时，T ＝C 3p ＋C 32n －p ，设f (p )＝C 3p ＋C 32n －p ，3≤p ≤2n －3， 当3≤p ≤2n －4时，f (p ＋1)－f (p )＝C 3p ＋1＋C 32n －p －1－C 3p －C 32n －p ＝C 2p －C 22n －p －1， 显然p ≠2n －p －1，当p ＞2n －p －1即n ≤p ≤2n －4时，f (p ＋1)＞f (p )， 当p ＜2n －p －1即3≤p ≤n －1时，f (p ＋1)＜f (p )，即f (n )＜f (n ＋1)＜…＜f (2n －3)；f (3)＞f (4)＞…＞f (n )；因此f (p )≥f (n )＝2C 3n ，即T ≥2C 3n ．综上，当n ≥4时，T ≥2C 3n ． ················································· 10分。
江苏省南京市、盐城市2019届高三年级第二次模拟考试数学试题
因为0<α<β< ，所以－ <α－β<0，
所以sin(α－β)＝－ ＝－ .(10分)
所以tan(α－β)＝ ＝－ ，(12分)
因此tanα＝tan(α－β＋β)＝ ＝ .(14分)
16.(1) 连结A1B，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1∥BB1且AA1＝BB1，
又因为f(1)＝0，所以函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为y＝ (x－1)，
因为直线l交椭圆C于两点，
所以Δ＝(－8k2)2－4(1＋2k2)(8k2－2)>0，
解得－ <k< .(4分)
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝ ，x1x2＝ .
①设AB的中点为M(x0，y0)，
则x0＝ ＝ ，y0＝k(x0－2)＝－ .(6分)
当k≠0时，因为QA＝QB，所以QM⊥l，
B. [选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，曲线C的参数方程为 (θ为参数)，P是曲线C上的任意一点．求点P到直线l的距离的最大值．
C. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)
解不等式：|2x－1|－x≥2.
【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18.(本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的离心率为 ，且椭圆C短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于 .
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 设经过点P(2，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，点Q(m，0)．
江苏省南京市、盐城市2019届高三第三次调研考试(5月)数学附答案
江苏省南京市、盐城市2019届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2019．5一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合U ＝{x|1<x<6，x ∈N }，A ＝{2，3}，则∁U A ＝________．2. 若复数z 满足z(1＋i)＝1，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内对应的点在第________象限．3. 已知某商场在一周内某商品日销售量的茎叶图如图所示，那么这一周该商品日销售量的平均数为________．4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，输出S 的值为________．5. 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，2x ＋y ≥0，x ≤1，则x ＋3y 的最小值为________．6. 从1，2，3，4，5这5个数字中随机抽取3个不同的数字，则这3个数字经适当排序后能组成等差数列的概率为________．7. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，f （x －2），x>0，则f(log 23)＝________．8. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3n －1，n ∈N *.若b n ＝log 3a n ，则b 1＋b 2＋b 3＋b 4的值为________．9. 已知函数f(x)＝2sin (ωx ＋π6)，其中ω>0.若x 1，x 2是方程f(x)＝2的两个不同的实数根，且|x 1－x 2|的最小值为π，则当x ∈[0，π2]时，f(x)的最小值为________．10. 在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点F 作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P.若线段PF 的中点恰好在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．11. 有一个体积为2的长方体，它的长、宽、高依次为a ，b ，1.现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得新长方体高的最大值为________．12. 已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ，b 是夹角为60°的两个单位向量．若向量c 满足c·(a ＋2b )＝－5，则|c|的最小值为________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知MN 是圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2的一条弦，且CM ⊥CN ，P 是MN 的中点．当弦MN 在圆C 上运动时，直线l ：x －3y －5＝0上存在两点A ，B ，使得∠APB ≥π2恒成立，则线段AB 长度的最小值是________．14. 已知函数f(x)＝12x 2－aln x ＋x －12，对任意x ∈[1，＋∞)，当f(x)≥mx 恒成立时实数m 的最大值为1，则实数a 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个角A ，B ，C 所对的边，且满足acos B ＋bcos A ＝ccos Acos C. (1) 求证：A ＝C ；(2) 若b ＝2，且BA →·BC →＝1，求sin B 的值．16. (本小题满分14分)在四棱锥PABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝1，BC ＝2，∠ABC ＝60°. (1) 求证：平面PAC ⊥平面PAB ；(2) 设平面PBC ∩平面PAD ＝l ，求证：BC ∥l.如图，某摩天轮底座中心A与附近的景观内某点B之间的距离AB为160 m．摩天轮与景观之间有一建筑物，此建筑物由一个底面半径为15 m的圆柱体与一个半径为15 m的半球体组成．圆柱的底面中心P在线段AB上，且PB为45 m．半球体球心Q到地面的距离PQ为15 m．把摩天轮看作一个半径为72 m的圆C，且圆C在平面BPQ内，点C到地面的距离CA为75 m．该摩天轮匀速旋转一周需要30 min，若某游客乘坐该摩天轮(把游客看作圆C上一点)旋转一周，求该游客能看到点B的时长．