50直线的交点坐标距离公式与对称问题
两条直线的交点、距离公式与对称问题
第八章 第二节 两条直线的交点、距离公式与对称问题一、选择题(本大题共6个小题，每小题5分，共30分)1．已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值等于( )A ．0或－12 B.12或－6 C ．－12或12 D ．0或122．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝03．P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2) 4．直线l 1：3x ＋4y －7＝0与直线l 2：6x ＋8y ＋1＝0间的距离为( )A.85B.32 C ．4D ．8 5．使三条直线4x ＋y ＝4，mx ＋y ＝0,2x －3my ＝4不能围成三角形的m 值最多有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．曲线|x |2－|y |3＝1与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，则m 的取值范围是( ) A ．m >4或m <－4B ．－4<m <4C ．m >3或m <－3D ．－3<m <3二、填空题(本大题共3小题，每小题4分，共12分)7．过两直线x ＋3y －10＝0和y ＝3x 的交点，并且与原点距离为1的直线方程为________________．8．已知实数x 、y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为________．9．函数y ＝a 2x －2(a >0，a ≠1)的图像恒过点A ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0经过点A ，则坐标原点O 到直线l 的距离的最大值为________．三、解答题(本大题共3小题，共38分)10．(12分)已知直线l 经过点P (3,1)，且被两平行直线l 1：x ＋y ＋1＝0和l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段之长为5，求直线l 的方程．11．(12分)已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0.求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等．12．(14分)两条互相平行的直线分别过点A (6,2)和B (－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d ，求：(1)d 的变化范围；(2)当d 取最大值时，两条直线的方程．详解答案一、选择题(本大题共6个小题，每小题5分，共30分)1．解析：依题意得|3m ＋2＋3|m 2＋1＝|－m ＋4＋3|m 2＋1，∴|3m ＋5|＝|m －7|， ∴3m ＋5＝m －7或3m ＋5＝7－m .∴m ＝－6或m ＝12. 答案：B2．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0x ＝1得交点A (1,1)， 且可知所求直线斜率为－12.∴方程为x ＋2y －3＝0. 答案：D3．解析：设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋(－1)2＝2，|4x －6|＝2,4x －6＝±2， ∴x ＝1或x ＝2，∴P (1,2)或(2，－1)．答案：C4．解析：因为直线l 2的方程可化为3x ＋4y ＋12＝0.所以直线l 1与直线l 2的距离为|12＋7|32＋42＝32. 答案：B5．解析：要使三条直线不能围成三角形，只需其中两条直线平行或者三条直线共点即可．若4x ＋y ＝4与mx ＋y ＝0平行，则m ＝4；若4x ＋y ＝4与2x －3my ＝4平行，则m ＝－16； 若mx ＋y ＝0与2x －3my ＝4平行，则m 值不存在；若4x ＋y ＝4与mx ＋y ＝0及2x －3my ＝4共点，则m ＝－1或m ＝23. 综上可知，m 值最多有4个．答案：D 6．解析：曲线|x |2－|y |3＝1的草图如图所示．与直线y ＝2x ＋m 有两个交点 .则m >4或m <－4.答案：A二、填空题(本大题共3小题，每小题4分，共12分)7．解析：设所求直线为(x ＋3y －10)＋λ(3x －y )＝0，整理，得(1＋3λ)x ＋(3－λ)y －10＝0.由点到直线距离公式，得λ＝±3.∴所求直线为x ＝1和4x －3y ＋5＝0.答案：x ＝1或4x －3y ＋5＝08．解析：x 2＋y 2表示点(x ，y )到原点的距离．根据数形结合得x 2＋y 2的最小值为原点到直线2x ＋y ＋5＝0的距离，即d ＝55＝ 5. 答案： 59．解析：由指数函数的性质可得：函数y ＝a 2x －2(a >2，a ≠1)的图像恒过点A (1,1)．法一：∵直线l ：mx ＋ny －1＝0经过点A (1,1)，∴坐标原点O 到直线l 的距离的最大值为|OA |＝ 2.法二：∵A ∈l ，∴m ＋n －1＝0，即m ＋n ＝1，由基本不等式可得：m 2＋n 2≥12(m ＋n )2＝12. O 到直线l 的距离d ＝1m 2＋n 2≤122＝2，∴O 到直线l 的距离的最大值为 2. 答案： 2三、解答题(本大题共3小题，共38分)10．解：法一：若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1、l 2的交点分别为A (3，－4)和B (3，－9)，截得的线段AB 的长|AB |＝|－4＋9|＝5.符合题意．若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋1＝0， 得A (3k －2k ＋1，－4k －1k ＋1) 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋6＝0， 得B (3k －7k ＋1，－9k －1k ＋1) 由|AB |＝5，得(3k －2k ＋1－3k －7k ＋1)2＋(－4k －1k ＋1＋9k －1k ＋1)2＝52. 解之，得k ＝0，即所求的直线方程为y ＝1.综上可知，所求l 的方程为x ＝3或y ＝1.法二：由题意，直线l 1、l 2之间的距离为d ＝|1－6|2＝522，且直线l 被平行直线l 1、l 2所截得的线段AB 的长为5(如图所示)，设直线l 与直线l 1的夹角为θ，则sin θ＝5225＝22，故θ＝45°. 由直线l 1：x ＋y ＋1＝0的倾斜角为135°，知直线l 的倾斜角为0°或90°，又由直线l 过点P (3,1)，故直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.11．解：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0，即a 2－a －b ＝0.①又点(－3，－1)在l 1上，∴－3a ＋b ＋4＝0②由①②得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 1∥l 2，∴a b ＝1－a ，∴b ＝a 1－a. 故l 1和l 2的方程可分别表示为：(a －1)x ＋y ＋4(a －1)a＝0， (a －1)x ＋y ＋a 1－a＝0， 又原点到l 1与l 2的距离相等．∴4⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪a 1－a ，∴a ＝2或a ＝23， ∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2. 12．解：(1)当两条平行直线与AB 垂直时，两平行直线间的距离最大，最大值为d ＝|AB |＝(6＋3)2＋(2＋1)2＝310，当两条平行线各自绕点B ，A 逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0<d ≤310，即所求的d 的变化范围是(0,310]．(2)当d 取最大值310时，两条平行线都垂直于AB ，所以k ＝－1k AB ＝－12－(－1)6－(－3)＝－3， 故所求的直线方程分别为y －2＝－3(x －6)和y ＋1＝－3(x ＋3)，即3x ＋y －20＝0和3x ＋y ＋10＝0.。
点关于直线对称的点的公式
点关于直线对称的点的公式直线对称是平面几何学中的一个重要概念，用于描述物体、图形在平面上关于一条线对称时的性质。
它在许多数学和物理学领域中都有重要应用，例如在几何图形的构造、对称性的分析和问题解决等方面。
在二维平面几何中，直线对称可以描述为：如果一标点在平面上，直线L上有一点A，那么A的对称点A'满足：1.A和A'关于直线L对称；2.L垂直于AA'的中垂线。
即AA'和L的交点为A和A'的中点。
下面我们来介绍关于直线对称的一些公式和性质。
一、点关于x轴对称的点的公式：1.已知点P(x,y)，点P'是点P关于x轴的对称点，那么P'的坐标为(x,-y)。
推导过程如下：由于P和P'关于x轴对称，所以P和P'在x轴上的距离相等，即x轴距离P的点与x轴距离P'的点保持不变。
由于x轴的坐标为0，所以P'的坐标仍然是x，而y轴坐标为-y，即P'(x,-y)。
示例：已知点A(3,4)，求点A关于x轴的对称点A'的坐标。
解：根据公式，点A'的坐标为(3,-4)。
2.已知点P(x,y)，点Q是点P关于x轴的对称点，可以通过将P关于x轴的坐标求负得到Q的坐标。
即Q的坐标为(x,-y)。
