【名师推荐资料】2020-2021学年高中数学 第三章 直线与方程 3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1-3.3.2 两
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式习题3.3》617PPT课件
2.证明点到直线的距离公式的方法：
（1）转化为点到点的距离； （2）等面积法； （3）函数思想； （4）三角函数。
思想共鸣、经验共享、和谐共处、发展共进
6×4 - 21×0 - 1 62 +（-21）2
=
Байду номын сангаас
23 3 53
=
23 159
53,
所以l1，l2间的距离为
23 159
53.
已知两条平行直线 l1 : Ax By C1 0,
l2 : Ax By C2 0C1 C2 .
设 P(x0, y0 )是直线 l2 上的任意一点，则
Ax0 By0 C2 0,即 Ax0 By0 C2.
P( x0 , y0 )到l距离d
C B
y0
By0 C B
Ax0 By0 C A2 B2
B 0, l : Ax C 0 x C
A
P( x0 , y0 )到l距离d
C A
x0
Ax0 C A
Ax0 By0 C A2 B2
提示:适用.
公式的应用
例2. 已知ABC三点坐标，A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求ABC的面积
y0 y2
Ax0 By0 C B
RS PR2 PS 2
A2 B2 AB
Ax0 By0 C
公式推导（二）
由三角形面积公式可得：
d RS PR PS
d
A2 B2 AB
Ax0 By0 C
Ax0 By0 C . Ax0 By0 C
A
B
d Ax0 By0 C A2 B2
例3 已知直线 l1 : 2x 7 y 8 0,l2 : 6x 21y 1 0.
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式习题3.3》640PPT课件
9 1
9 1
解得 c 18 或 c 2 (舍)，
∴所求直线的方程为 3x y 18 0 .
四、线关于线的对称问题
直线关于直线的对称： 一般转化为点关于直线的对称来解决， 有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；
二是已知直线与对称轴平行．
例 4．求直线 l1：2x＋y－4＝0
关于直线 l：x－y＋2＝0 对称的直线 l2 的方程．
关于直线 l : x y 3 0 对称的圆 C 的方程
总结：
点 P(x0, y0 ) 关于直线 l ： Ax By C 0( A B 0) 的对称点 Q(x, y) ，
满足：
A
x0
2
x
B
y0
2
y
C
0
y
y0
(
A)
1
x x0 B
开课教师:简婷婷 指导教师：陈玉华，陈晓宇，黄玉萍
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线 l1，l2，其斜率都存在且分别为 k1，k2， 则有 l1∥l2⇔____k_1＝__k_2___；特别地，当直线 l1，l2 的斜率都不存 在时，l1 与 l2___平__行_____．
②直线关于点的对称，主要求解方法： (a)在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知 点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； (b)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所 求直线方程．
(2)轴对称问题的 2 个类型及求解方法
①点关于直线的对称：
若两点 P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)关于直线 l：Ax＋By＋C＝0 对称，
2021_2020学年高中数学第三章直线与方程3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离课件
即时训练1-1:求过直线2x-y+2=0和x+y+1=0的交点,且斜率为3的直线方程.
解:法一
(点斜式法)解方程组
2x y x y 1
2
0, 0,
得
x
y
1, 0,
所以两直线的交点坐标为(-1,0),又所求直线的斜率为 3,
故所求直线的方程为 y-0=3[x-(-1)],即 3x-y+3=0.
方法技巧 若已知两点的坐标 P1(x1,y1),P2(x2,y2),求两点间的距离,可直接应用两
点间的距离公式|P1P2|= x2 x1 2 y2 y1 2 .若已知两点间的距离,
求点的坐标,可设未知数,逆用两点间的距离公式列出方程,从而解决 问题.
即时训练2-1:△ABC三顶点坐标A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC 的形状.
(2)原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|= x2 y2
.
思考1:当直线P1P2平行于x轴时,|P1P2|怎么表示? 答案:当P1P2∥x轴(y1=y2)时,|P1P2|=|x2-x1|. 思考2:当直线P1P2平行于y轴时,|P1P2|又怎么表示? 答案:当P1P2∥y轴(x1=x2)时,|P1P2|=|y2-y1|.
所以 1 = 1 ≠ 4 2 ,
3 2
4
解得λ= 1 , 5
所以直线 l 的方程为 6 x- 4 y+ 18 =0,即 3x-2y+9=0. 55 5
方法技巧
(1)解此题有两种方法:一是采用常规方法,先通过解方程组求出两直 线交点,再根据平行关系求出斜率,由点斜式写出直线方程;二是设出 过两直线交点的方程,再根据平行条件待定系数求解. (2)过两条相交直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线 方程可设为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不含直线l2).