(只考虑此建筑物对游客视线的遮挡)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)过点(1，22)，离心率为22.A ，B 分别是椭圆C 的上、下顶点，M 是椭圆C 上异于A ，B 的一点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若点P 在直线x －y ＋2＝0上，且BP →＝3BM →，求△PMA 的面积；(3) 过点M 作斜率为1的直线分别交椭圆C 于另一点N ，交y 轴于点D ，且点D 在线段OA 上(不包括端点O ，A)，直线NA 与直线BM 交于点P ，求OD →·OP →的值．已知函数f(x)＝ln x ＋ax＋1，a ∈R .(1) 若函数f(x)在x ＝1处的切线为y ＝2x ＋b ，求a ，b 的值；(2) 记g(x)＝f(x)＋ax ，若函数g(x)在区间(0，12)上有最小值，求实数a 的取值范围；(3) 当a ＝0时，关于x 的方程f(x)＝bx 2有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．已知数列{a n}的前n项和为S n.若存在正整数r，t，且r<t，使得S r＝t，S t＝r同时成立，则称数列{a n}为“M(r，t)数列”．(1) 若首项为3，公差为d的等差数列{a n}是“M(r，2r)数列”，求d的值；(2) 已知数列{a n}为等比数列，公比为q.①若数列{a n}为“M(r，2r)数列”，r≤4，求q的值；②若数列{a n}为“M(r，t)数列”，q∈(－1，0)，求证：r为奇数，t为偶数.2019届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112.(1) 求M 2；(2) 求矩阵M 的特征值和特征向量．B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos (θ＋π3)＝1，以极点O 为坐标原点，极轴Ox 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos α＋2，y ＝rsin α－1(其中α为参数，r>0)．若直线l 与曲线C相交于A ，B 两点，且AB ＝3，求r 的值．C. (选修45：不等式选讲)若x ，y ，z 为实数，且x 2＋4y 2＋9z 2＝6，求x ＋2y ＋6z 的最大值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在平面直线坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p>0)及点M(2，0)，动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4.(1) 求p的值；(2) 若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上．23. 对由0和1这两个数字组成的字符串，作如下规定：按从左向右的顺序，当第一个子串“010”的最后一个0所在数位是第k(k∈N*，且k≥3)位，则称子串“010”在第k位出现；再继续从第k＋1位按从左往右的顺序找子串“010”，若第二个子串“010”的最后一个0所在数位是第k＋m位(其中m≥3，且m∈N*)，则称子串“010”在第k＋m位出现；……；如此不断地重复下去．如：在字符串1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0中，子串“010”在第5位和第9位出现，而不是在第7位和第11位出现．记在n位由0，1组成的所有字符串中，子串“010”在第n位出现的字符串的个数为f(n)．(1) 求f(3)，f(4)的值；(2) 求证：对任意的正整数n，f(4n＋1)是3的倍数．2019届高三模拟考试试卷(南京) 数学参考答案及评分标准1. {4，5}2. 四3. 304. 345. －56. 257. 348. 69. －1 10. 2 11. 14 12. 57713. 210＋2 14. (－∞，1]15. (1) 证明：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ，代入acos B ＋bcos A ＝ccos Acos C，得(sin Acos B ＋sin Bcos A)cos C ＝sin Ccos A ，(2分)即sin(A ＋B)cos C ＝sin Ccos A.因为A ＋B ＝π－C ，所以sin (A ＋B)＝sin C ，所以sin Ccos C ＝sin Ccos A ．(4分) 因为C 是△ABC 的内角，所以sin C ≠0，所以cos C ＝cos A. 因为A ，C 是△ABC 的内角，所以A ＝C.(6分)(2) 解：由(1)知A ＝C ，所以a ＝c ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2－2a2.(8分)因为BA →·BC →＝1，所以a 2cos B ＝a 2－2＝1，所以a 2＝3.(10分)所以cos B ＝13.(12分)因为B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.(14分)16.证明：(1) 因为PA ⊥平面ABCD ，AC 平面ABCD ，所以PA ⊥AC.(2分) 因为AB ＝1，BC ＝2，∠ABC ＝60°，由余弦定理， 得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB·BCcos ∠ABC ＝12＋22－2×1×2cos 60°＝ 3.(4分) 因为12＋(3)2＝22，即AB 2＋AC 2＝BC 2，所以AC ⊥AB.(6分) 因为AC ⊥PA ，且PA ∩AB ＝A ，PA 平面PAB ，AB平面PAB ，所以AC ⊥平面PAB. 又AC平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PAB.(8分)(2) 因为BC ∥AD ，AD平面PAD ，BC平面PAD ，所以BC ∥平面PAD.(10分)因为BC 平面PBC ，且平面PBC ∩平面PAD ＝l ，所以BC ∥l.(14分)17. 解：以点B 为坐标原点，BP 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则B(0，0)，Q(45，15)，C(160，75)．过点B 作直线l 与圆Q 相切，与圆C 交于点M ，N ， 设直线l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，则点Q 到l 的距离为|45k －15|k 2＋1＝15，解得k ＝34或k ＝0(舍去)．所以直线l 的方程为y ＝34x ，即3x －4y ＝0.(4分)点C(160，75)到直线l 的距离CH ＝|3×160－4×75|32＋（－4）2＝36.(6分)在Rt △CHM 中，因为CH ＝36，CM ＝72，所以cos ∠MCH ＝3672＝12.(8分)因为∠MCH ∈(0，π2)，所以∠MCH ＝π3，所以∠MCN ＝2∠MCH ＝2π3，(12分)所以所用时长为30×2π32π＝10 min.(13分)答：该游客能看到点B 的时长为10 min.(14分)18. 解：(1) 因为椭圆过点(1，22)，离心率为22，所以1a 2＋12b 2＝1，b 2a 2＝1－e 2＝12，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x22＋y 2＝1.(2分)(2) 由(1)知B(0，－1)，设M(x 0，y 0)，P(x ，y)． 由BP →＝3BM →，得(x ，y ＋1)＝3(x 0，y 0＋1)，则x ＝3x 0，y ＝3y 0＋2. 