2018年中考数学满分冲刺讲义 第3讲 函数图象的分析与作图
中考数学精学巧练备考秘籍 第3章 函数 第13课时 一次函数图象和性质-人教版初中九年级全册数学试题
第3章 函数【精学】考点一、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。
特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）。
这时，y 叫做x 的正比例函数。
2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数b kx y +=的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数kx y =的图像是经过原点（0，0）的直线。
k 的符号 b 的符号 函数图像图像特征k>0b>0图像经过一、二、三象限，y 随x 的增大而增大。
b<0图像经过一、三、四象限，y 随x 的增大而增大。
K<0 b>0图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小b<0图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。
注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。
4、正比例函数的性质一般地，正比例函数kxy=有下列性质：（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
5、一次函数的性质一般地，一次函数bkxy+=有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小6、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kxy=（k≠0）中的常数k。
确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式bkxy+=（k≠0）中的常数k和b。
解这类问题的一般方法是待定系数法。
【巧练】题型一、一次函数图象与系数的关系例1（2016某某）若k≠0，b<0，则y=kx+b的图象可能是（）【答案】B.【解析】试题分析：一次函数，不可能与x轴平行，排除D选项，b<0，说明过3、4象限，排除A、C选项。
2018北京二次函数代数综合题例讲(解析版)
二次函数的图象和性质重点落实什么能力？2019北京中考26题重点题型------------ 必须会!!!!!!例1 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2443(0)y ax ax a a =-+-≠的顶点为A ．（1）求顶点A 的坐标；（2）过点(0,5)且平行于x 轴的直线l ，与抛物线2443(0)y ax ax a a =-+-≠交于B ，C 两点．①当2a =时，求线段BC 的长；②当线段BC 的长不小于6时，直接写出a 的取值范围．代数变形能力：2443(0)y ax ax a a =-+-≠通过配方转化为2(2)(0)3y a x a =-≠- 几何作图能力：考点： 二次函数的性质 分析：（1）配方得到y=ax2-4ax+4a-3=a （x-2）2-3，于是得到结论；（2）①当a=2时，抛物线为y=2x2-8x+5，如图．令y=5得到2x2-8x+5=5，解方程即可得到结论；②令y=5得到ax2-4ax+4a-3=5，解方程即可得到结论． 解答：(1)∵y =ax 2−4ax +4a −3=a (x −2)2−3， ∴顶点A 的坐标为(2,−3)；(2)①当a =2时,抛物线为y =2x 2−8x +5，如图。
令y =5，得 2x 2−8x +5=5，解得,x 1=0,x 2=4， ∴a2a4线段BC 的长为4， ②令y =5,得ax 2−4ax +4a −3=5， 解得,x 1=a a a 222 ,x 2=aaa 22-2∴线段BC 的长为a2a4 ∵线段BC 的长不小于6，∴a2a4≥6，∴0<a ≤8/9. 例2 已知：二次函数1422-++=m x x y ，与x 轴的公共点为A ，B .（1）如果A 与B 重合，求m 的值； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点； ①当1=m 时，求线段AB 上整点的个数； ②若设抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）整点的个数为n ，当1<<8n 时，结合函数的图象，求m 的取值范围.代数变形能力：1422-++=m x x y 通过配方转化为22(1)3y x m =++-*考点：抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征 分析：（1）当A 、B 重合时，抛物线与x 轴只有一个交点，此时△=0，从可求出m 的值． （2）①m=1代入抛物线解析式，然后求出该抛物线与x 轴的两个交点的坐标，从而可求出线段AB 上的整点；②根据二次函数表达式可以用带m 表达出两根之差，根据1<两根之差<8，即可解题． 解答：(1)∵A 与B 重合，∴二次函数y =2x 2+4x +m −1的图象与x 轴只有一个公共点， ∴方程2x 2+4x +m −1=0有两个相等的实数根， ∴△=42−4×2(m −1)=24−8m =0， 解得：m =3.∴如果A 与B 重合，m 的值为3.(2)①当m =1时,原二次函数为y =2x 2+4x +m −1=2x 2+4x ， 令y =2x 2+4x =0,则x 1=0,x 2=−2， ∴线段AB 上的整点有(−2,0)、(−1,0)和(0,0). 故当m =1时，线段AB 上整点的个数有3个。
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目录
专题一 规律探索问题 专题二 三角函数应用题 专题三 方程（组）、不等式（组）的综合题
第1讲 含参数 的方程与不等式（组）的解的讨论 第2讲 一次不定方程（组）的应用题 第3讲 一次、二次方程应用题
专题四 反比例第1讲 单线型函数应用题 第2讲 双线型函数应用题
专题六 函数图像探索题 专题七 阅读理解题
第1讲 数字型阅读理解题 第2讲 数字与代数综合型阅读理解题 第3讲 代数型阅读理解题 第4讲 方程和函数型阅读理解题
专题八 几何证明
第1讲 与中点有关的辅助线(一) 第2讲 与中点有关的辅助线(二) 第3讲 与角平分线有关的几何问题 第4讲 与角有关的问题 第5讲 “a=kb”型的线段和差问题 第6讲 “a=b+c”型的线段和差问题 第7讲 含根号2的线段和差问题 第8讲 含根号3的线段和差问题
专题九 抛物线与几何综合问题
第1讲 与抛物线有关的面积最值问题 第2讲 与抛物线有关的线段最值问题—单最值型 第3讲 与抛物线有关的线段最值问题—双最值型 第4讲 与抛物线有关的三角形存在性问题 第5讲 与抛物线有关的四边形存在性问题 第6讲 与抛物线有关的动态几何问题
中考数学复习讲义课件 第3单元 第11讲 一次函数
第11讲 一次函数
1 知识梳理素养形成 2 考法聚焦素养提升
知识梳理素养 形成
考法聚焦素养 提升
一次函数的图象与性质(10 年 6 考) 例 1 已知关于 x 的一次函数 y＝(2m＋1)x＋m－1. (1)若该函数的值 y 随自变量 x 的增大而增大，则 m 的取值范围为
(3)每月制作 A 类微课多少个时，该团队月利润 w 最大，最大利润是多少元？
解：由(2)知，w＝50a＋16500. ∵50＞0，∴w 随 a 的增大而增大． ∴当 a＝9 时，w 有最大值，w 最大＝50×9＋16500＝16950(元)．