解：根据公式，点Q的坐标为(2,5)。
二、点关于y轴对称的点的公式：1.已知点P(x,y)，点P'是点P关于y轴的对称点，那么P'的坐标为(-x,y)。
推导过程如下：由于P和P'关于y轴对称，所以P和P'在y轴上的距离相等，即y轴距离P的点与y轴距离P'的点保持不变。
由于y轴的坐标为0，所以P'的坐标仍然是y，而x轴坐标为-x，即P'(-x,y)。
示例：已知点C(4,-2)，求点C关于y轴的对称点C'的坐标。
解：根据公式，点C'的坐标为(-4,-2)。
2.已知点P(x,y)，点Q是点P关于y轴的对称点，可以通过将P关于y轴的坐标求负得到Q的坐标。
高中数学必修2《第3章：直线与方程(3.3直线的交点坐标与距离公式1)》学生版
个 性 化 辅 导 教 案学员姓名 科 目 年 级 授课时间课 时3授课老师教学目标 1、掌握两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法 2、掌握数形结合的学习方法重点难点重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。
难点：两直线相交与二元一次方程的关系。
第三章：直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3．3.1 & 3.3.2 两直线的交点坐标、两点间的距离 第一课时 两直线的交点坐标、两点间的距离(新授课)两条直线的交点坐标[导入新知]1．两直线的交点坐标几何元素及关系代数表示 点A A (a ，b ) 直线l l ：Ax ＋By ＋C ＝0 点A 在直线l 上 Aa ＋Bb ＋C ＝0直线l 1与l 2的交点是A方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ay ＝b2．两直线的位置关系方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一组 无数组 无解 直线l 1与l 2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l 1与l 2的位置关系相交重合平行[化解疑难]两直线相交的条件(1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．(2)设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2相交的条件是A 1B 2－A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2，B 2≠0)．(3)设两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1与l 2相交⇔k 1≠k 2.两点间的距离[导入新知] 两点间的距离公式(1)公式：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根． [化解疑难]两点间距离公式的理解(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)当直线P 1P 2平行于x 轴时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. 当直线P 1P 2平行于y 轴时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|. 当点P 1、P 2中有一个是原点时，|P 1P 2|＝x 2＋y 2.两条直线的交点问题[例1] 判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l 1：5x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0； (2)l 1：2x －6y ＋3＝0，l 2：y ＝13x ＋12；(3)l 1：2x －6y ＝0，l 2：y ＝13x ＋12.[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－103，y ＝143.所以l 1与l 2相交，且交点坐标为⎝⎛⎭⎫－103，143. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋3＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6整理得2x －6y ＋3＝0.因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合． (3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6－①得3＝0，矛盾．方程组无解，所以两直线无公共点，l 1∥l 2. [类题通法]判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值． (2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． [活学活用]1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标： (1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0.直线恒过定点问题[例2] 求证：不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都过某一定点． [证明] 法一：取m ＝1时，直线方程为y ＝－4；取m ＝12时，直线方程为x ＝9.两直线的交点为P (9，－4)，将点P 的坐标代入原方程左边＝(m －1)×9＋(2m －1)×(－4)＝m －5. 故不论m 取何实数，点P (9，－4)总在直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5上， 即直线恒过点P (9，－4)．法二：原方程化为(x ＋2y －1)m ＋(－x －y ＋5)＝0. 若对任意m 都成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4.所以不论m 为何实数，所给直线都过定点P (9，－4)． [类题通法]解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得．若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0)．[活学活用]2．求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．两点间距离公式的应用[例3] 已知点A (1,1)，B (5,3)，C (0,3)，求证：△ABC 为直角三角形． [证明] 法一：∵|AB |＝(5－1)2＋(3－1)2＝25， |AC |＝(0－1)2＋(3－1)2＝5， 又|BC |＝(5－0)2＋(3－3)2＝5， ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2， ∴△ABC 为直角三角形． 法二：∵k AB ＝3－15－1＝12，k AC ＝3－10－1＝－2，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∴△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形．[类题通法]1．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，则|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 2．解答本题还要注意构成三角形的条件． [活学活用]3．已知点A (－1,2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |，并求|P A |的值．8.两条直线相交求参数中的误区[典例] 若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0 ，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则a 应满足的条件是( )A ．a ＝1或a ＝－2B ．a ≠±1C ．a ≠1且a ≠－2D ．a ≠±1且a ≠－2[解析] 为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．(1)若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1，y ＝1，将l 2，l 3的交点(－a －1,1)代入l 1的方程解得a ＝1或a ＝－2①；(2)若l 1∥l 2，则由a ×a －1×1＝0，得a ＝±1②， 当a ＝1时，l 1与l 2重合；(3)若l 2∥l 3，则由1×1－a ×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 2与l 3重合； (4)若l 1∥l 3，则由a ×1－1×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 1与l 3重合． 综上，当a ＝1时，三条直线重合；当a ＝－1时，l 1∥l 2；当a ＝－2时，三条直线交于一点， 所以要使三条直线能构成三角形，需a ≠±1且a ≠－2. [答案] D [易错防范]①处，解题过程中，由a ＝1或a ＝－2得a ≠1且a ≠－2，此种错误只考虑了三条直线相交于一点不能构成三角形，而忽视了任意两条平行或重合的直线也不能构成三角形．