因为P 在直线x －y ＋2＝0上，所以y 0＝x 0 ①.(4分)因为M 在椭圆C 上，所以x 202＋y 20＝1，将①代入上式，得x 20＝23.(6分) 所以|x 0|＝63，从而|x P |＝6，所以S △PMA ＝S △PAB －S △MAB ＝12×2×6－12×2×63＝263.(8分)(3) (解法1)由(1)知，A(0，1)，B(0，－1)．设D(0，m)，0＜m ＜1，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．因为MN 的斜率为1，所以直线MN 的方程为y ＝x ＋m.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 22＋y 2＝1，消去y ，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝－4m3，x 1·x 2＝2m 2－23. (10分)直线MB 的方程为y ＝y 1＋1x 1x －1，直线NA 的方程为y ＝y 2－1x 2x ＋1，联立解得y P ＝（y 1＋1）x 2＋（y 2－1）x 1（y 1＋1）x 2－（y 2－1）x 1.(12分)将y 1＝x 1＋m ，y 2＝x 2＋m 代入，得y P ＝2x 1x 2＋m （x 1＋x 2）＋x 2－x 1x 1＋x 2＋m （x 2－x 1）＝2·2m 2－23－4m 23＋（x 2－x 1）－4m 3＋m （x 2－x 1）＝－43＋（x 2－x 1）－4m 3＋m （x 2－x 1）＝1m .(14分)所以OD →·OP →＝(0，m)·(x P ，y P )＝my P ＝m·1m＝1.(16分)(解法2)由(1)知，A(0，1)，B(0，－1)．设M(x 0，y 0)，则x 202＋y 20＝1. 因为直线MN 的斜率为1，所以直线MN 的方程为y ＝x －x 0＋y 0，则D(0，y 0－x 0)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 0＋y 0，x 22＋y 2＝1，消去y ，得3x 2－4(x 0－y 0)x ＋2(x 0－y 0)2－2＝0， 所以x N ＋x 0＝4（x 0－y 0）3，(10分)所以x N ＝x 0－4y 03，y N ＝－2x 0＋y 03，所以直线NA 的方程为y ＝y N －1x N x ＋1＝2x 0＋y 0＋34y 0－x 0x ＋1，直线MB 的方程为y ＝y 0＋1x 0x －1，联立解得y P ＝2y 20＋x 20＋x 0＋2y 02y 20－x 20－x 0y 0－2x 0＋2y 0.(12分)因为x 202＋y 20＝1， 所以y P ＝2＋x 0＋2y 0（2＋x 0＋2y 0）（y 0－x 0）＝1y 0－x 0，(14分)所以OD →·OP →＝(0，y 0－x 0)·(x P ，y P )＝(y 0－x 0)1y 0－x 0＝1.(16分)19. 解：(1) f′(x)＝1x －a x 2，则f′(1)＝1－a ＝2，解得a ＝－1，则f(x)＝ln x －1x＋1，此时f(1)＝ln 1－1＋1＝0，则切点坐标为(1，0)，代入切线方程，得b ＝－2， 所以a ＝－1，b ＝－2.(2分)(2) g(x)＝f(x)＋ax ＝ln x ＋a x ＋ax ＋1，g ′(x)＝1x －ax 2＋a ＝ax 2＋x －a x 2.①当a ＝0时，g ′(x)＝1x ＞0，则g(x)在区间(0，12)上为增函数，则g(x)在区间(0，12)上无最小值．(4分)②当a ≠0时，方程ax 2＋x －a ＝0的判别式Δ＝1＋4a 2＞0， 则方程有两个不相等的实数根，设为x 1，x 2，由韦达定理得x 1x 2＝－1，则两根一正一负，不妨设x 1＜0＜x 2. 设函数m(x)＝ax 2＋x －a(x ＞0)， (i) 若a ＞0，当x 2∈(0，12)时，m(0)＝－a ＜0，m(12)＝a 4＋12－a ＞0，解得0＜a ＜23.此时当x ∈(0，x 2)时，m(x)＜0，则g(x)递减；当x ∈(x 2，12)时，m(x)＞0，则g(x)递增，当x ＝x 2时，g(x)取极小值，即为最小值．当x 2≥12时，x ∈(0，12)，m(x)＜0，则g(x)在(0，12)上单调递减，无最小值．(6分)(ii) 若a ＜0，当x ∈(0，x 2)时，m(x)＞0，则g(x)递增； 当x ∈(x 2，＋∞)时，m(x)＜0，则g(x)递减，在区间(0，12)上，g(x)不会有最小值．所以a ＜0不满足条件．综上，当0＜a ＜23时，g(x)在区间(0，12)上有最小值．(8分)(3) 当a ＝0时，由方程f(x)＝bx 2，得ln x ＋1－bx 2＝0.记h(x)＝ln x ＋1－bx 2，x ＞0，则h′(x)＝1x －2bx ＝－2bx 2＋1x.①当b ≤0时，h′(x)＞0恒成立，即h(x)在(0，＋∞)上为增函数，则函数h(x)至多只有一个零点，即方程f(x)＝bx 2至多只有一个实数根， 所以b ≤0不符合题意．(10分) ②当b ＞0时，当x ∈(0，12b )时，h ′(x)＞0，所以函数h(x)递增；当x ∈(12b，＋∞)时，h ′(x)＜0，所以函数h(x)递减，则h(x)max ＝h(12b )＝ln 12b ＋12. 要使方程f(x)＝bx 2有两个不相等的实数根，则h(12b )＝ln 12b ＋12＞0，解得0＜b ＜e2.(12分)(i) 当0＜b ＜e 2时，h(1e )＝－be2＜0.又(1e )2－(12b )2＝2b －e 22be 2＜0，则1e ＜12b， 所以存在唯一的x 1∈(1e ，12b)，使得h(x 1)＝0.(14分)(ii) h(1b )＝ln 1b ＋1－1b ＝－ln b ＋1－1b ，记k(b)＝－ln b ＋1－1b ，0＜b ＜e 2.因为k′(b)＝－1b ＋1b 2＝1－b b 2，则k(b)在(0，1)上为增函数，在(1，e2)上为减函数，则k(b)max ＝k(1)＝0，则h(1b)≤0.又(1b )2－(12b )2＝2－b 2b 2＞0，即1b ＞12b， 所以存在唯一的x 2∈(12b ，1b]，使得h(x 2)＝0.综上，当0＜b ＜e2时，方程f(x)＝bx 2有两个不相等的实数根．(16分)20. (1) 解：因为{a n }是M(r ，2r)数列，所以S r ＝2r ，且S 2r ＝r.由S r ＝2r ，得3r ＋r （r －1）2d ＝2r.因为r ＞0，所以(r －1)d ＝－2 (*)．由S 2r ＝r ，得6r ＋2r （2r －1）2d ＝r.因为r ＞0，所以(2r －1)d ＝－5 (**)．由(*)和(**)，解得r ＝3，d ＝－1.(2分) (2) ①解：(i) 若q ＝1，则S r ＝ra 1，S t ＝ta 1.因为{a n }是M(r ，2r)数列，所以ra 1＝2r (*)，2ra 1＝r (**)．由(*)和(**)，得a 1＝2且a 1＝12，矛盾，所以q ≠1.(3分)(ii) 当q ≠1，因为{a n }是M(r ，2r)数列，所以S r ＝2r ，且S 2r ＝r ， 即a 1（1－q r ）1－q ＝2r (*)，a 1（1－q 2r ）1－q＝r (**)．由(*)和(**)，得q r ＝－12.(5分)当r ＝1时，q ＝－12；当r ＝2，4时，无解；当r ＝3时，q ＝－132.综上，q ＝－12或q ＝－132.(6分)②证明：因为{a n }是M(r ，t)数列，q ∈(－1，0)，所以S r ＝t ，且S t ＝r ， 即a 1（1－q r ）1－q ＝t ，且a 1（1－q t ）1－q＝r ，两式作商，得1－q r 1－q t ＝t r，即r(1－q r )＝t(1－q t)．(8分) (i) 若r 为偶数，t 为奇数，则r(1－|q|r )＝t(1＋|q|t )．