答：每月制作 A 类微课 9 个时，该团队月利润 w 最大，最大利润是 16950 元．
7．(2021·衡阳)如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣 构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度， 可以使背带的长度(单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽 略不计)加长或缩短，设双层部分的长度为 xcm，单层部分的长度为 ycm. 经测量，得到表中数据. 双层部分长度 x/cm 2 8 14 20 单层部分长度 y/cm 148 136 124 112
品种 A B 原来的运费 45 25 现在的运费 30 20
(1)求每次运输的农产品中 A，B 产品各有多少件； [解答] 解：设每次运输的农产品中 A 产品有 x 件，B 产品有 y 件．根据题 意，得 4350xx＋＋2250yy＝＝11220000，－300.解得yx＝＝3100.， 答：每次运输的农产品中 A 产品有 10 件，B 产品有 30 件．
10．(2021·乐山)如图，已知直线 l1：y＝－2x＋4 与坐标轴分别交于 A，B 两 点，那么过原点 O 且将△AOB 的面积平分的直线 l2 的解析式为( D )
2018中考数学题型专项研究12讲：2018中考数学题型专项研究第3讲：不等式(组)的解法
第3讲不等式（组）的解法1．确定不等式的解集并把它表示在数轴上．2．确定不等式组的解集并把它表示在数轴上．3．确定不等式组的特殊解．1．去分母时，容易出现漏项或者是两边所乘的不是最简公分母．2．去括号时，如果括号前是负因数，容易出现部分变号错误．3．移项时，对“被移动的项”理解错误，导致该变号的不变，不该变号的变了号．4．化系数为1时，两边同时除以未知数的系数，容易把该系数写到分子上．5．在不等式两边同时乘上或除以负数时不等号的方向要改变．6．在数轴上表示解集时，要注意有等号的点用实心点，无等号的点用空心圈．7．确定不等式组的解集时对公共部分的表示不合理，规律：大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1、把解集表示在数轴上．近几年直接考查解不等式(组)题目较少，但不等式(组)是解决实际问题的有效工具，所以能够准确解不等式(组)就显得尤为重要．确定不等式组的解集时，先确定每个不等式的解集，再利用数轴寻找它们的公共部分．【典例解析】【例题1】（2017毕节）关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为（）A．14 B．7 C．﹣2 D．2【考点】C3：不等式的解集．【分析】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得x的解集，再根据x≥4，求得m的值．【解答】解：≤﹣2，m﹣2x≤﹣6，﹣2x≤﹣m﹣6，x≥m+3，∵关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，∴m+3=4，解得m=2．故选：D．【例题2】关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则正数a的最小值是（）A．3 B．2 C．1 D．【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得最小值．【解答】解：，解①得x≤a，解②得x＞﹣a．则不等式组的解集是﹣a＜x≤a．∵不等式至少有5个整数解，则a的范围是a≥2．a的最小值是2．故选B．【例题3】（2017内蒙古赤峰）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．【分析】（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，根据两种树苗购买的棵树一样多列出方程求出其解即可；（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买棵，根据购买两种树苗的总费用不超过6000元建立不等式求出其解即可．【解答】解：（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，依题意得：=，解得x=5．经检验x=5是原方程的解，且符合题意．答：梨树苗的单价是5元；（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买棵，依题意得：（5+2）+5a≤6000，解得a≥850．答：梨树苗至少购买850棵．【例题4】为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A、B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元．（1）改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？（2）该县计划改扩建A、B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担．若国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元．请问共有哪几种改扩建方案？【分析】（1）可根据“改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元”，列出方程组求出答案；（2）要根据“国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元”来列出不等式组，判断出不同的改造方案．【解答】解：（1）设改扩建一所A类和一所B类学校所需资金分别为x万元和y万元由题意得，解得，答：改扩建一所A类学校和一所B类学校所需资金分别为1200万元和1800万元．（2）设今年改扩建A类学校a所，则改扩建B类学校（10﹣a）所，由题意得：，解得，∴3≤a≤5，∵x取整数，∴x=3，4，5．即共有3种方案：方案一：改扩建A类学校3所，B类学校7所；方案二：改扩建A类学校4所，B类学校6所；方案三：改扩建A类学校5所，B类学校5所．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的数量关系．【专项训练】一、选择题：1.（2017湖南株洲）已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（）A．a＞b B．a+2＞b+2 C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b【考点】C2：不等式的性质．【分析】根据不等式的性质即可得到a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．【解答】解：由不等式的性质得a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．2.（2017浙江湖州）一元一次不等式组的解是（）A．x＞﹣1 B．x≤2 C．﹣1＜x≤2 D．x＞﹣1或x≤2【考点】CB：解一元一次不等式组．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．2-1-c-n-j-y【解答】解：解不等式2x＞x﹣1，得：x＞﹣1，解不等式x≤1，得：x≤2，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，故选：C．3.（2017青海西宁）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式﹣2x+1＜3，得：x＞﹣1，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1，故选：B．4.（2017•益阳）如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是（）A．错误!未找到引用源。
