相似三角形分析动态平衡问题修订稿

相似三角形分析动态平

衡问题

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一、考点突破

知识点考纲要求题型分值

牛顿运动定律的应

用会用相似三角形解决动态平衡

问题

选择题6分

二、重难点提示

相似关系的寻找。

动态平衡问题还有一类处理方法是使用相似三角形法。

选定研究对象后，倘若物体受三个力作用而平衡，先正确分析物体的受力，画出受力分析图，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化转化为三角形边长的大小变化问题进行讨论。

例题1 如图所示，杆BC的B端铰接在竖直墙上，另一端C为一滑轮，重力为G的重物上系一绳经过滑轮固定于墙上A点处，杆恰好平衡，若将绳的A端沿墙向下移，再使之平衡（BC杆、滑轮、绳的质量及摩擦均不计），则（）

A. 绳的拉力增大，BC杆受压力增大

B. 绳的拉力不变，BC杆受压力增大

C. 绳的拉力不变，BC杆受压力减小

D. 绳的拉力不变，BC杆受压力不变

思路分析：（1）本题比较的是轻绳的A端移动前后的两个平衡状态，两个状态下，滑轮上所受三力均平衡；

（2）B端是铰链，BC杆可以自由转动，所以BC杆受力必定沿杆；

（3）绳绕过滑轮，两段绳力相等，要保证合力沿杆（否则杆必转动），则杆必处于两绳所构成角的平分线上。

方法一：

选取滑轮为研究对象，对其受力分析，如图所示。绳中的弹力大小相等，即T 1＝T 2＝G ，T 1、T 2、F 三力平衡，将三个力的示意图平移可以组成封闭三角形，如图中虚线所示，设AC 段绳子与竖直墙壁间的夹角为θ，则根据几何知识可得，杆对绳子的支持力F ＝

2G sin θ

2，当绳的A 端沿墙向下移时，θ增大，F 也增大，根据牛顿第三定律，BC 杆受压力

增大。

方法二：

图中，矢量三角形与几何三角形ABC 相似，因此

F

mg BC AB

，解得F ＝AB BC

·mg ，当绳的A 端沿墙向下移，再次平衡时，AB 长度变短，而BC 长度不变，F 变大，根据牛顿第三定律，BC 杆受压力增大。

方法三：

将绳的A 端沿墙向下移，T 2大小和方向不变，T 1大小不变，但与T 2所夹锐角逐渐增大，再使之平衡时，画出两段绳子拉力与轻杆的弹力所构成的封闭三角形如图所示，显然F ′大于F ，即轻杆的弹力变大，根据牛顿第三定律，BC 杆受压力增大。

答案：B

例题2 （辽宁省实验中学模拟）如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点处有一个光滑的小孔，质量为m 的小球套在圆环上，一根细线的下端拴着小球，上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中，手对线的拉力F 和轨道对小球的弹力N 的大小的变化情况是（ ）

A. F 大小将不变

B. F 大小将增大

C. N 大小将不变

D. N 大小将增大

思路分析：对小球受力分析，其受到竖直向下的重力G ，圆环对小球的弹力N 和线的拉力F 作用，小球处于平衡状态，G 大小方向恒定，N 和F 方向不断在变化，如图所示，可知矢量三角形AGF 1与长度三角形BOA 相似，得出：

AB

F OA N

OB G 1==，又因为在移动过程中，OA 与OB 的长度不变，而AB 长度变短，所以N 不变，F 1变小，即F 变小，故C 选项正确。

答案：C

【综合拓展】极限分析法解决动态平衡问题

运用极限思维，把所涉及的变量在不超过变量取值范围的条件下，使某些量的变化抽象成无限大或无限小去思考解决实际问题的方法。这种方法具有好懂、易学、省时、准确的特点。

示例：A 、B 两小球由轻杆相连，力F 将小球B 缓慢向左推进，试分析F 的大小变化。

思路：利用极限法，要找到F 出现极值的时刻。可以直接从B 被推至竖直墙面时刻入手分析。此时AB 只受重力、支持力，水平方向上没有力的作用，故F 大小为0。这样就可以初步判断出F 是逐渐变小的。接着深入判断F 是否会出现先变大后变小的情况即可。

三力平衡的解题技巧

其中一个力的大小方向都不变，

其中一个力为恒力，

另外一个力的方向不变，

另两个力的大小和方向均发生变化第三个力的大小方向都在变化

动态三角形法相似三角形法

满分训练：如图所示，轻绳的一端系在质量为m的物体上，另一端系在一个轻质圆环上，圆环套在粗糙水平杆MN上。现用水平力F拉绳上一点，使物体处于图中实线位置，然后改变F的大小使其缓慢下降到图中虚线位置，圆环仍在原来的位置不动。在这一过程中，水平拉力F、环与杆的摩擦力F摩和环对杆的压力F N的变化情况是（）