因为r ＜t ，0＜1－|q|r ＜1，1＋|q|t ＞1，所以r(1－|q|r )＜t(1＋|q|t )， 这与r(1－|q|r )＝t(1＋|q|t )矛盾，所以假设不成立．(10分) (ii) 若r 为偶数，t 为偶数，则r(1－|q|r )＝t(1－|q|t )． 设函数y ＝x(1－a x )，0＜a ＜1，则y′＝1－a x －xa x ln a.当x＞0时，1－a x＞0，－xa x ln a＞0，所以y＝x(1－a x)在(0，＋∞)上递增．因为r＜t，所以r(1－|q|r)＜t(1－|q|t)，这与r(1－|q|r)＝t(1－|q|t)矛盾，所以假设不成立．(12分)(iii) 若r为奇数，t为奇数，则r(1＋|q|r)＝t(1＋|q|t)．设函数y＝x(1＋a x)，0＜a＜1，则y′＝1＋a x＋xa x ln a.设g(x)＝1＋a x＋xa x ln a，则g′(x)＝a x ln a(2＋xln a)．令g′(x)＝0，得x＝－2ln a.因为ax＞0，ln a＜0，所以当x＞－2ln a，g′(x)＞0，则g(x)在区间(－2ln a ，＋∞)上递增；当0＜x＜－2ln a，g′(x)＜0，则g(x)在区间(0，－2ln a)上递减，所以g(x)min＝g(－2ln a)＝1－a－2 ln a.因为－2ln a＞0，所以a－2ln a＜1, 所以g(x)min＞0，从而g(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，所以y＝x(1＋a x)，0＜a＜1在(0，＋∞)上单调递增．因为r＜t，所以r(1＋|q|r)＜t(1＋|q|t)，这与r(1－|q|r)＝t(1－|q|t)矛盾，所以假设不成立．(14分) (iv) 若r为奇数，t为偶数．由①知，存在等比数列{a n}为“M(1，2)数列”．综上，r为奇数，t为偶数．(16分)2019届高三模拟考试试卷(南京) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1) M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5445.(4分) (2) 矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－1－1λ－2＝(λ－1)(λ－3)． 令f(λ)＝0，解得M 的特征值为λ1＝1，λ2＝3.(6分)①当λ＝1时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x ＋y ＝0. 令x ＝1，则y ＝－1，于是矩阵M 的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.(8分)②当λ＝3时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x －y ＝0. 令x ＝1，则y ＝1，于是矩阵M 的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 因此，矩阵M 的特征值为1，3，分别对应一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(10分)B. 解：直线l 的直角坐标方程为x －3y －2＝0.(2分) 曲线C 的普通方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝r 2.(4分)因为圆心C(2，－1)到直线l 的距离d ＝|2＋3－2|1＋3＝32，(6分)所以r ＝d 2＋（AB2）2＝ 3.(10分)C. 解：由柯西不等式，得[x 2＋(2y)2＋(3z)2](12＋12＋22)≥(x ＋2y ＋6z)2.(4分) 因为x 2＋4y 2＋9z 2＝6，所以(x ＋2y ＋6z)2≤36，(6分) 所以－6≤x ＋2y ＋6z ≤6.当且仅当x 1＝2y 1＝3z2时，不等式取等号，此时x ＝1，y ＝12，z ＝23或 x ＝－1，y ＝－12，z ＝－23，(8分)所以x ＋2y ＋6z 的最大值为6.(10分)22. (1) 解：因为l 过M(2，0)，且当l 垂直于x 轴时，AB ＝4，所以抛物线经过点(2，2)，代入抛物线方程，得4＝2p ×2，解得p ＝1.(2分) (2) 证明：设直线l 的方程为y ＝k(x －2)(k ≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k （x －2），消去x ，得ky 2－2y －4k ＝0，则y 1＋y 2＝2k，y 1y 2＝－4.(4分)因为点C 为AB 中点，所以y C ＝y 1＋y 22＝1k ，则直线l 1的方程为y ＝1k.(6分)因为直线l 2过点M 且与l 垂直，则直线l 2的方程为y ＝－1k(x －2)．联立⎩⎨⎧y ＝1k，y ＝－1k （x －2），(8分)解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1k ，即P(1，1k)，所以点P在定直线x＝1上．(10分)23. (1) 解：在3位数字符串中，子串“010”在第3位出现有且只有1个，即010，所以f(3)＝1.(2分)在4位数字符串中，子串“010”在第4位出现有2个，即0010与1010，所以f(4)＝2.(4分)(2) 证明：当n≥5且n∈N*时，当最后3位是010时，前n－3个数位上，每个数位上的数字都有两种可能，即0和1，所以共有2n－3种可能．由于当最后3位是010时，若最后5位是01010，且前n－2位形成的字符串中是子串“010”是在第n－2位出现，此时不满足条件．所以f(n)＝2n－3－f(n－2)，n≥5且n∈N*.(6分)因为f(3)＝1，所以f(5)＝3.下面用数学归纳法证明f(4n＋1)是3的倍数．①当n＝1时，f(5)＝3是3的倍数；②假设当n＝k(k∈N*)时，f(4k＋1)是3的倍数，那么当n＝k＋1时，f(4(k＋1)＋1)＝f(4k＋5)＝24k＋2－f(4k＋3) ＝24k＋2－[24k－f(4k＋1)]＝3×24k＋f(4k＋1)．(8分)因为f(4k＋1)是3的倍数，且3×24k也是3的倍数，所以f(4k＋5)是3的倍数．这就是说，当n＝k＋1时，f(4(k＋1)＋5)是3的倍数．由①②可知，对任意的正整数n，f(4n＋1)是3的倍数．(10分)。
江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试数学试题及答案
江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试数学试题及答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f(x)＝lnx ＋1－x 的定义域为 ▲ ．2．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝a ＋2i(i 为虚数单位，a ∈R)．若z 1z 2为实数，则a 的值为 ▲ ． 3．某地区教育主管部门为了对该地拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的2018名学生的成绩，并根据这2018名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ▲ ．4．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲ ．5．已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1d的值为6．执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．7．函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f(π3)的值为 ▲ ． a(第3题图)(第6题图)8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ．9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．10．已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，过点P(5，3)作直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为 ▲ ．12．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)＝x 2，当x ＞1时，f(x ＋1)＝f(x)＋f(1)，且．若直线y ＝kx 与函数y ＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ▲ ．13．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 14．设函数f(x)＝ax ＋sinx ＋cosx ．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f(x)在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(0，1] 2．4 3．300 4．59 5．2 6．4 7．18． 5 9．12 10．60° 11．1或723 12．22－2 13．(53，73) 14．[－1，1]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ⊥PB ， BP ＝BC ，E 为PC 的中点． （1）求证：AP ∥平面BDE ； （2）求证：BE ⊥平面PAC ． 15．证：（1）设AC ∩BD ＝O ，连结OE ．因为ABCD 为矩形，所以O 是AC 的中点．因为E 是PC 中点，所以OE ∥AP ． …………………………………………4分 因为AP/⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以AP ∥平面BDE ． …………………………………………6分 （2）因为平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，所以BC ⊥平面PAB ． ………………………………………8分 因为AP ⊂平面PAB ，所以BC ⊥PA ．因为PB ⊥PA ，BC ∩PB ＝B ，BC ，PB ⊂平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC ． …………………………………………12分 因为BE ⊂平面PBC ，所以PA ⊥BE ．因为BP ＝PC ，且E 为PC 中点，所以BE ⊥PC ． 因为PA ∩PC ＝P ，PA ，PC ⊂平面PAC ，所以BE ⊥平面PAC ． …………………………………………14分 PBCDEA(第15题图)16．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交 于点A(x 1 ，y 1 )，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B(x 2，y 2)．（1）若x 1＝35，求x 2；（2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及 △BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．16．解：（1）解法一：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．所以sin α＝45，cos α＝35．所以x 2＝cos(α＋π4)＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210． (6)分解法二：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．A(35，45)，则OA →＝(35，45)，…………2分OB →＝(x 2，y 2)， 因为OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ，所以35x 2＋45y 2＝ 2 2 ……4分又x 22＋y 22＝1，联立消去y 2得50 x 22－302x 2－7＝0 解得x 2＝－2 10或7210，又x 2＜0，所以x 2＝－ 210． ………………………6分 解法三：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45． 因此A(35，45)，所以tan α＝43．………2分 所以tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝－7，所以直线OB 的方程为y ＝－7x ……………4分由⎩⎨⎧y ＝－7x ，x 2＋y 2＝1．得x ＝± 2 10，又x 2＜0，所以x 2＝－ 210． …………………6分（2）S 1＝12sin αcos α＝－14sin2α． …………………………………………8分因为α∈(π4，π2)，所以α＋π4∈(π2，3π4)． 所以S 2＝－12sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝－14sin(2α＋π2)＝－14cos2α．……………………………10分因为S 1＝43S 2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43． (12)(第16题图)所以2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝2或tan α＝－12． 因为α∈(π4，π2)，所以tan α＝2．………14分17．(本小题满分14分)如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A)，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．解法一：设∠AMN＝θ，在△A MN 中，MN sin60°＝AMsin(120°－θ)．因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ) ． ………………………………………2分在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． …………………………………………6分AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ·MP ·cos ∠AMP ＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ………………………………8分＝163sin 2(θ＋60°)－1633 sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833 sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋2032016 APMNBC(第17题图)120°)．…………………………………………12分当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值23．答：设计∠AMN为60 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小． (14)分解法二(构造直角三角形)：设∠PMD＝θ，在△PMD中，∵PM＝2，∴PD＝2sinθ，MD＝2cosθ．