②处，若得到a ≠±1，只考虑了直线的斜率不相等的条件，而忽视了三条直线相交于一点也不能构成三角形．解答此类问题由条件不易直接求参数，可考虑从反面入手，同时考虑问题要全面，不要漏掉某些情形． [成功破障](2013·银川高一检测)直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( ) A.12B ．－12C.23 D ．－23[随堂即时演练]1．直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点的坐标为( ) A ．(－4，－3) B ．(4,3) C ．(－4,3)D ．(3,4)2．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A ．1 B ．－5 C ．1或－5D ．1－或53．设Q (1,3)，在x 轴上有一点P ，且|PQ |＝5，则点P 的坐标是________．4．若p ，q 满足p －2q ＝1，直线px ＋3y ＋q ＝0必过一个定点，该定点坐标为________．5．(2012·山东德州高一检测)分别求经过两条直线2x ＋y －3＝0和x －y ＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．(1)平行于直线l 1：4x －2y －7＝0； (2)垂直于直线l 2：3x －2y ＋4＝0.第二课时 两直线的交点坐标、两点间的距离(习题课)1．两条直线的交点坐标如何求？2．如何根据方程组的解判断两直线的位置关系？3．平面内两点间的距离公式是什么？4．过定点的直线系方程有什么特点？5．如何用坐标法解决几何问题？6．点关于点的对称点，点关于线的对称点如何求？两直线交点问题的综合应用[例1] 过点M (0,1)作直线，使它被两已知直线l 1：x －3y ＋10＝0和l 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线的方程．[解] 法一：过点M 与x 轴垂直的直线显然不合要求，故设所求直线方程为y ＝kx ＋1.若与两已知直线分别交于A ，B 两点，则解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x －3y ＋10＝0，和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0，可得x A ＝73k －1，x B ＝7k ＋2.由题意73k －1＋7k ＋2＝0， ∴k ＝－14.故所求直线方程为x ＋4y －4＝0.法二：设所求直线与两已知直线分别交于A 、B 两点，点B 在直线2x ＋y －8＝0上，故可设B (t,8－2t )，由中点坐标公式得A (－t,2t －6)．又因为点A 在直线x －3y ＋10＝0上，所以(－t )－3(2t －6)＋10＝0，得t ＝4，即B (4,0)．由两点式可得所求直线方程为x ＋4y －4＝0.[类题通法]两条直线的交点坐标就是联立两条直线方程所得的方程组的解． 解法一体现了方程思想，要学会利用． [活学活用]1．若直线5x ＋4y －2m －1＝0与直线2x ＋3y －m ＝0的交点在第四象限，求m 的取值范围．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2m －1＝0，2x ＋3y －m ＝0，得⎩⎨⎧x ＝2m ＋37，y ＝m －27，即两直线的交点坐标为⎝⎛⎭⎫2m ＋37，m －27.∵此交点在第四象限，∴⎩⎨⎧2m ＋37＞0，m －27＜0，解得－32＜m ＜2.故所求m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－32，2.对称问题[例2] 一束光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4,3)，求反射光线的方程． [解] 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎨⎧b a ·(－43)＝－1，8×a 2＋6×b2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)， 又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线方程 为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，8x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78，y ＝3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y ＝3(x ≤78)．[类题通法]1．点关于直线对称的点的求法点N (x 0，y 0)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的对称点M (x ，y )可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0x －x 0·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1(AB ≠0)A ·x ＋x 02＋B ·y ＋y2＋C ＝0求得．2．直线关于直线的对称的求法求直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称的直线l 2的方程的方法是转化为点关于直线对称，在l 1上任取两点P 1和P 2，求出P 1、P 2关于直线l 的对称点，再用两点式求出l 2的方程．[活学活用]2．与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( ) A ．3x －2y ＋2＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0 D ．2x ＋3y ＋8＝0坐标法的应用[例3] 一长为3 m ，宽为2 m 缺一角A 的长方形木板(如图所示)，长缺0.2 m ，宽缺0.5 m ，EF 是直线段，木工师傅要在BC 的中点M 处作EF 延长线的垂线(直角曲尺长度不够)，应如何画线？[解] 以AB 所在直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴建立直角坐标系， 则E (0.2,0)，F (0,0.5)，B (3,0)，D (0,2)，M (3,1)， 所以EF 所在直线斜率k ＝0.5－0.2＝－52.∵所求直线与EF 垂直，∴所求直线斜率为k ′＝25，又直线过点M (3,1)，所以所求直线方程为y －1＝25(x －3)．令y ＝0，则x ＝0.5，所以所求直线与x 轴交点为(0.5,0)，故应在EB 上截|EN |＝0.3 m ，得点N ，即得满足要求的直线MN . [类题通法]1．坐标法解决实际应用题，首先通过建立模型将它转化为数学问题．2．用坐标法解决几何问题，首先要建立适当的坐标系，用坐标表示有关量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系．[活学活用]3．已知等腰梯形ABCD ，建立适当的坐标系，证明：对角线|AC |＝|BD |.9.利用转化思想求最值[典例] 在x 轴上求一点P ，使得(1)P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大，并求出最大值； (2)P 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小，并求出最小值．[解题流程]在求有关距离之和最小或距离之差最大时，需利用对称性和几何性质求解.①三角形的两个顶点知道，第三个顶点在x 轴上；②三角形两边之差小于 第三边，两边之和大于第三边.在x 轴上求点P ，使|P A |－|PB |或|PB |－|P A |最大，以及|P A |＋|PC |最小，应首先画出图形，利用对称性及三角形三边关系求解.[规范解答]如图，(1)直线BA 与x 轴交于点P ，此时P 为所求点，(2分) 且|PB |－|P A |＝|AB |＝(0－4)2＋(4－1)2＝5.(3分) ∵直线BA 的斜率k BA ＝1－44＝－34，(4分) ∴直线BA 的方程为y ＝－34x ＋4.令y ＝0得x ＝163，即P ⎝⎛⎭⎫163，0.故距离之差最大值为5，此时P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫163，0，(6分) (2)作A 关于x 轴的对称点A ′，则A ′(4，－1)，连接CA ′，则|CA ′|为所求最小值，直线CA ′与x 轴交点为所求点．(7分)又|CA ′|＝(4－3)2＋(－1－4)2＝26，(9分)直线CA ′的斜率k CA ′＝－1－44－3＝－5，则直线CA ′的方程为y －4＝－5(x －3)．令y ＝0得x ＝195，即P ⎝⎛⎭⎫195，0.(11分)故距离之和最小值为26，此时P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫195，0.(12分)[名师批注]若在x 轴上另取一点P ′，则|P ′B |－|P ′A |＜|BA |，因此，|AB |为最大值由点斜式写出直线AB 方程，再令y ＝0即可由A 、C 点在x 轴同侧，可作A 关于x 轴的对称点A ′(也可作C 关于x 轴对称点C ′)，转化为|CA ′|为最小值，若再找一点P 0，则|P 0A |＋|P 0C |＝|P 0A ′|＋|P 0C |＞|A ′C |[活学活用]求函数f (x )＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值．