2024年中考第一轮复习 二次函数的图象与性质 课件
∴|-m+1|=|m-(m- - + 1)|,解得 m=0 或 1,
∴存在 m=0 或 1,使得函数图象的顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形,故结
论②正确;
∵x1+x2>2m,
1 + 2
∴
>m.
2
∵二次函数 y=-(x-m)2-m+1(m 为常数)的图象的对称轴为直线 x=m,
数y=ax2+bx+c(a≠0)在-3≤x≤3内既有最大值又有最小值,∴结论④正确.
2.[2020·温州]已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是 [答案]B
抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则
(
[解析] 由对称轴
-12
x=- ==-2,知
2 2×(-3)
)
(-3,y1)和(-1,y1)关于对称轴对称.因为
②b-2a<0;③b2-4ac<0;④a-b+c<0.正确的是(
A.①②
B.①④
C.②③
D.②④
)
图13-2
[答案]A
[解析] ∵抛物线开口向下,且与 y 轴的正半轴相交,
∴a<0,c>0,∴ac<0,故①正确;
∵对称轴与
x 轴交点的横坐标在-1 至-2 之间,∴-2<-2 <-1,
∴4a<b<2a,∴b-2a<0,故②正确;
若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标(x1,0),(x2,0),设所求二次函数表达
式为y=a(x-x1)(x-x2),将第三个点(m,n)的坐标(其中m,n为常数)或其他已知条件代
专题06 一次函数背景的最值-线段之差最值(解析版)中考数学通用函数专题满分突破之一次函数篇
初中数学函数专题--一次函数第6节一次函数背景的最值--线段之差最值内容导航方法点拨一、求线段之差的最值（1）在直线l同侧有两点A、B，在直线L上找一点P，使|P A﹣PB|最大；（2）在直线l两侧有两点A、B，在直线l上找一点P，使|P A﹣PB|最大；（3）在直线l两侧有两点A、B，在直线l上找一点P，使|P A﹣PB|最小．（1）如图所示：（2）如图所示：（3）如图所示：例题演练例1．1．如图所示，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点M、N，以线段MN为直角边在第一象限内作等腰Rt△MNC，∠NMC＝90°．（1）求点M、N的坐标；（2）求点C的坐标；（3）若点P是x轴上的一个动点，设P（x，0），是否存在这样的点P，使得|PN﹣PC|的值最大？如果不存在，请说明理由；如果存在，请求出点P的坐标．【解答】解：（1）由直线，令y＝0，得x＝4，令x＝0，得y＝3，则点M的坐标为（4，0），点N的坐标为（0，3）；（2）如图所示，过点C作CD⊥x轴，垂足为点D，∵△MNC是等腰直角三角形，∴MN＝MC，∠NMC＝90°，∴∠NMO+∠CMD＝90°，∠MCD+∠CMD＝90°，∴∠NMO＝∠MCD，又∵MN＝MC，∠MON＝∠CDM＝90°，∴△MON≌△CDM（AAS），∴ON＝DM，CD＝OM，∴OD＝OM+MD＝OM+ON＝4+3＝7，∴点C的坐标为（7，4）；（3）存在这样的点P，延长CN交x轴于点P，此时|PN﹣PC|的值最大．设直线CN的解析式为y＝kx+b，将C（7，4）、N（0，3）代入，得，解得：，所以直线CN的解析式为，令y＝0，得，解得：x＝﹣21，∴P点坐标为（﹣21，0），即存在这样的点P，使得|PN﹣PC|的值最大，此时P点坐标为（﹣21，0）．练1.1．如图，已知四边形ABCO是矩形，点A，C分别在y轴，x轴上，AB＝4，BC＝3．（1）求直线AC的解析式；（2）作直线AC关于x轴的对称直线，交y轴于点D，求直线CD的解析式．并结合（1）的结论猜想并直接写出直线y＝kx+b关于x轴的对称直线的解析式；（3）若点P是直线CD上的一个动点，试探究点P在运动过程中，|P A﹣PB|是否存在最大值？若不存在，请说明理由；若存在，请求出|P A﹣PB|的最大值及此时点P的坐标．【解答】解：（1）∵四边形ABCO是矩形，∵AB＝OC＝4，OA＝BC＝3，∴A（0，3），B（4，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3．（2）由题意，点A，D关于原点对称，∴D（0，﹣3），设直线CD的解析式为y＝mx+n，则有，解得，∴直线CD的解析式为y＝x﹣3．由（1）可知，直线y＝kx+b关于x轴的对称直线的解析式为y＝﹣kx﹣b．（3）如图，由题意|P A﹣PB|≤AB，∴当P，A，B共线时，|P A﹣PB|的值最大，最大值为4，此时P（8，3）．练1.2．如图①，平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（﹣10，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣x交于点C（a，7）．（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；（2）如图②，在（1）的条件下，过点E作直线l⊥x轴，交直线y＝﹣x于点F，交直线y＝kx+b于点G，若点E的坐标是（﹣15，0）．①求△CGF的面积；②点M为y轴上OB的中点，直线l上是否存在点P，使PM﹣PC的值最大？若存在，直接写出这个最大值；若不存在，说明理由；【解答】解：（1）将点C（a，7）代入y＝x，可得a＝﹣3，∴点C的坐标（﹣3，7），将点C（﹣3，7）和点A（﹣10，0）代入y＝kx+b，可得，，解得，∴直线AB的解析式为y＝x+10；（2）①∵点E的坐标是（﹣15，0），∴当x＝﹣15时，y＝﹣＝35，y＝﹣15+10＝﹣5，∴点F的坐标为（﹣15，35），点G的坐标为（﹣15，﹣5），∴S△CGF＝＝；②存在，证明：由三角形的三边关系可知当点P、M、C在一条直线上时，PM﹣PC的值最大，令x＝0，则y＝10，∴点B的坐标（0，10），∵点M为y轴上OB的中点，∴点M的坐标为（0，5），设直线MC的解析式为y＝ax+5，将C（﹣3，7）代入得：7＝﹣3a+5，解得：a＝﹣，∴直线MC的解析式为y＝x+5，当x＝﹣15时，y＝，∴点P的坐标为（﹣15，15），∴PM﹣PC＝CM＝＝；练1.3．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+2与直线AC：y＝x+8交于点A，直线AB分别交x轴、y轴于点B、E，直线AC分别交x轴、y轴于点C、D．（1）求点A的坐标；（2）在y轴左侧作直线FG∥y轴，分别交直线AB、直线AC于点F、G，当FG＝DE；时，过点G作直线GH⊥y轴于点H，在直线GH上找一点P，使|PF﹣PO|的最大，求出点P的坐标及|PF﹣PO|的最大值；【解答】解：（1）由，解得，∴A（﹣4，6）．（2）如图1中，设F（m，﹣m+2），则G（m，m+8）．