……………2分在△AMN中，∠ANM＝∠PMD＝θ，∴MNsin60°＝AMsinθ，AM＝433sinθ，∴AD＝433sinθ＋2cosθ，(θ≥π2时，结论也正确)．……………6分AP2＝AD2＋PD2＝(433sinθ＋2cosθ)2＋(2sinθ)2＝163sin2θ＋833sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ…………………………8分＝163·1－cos2θ2＋433sin2θ＋4＝433sin2θ－83cos2θ＋203＝203＋163sin(2θ－π6)，θ∈(0，2π3)．…………………………12分当且仅当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值23．此时AM＝AN＝2，∠PAB＝30°…………………………14分解法三：设AM＝x，AN＝y，∠AMN＝α．在△AMN中，因为MN＝2，∠MAN＝60°，所以MN2＝AM2＋AN2－2 AM·AN·cos∠MAN，即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4．…………………………………………2分因为MNsin60°＝ANsinα，即2sin60°＝ysinα，所以sinα＝34y，cosα＝x2＋4－y22×2×x＝x2＋(x2－xy)4x＝2x－y4．…………………………………………6分cos∠AMP＝cos(α＋60°)＝12cosα－32sinα＝12·2x－y4－32·34y＝APMNBC第17题图D在△AMP 中，AP 2＝AM 2＋PM 2－2 AM ·PM ·cos ∠AMP ， 即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×x －2y 4＝x 2＋4－x(x －2y)＝4＋2xy ．………………………………………12分因为x 2＋y 2－xy ＝4，4＋xy ＝x 2＋y 2≥2xy ，即xy ≤4． 所以AP 2≤12，即AP ≤2 3．当且仅当x ＝y ＝2时，AP 取得最大值23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分解法四(坐标法)：以AB 所在的直线为x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系． 设M(x 1，0)，N(x 2，3x 2)，P(x 0，y 0)．∵MN ＝2，∴(x 1－x 2)2＋3x 22＝4． …………………………………………2分MN 的中点K(x 1＋x 22，32x 2)． ∵△MNP 为正三角形，且MN ＝2．∴PK ＝3，PK ⊥MN ． ∴PK 2＝(x 0－x 1＋x 22)2＋(y 0－32x 2)2＝3，k MN ·k PK ＝－1，即3x 2x 2－x 1·y 0－32x 2x 0－x 1＋x 22＝－1， …………………………………………6分∴y 0－32x 2＝x 1－x 23x 2(x 0－x 1＋x 22)，∴(y 0－32x 2)2＝(x 1－x 2)23x 22(x 0－x 1＋x 22)2∴(1＋(x 1－x 2)23x 22)(x 0－x 1＋x 22)2＝3，即43x 22(x 0－x 1＋x 22)2＝3，∴(x 0－x 1＋x 22)2＝94x 22．∵x 0－x 1＋x 22＞0 ∴x 0－x 1＋x 22＝32x 2， ∴x 0＝12x 1＋2x 2，∴y 0＝32x 1． …………………………………………8分∴AP 2＝x 20＋y 20＝(2x 2＋12x 1)2＋34x 21＝x 21＋4x 22＋2x 1x 2＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 解法五(变换法)：以AB 所在的直线为x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系． 设M(x 1，0)，N(x 2，3x 2)，P(x 0，y 0)．∵MN ＝2，∴(x 1－x 2)2＋3x 22＝4．即x 21＋4x 22＝4＋2x 1x 2∴4＋2x 1x 2≥4x 1x 2，即x 1x 2≤2． …………………4分 ∵△MNP 为正三角形，且MN ＝2．∴PK ＝3，PK ⊥MN ． MN →顺时针方向旋转60°后得到MP →． MP →＝(x 0－x 1，y 0)，MN →＝(x 2－x 1， 3x 2)． ∴⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 32－32 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 2－x 13x 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0－x 1y 0，即x 0－x 1＝12(x 2－x 1)＋32x 2，y 0＝－32(x 2－x 1)＋32x 2．∴x 0＝2x 2＋12x 1，y 0＝32x 1． …………………………………………8分∴AP 2＝x 20＋y 20＝(2x 2＋12x 1)2＋34x 21＝x 21＋4x 22＋2x 1x 2＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分 即AP ≤23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 解法六(几何法)：由运动的相对性，可使△PMN 不动，点A 在运动．由于∠MAN ＝60°，∴点A 在以MN 为弦的一段圆弧(优弧)上， (4)分 设圆弧所在的圆的圆心为F ，半径为R ，由图形的几何性质知：AP 的最大值为PF ＋R ． …………8分 在△AMN 中，由正弦定理知：MNsin60°＝2R ，∴R ＝23， …………10分∴FM ＝FN ＝R ＝23，又PM ＝PN ，∴PF 是线段MN 的垂直平分线．设PF 与MN 交于E ，则FE 2＝FM 2－ME 2＝R 2－12＝13．APMNBCF E即FE ＝33，又PE ＝3． ……………………………12 ∴PF ＝43，∴AP 的最大值为PF ＋R ＝23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 18． (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ∶x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(0，b)，求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程； （3）若F 1P →＝λQF 1→，且λ∈[12，2]，求OP →·OQ →的最大值．（1）解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，a 2c＝2， 解得c ＝1，a 2＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1．所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． (2)分（2）因为P(0，1)，F 1(－1，0)，所以PF 1的方程为x －y ＋1＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x 22＋y 2＝1， 解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－43，y ＝－13，所以点Q 的坐标为(－43，－13)． ……………………4分解法一：因为k PF 1·k PF 2＝－1，所以△PQF 2为直角三角形． ……………………6分因为QF 2的中点为(－16，－16)，QF 2＝523，所以圆的方程为(x ＋16)2＋(y ＋16)2＝2518． (8)分解法二：设过P ，Q ，F 2三点的圆为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，1＋D ＋F ＝0，179－43D －13E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝13，E ＝13，F ＝－43．