[随堂即时演练]1．(2012·济宁高一检测)已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点为(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( ) A ．2 B ．4 C ．5D.172．已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x －y ＝4}，那么集合M ∩N 为( ) A ．{3，－1} B ．3，－1 C ．(3，－1)D ．{(3，－1)}3．经过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0垂直的直线l 的方程为________． 4．点A (4,5)关于直线l 的对称点为B (－2,7)，则直线l 的方程为________．5．已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM |＝12|BC |.3．3.3 & 3.3.4 点到直线的距离 两条平行线间的距离[导入新知]点到直线的距离与两条平行线间的距离点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长度 公式点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)之间的距离 d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2[化解疑难]1．点到直线的距离公式需注意的问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求P 0(x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离，应先把直线方程化为kx －y ＋b ＝0，得d ＝|kx 0－y 0＋b |k 2＋1.2．点到几种特殊直线的距离 (1)点P 0(x 0，y 0)到x 轴的距离d ＝|y 0|； (2)点P (x 0，y 0)到y 轴的距离d ＝|x 0|；(3)点P (x 0，y 0)到与x 轴平行的直线y ＝b (b ≠0)的距离d ＝|y 0－b |； (4)点P (x 0，y 0)到与y 轴平行的直线x ＝a (a ≠0)的距离d ＝|x 0－a |. 3．对平行线间的距离公式的理解(1)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x ，y 的系数对应相等． (2)当两直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决 ①两直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则d ＝|x 2－x 1|； ②两直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则d ＝|y 2－y 1|.点到直线的距离[例1] 求点P (3，－2)到下列直线的距离：(1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.[解] (1)直线y ＝34x ＋14化为一般式为3x －4y ＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝|3×3－4×(－2)＋1|32＋(－4)2＝185. (2)因为直线y ＝6与y 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|－2－6|＝8. (3)因为直线x ＝4与x 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|3－4|＝1. [类题通法]应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．[活学活用]1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A.2 B ．2－ 2 C.2－1D.2＋12．点P (2,4)到直线l ：3x ＋4y －7＝0的距离是________．两平行线间的距离[例2] 求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程． [解] 法一：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0. 在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0(0，12)，则点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为|－12×12＋C |52＋(－12)2＝|C －6|13，由题意，得|C －6|13＝2，所以C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 法二：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋(－12)2，解得C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. [类题通法]求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝|b 1－b 2|k 2＋1；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2时，d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.但必须注意两直线方程中x ，y 的系数对应相等．[活学活用]3．(2012·岳阳高一检测)两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为________．距离的综合应用[例3] 求经过点P (1,2)，且使A (2,3)，B (0，－5)到它的距离相等的直线l 的方程．[解] 法一：当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)．由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0.法二：由平面几何知识知l ∥AB 或l 过线段AB 的中点． ∵直线AB 的斜率k AB ＝4，若l ∥AB ，则l 的方程为4x －y －2＝0.若l 过AB 的中点(1，－1)，则直线方程为x ＝1， 故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0. [类题通法]解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l 的特征，然后由已知条件写出l 的方程．[活学活用]4．求经过两直线l 1：x －3y －4＝0与l 2：4x ＋3y －6＝0的交点，且和点A (－3,1)的距离为5的直线l 的方程．9.漏掉直线斜率不存在的情况[典例] 直线l 1过点A (0,1)，l 2过点B (5,0)，如果l 1∥l 2，且l 1与l 2的距离为5，求l 1，l 2的方程． [解] (1)若直线l 1，l 2的斜率存在①，设直线的斜率为k ，由斜截式得l 1的方程y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0.由点斜式可得l 2的方程为y ＝k (x －5)，即kx －y －5k ＝0.因为直线l 1过点A (0,1)，则点A 到直线l 2的距离d ＝|－1－5k |(－1)2＋k 2＝5，∴25k 2＋10k ＋1＝25k 2＋25，∴k ＝125，∴l 1的方程为12x －5y ＋5＝0，l 2的方程为12x －5y －60＝0.(2)若l 1，l 2的斜率不存在①，则l 1的方程为x ＝0，l 2的方程为x ＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件． 综上所述，满足条件的直线方程有两组：l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0；或l 1：x ＝0，l 2：x ＝5.[易错防范]1．①处容易漏掉l 1，l 2的斜率都不存在的情形而导致错误．2．用待定系数法求直线方程时，一定要对斜率是否存在的情况进行讨论． [成功破障]经过点A (1,2)且到原点的距离等于1的直线方程为________．[随堂即时演练]1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A ．1 B. 3 C ．2D. 52．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1，l 2之间的距离为( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2。
两直线的交点坐标与距离公式
【直解线析 的交】点（为1）A当(1斜, 率 53不),B存(1在, 时13，0 )直, 线方程为x=1,与两 ∴|AB|= 5 10 5 2 .∴x=1不是所求直线.