∵D（0，8），E（0，2），∴OE＝2，OD＝8，∴DE＝6，∵FG＝DE，∴﹣m+2﹣（m+8）＝×6，∴m＝﹣10，∴F（﹣10，12），G（﹣10，3），∴H（0，3），作点O关于GH的对称点O′，作直线FO′交直线GH于点P，此时|PF﹣PO|的值最大，最大值为FO′的长，∵F（﹣10，12），O′（0，6），∴FO′＝＝2，∴直线FO′的解析式为y＝﹣x+6，y＝3时，3＝﹣x+6，解得x＝5，∴P（5，3）．点P的坐标为（5，3），|PF﹣PO|的最大值为2．例2．1．如图1，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，作点A关于y轴的对称点C，连接BC，作∠ABO的平分线交x轴于点D．（1）求线段CD的长；（2）如图2，点E为直线AB位于y轴右侧部分图象上的一点，连接CE，当S△BCE＝时，点F为直线BC上的一个动点，当|EF﹣DF|的值最大时，求|EF﹣DF|的最大值及此时点F的坐标；【解答】解：（1）由已知可得A（﹣3，0），B（0，3），C（3，0），在Rt△ABO中，AO＝3，BO＝3，∴∠ABO＝60°，∵BD是∠ABO的平分线，∴∠DBO＝30°，在Rt△BDO中，DO＝，∴CD＝4．（2）过E作EM⊥BC，＝××AC×BO＝，∵S△BCE＝∴S△BCE＝×BC×EM＝×6EM＝，∴EM＝，设E（m，m+3），∵∠ABO＝∠CBO＝60°，∴∠EBM＝60°，∴BE＝9，∴＝9，∴m＝，∴E（，），∵在△DEF中，|EF﹣DF|＜DE，∴|EF﹣DF|＝EF时有最大值，∵BD平分∠ABO，∴∠DBO＝30°，∴OD＝，∴D（﹣，0），∴DE＝；直线BC的解析式为y＝﹣x+3，直线DE的解析式为y＝，两直线交点为F（，）．练2.1．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+9与x轴交于点C，与直线AB：y＝﹣x+b交于点A，且B（5，0），AD⊥x轴于点D．（1）若E是线段AB的中点，G是直线AB上方的一点，GE∥y轴，GF⊥AB于点F，且△GEF的周长是2+2．一动点从E点出发先，到达x轴上的某点M，再到达直线AD 上的某点N，最后运动到点F．当该动点运动的总路径最短时，在直线AB上有一点P，使|GP﹣NP|最大，求|GP﹣NP|的最大值；【解答】解：（1）将B（5，0）代入y＝﹣x+b中，得0＝﹣5+b，∴b＝5．所以直线AB解析式为y＝﹣x+5．联立，解得．∴点A坐标为（﹣1，6）．∵AD⊥x轴，∴点D坐标为（﹣1，0）．∴BD＝5﹣（﹣1）＝6＝AD，∴△ABD为等腰Rt△．∴∠DAB＝∠DBA＝45°，∴AB＝AD＝6．延长GE交x轴于点H，∵E为AB中点，由中点坐标公式可得，，．∴点E坐标为（2，3）．∵GH⊥x轴，∠DBA＝45°，∴∠BEH＝45°＝∠GEF．又∵GF⊥AB，∴∠FGE＝45°，∴△EFG为等腰Rt△．设EF＝GF＝a，则EG＝2a，∴周长为a+a+2a＝2+2．解得a＝．∴点G坐标为（2，5）．在Rt△BEH中，BE＝＝＝3．∴BF＝BE+EF＝3+＝4．作FI⊥x轴于点I，则FI∥AD．∴△BFI∽△BAD．∴．即，FI＝4．把y＝4代入y＝﹣x+5中，得x＝1．∴点F坐标为（1，4）．点E关于x轴的对称点E'，作点F关于AD的对称点F'，连接E'F'，交x轴于点M，交AD于点N，此时动点运动总路径EM+MN+NF＝E'F'最小．如答图1．则点E'坐标为（2，﹣3），点F'坐标为（﹣3，4）．设过E'F'的直线解析式为y＝kx+b，∴，解得．∴y＝﹣x﹣．令x＝﹣1，则y＝；令y＝0，则x＝﹣．∴点N坐标为（﹣1，），点M坐标为（﹣，0）．作点G关于直线AB的对称点G'，则由中点坐标公式可得：x G'＝2×1﹣2＝0，y G'＝2×4﹣5＝3．∴点G'坐标为（0，3）．连接NG'并延长交AB与点P，则此时＝＝＝NG最大．由两点距离公式，NG＝＝＝．故的最大值为．练2.2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（0，2），点D在x轴上，CD＝AB．（1）点E在CD上，其横坐标为4，点F、G分别是x轴、y轴上的动点，连接EF，将△DEF沿EF翻折得△D′EF，点P是直线BD上的一个动点，当|P A﹣PC|最大时，求PG+GD′的最小值；【解答】解：（1）对于y＝3x+6，令x＝0，则y＝6，令y＝3x+6＝0，解得x ＝﹣2，故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，6），∴OC＝OA＝2，∵CD＝AB，∴Rt△AOB≌Rt△COD（HL），∴OD＝OB＝6，故点D（6，0），连接AC交BD于点P，则点P为所求点，理由：|P A﹣PC|＝P A﹣PC＝AC为最大，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为y＝x+2①，同理可得，直线BD的表达式为y＝﹣x+6②，联立①②并解得，故点P（2，4），过点P作y轴的对称点P′（﹣2，4），过点E以DE为半径作圆E，连接P′E 交圆E于点D′，交y轴于点G，则点G为所求点，此时，PG+GD′最小，理由：PG+GD′＝P′G+GD′＝P′E﹣D′E＝P′D′为最小，由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为y＝﹣x+2，当x＝4时，y＝﹣x+2＝，故点E的坐标为（4，），由点P′、E的坐标得：P′E＝＝，同理可得DE＝，则PG+GD′的最小值＝P′E﹣D′E＝P′E﹣DE＝；练2.1．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l2：y＝﹣x+与x轴交于点B，与直线l1：y＝x+b交于点C，C点到x轴的距离CD为2，直线l1交x轴于点A．（1）求直线l1的函数表达式；（2）如图2，y轴上的两个动点E、F（E点在F点上方）满足线段EF的长为，连接CE、AF，当线段CE+EF+AF有最小值时，求出此时点F的坐标以及CE+EF+AF的最小值；练2.2．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝与x轴，y轴分别交于点A，D，直线l2与直线y＝﹣x平行，交x轴于点B（7，0），交l1于点C．（1）直线l2的解析式为y＝﹣x+，，点C的坐标为（1，3）；（2）若点P是线段BC上一动点，当S△P AB＝时，在x轴上有两动点M、N（M 在N的左侧），且MN＝2，连接DM，PN，当四边形DMNP周长最小时，求点M的坐标；练2.3．如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为y＝﹣x+4，与x轴交于点C．直线l上有一点B的横坐标为，点A是OC的中点．（1）求直线AB的函数表达式；（2）在直线BC上有两点P，Q，且PQ＝2，使四边形OAPQ的周长最小，求周长的最小值；练2.4．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与直线l2交于点C，C点到x轴的距离CD为，直线l2交x轴于点B，且∠ABC＝30°．（1）求直线l2的函数表达式；（2）如图2，y轴上的两个动点E、F（E点在F点上方）满足线段EF的长为，连接CE、AF，当线段CE+EF+AF有最小值时，求出此时点F的坐标，以及CE+EF+AF的最小值；。
2025中考数学一轮复习课件 第2节 一次函数
…
y
…
n
－ n2－ n －2
m
…
＜ n .（填“＞”“＝”或“＜”）
7. （2023南通）已知一次函数 y ＝ x － k ，若对于 x ＜3范围内任意自变量 x
k ≥1
的值，其对应的函数值 y 都小于2 k ，则 k 的取值范围是
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
.
