初中数学二次函数-几何做题技巧

初中数学二次函数做题技巧 I.定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] 注：在3种形式

的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a III.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2.抛物线有一个顶点P，坐标为 P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。当-b/2a=0

时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a＞0时，抛物线向上开口；

当a＜0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c） 6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。 V.二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax^2;+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 画抛物线y＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。 二次函数解析式的几种形式

(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0). (2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0). (3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0. 说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物

线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^ 2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax^2+k 定义与定义表达式 一般

地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。） 则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x是自变量，y是x的函数 二次函数的三种表达式 ①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) ②顶点式[抛物线的顶点 P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k ③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)

以上3种形式可进行如下转化： ①一般式和顶点式的关系对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a ②一般式和交点式的关系 x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)

中考数学精选例题解析：一次函数 精典例题：

【例1】二次函数cbxaxy2的图像如图所示，那么abc、acb42、ba2、cba24这四个代数式中，值为正的有（ ） A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

解析：∵abx2＜1 ∴ba2＞0

y

x例1图 -11O 答案：A 【例2】已知0cba，a≠0，把抛物线cbxaxy2向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式。 解：可设新抛物线的解析式为2)2(xay，则原抛物线的解析式为

1)52(2xay，又易知原抛物线过点（1，0） ∴1)521(02a，解得41a ∴原抛物线的解析式为：1)3(412xy 探索与创新： 【问题】已知，抛物线22)1(ttxay（a、t是常数且不等于零）的顶

点是A，如图所示，抛物线122xxy的顶点是B。 （1）判断点A是否在抛物线122xxy上，为什么？ （2）如果抛物线22)1(ttxay经过点B，①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。 解析：（1）抛物线22)1(ttxay的顶点A

（1t，2t），而1tx当时，222)11()1(12xxxxy＝2t，所以点A在

抛物线122xxy上。 （2）①顶点B（1，0），0)11(22tta，∵0t，∴1a；②设抛物线22)1(ttxay与x轴的另一交点为C，∴B（1，0），C（12t，0），由抛物线的对称性可知，△ABC为等腰直角三角形，过A作AD⊥x轴于D，则AD＝BD。当点C在点B的左边时，)1(12tt，解得1t或0t（舍）；当点C在点B的右边时，1)1(2tt，解得1t或0t（舍）。故1t。

yx问题图 OB 中考数学精选例题解析 函数与一元二次方程 精典例题：

【例1】已抛物线1)2()1(2xmxmy（m为实数）。

（1）m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？ （2）如果抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积为2，求该抛物线的解析式。

略解：（1）由已知有0012mm，解得0m且1m （2）由0x得C（0，－1） 又∵1mmaAB ∴2112121mmOCABS

ABC

∴34m或54m ∴132312xxy或156512xxy 【例2】已知抛物线)6(2)8(222mxmxy。 （1）求证：不论m为任何实数，抛物线与x轴有两个不同的交点，且这两个点都在x轴的正半轴上； （2）设抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，当△ABC的面积

为48平方单位时，求m的值。 （3）在（2）的条件下，以BC为直径作⊙M，问⊙M是否经过抛物线的顶点P？ 解析：（1）0)4(22m，由08221mxx，0)6(2221mxx可得证。 （2）)6(8)8(4)(2222122121mmxxxxxxBC ＝4

2m

)6(22mOA

又∵48ABCS ∴48)6(2)4(2

1

22mm

解得2

2m或122m（舍去）

∴2m

（3）16102xxy，顶点（5，－9），6BC ∵69 ∴⊙M不经过抛物线的顶点P。 探索与创新： 【问题】如图，抛物线4)(22cxbaxy，其中a、b、c分别是△ABC

的∠A、∠B、∠C的对边。 （1）求证：该抛物线与x轴必有两个交点； （2）设有直线bcaxy与抛物线交于点E、F，与y轴交于点M，抛物线与y轴交于点N，若抛物线的对称轴为ax，△MNE与△MNF的面积之比为5∶1，求证：△ABC是等边三角形； （2）当3ABCS时，设抛物线与x轴交于点P、Q，问是否存在过P、Q两点且与y轴相切的圆？若存在这样的圆，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由。 解析：（1）))(()(22cbacbacba ∵0cba，0cba

yx问题图

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