3 3 3
(2)当斜率存在时,设为k,则所求直线的方程为y-2=k(x-
1),它与两已知直线分别联立,求出它与两已知直线的交
由点到直线的距离公式得
=
,
1
12 + k 2
22 + (-1)2
解得k= 2 (k=2舍去),∴直线l2的方程为x-2y=0.
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1.中心对称
（1）若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称，则由中点
坐标公式得
x=2a-x1 y=2b-y1.
（2）直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上 取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的
(3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0.
其斜率 解得λ=
3 5 5
2 2 3
1,代入直线系方程即得l的方程为5x+3y-1=0.
5
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考点2 距离问题
已知点P（2，-1）. （1）求过P点且与原点距离为2的直线l的方程； （2）求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距 离是多少？
3
∴直线l的方程为y-2=-
1
(x+1),
3
即x+3y-5=0.
当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=-1，也符合题意.
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解法二:当AB∥l时,有k=kAB=-1 (x+1),即x+3y-5=0.
1，直线l的方程为y-2=
2021_2022学年高中数学第3章直线与方程3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离
2．两条平行直线间的距离 (1) 定 义 ： 夹 在 两 条 平 行 直 线 间 _公__垂__线__段_ 的 长 叫 做 这 两 条 平 行 直 线 间 的 距
离． (2)求法：转化为求_点__到__直__线_的距离，即在其中任意一条直线上任取一点，
这点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离．
[思路点拨]
思路一
由直线平行设出方程
→
利用平行线间 的距离公式求解
思路二
设出直线上任意 一点的坐标
→
Байду номын сангаас
利用点到直线的距 离公式求出直线上的 点满足的方程即可
[解析] 方法一 由已知可设所求直线的方程为 2x－y＋C＝0(C≠－1)，则它 与直线 2x－y－1＝0 的距离为 d＝ |C22－＋－－11|2＝|C＋51|＝2，
互动探究学案
命题方向1 ⇨点到直线的距离公式
典例 1 求点 P(3，－2)到下列直线的距离． (1)y＝34x＋14； (2)y＝6; (3)x＝4. [思路分析] 解答本题可先把直线方程化为一般式(特殊直线可以不化)，然后 再利用点到直线的距离公式及特殊形式求出相应的距离．
[解析] (1)把方程 y＝34x＋14写成 3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得 d ＝|3×3－324＋×－－422＋1|＝158.
或 x＋y－6＝0.
综上，所求直线 l 的方程为 x－y＝0 或 7x＋y＝0 或 x＋y－2＝0 或 x＋y－6＝
0.
命题方向2 ⇨求两平行直线的距离
典例 2 (2019·山东省烟台市期末)与直线 2x－y－1＝0 平行，且距离为 2 的直线方程为_2_x_－__y_＋__2__5_－___1_＝__0_或___2_x－__y_－__2___5_－__1_＝__0_. ______
直线中的对称与最值问题
直线中的对称与最值问题前缀直线是一种在二维平面上的数据结构，用于快速求解关于二维空间中的一条直线的对称点和最值问题。
它的基本思想是将直线上的点按照与直线的距离排序，然后通过前缀和数组来维护距离的累计和，从而实现快速查询。
下面分别介绍对称和最值问题的应用。
对称问题对于一条直线L和一点P，直线L的对称点Q是指在直线L 上，线段P-Q 的中点M 与P重合的点Q，也就是点P关于直线L的对称点。
对称问题就是给出一个点P和一条直线L，求出点P关于直线L的对称点Q。
前缀直线可以用来解决对称问题。
具体步骤如下：1. 对于直线L上的每个点Q，计算点P到点Q的距离d(P,Q)，并对所有距离从小到大排序。
2. 用前缀和数组S[i]表示距离小于等于d[i]的所有点的距离之和，即S[i]=sum(d[j])，其中j=1,2, (i)3. 对于任意M，假设其为点P到直线L的垂线与直线L的交点，则点Q在直线L上的投影P'到点M的距离等于点P到点M的距离，即d(P,M)=d(Q,M)。
4. 对于点M，求出其到直线L的距离d(M,L)，并根据前缀和数组求出点Q到直线L的距离d(Q,L)。
由于d(P,M)=d(Q,M)和d(M,L)=d(Q,L)，则点Q即为点P关于直线L的对称点。
最值问题对于一条直线L，最值问题就是求出在直线L上所有点的某个属性（如横坐标、纵坐标等）的最小值或最大值。
前缀直线同样可以用来解决最值问题。
具体步骤如下：1. 对于直线L上的每个点Q，计算其属性（如横坐标或纵坐标）的值，将其从小到大排序。
2. 用前缀和数组S[i]表示前i个点的属性的和，即S[i]=sum(v[j])，其中j=1,2, (i)3. 对于任意M，假设其为点P到直线L的垂线与直线L的交点，则直线L上属性最小值对应的点的属性值即为S[i]-v[i]，其中i为满足v[i]<=v(M)的最大的i。
同理，直线L上属性最大值对应的点的属性值即为S[n]-S[i]-v[i]，其中i为满足v[i]>=v(M)的最小的i。
人教版高中数学必修二 讲学案：第三章 3.3 直线的交点坐标与距离公式
三条直线ax＋2y＋7＝0,4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一点，求a的值．
解：解方程组 得
所以两条直线的交点坐标为(4，－2)．
由题意知点(4，－2)在直线ax＋2y＋7＝0上，将(4，－2)代入，得a×4＋2×(－2)＋7＝0，解得a＝－ .