15
第2节
考点精研
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b ＜0
第2节
图像分
布象限
图像性质
考点梳理
第 一、二、三
第 一、三
象限
y 随 x 的增大而 增大
k 的符号
b 的符号
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象限
第 一、三、四
象限
k ＜0
b ＞0
b ＝0
b ＜0
第2节
考点梳理
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图像
图像
分布象限
图像性质
第 一、二、四
第 二、四
象限
y 随 x 的增大而 减小
象限
上，则 y1 ＜ y2（用“＜”“＝”或“＞”填空）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
第2节
考点精研
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6. （2024泰州姜堰一模）已知一次函数 y ＝ ax ＋ b （ a ， b 是常数，且
a ≠0），函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表：
冲刺2023年上海中考数学满分策略之一题多解第01讲 二次函数平移的应对方法(教师版)
第01讲 二次函数平移的应对方法【考点梳理】 一．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 二．坐标与图形变化-平移 （1）平移变换与坐标变化①向右平移a 个单位，坐标P （x ，y ）⇒P （x +a ，y ） ①向左平移a 个单位，坐标P （x ，y ）⇒P （x ﹣a ，y ） ①向上平移b 个单位，坐标P （x ，y ）⇒P （x ，y +b ） ①向下平移b 个单位，坐标P （x ，y ）⇒P （x ，y ﹣b ）（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a ，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a ，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 三、二次函数中的平移问题主要是点的平移和图形的平移：针对顶点式抛物线的平移规律是：“左加右减（括号内），上加下减”，同时保持a 不变。
【典型例题】一、解答题1．（2022·上海徐汇·九年级期末）二次函数()2f x ax bx c =++的自变量x 的取值与函数y 的值列表如下：x… ﹣2 ﹣1 0 … 2 3 4 … ()y f x =…﹣53…3﹣5…(2)请你写出两种平移的方法，使平移后二次函数图像的顶点落在直线y x =上，并写出平移后二次函数的解析式．【答案】(1)()223f x x x =-++；顶点坐标()1,4(2)把抛物线21+4f xx 向下平移3个单位长度，抛物线为：()()211f x x =--+，或把抛物线21+4f x x 向右平移3个单位长度，抛物线为：244f xx .【分析】（1）由二次函数()2f x ax bx c =++过()()1,0,3,0,-设抛物线的交点式为13,f xa x x 再把()0,3代入抛物线的解析式求解a 的值，再配方，求解顶点坐标即可；（2）平移后二次函数图像的顶点落在直线y x =上，顶点的横坐标与纵坐标相等，由顶点坐标为：()1,4, 再分两种情况讨论：当顶点坐标为：()1,1时，当顶点坐标为：()4,4时，再写出平移方式即可.(1)解： 二次函数()2f x ax bx c =++过()()1,0,3,0,-设13,f x a x x把()0,3代入抛物线的解析式可得：33,a -= 解得：1,a =- 所以抛物线为：2132 3.f x x x x x而2223211+3f xx x x x21+4,x所以顶点坐标为：()1,4.(2)解： 平移后二次函数图像的顶点落在直线y x =上， ∴ 顶点的横坐标与纵坐标相等，而顶点坐标为：()1,4, 当顶点坐标变为：()1,1时， 把抛物线21+4f xx 向下平移3个单位长度即可；此时抛物线为：21+1f xx当顶点坐标变为：()4,4时， 把抛物线21+4f xx 向右平移3个单位长度即可.此时抛物线为：244f x x .【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，利用配方法求解抛物线的顶点坐标，抛物线的平移，正比例函数图象上点的坐标特点，熟练的掌握抛物线的性质是解本题的关键.2．（2022·上海杨浦·九年级期末）已知二次函数 2245y x x =-+．(1)用配方法把二次函数 2245y x x =-+ 化为 2()y a x m k =++ 的形式，并指出这个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)如果将该函数图像沿y轴向下平移 5 个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，顶点为C，求ABC的面积．∴ABC的面积为【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、坐标与图形、二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键．．（2022·上海金山九年级期末）已知：抛物线经过点和，顶点为点P，抛物线的对称轴与x轴相交于点Q．（1）求抛物线的解析式；∠的度数；（2）求PAQ=，求平移后的抛（3）把抛物线向上或者向下平移，点B平移到点C的位置，如果BQ CP物线解析式．【答案】（1）241y x x =-++；（2） 90COM ∠=︒；（3）246y x x =-++或242y x x =-+-．【分析】（1）将,A B 两点的坐标代入解析式，解二元一次方组程，求出,b c 即可求解； （2）求出,,AP AQ PQ 的长度，根据勾股定理的逆定理求解即可；（3）分情况讨论，点C 在点B 的上方或下方两种情况，根据平移特征结合图形求解即可．【详解】解：（1）根据题意1114c b =⎧⎨-++=⎩ 解得：4b =，1c =，∴抛物线的表达式是241y x x =-++ （2）()224125y x x x =-++=--+，∴顶点P 的坐标是()2,5．对称轴是直线2x =，点Q 的坐标为()2,0． ∴25PA =，5QA =，5PQ =； ∴222PA QA PQ +=，∴PAQ 是R t∴90PAQ ∠=︒，（3）根据题意，BC ∥PQ如果点C 在点B 的上方，BC ∥PQ ，PC ∥BQ 时，四边形BCPQ 是平行四边形，∴BQ CP =，5BC PQ ==，即抛物线向上平移5个单位，平移后的抛物线解析式是246y x x =-++． 如果点C 在点B 的下方，四边形BCQP 是等腰梯形时BQ CP =，作BE PQ ⊥，CF PQ ⊥，垂足分别为E 、F ．根据题意可得，1PE QF ==，5PQ =，3BC EF ==，即抛物线向下平移3个单位，平移后的抛物线解析式是242y x x =-+-． 综上所述，平移后的抛物线解析式是246y x x =-++或242y x x =-+-．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，坐标系中求两点的距离，勾股定理的逆定理，图像的平移规律，正确理解平移的规律是解本题的关键． 4．（2022·上海闵行·九年级期末）如图， 在平面直角坐标系 xQy 中， 直线 5y x =-+ 与 x牰交于点 A ， 与 y 轴交于点 B ． 点C 为拋物线 223122y ax a x a a =-++ 的顶点．(1)用含 a 的代数式表示顶点 C 的坐标： (2)当顶点 C 在 AOB 内部， 且 52AOCS=时，求抛物线的表达式： (3)如果将抛物线向右平移一个单位，再向下平移 12 个单位后，平移后的抛物线的顶 点 P仍在 AOB 内， 求 a 的取值范围． 