A. F逐渐增大，F摩保持不变，F N逐渐增大

B. F逐渐增大，F摩逐渐增大，F N保持不变

C. F逐渐减小，F摩逐渐增大，F N逐渐减小

D. F逐渐减小，F摩逐渐减小，F N保持不变

思路分析：物体在3个力的作用下处于平衡状态，根据矢量三角形法，画出力的矢量三角形，如图所示。其中，重力的大小和方向不变，力F的方向不变，绳子的拉力F T与竖直方向的夹角θ减小，由图可以看出，F随之减小，F摩也随之减小，故选项D正确。

答案：D

（答题时间：30分钟）

1. 如图所示，轻弹簧的一端与物块P相连，另一端固定在木板上。先将木板水平放置，并使弹簧处于拉伸状态，缓慢抬起木板的右端，使倾角逐渐增大，直至物块P刚要沿木板向下滑动，在这个过程中，物块P所受静摩擦力的大小变化情况是（）

A. 先保持不变

B. 一直增大

C. 先增大后减小

D. 先减小后增大

2. 如图所示，在斜面上放两个光滑球A和B，两球的质量均为m，它们的半径分别是R

和r，球A左侧有一垂直于斜面的挡板P，两球沿斜面排列并处于静止状态，下列说法正确的是（）

A. 斜面倾角θ一定，R>r时，R越大，r越小，则B对斜面的压力越小

B. 斜面倾角θ一定，R＝r时，两球之间的弹力最小

C. 斜面倾角θ一定时，无论半径如何，A对挡板的压力一定

D. 半径一定时，随着斜面倾角θ逐渐增大，A受到挡板的作用力先增大后减小

3. 半径为R的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B的距离为h，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A到B的过程中，半球对小球的支持力N和绳对小球的拉力T的大小变化的情况是（）

A. N变大，T变小

B. N变小，T变大

C. N变小，T先变小后变大

D. N不变，T变小

4. 竖直绝缘墙壁上的Q处有一固定的质点A，在Q的正上方的P点用细线悬挂一质点B，A、B两点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成 角，由于漏电使A、B两质点的电量逐渐减小，在电荷漏空之前悬线对悬点P的拉力T大小（）

A. T变小

B. T变大

C. T不变

D. T无法确定

5. 如图所示，两球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，球B用长为L的细绳悬于O点，球A固定在O点正下方，且点O、A之间的距离恰为L，系统平

衡时绳子所受的拉力为F1。现把A、B间的弹簧换成劲度系数为k2的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为F2，则F1与F2的大小关系为（）

A. F1>F2

B. F1＝F2

C. F1

D. 无法确定

6. 如图所示，AC是上端带定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在C点，另一端B悬挂一重为G的重物，且B端系有一根轻绳并绕过定滑轮A。现用力F拉绳，开始时∠BCA＞90°，使∠BCA缓慢减小，直到杆BC接近竖直杆AC。在此过程中，下列说法正确的是（）

A. 杆所受力大小不变

B. 杆所受力先减小后增大

C. 绳所受力逐渐减小

D. 绳所受力先增大后减小

7. （广东省汕头市期末）如图所示，运动员的双手握紧竖直放置的圆形器械，在手臂OA沿水平方向缓慢移到A′位置过程中，若手臂OA、OB的拉力分别为F A和F B，下列表述正确的是（）

A. F A一定小于运动员的重力G

B. F A与F B的合力始终大小不变

C. F A的大小保持不变

D. F B的大小保持不变

8.（自贡高三月考）半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有固定放置的竖直挡板MN。在P与MN之间放一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于静止，如图所示。若用外力使MN保持竖直，缓慢地向右移动，在Q到达地面以前，P始终保持静止，在此过程中，下列说法正确的是（）

A. MN对Q的弹力逐渐增大

B. 地面对P的摩擦力逐渐增大

C. P、Q间的弹力先减小后增大

D. Q所受的合力逐渐增大

9. 重G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力大小F1、F2分别是如何变化的

1. D 解析：本题考查共点力的动态平衡问题。对物块进行受力分析可知，由于初始状态弹簧被拉伸，所以物块受到的摩擦力水平向左，当倾角逐渐增大时，物块所受重力在斜面方向的分力逐渐增大，所以摩擦力先逐渐减小，当弹力与重力的分力平衡时，摩擦力减为0；当倾角继续增大时，摩擦力向上逐渐增大，故选项D 正确。