两点间距离公式
[典例](1)已知点A(－3,4)，B(2， )，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值；
在直线2x＋3y－6＝0上任取一点(3,0)，关于点(1，－1)对称点为(－1，－2)，
则点(－1，－2)必在所求直线上，
∴2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，C＝8.
∴所求直线方程为2x＋3y＋8＝0.
题点四：线关于线对称
4．求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l：2x－3y＋1＝0的对称直线m′的方程．
层级一 学业水平达标
1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是()
A．(4,1)B．(1,4)
C. D.
解析：选C由方程组 得 即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是 .
2．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为()
A．6B.
C．2D．不能确定
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．
解：(1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
则 解得 故A′(－2,8)．
因为P为直线l上的一点，
则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，
高考数学 直线的交点坐标与距离公式
高考数学 直线的交点坐标与距离公式1.若直线l 1：y ＝kx ＋k 2k 的取值范围是( )A ．k >－23B ．k <2C ．－23<k <2D ．k <－23或k >2 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋k ＋2y ＝－2x ＋4得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2－k k ＋2y ＝6k ＋4k ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2－k k ＋2>06k ＋4k ＋2>0得⎩⎪⎨⎪⎧－2<k <2，k <－2或k >－23，∴－23<k <2. 答案：C 2．若y ＝a |x |的图象与直线y ＝x ＋a (a >0)有两个不同交点，则a 的取值范围是 ( )A ．0<a <1B ．a >1C ．a >0且a ≠1D ．a ＝1 解析：结合图象知，a 的取值范围是a >1.答案：B3.直线l ：4x ＋3y －2＝0 ( )A ．4x ＋3y －4＝0B ．4x ＋3y －12＝0C ．4x －3y －4＝0D ．4x －3y －12＝0解析：在对称直线上任取一点P (x ，y )，则点P 关于点A 对称的点P ′(x ′，y ′)必在直线l 上．由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋x ＝2y ′＋y ＝2得P ′(2－x,2－y )，∴4(2－x )＋3(2－y )－2＝0，即4x ＋3y －12＝0.答案：B4．(2010·临沂质检)已知A (3,1)、B (－1,2)，若∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上， 则AC 所在直线方程是____________．解析：设点A 关于直线y ＝x ＋1对称的点A ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－1x 0－3＝－1y 0＋12＝x 0＋32＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0y 0＝4，即A ′(0,4)． ∴直线A ′B 的方程为2x －y ＋4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋4＝0y ＝x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝－2，得C (－3，－2)． ∴直线AC 的方程为x －2y －1＝0.答案：x －2y －1＝05.点(1，cos θ)到直线x sin θ＋y cos θ－1＝0的距离是14(0°≤θ≤180°)，那么θ＝ ( ) A ．150° B ．30°或150°C ．30°D ．30°或210°解析：由题意知14＝|sin θ＋cos 2θ－1|sin 2θ＋cos 2θ＝|sin θ－sin 2θ|， 又0≤sin θ≤1，∴sin 2θ－sin θ＋14＝0， (sin θ－12)2＝0，∴sin θ＝12， 又0°≤θ≤180°，∴θ＝30°或150°.答案：B6．(2010·武汉模拟)已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值等于 ( ) A.79 B ．－13 C ．－79或－13 D.79或13解析：由题意知|6a ＋3＋1|a 2＋1＝|－3a －4＋1|a 2＋1， 解得a ＝－13或a ＝－79. 答案：C7．(2010·孝昌模拟)若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则线段AB 的中点M 到原点的距离的最小值为 ( )A ．23B ．3 3C ．3 2D ．4 2解析：由题意知，M 点的轨迹为平行于直线l 1、l 2且到l 1、l 2距离相等的直线l ，其方程为x ＋y －6＝0，∴M 到原点的距离的最小值为d ＝62＝3 2. 答案：C8.(2009·哈尔滨模拟)若k ，y ＝kx ＋b 必经过定点( )A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2) 解析：因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－k －2，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．答案：A9．点P (－1,3)到直线l ：y ＝k (x －2)的距离的最大值等于 ( )A ．2B ．3C ．3 2D ．2 3解析：直线l ：y ＝k (x －2)的方程化为kx －y －2k ＝0，所以点P (－1,3)到该直线的距离为d ＝3|k ＋1|k 2＋1＝3 k 2＋2k ＋1k 2＋1＝3 1＋2k k 2＋1， 由于2k k 2＋1≤1，所以d ≤32， 即距离的最大值等于3 2.答案：C10．已知点A (3,1)，在直线x －y ＝0和y ＝0上分别有点M 和N 使△AMN 的周长最短，求点M 、N 的坐标．解：A (3,1)关于y ＝x 的对称点A 1(1,3)，A (3,1)关于y ＝0的对称点A 2(3，－1)，△AMN 的周长最小值为|A 1A 2|，|A 1A 2|＝25，A 1A 2的方程：2x ＋y －5＝0.A 1A 2与x －y ＝0的交点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0x －y ＝0⇒M (53，53)， A 1A 2与y ＝0的交点N ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －5＝0y ＝0⇒N (52，0)． 11．已知n 条直线：l 1：x －y ＋C 1＝0，C 1＝2且l 2：x －y ＋C 2＝0，l 3：x －y ＋C 3＝0，…，l n ：x －y ＋C n ＝0，其中C 1<C 2<C 3<…<C n ，这n 条平行直线中，每相邻两条之间的距离顺次为2,3,4，…，n .(1)求C n ；(2)求x －y ＋C n ＝0与x 轴、y 轴围成的图形的面积．解：(1)由已知条件可得l 1：x －y ＋2＝0，则原点O 到l 1的距离d 1＝1，由平行直线间的距离可得原点O 到l n 的距离d n 为1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2， ∵C n ＝2d n ，∴C n ＝2·n (n ＋1)2. (2)设直线l n ：x －y ＋C n ＝0交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，则△OMN 的面积S △OMN ＝12|OM |·|ON |＝12(C n )2＝n 2(n ＋1)24.。