【答案】(1)2()1,C a a(2)2289y x x =-+； (3)1＜a ＜3【分析】（1）利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可解答； （2）求出点A 、B 的坐标，利用三角形面积公式求解a 值即可解答；（3）根据点的坐标平移规律“右加左减，上加下减”得出P 点坐标，再根据条件得出a 的一元一次不等式组，解不等式组即可求解(1)解：拋物线 2232112()22y ax a x a a a x a a =-++=-+，∴顶点C 的坐标为1(,)2a a ；(2)解：对于5y x =-+，当x =0时，y =5，当y =0时，x =5， ∴A （5，0），B （0，5）， ∵顶点 C 在 AOB 内部， 且 52AOCS =， ∴1155222a ⨯⋅=， ∴a =2，∴拋物线的表达式为 2289y x x =-+；(3)解：由题意，平移后的抛物线的顶点P 的坐标为11(1,)22a a +-，∵平移后的抛物线的顶 点 P 仍在 AOB 内，∴101102211(1)522a a a a ⎧⎪+>⎪⎪->⎨⎪⎪-++>-⎪⎩，解得：1＜a ＜3，即a 的取值范围为1＜a ＜3．【点睛】本题考查求二次函数的顶点坐标和表达式、二次函数的图象平移、一次函数的图象与坐标轴的交点问题、坐标与图象、解一元一次不等式组，熟练掌握相关知识的联系与运用，第（3）小问正确得出不等式组是解答的关键．5．（2022·上海普陀·九年级期中）在平面直角坐标系xOy 中(如图)，已知抛物线y =x 2 - bx +c 经过A (-1．2)、B (0，-1)两点．(1)求抛物线的表达式及顶点P 的坐标；(2)将抛物线y =x 2 - bx +c 向左平移3个单位，设平移后的抛物线顶点为点P '． ①求∠BP 'P 的度数；②将线段P 'B 绕点B 按逆时针方向旋转150°，点P ’落在点M 处，点N 是平移后的抛物线上的一点，当△MNB 的面积为1时，求点N 的坐标．【答案】(1)221y x x =--，()1,2P -(2)①30BP P '∠=︒；②()0,1或()3,2--【分析】（1）根据题意待定系数法求解析式即可，然后化为顶点式即可求得顶点P 的坐标；（2）①连接PP '，则PP y '⊥轴，设交点为C ，则()0,2C -，根据平移求得点P '的坐标，进而即可求得∠BP 'P 的度数，②根据题意画出图形，过点M 作MD y ⊥轴于点D ，过点N 作NE y ⊥轴于点E ，根据△MNB 的面积为1建立方程，即可求得点N 的坐标． (1)解：∵抛物线y =x 2 - bx +c 经过A (-1．2)、B (0，-1)121b c c ++=⎧⎨=-⎩解得21b c =⎧⎨=-⎩221y x x ∴=--()212x =--()1,2P ∴-(2)将抛物线221y x x =--向左平移(3+1)个单位，设平移后的抛物线顶点为点P '()3,2P '∴--连接PP '，则PP y '⊥轴，设交点为C ，则()0,2C -()0,1B - 3,1P C BC '∴==在Rt P BC '中，13tan 33BC BP C P C '∠===' 30BP P BP C ''∴∠=∠=︒②过点M 作MD y ⊥轴于点D ，过点N 作NE y ⊥轴于点E ， 在Rt P BC '中，3,1P C BC '==，30BP C '∠=︒2P B '∴=，60P BC '∠=︒，则120P BD '∠=︒将线段P 'B 绕点B 按逆时针方向旋转150°，点P ’落在点M 处，15012030DBM ∴∠=︒-︒=︒ ∴BP C MBD '∠=∠在P BC '与BMD 中 90BP C MBDP CB BDM P B MB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒=''⎨'⎪⎩∴P BC '≌BMD1DM BC ∴==,3DB P C '==()0,1B -将抛物线D BNMDBMBENEDMN SSS S=+-梯形()1122DM DB DM EN ED ⨯++⨯12EB -⨯()2111312332n n n ⨯⨯++⨯+-+BNMS=112⨯⨯解得0n =6．（2022·上海·中考真题）已知：22y x bx c =++经过点()21A --，，()03B -，． (1)求函数解析式；(2)平移抛物线使得新顶点为(),P m n （m ＞0）．①倘若3OPB S =△，且在x k =的右侧，两抛物线都上升，求k 的取值范围； ②P 在原抛物线上，新抛物线与y 轴交于Q ，120BPQ ∠=时，求P 点坐标．根据题意，得新抛物线解析式为：y =12(x -m )2+n =12x 2-mx +m 2-3，∴Q (0，m 2-3)，∵B （0，-3），∴BQ =m 2，BP 2=2222411(33)24m m m m +-+=+， PQ 2=22222411[(3)(3)]24m m m m m +---=+， ∴BP =PQ ，如图，过点P 作PC ⊥y 轴于C ，则PC =|m |，∵BP =PQ ，PC ⊥BQ ，∴BC =12BQ =12m 2，∠BPC =12∠BPQ =12×120°=60°，∴tan ∠BPC = tan 60°=2123||m BC PC m ==，解得：∵m ＞0，∴m =23，∴n =2132m -=3， 故P 的坐标为（23，3）【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的平移，抛物线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，本题属抛物线综合题目，属中考常考试题目，难度一般． 轴上，OB AB =（如图所示），二次函数的图像经过点O 、A 、B 三点，顶点为D ．(1)求点B 与点D 的坐标；(2)求二次函数图像的对称轴与线段AB 的交点E 的坐标；(3)二次函数的图像经过平移后，点A 落在原二次函数图像的对称轴上，点D 落在线段AB 上，求图像平移后得到的二次函数解析式． 【答案】(1)点B 的坐标为（5，0），点D 的坐标为（52，256） (2)（52，103） (3)()228333y x =--+ 【分析】（1）设点B 的坐标为（m ，0），经过A 、B 、O 三点的二次函数解析式为2y ax bx c =++，先根据OB =AB ，利用勾股定理求出点B 的坐标，然后用待定系数法求出二次函数解析式即可求出点D 的坐标；（2）先求出直线AB 的解析式，再根据（1）所求得到抛物线对称轴，即可求出点E 的坐标；（3）只需要求出平移后的抛物线顶点坐标即可得到答案．(1)解：设点B 的坐标为（m ，0），经过A 、B 、O 三点的二次函数解析式为2y ax bx c =++，∵OB =AB ，∴()22224m m =-+，∴5m =，∴点B 的坐标为（5，0）， ∴42425500a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，8．（2022·上海奉贤·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中, 抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点()1,0A - 和 点()3,0B ，与y 轴交于点C , 顶点为D ．（1）求该抛物线的表达式的顶点D 的坐标；（2）将抛物线沿y 轴上下平移, 平移后所得新拋物线顶点为M , 点C 的对应点为E ． ①如果点M 落在线段BC 上, 求DBE ∠的度数；②设直线ME 与x 轴正半轴交于点P , 与线段BC 交于点Q , 当2PE PQ =时, 求平移后新抛物线的表达式． 【答案】（1）2y x 2x 3=-++，()1,4D ；（2）①45DBE ∠=︒；②232.2y x x =-+- 【分析】（1）把点()1,0A - 和 点()3,0B 代入抛物线的解析式。
中考数学复习 第1编 教材知识梳理篇 第3章 函数及其图