2. BC 解析：先对A 、B 整体受力分析，整体受到三个力的作用，当斜面的倾角θ不变时，不管两球的半径如何变化，这三个力都不变，选项C 正确；斜面倾角θ逐渐增大时，采用极限的思维，A 受挡板的弹力最大为两者重力之和，则选项D 错误；然后采用隔离法对B 受力分析，B 受三个力，重力不变，斜面对B 的支持力方向不变，A 对B 的弹力方向和斜面的支持力垂直时，A 和B 之间的弹力最小，此时两球的半径相等，选项B 正确；斜面倾角θ一定，R >r 时，R 越大，r 越小，斜面对B 的弹力越大，选项A 错误。

3. D 解析：如图所示

对小球：受力平衡，由于缓慢地拉绳，所以小球运动缓慢视为始终处于平衡状态，其中重力mg 不变，支持力N ，绳子的拉力T 一直在改变，但是总形成封闭的动态三角形（图中小阴影三角形）。由于在这个三角形中有四个变量：支持力N 的大小和方向、绳子的拉力T 的大小和方向，所以还要利用其他条件。实物（小球、绳、球面的球心）形成的三角形也是一个动态的封闭三角形（图中大阴影三角形），并且始终与三力形成的封闭三角形相似，则有如下比例式：

R

N R h mg L T =+= 可得：mg R h L

T += 运动过程中L 变小，T 变小。

R N mg h R

=+ 运动中各量均为定值，故支持力N 不变。综上所述，正确答

案为选项D 。

4. C 解析：有漏电现象，AB F 减小，则漏电瞬间质点B 的静止状态被打破，必定向下运动。对小球漏电前和漏电过程中进行受力分析如图所示。

由于漏电过程缓慢进行，则任意时刻均可视为平衡状态。三力作用构成动态下的封闭三角形，而对应的实物质点A 、B 及绳墙和P 点构成动态封闭三角形，且有如下图所示不同位置时阴影三角形的相似情况。

则有相似比例： AB

F

PB T PQ mg AB == 可得：mg PQ

PB

T ?= 变化过程PB 、PQ 、mg 均为定值，所以T 不变。正确答案为C 。

5. B 解析：以小球B 为研究对象，分析受力情况，由平衡条件可知，弹簧的弹力N 和绳子的拉力F 的合力F 合与重力mg 大小相等，方向相反，即F 合=mg ，作出力的合成力如图。

由三角形相似得

F F

OA OB

=合，又由题OA=OB=L ，得F=F 合=mg ，可见，绳子的拉力F 只与小球B 的重力有关，与弹簧的劲度系数k 关，所以得到F 1=F 2。故选B 。

6. AC 解析：以结点B 为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图。

根据平衡条件知，F 、N 的合力F 合与G 大小相等、方向相反。据三角形相似得

F F N

AC AB BC

==合，又F 合=G 得AB F G AC =，BC

N G AC

=

现使∠BCA 缓慢变小的过程中，AB 变小，而AC 、BC 不变，则得到F 变小，N 不变，所以绳子越来越不容易断，作用在BC 杆上的压力大小不变。选项B 、D 错误，A 、C 正确。

7. B 解析：在手臂OA

由图可知F A 是逐渐减小的，但不一定小于运动员的重力，选项A 、C 错误；F B 是逐渐减小的，选项D 错误；F A 与F B 的合力始终等于人的重力，大小不变，选项B 正确。

8. AB 解析：以Q 为研究对象，受重力G Q 、P 对Q 的弹力F P 、M 板对Q 的弹力F 1的作用而平衡，如图所示：

当Q下移时，F P的方向顺时针偏转，由图可知，挡板的弹力逐渐增大（由图中F1变为F2），P对Q的弹力也逐渐增大（由图中AB1变为AB2），故选项A对，选项C错。Q所受合力始终为零。

9. F1逐渐变小，F2先变小后变大。（当F2⊥F1，即挡板与斜面垂直时，F2最小）

解析：由于挡板是缓慢转动的，可以认为每个时刻小球都处于静止状态，因此所受合力为零。应用三角形定则，G、F1、F2三个矢量应组成封闭三角形，其中G的大小、方向始终保持不变；F1的方向不变；F2的起点在G的终点处，而终点必须在F1所在的直线上，由图可知，挡板逆时针转动90o的过程中，F2矢量也逆时针转动90o，因此F1逐渐变小，F2先变小后变大。（当

F2⊥F1，即挡板与斜面垂直时，F2最小）