两条直线位置关系以及点到直线距离公式
两条直线位置关系以及点到直线距离公式一、两条直线相交、平行、重合条件1. 重合：如何两条直线重合，那么化简之后的方程是一样的，具体为：1） 斜截式：直线111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+重合1212,k k b b ⇔==。
2） 一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=重合()1112222220A B C A B C A B C ⇔==≠。
3） 对于特殊情况〔直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论〕。
2．平行：如果两条直线斜率一样或垂直于x 轴，并且不重合，那么这两条直线就是平行的。
1） 斜截式：111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+平行1212,k k b b ⇔=≠ 2） 一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=平行()1112222220A B C A B C A B C ⇔=≠≠。
3） 对于特殊情况〔直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论〕 3.相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。
1〕斜截式：111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+相交12k k ⇔≠2〕一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=相交1221A B A B ⇔≠3〕对于特殊情况〔如果一条直线有斜率，而另一条直线没有斜率，那么这两条直线相交〕。
例1：直线()212:260,:110l ax y l x a y a ++=+-+-=，求适合以下条件的a 的取值范围。
1〕1l 与2l 相交； 2〕12//l l ； 3〕1l 与2l 重合。
例2：设三条直线21,23,345x y x ky kx y -=+=+=交于一点，求k 的值。
直线对于直线对称问题常用方法计划及技巧
直线对于直线对称问题的常用方法与技巧对称问题是高中数学的比较重要内容，它的一般解题步骤是：1. 在所求曲线上选一点 M (x, y) ；2. 求出这点对于中心或轴的对称点 M / (x 0 , y 0 ) 与 M ( x, y) 之间的关系； 3. 利用 f (x 0 , y 0 )0 求出曲线 g( x, y) 0 。
直线对于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题，但它的解法好多，现以一道典型习题为例给出几种常看法法，供大家参照。
例题：试求直线 l 1 : x y 1 0对于直线 l 2 : 3xy 3 0 对称的直线 l 的方程。
解法 1：（动点转移法）在 l 1 上任取点 P( x / , y / )( P l 2 ) ，设点 P 对于 l 2 的对称点为 Q( x, y) ，则3 x /x y / y3 0x /4 x 3y 92y / 25y1y / 3x4 y 3x / x35又点 P 在 l 1 上运动，因此 xy 1 0，因此4x3y 93x 4 y 3 1 0 。
即0 。
因此直线 l 的方程是 x55x 7 y 1 7 y 1 0 。
解法 2：（到角公式法）x y 1 0 x 1的交点为 A(1,0)解方程组3x y3 0y因此直线 l 1 ,l 2设所求直线 l 的方程为 y k( x1) ，即 kx y k0 , 由题意知， l 1 到 l 2 与 l 2 到 l 的角相等，则31 1 k 3 k1. 因此直线 l 的方程是 x7 y 1 0。
1 3 1 3k7解法 3：（取特别点法）由解法 2 知，直线 l 1, l 2 的交点为 A(1,0) 。
在 l 1 上取点 P （ 2，1），设点 P 对于 l 2 的对称点的坐标为 Q( x / , y /) ，则3 x /2y /13 0 x /42 2 5y / 11 y / 7x /235而点 A ， Q 在直线 l 上，由两点式可求直线 l 的方程是 x 7y 1 0 。
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一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分) 1．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值等于 ( )
A．0或－12 B.12或－6
C．－12或12 D．0或12 解析：依题意得|3m＋2＋3|m2＋1＝|－m＋4＋3|m2＋1， ∴|3m＋5|＝|m－7|，∴3m＋5＝m－7或3m＋5＝7－m. ∴m＝－6或m＝12. 答案：B 2．(2012·深圳模拟)已知p：直线l1：x－y－1＝0与直线l2：x＋ay－2＝0平行，q：a＝－1，则p是q的 ( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由于直线l1：x－y－1＝0与直线l2：x＋ay－2＝0平行的充要条件是1×a－(－1)×1＝0，即a＝－1. 答案：A 3．P点在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为2，则P点坐标为( ) A．(1,2) B．(2,1) C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2) 解析：设P(x,5－3x)，
则d＝|x－5＋3x－1|12＋－12＝2，|4x－6|＝2,4x－6＝±2， ∴x＝1或x＝2，∴P(1,2)或(2，－1)． 答案：C 4．已知直线l1的方向向量为a＝(1,3)，直线l2的方向向量为b＝(－1，k)，若直线l2过点(0,5)，且l1⊥l2，则直线l2的方程是 ( ) A．x＋3y－5＝0 B．x＋3y－15＝0 C．x－3y＋5＝0 D．x－3y＋15＝0 解析：因为直线l2经过点(0,5)，且方向向量为b＝(－1，k)．所以直线l2的方程为y－5＝－kx. 又因为直线l1的方向向量为a＝(1,3)，且l1⊥l2， 所以－k·3＝－1⇒k＝13，
所以直线l2的方程为y－5＝－13x.即x＋3y－15＝0. 答案：B 5．使三条直线4x＋y＝4，mx＋y＝0,2x－3my＝4不能围成三角形的m值最多有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：要使三条直线不能围成三角形，只需其中两条直线平行或者三条直线共点即可． 若4x＋y＝4与mx＋y＝0平行，则m＝4；
若4x＋y＝4与2x－3my＝4平行，则m＝－16； 若mx＋y＝0与2x－3my＝4平行，则m值不存在； 若4x＋y＝4与mx＋y＝0及2x－3my＝4共点，则m＝－1或m＝23. 综上可知，m值最多有4个． 答案：D
6．[文]曲线|x|2－|y|3＝1与直线y＝2x＋m有两个交点，则m的取值范围是 ( ) A．m>4或m<－4 B．－4C．m>3或m<－3 D．－3
解析：曲线|x|2－|y|3＝1的草图如图所示．与直线y＝2x＋m有两个交点 .则m>4或m<－4.