第四节反比例函数的图象及性质,青海五年中考命题规律)年份题型题号考查点考查内容分值总分2017选择19 反比例函数由一次函数与反比例函数的交点，求一次函数大于反比例函数的取值范围3 32016填空7 反比例函数利用正比例函数与反比例函数图象的交点，求字母的值2 22015选择19 反比例函数判别同一坐标系中反比例函数与一次函数图象的位置3 32014选择15 反比例函数利用反比例函数的几何意义比较面积大小3 32013选择16 反比例函数判别同一坐标系中反比例函数与正比例函数图象的位置3解答23 反比例函数一次函数与反比例函数结合，求一次函数解析式及三角形面积8 11命题规律纵观青海省五年中考，“反比例函数的图象与性质”这一考点一般以选择题、填空题的形式呈现，且与一次函数结合在一起考查，难度偏低．预计2018年青海省中考的考查仍会以反比例函数图象及性质与一次函数的结合考查，题型多以选择题的形式呈现，但也应注意反比例函数与其他函数或几何图形综合考查，不可忽视.,青海五年中考真题)反比例函数的图象及性质1．(2014青海中考)如图，点P 1，P 2，P 3分别是双曲线同一支图象上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，垂足分别是A 1，A 2，A 3，得到三个三角形△P 1A 1O ，△P 2A 2O ，△P 3A 3O.设它们的面积分别为S 1，S 2，S 3，则它们的大小关系是( C )A ．S 1＞S 2＞S 3B ．S 3＞S 2＞S 1C ．S 1＝S 2＝S 3D ．S 2＞S 3＞S 1反比例函数与一次函数的结合2．(2017青海中考)如图，已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12，B(－1，2)是一次函数y 1＝kx ＋b(k≠0)与反比例函数y 2＝m x (m≠0，x ＜0)图象的两个交点，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，若y 1＞y 2，则x 的取值范围是( B )A ．x ＜－4B ．－4＜x ＜－1C ．x ＜－4或x ＞－1D ．x ＜－1(第2题图)(第3题图)3．(2014西宁中考)反比例函数y 1＝kx 和正比例函数y 2＝mx 的图象如图所示，根据图象可以得到满足y 1＜y 2的x 的取值范围是( C )A ．x ＞1B ．0＜x ＜1或x ＜－1C ．－1＜x ＜0或x ＞1D ．x ＞2或x ＜14．(2015青海中考)已知一次函数y ＝2x －3与反比例函数y ＝－2x ，那么它们在同一坐标系中的图象可能是( D ),A ) ,B ) ,C ) ,D )5．(2013青海中考)在同一直角坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝－1x的图象大致是( D ),A ) ,B ) ,C ) ,D )6．(2016青海中考)如图，直线y ＝12x 与双曲线y ＝kx在第一象限的交点为A(2，m)，则k ＝__2__．7．(2013青海中考)如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C(0，2)，且与反比例函数y ＝8x在第一象限内的图象交于点B ，且BD⊥x 轴于点D ，OD ＝2.(1)求直线AB 的函数解析式；(2)设点P 是y 轴上的点，若△PBC 的面积等于6，直接写出点P 的坐标．解：(1)∵BD⊥x 轴，OD ＝2， ∴点B 的横坐标为2，将x ＝2代入y ＝8x ，得y ＝4，∴B(2，4)．设直线AB 的函数解析式为y ＝kx ＋b(k≠0)， 将点C(0，2)，B(2，4)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，2k ＋b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝2，∴直线AB 的函数解析式为y ＝x ＋2； (2)P(0，8)或P(0，－4)．8．(2016西宁中考)如图，一次函数y ＝x ＋m 的图象与反比例函数y ＝kx 的图象交于A ，B 两点，且与x 轴交于点C ，点A 的坐标为(2，1)．(1)求m 及k 的值；(2)求点C 的坐标，并结合图象写出不等式组0＜x ＋m≤kx的解集．解：(1)由题意可得：点A(2，1)在函数y ＝x ＋m 的图象上， ∴2＋m ＝1，即m ＝－1.∵A(2，1)在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴k2＝1，∴k ＝2； (2)∵一次函数解析式为y ＝x －1，令y ＝0，得x ＝1，∴点C 的坐标是(1，0)，由图象可知不等式组0＜x ＋m≤kx的解集为1＜x≤2.反比例函数与几何图形的结合9．(2014西宁中考)如图，已知▱ABCD 水平放置在平面直角坐标系xOy 中，若点A ，D 的坐标分别为(－2，5)，(0，1)，点B(3，5)在反比例函数y ＝kx(x ＞0)图象上．(1)求反比例函数y ＝kx的解析式；(2)将▱ABCD 沿x 轴正方向平移10个单位长度后，能否使点C 落在反比例函数y ＝kx的图象上？并说明理由．解：(1)∵点B(3，5)在反比例函数y ＝k x 图象上，∴k ＝15，∴反比例函数的解析式为y ＝15x (x ＞0)；(2)平移后的点C 能落在反比例函数y ＝15x 的图象上．理由：∵四边形ABCD 是平行四边形．∴AB∥CD，AB ＝CD.∵点A ，B ，D 的坐标分别为(－2，5)，(3，5)，(0，1)，∴AB ＝5，AB ∥x 轴，∴CD ∥x 轴．∴点C 的坐标为(5，1)，∴▱ABCD 沿x 轴正方向平移10个单位长度后点C 的坐标为(15，1)，在y ＝15x 中，令x ＝15，则y ＝1，∴平移后的点C 能落在反比例函数y ＝15x的图象上．,中考考点清单)反比例函数的概念1．一般地，如果变量y 与变量x 之间的函数关系可以表示成__y ＝kx __(k 是常数，且k≠0)的形式，则称y 是x 的反比例函数，k 称为比例函数．反比例函数的图象及性质2．函数图象解析式 y ＝kx(k≠0，k 为常数) k k ＞0k ＜0图象3.函数的图象性质函数 系数 所在象限增减性质对称性 y ＝k x (k≠0)k ＞0第一、三象限在每个象限内y关于__y ＝－x__(x ，y 同号) 随x 的__增大而减小__ 对称 k ＜0第二、四象限(x ，y 异号)在每个象限内y 随x 的__增大而增大__关于__y ＝x__对称4.k 的几何意义k 的几 何意义设P(x ，y)是反比例函数y ＝kx图象上任一点，过点P 作PM⊥x轴于M ，PN ⊥y 轴于N ，则S 矩形PNOM ＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|.【方法技巧】反比例函数与一次函数、几何图形结合 (1)反比例函数与一次函数图象的综合应用的四个方面： ①探求同一坐标系下两函数的图象常用排除法． ②探求两函数解析式常利用两函数的图象的交点坐标．③探求两图象交点的坐标常利用解方程(组)来解决，这也是求两函数图象交点坐标的常用方法．④两个函数值比较大小的方法是以交点为界限，观察交点左、右两边区域的两个函数图象上、下位置关系，从而写出函数值的大小．(2)在平面直角坐标系中求三角形的面积时，通常以坐标轴上的边为底，相对顶点的横坐标(或纵坐标)的绝对值为高；如果没有坐标轴上的边，则用坐标轴将其分割后求解．反比例函数解析式的确定5．步骤(1)设所求的反比例函数为y ＝kx (k≠0)；(2)根据已知条件列出含k 的方程； (3)由代入法解待定系数k 的值； (4)把k 代入函数解析式y ＝kx 中．6．求解析式的两种途径求反比例函数的解析式，主要有两条途径：(1)根据问题中两个变量间的数量关系直接写出；(2)在已知两个变量x ，y 具有反比例关系y ＝kx (x≠0)的前提下，根据一对x ，y 的值，列出一个关于k 的方程，求得k 的值，确定出函数的解析式．反比例函数的应用7．利用反比例函数解决实际问题，首先是建立函数模型．一般地，建立函数模型有两种思路：一是通过问题提供的信息，知道变量之间的函数关系，在这种情况下，可先设出函数的解析式y ＝kx (k ≠0)，再由已知条件确定解析式中k 的取值即可；二是问题本身的条件中不确定变量间是什么关系，此时要通过分析找出变量的关系并确定函数解析式．,中考重难点突破)反比例函数的图象及性质【例1】(天水中考)已知函数y ＝mx 的图象如图以下结论：①m ＜0；②在每个分支上y 随x 的增大而增大；③若点A(－1，a)，点B(2，b)在图象上，则a ＜b ； ④若点P(x ，y)在图象上，则点P 1(－x ，－y)也在图象上． 其中正确的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】①根据反比例函数的图象的两个分支分别位于第二、四象限，可得m ＜0，正确；②在每个分支上y 随x 的增大而增大，正确；③若点A(－1，a)，点B(2，b)在图象上，观察图象可知a ＞0，b ＜0，则a ＞b ，错误；④若点P(x ，y)在图象上，则y ＝mx ，即m ＝xy ，又∵m＝(－x)·(－y)＝xy ，则点P 1(－x ，－y)也在图象上，正确．【答案】B1．(2017日照中考)反比例函数y ＝kbx的图象如图所示，则一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象大致是( D ),A ) ,B ),C ) ,D )反比例函数k 的几何意义【例2】(宁波中考)如图，点A 为函数y ＝9x (x ＞0)图象上一点，连接OA ，交函数y ＝1x (x ＞0)的图象于点B ，点C 是x 轴上一点，且AO ＝AC ，则△ABC 的面积为________．