所以圆的方程为x 2＋y 2＋13x ＋13y －43＝0． …………………………………………8分（3）解法一：设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，QF 1→＝(－1－x 2，－y 2)．因为F 1P →＝λQF 1→，所以⎩⎨⎧x 1＋1＝λ(－1－x 2)，y 1＝－λy 2，即⎩⎨⎧x 1＝－1－λ－λx 2，y 1＝－λy 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－1－λ－λx 2)22＋λ2y 22＝1，x 222＋y 22＝1，解得x 2＝1－3λ2λ． …………………………………………12分 所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 2(－1－λ－λx 2)－λy 22＝－λ2x 22－(1＋λ)x 2－λ ＝－λ2(1－3λ2λ)2－(1＋λ)·1－3λ2λ－λ＝74－58(λ＋1λ) ． …………………………………………14分 因为λ∈[12，2]，所以λ＋1λ≥2 λ·1λ＝2，当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时，取等号．所以OP →·OQ →≤12，即OP →·OQ →最大值为12． …………………………………………16分解法二：当PQ 斜率不存在时，在x 22＋y 2＝1中，令x ＝－1得y ＝± 2 2．所以11(1)(222OP OQ ⋅=-⨯-+=，此时11,22λ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦…………………………2 当PQ 斜率存在时，设为k ，则PQ 的方程是y ＝k(x ＋1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k(x ＋1)，x 22＋y 2＝1．得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， 韦达定理 22121222422==k k x x x x --+， (4)设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2) ，则212121212(1)(1)OP OQ x x y y x x k x x ⋅=+=+++22212122222222222(1)()224(1)12122 61215122(12)2k x x k x x k k k k k k k k k k k =++++--=+++++-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+=-<+分。
南京市、盐城市2019届高三年级第二次模拟考试数学试卷(含参考答案和评分标准)
1南京市、盐城市2019届高三年级第二次模拟考试数 学2019．03第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}13x x <<，B ＝{}24x x <<，则A B ＝ ．2．若复数i 2iza =+（i 为虚数单位），且实部和虚部相等，则实数a 的值为 ． 3．某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，… ，第五组，右图市根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组于第二组共有20人，则第三组钟人数为 ．第4题 第3题4．右图是某算法的伪代码，输出的结果S 的值为 ．5．现有5件相同的产品，其中3件合格，2件不合格，从钟随机抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为 ．6．等差数列{}n a 中，4a ＝10，前12项的和12S ＝90，则18a 的值为 ．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是抛物线24y x =与双曲线2221(0)4x y b b -=>的一个交点．若抛物线的焦点为F ，且FA ＝5，则双曲线的渐进线方程为 ． 8．若函数()2sin()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕπ<<）的图象经过点(6π，2)，且相邻两条对称轴间的距离为2π，则()4f π的值为 ．0.360.240.160.081i ← 1S ←While 6i <2i i ←+S i S ←+ End While Pr int S29．已知正四棱锥P —ABCD 的所有棱长都相等，则该正四棱锥的表面积为 ． 10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，2()5f x x x =-，则不等式(1)f x -＞()f x 的解集为 ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(﹣1，0)，B(5，0)．若圆M ：22(4)()4x y m -+-=上存在唯一点P ，使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为 ． 12．已知AD 是直角三角形ABC 的斜边BC 上的高，点P 在DA 的延长线上，且满足(PB PC)AD +⋅＝若ADPB PC ⋅的值为 ．13．已知函数330()1230x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨-+>⎪⎩，，，设()1g x kx =+，且函数()()y f x g x =-的图象经过四个象限，则实数k 的取值范围为 ．14．在△ABC 中，若sinC ＝2cosAcosB ，则cos 2A ＋cos 2B 的最大值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）设向量a ＝(cos α，λsin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中λ＞0，0＜α＜β＜2π，且a b+与a b -相互垂直．（1）求实数λ的值； （2）若a b ⋅＝45，且tan β＝2，求tan α的值． 16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，A 1C ⊥BC 1，AB 1⊥BC 1，D ，E 分别是AB 1，BC 的中点．（1）求证：DE ∥平面ACC 1A 1； （2）求证：AE ⊥BCC 1B 1．A1。
盐城市2019年普通高校对口单招高三年级第一次调研考试数学试卷含问题详解
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，且 ，求数列 的通项公式；
（3）设 ，求数列 的前n项的和 ．
21.（本题满分10分）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上）
11．题11图是一个程序框图，若输入x的值为8，则输出的k的值为．
12．某工程的工作明细表如下：
工作代码
紧前工作
工期/天
A
无
2
B
A
3
C
B
2
D
B
1
E
C，D
1
F
E
2
则总工期为_____________天.