答案：A 6．[理]当直线y＝kx与曲线y＝|x|－|x－2|有3个公共点时，实数k的取值范围是( ) A．(0,1) B．(0,1] C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：依题意得，当x<0时，y＝－x＋(x－2)＝－2；当0≤x≤2时，y＝x＋(x－2)＝2x－2；当x>2时，y＝x－(x－2)＝2. 在直角坐标系中画出该函数的图像(如图)，将x轴绕着原点沿逆时针方向旋转，当旋转到直线恰好经过点(2,2)的过程中，相应的直线(不包括过点(2,2)的直线)与该函数的图像都有三个不同的交点，再进一步旋转，相应的直线与该函数的图像都不再有三个不同的交点，因此满足题意的k的取值范围是(0,1)． 答案：A 二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分) 7．过两直线x＋3y－10＝0和y＝3x的交点，并且与原点距离为1的直线方程为________________． 解析：设所求直线为(x＋3y－10)＋λ(3x－y)＝0， 整理，得(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0. 由点线距离公式，得λ＝±3. ∴所求直线为x＝1和4x－3y＋5＝0. 答案：x＝1或4x－3y＋5＝0 8．(2011·浙江高考)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________. 解析：法一：根据题意知，当m＝0时，两直线不会垂直，故m≠0.因直线x－2y＋5
＝0与直线2x＋my－6＝0的斜率分别为12和－2m，由垂直条件得12·(－2m)＝－1， 故m＝1. 法二：由直线x－2y＋5＝0,2x＋my－6＝0， 垂直知1×2＋(－2)×m＝0，∴m＝1. 答案：1
9．[文]已知1a＋1b＝1(a>0，b>0)，点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值为________．
解析：点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离为d＝a＋2b5＝15(a＋2b)(1a＋1b)＝15(3＋2ba＋ab)≥15(3＋22)＝35＋2105，当a2＝2b2且a＋b＝ab，由a＝1＋2，b＝2＋22时取等号．
答案：35＋2105 9．[理]函数y＝a2x－2(a>0，a≠1)的图像恒过点A，若直线l：mx＋ny－1＝0经过点A，则坐标原点O到直线l的距离的最大值为________． 解析：法一：由指数函数的性质可得：函数y＝a2x－2(a>2，a≠1)的图像恒过点A(1,1)，而A∈l， ∴m＋n－1＝0，即m＋n＝1，由均值不等式可得： m2＋n2≥12(m＋n)2＝12. O到直线l的距离d＝1m2＋n2≤122＝2，
∴O到直线l的距离的最大值为2. 法二：∵直线l：mx＋ny－1＝0经过点A(1,1)， ∴坐标原点O到直线l的距离的最大值为|OA|＝2. 答案：2 三、解答题(共3个小题，满分35分) 10．已知直线l经过点P(3,1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段之长为5，求直线l的方程． 解：法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1、l2的交点分别为A(3，－4)和B(3，－9)，截得的线段AB的长|AB|＝|－4＋9|＝5.符合题意． 若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1.
解方程组 y＝kx－3＋1，x＋y＋1＝0， 得A(3k－2k＋1，－4k－1k＋1)
解方程组 y＝kx－3＋1，x＋y＋6＝0， 得B(3k－7k＋1，－9k－1k＋1) 由|AB|＝5，得(3k－2k＋1－3k－7k＋1)2＋(－4k－1k＋1＋9k－1k＋1)2＝52. 解之，得k＝0，即所求的直线方程为y＝1. 综上可知，所求l的方程为x＝3或y＝1.
法二：由题意，直线l1、l2之间的距离为d＝|1－6|2＝522，且直线l被平行直线l1、l2所截得的线段AB的长为5(如图所示)，设直线l与直线l1的夹角为θ，
则sinθ＝5225＝22，故θ＝45°. 由直线l1：x＋y＋1＝0的倾斜角为135°，知直线l的倾斜角为0°或90°，又由直线l过点P(3,1)， 故直线l的方程为x＝3或y＝1. 11．已知两直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0. 求分别满足下列条件的a，b的值． (1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与l2垂直； (2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等． 解：(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0. 即a2－a－b＝0.① 又点(－3，－1)在l1上， ∴－3a＋b＋4＝0.② 由①②得a＝2，b＝2.
(2)∵l1∥l2，∴ab＝1－a，∴b＝a1－a. 故l1和l2的方程可分别表示为： (a－1)x＋y＋4a－1a＝0， (a－1)x＋y＋a1－a＝0， 又原点到l1与l2的距离相等．
∴4a－1a＝a1－a，∴a＝2或a＝23. ∴a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2. 12．(2011·荆州期末)已知点P(2，－1) (1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程； (2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 解：(1)过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，－1)，可见，过P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件． 此时l的斜率不存在，其方程为x＝2. 若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)， 即kx－y－2k－1＝0.
由已知，得|－2k－1|k2＋1＝2，解得k＝34. 此时l的方程为3x－4y－10＝0. 综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0. (2)作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，
由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－1kOP＝2. 由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)， 即2x－y－5＝0. 即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝5. (3)由(2)可知，过P点不存在到原点距离超过5的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线．