【解析】分别过点A ，B 作AD⊥x 轴，BE ⊥x 轴，垂足分别为D ，E ，根据反比例函数的几何意义可得，S △BOE ＝12，S △AOD ＝92，S △AOC ＝2S △AOD ＝9.∵AD⊥OC，BE ⊥OC ，∴BE ∥AD.∴△BOE ∽△AOD ，∴OBOA ＝S △BOES △AOD＝19＝13，∴AB AO＝S △ABC S △AOC ＝23，∴S △ABC ＝23S △AOC ＝23×9＝6. 【答案】62．(2017衢州中考)如图，在直角坐标系中，点A 在函数y ＝4x (x ＞0)的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与函数y ＝4x (x ＞0)的图象交于点D.连接AC ，CB ，BD ，DA ，则四边形ACBD 的面积等于( C )A ．2B ．2 3C ．4D ．4 33．(2017宁波中考)如图，正比例函数y 1＝－3x 的图象与反比例函数y 2＝kx 的图象交于A ，B 两点．点C 在x轴负半轴上，AC ＝AO ，△ACO 的面积为12.(1)求k 的值；(2)根据图象，当y 1＞y 2时，写出x 的取值范围．解：(1)过点A 作AD⊥OC 于点D.∵AC＝AO ，∴CD ＝DO ，∴S △ADO ＝12S △ACO ＝6，∴k ＝－12；(2)由(1)得：y ＝－12x ，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y ＝－3x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，y 1＝6，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝－6，故当y 1＞y 2时，x 的取值范围是x ＜－2或0＜x ＜2.反比例函数解析式的确定及综合应用【例3】(2017内江中考)已知两点A(－4，2)，B(n ，－4)是一次函数y ＝kx ＋b 和反比例函数y ＝mx 图象的两个交点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求△AOB 的面积；(3)观察图象，直接写出不等式kx ＋b －mx＞0的解集．【解析】(1)利用点A 坐标求反比例函数解析式，然后利用此解析式求B 点坐标，从而求一次函数解析式；(2)求AB 直线解析式求C 点坐标；(3)利用函数与不等式关系确定不等式解集．【答案】解：(1)反比例函数解析式为y ＝－8x ；一次函数解析式为y ＝－x －2；(2)求出C(－2，0)，S △AOB ＝S △ACO ＋S △OCB ＝12×2×2＋12×2×4＝6；(3)取值范围：x ＜－4或者0＜x ＜2.4．(2017自贡中考)一次函数y 1＝k 1x ＋b 和反比例函数y 2＝k 2x (k 1·k 2≠0)的图象如图所示，若y 1＞y 2，则x 的取值范围是( D )A ．－2＜x ＜0或x ＞1B ．－2＜x ＜1C ．x ＜－2或x ＞1D ．x ＜－2或0＜x ＜15．(2017襄阳中考)如图，直线y 1＝ax ＋b 与双曲线y 2＝kx 交于A ，B 两点，与x 轴交于点C ，点A 的纵坐标为6，点B 的坐标为(－3，－2)．(1)求直线和双曲线的解析式；(2)求点C 的坐标，并结合图象直接写出y 1＜0时x 的取值范围．解：(1)∵点B(－3，－2)在双曲线y 2＝k x 上，∴k －3＝－2，∴k ＝6，∴双曲线的解析式为y 2＝6x.把y ＝6代入y 2＝6x ，得x ＝1，∴点A 的坐标为(1，6)．∵直线y 1＝ax ＋b 经过A ，B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，－3a ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4，∴直线的解析式为y 1＝2x ＋4；(2)由直线y 1＝0得，x ＝－2，∴点C 的坐标为(－2，0)，当y 1＜0时x 的取值范围是x ＜－2.。
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1
2
3
4
5
54321
O
y
x
第3讲、函数图象的分析与作图（讲义）
1. 已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=-x2+bx+c经过点A(2，2)，对称轴是
直线x=1，顶点为B．
（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；
（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，连接AM，用含m的代数
式表示∠AMB的正切值；
（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点
C
在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如
果OP=OQ，求点Q的坐标．
2. 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，1)，取一点B(b，0)，连接AB，作线段
AB的垂直平分线l1，过点B作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P
．
（1）当b=3时，在图1中补全图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）小慧多次取不同数值b，得出相应的点P，并把这些点用平滑的曲线连接起来发现：
这些点P竟然在一条曲线L上．
①设点P的坐标为(x，y)，试求y与x之间的关系式，并指出曲线L是哪种曲线；
②设点P到x轴、y轴的距离分别是d1，d2，求d1+d2的范围，当d1+d2=8时，求点P的
坐标；
③将曲线L在直线y=2下方的部分沿直线y=2向上翻折，得到一条“W”形状的新曲线，
若直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点，直接写出k的取值范围．
y
x
O-1-4-32134-1-2
6
5
4312
图1
y
x
O-1-4-32134-1-2
6
5
4312
3. 已知二次函数y=ax2-2ax+c（a＜0）的最大值为4，且抛物线过点79()24，，点P(t，
0)是x轴上的动点，抛物线与y轴交点为C，顶点为D．
（1）求该二次函数的解析式及顶点D的坐标；
（2）求|PC-PD|的最大值及对应的点P的坐标；
（3）设Q(0，2t)是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=a|x|2-2a|x|+c的图象只有一个
公共点，请直接写出t的取值．
-2
y
x
O-1-4-32134-1-2
6
5
4312
4. 如图，抛物线L：1()(4)2yxtxt（常数t＞0）与x轴从左到右的交点为B，
A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线kyx（k＞0，x＞0）于点P
，且
12OAMP
．
（1）求k的值；
（2）当t=1时，求AB的长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；
（3）把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象
G
最高点的坐标；
（4）设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足4≤x0≤6，通过L位置随t变化的
过程，直接写出t的取值范围．
164
1
y
x
L
OM
P
B
A
【参考答案】
1. （1）抛物线的表达式为y=-x2+2x+2；点B(1，3)；
（2）tan∠AMB=12m；
（3）点Q的坐标为263()22，，263()22，．
2. （1）作图略；
（2）①21122yx，曲线L是抛物线；
②d1+d2≥12；P1(3，5)，P2(-3，5)；
③k的取值范围为3333k．
3. （1）二次函数的解析式为y=-x2+2x+3；顶点D(1，4)；
（2）|PC-PD|的最大值为2，对应的点P坐标为(-3，0)；
（3）32≤t＜3，72t或t≤-3．
4. （1）k的值为6；
（2）直线MP与L对称轴之间的距离为32；
（3）图象G最高点的坐标为2()28ttt，；
（4）t的取值范围为5≤t≤82，7≤t≤82．