（1）求确定k的值；
（2）将2013年该产品的利润y万元表示为技术改革费用m万元的函数（利润=销售金额﹣生产成本﹣技术改革费用）；
（3）该企业2013年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润．
23.（本题满分14分）已知椭圆的中心在原点，一个焦点为F1(0,-2 )，离心率e满足： 成等比数列.
16．（本题满分8分）若复数 在复平面对应的点在第一象限．（1）数a的取值围；（2）解不等式： ．
17.（本题满分10分）已知函数 为奇函数，且当 时， ．
（1）求m的值；（2）求当 时 的解析式；（3）求 的值．
江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次调研模拟考试数学试卷(有答案)
江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次调研考试数学试卷2019.03注意事项：1. 本试卷共4也，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分.本试卷满分为160分，考试试卷为120分钟.2. 答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级卸载答题卡上.试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题卡.一、填空题：本题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1、已知集合{|13}A x x =<<，{|24}B x x =<<，则A B = .2、若复数2zi a i=+（i 为虚数单位），且实部和虚部相等，则实数a 的值为 . 3、某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、，第二组，… …，第五组，右图市根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组于第二组共有20人，则第三组钟人数为 .4、右图是某算法的伪代码，输出的结果S 的值为 .5、现有5件相同的产品，其中3件合格，2件不合格，从钟随机抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为 .6、等差数列{}n a 中，410a =，前12项的和1290S =，则18a 的值为 .7、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是抛物线24y x =与双曲线2221(0)4x y b b -=>的一个交点.若抛物线的焦点为F ，且5FA =，则双曲线的渐进线方程为 . 8、若函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象经过点(,2)6π，且相邻两条对称轴间的距离为2π，则()4f π的值为 .9、已知正四棱锥P ABCD -为 .10、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()5f x x x =-，则不等式(1)f x ->()f x 的解集为 .11、在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)A -，(5,0)B .若圆22:(4)()4M x y m -+-=上存在唯一点P ，使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为 .12、已知AD 时直角三角形ABC 的斜边BC 上的高，点P 在DA 的延长线上，且满足()42PB PC AD +⋅=若AD =PB PC ⋅的值为 .13、已知函数3|3|,0,()123,0.x x f x x x x +≤⎧=⎨-+>⎩设()1g x kx =+，且函数()()y f x g x =-的图象经过四个象限，则实数k 的取值范围为 .14、在ABC 中，若sin 2cos cos C A B =，则22cos cos A B +的最大值为 .二、解答题：本答题共6分，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内. 15、（本小题满分14分）设向量(cos ,sin )αλα=a ，(cos ,sin )ββ=b ，其中0λ>，02παβ<<<，且+a b 与-a b 相互垂直. （1）求实数λ的值； （2）若45⋅=a b ，且tan 2β=，求tan α的值.16、（本小题满分14分）如图，在三棱锥111ABC A B C -中，AB AC =，11AC BC ⊥，11AB BC ⊥，D ，E 分别是1AB ，BC 的中点.求证：（1）11DE ACC A 平面；（2）11AE BCC B ⊥平面；17、（本小题满分14分）某公园内有一块以O 为圆心半径为20米的圆形区域.为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB 区域，其中两个端点A ，B 分别在圆周上；观众席为梯形ABQP 内且在圆O 外的区域，其中AP AB BQ ==，120PAB QBA ∠=∠=，且AB ，PQ 在点O 的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过60米.设,(0,)3OAB παα∠=∈.问：对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？18、（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且椭圆C （1）求椭圆C 的方程；（2）设经过点(2,0)P 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，点(,0)Q m . ①若对任意直线l 总存在点Q ，使得QA QB =，求实数m 的取值范围； ②设点F 为椭圆C 的左焦点，若点Q 是FAB 的外心，求实数m 的值.19、（本小题满分16分）已知函数22()ln ,012x f x x a x a-=->-+.（1）当2a =时，求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程；（2）若对任意[1,)x ∈+∞，不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）若()f x 存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a 的取值范围.20、（本小题满分16分）已知数列{}n a 各项均为正数，且对任意*n N ∈，都有2111211()n n n n a a a a a +-+=+.（1）若1a ，22a 。