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式习题3.3》600PPT课件
解：∵ AB 边中线过 AB 边中点M 和△ABC 的重心G ，
AB中点M( 1 , 1 ) , ABC的重心G(1,1)， 22
由直线方程的两点式得AB边中线所在的直线方程y
y 1 x ( 1)
2 1 1
1
2 ( 1
)
,
2
2
C
. G ..M . B
A
O
x
所以AB边中线所在的直线方程 为 x y 0.
3
2
4
18
3x 2 y 10 0 .
例5 设m R，求证直线（m 1）x （2m 1）y 5m 4 0
恒过一定点，并求出这个定点的坐标.
解：取 m 0，得 l1：x y 4 0
取m 1，得 l2：3 y 9 0 即 y 3
解
方
程
组
x y
y 3
4
0
得两直线的交点(1，3)
4. 预习数学5教材第82页~86页
例例63.已知ABC的两个顶点A(3,0), B(2,1), ABC的
重心G(1,1)，求AB边中线所在直线的方程。
解2：设C（a, b）,
则
有
a
3 2 1 3 1b 1
y
3
C
. . 解得a 2,b 2, 即C（ 2，2）.
G.
.B
又ABC的重心G(1,1) ,
A
O
x
由两点式得直线CG方程为： y 1
此时，a
=
2
，
直 线l方 程 为
x 2
y 4
1
即
2x
y
4
0
.
练习. 过点P（1，2）作直线与两坐标轴正半轴相 交，当| PA | | PB | 最小时，求此直线的方程.
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行直线间的距离》101PPT课件
则 |01-+m3| =3,解得 m=±6. 答案:x- 3y+6=0 或 x- 3y-6=0
求平行于直线 Ax+By+C=0 的直线方程时,常设所求直线方程为
Ax+By+m=0(m≠C),利用待定系数法来解决.有关平行直线间距离问题,常利 用两条平行直线间的距离公式列出方程来解决.
-6-
1.1 DNA重组技术的基本工具
随堂练习
UITANG LIANXI
题型一
题型二
题型一 求两条平行线间的距离
【例 1】 求两条平行线 l1:3x+4y-5=0 和 l2:6x+8y-9=0 间的距离. 解:方法一:在直线 l1:3x+4y-5=0 上任取一点,
不妨取点 P
0,
5 4
,
则点 P 到直线 l2:6x+8y-9=0 的距离即为两条平行直线间的距离.
A2+B2
公式 d= |D1-D2| 称为两条平行直线 Ax+By+D1=0 和 Ax+By+D2=0 间的
A2+B2
距离公式,要注意前提条件: ①两直线方程均是一般式; ②一般式方程中 x,y 的系数对应相等.
-3-
1.1 DNA重组技术的基本工具
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UITANG LIANXI
两条平行直线间的距离公式
剖析:对于直线 l1:A1x+B1y+C1=0,直线 l2:A2x+B2y+C2=0.当直线 l1∥l2时,
高中数学3.3 直线的交点坐标与距离公式优秀课件
(1 )x ( 2) y (4 2) 0
k 1 1 3 1 11 2 2 4
所以直线的方程为：4x 3y 6 0
例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 且满足以下条件的直线l的方程。
(3)和直线2x-y+6=0平行
(1 )x ( 2) y (4 2) 0
(1 )2 ( 2)1 (4 2) 0
4 所以直线的方程为：x 2 y 4 0
例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 且满足以下条件的直线l的方程。
(2)和直线3x-4y+5=0垂直
解: (2) 设经过二直线交点的直线方程为：
例1 已知点A(1,2), B(2, 7 ),在x轴上求一点P, 使得| PA|| PB |, 并求| PA| 的值.
解 ： 设P点 的 坐 标 为(a,0) | PA| (1 a)2 (2 0)2 4 (a 1)2
| PB | (2 a)2 ( 7 0)2 7 (2 a)2 | PA|| PB | 4 (a 1)2 7 (2 a)2 解 得 ：a 1 | PA| 4 (a 1)2 2 2
A的坐标是方程组的解
直线l1与l2的交点是A
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1 C2
0 0
例1：求以下两条直线的交点： l1：3x+4y－2=0；l2： 2x解+y：+2解=0方. 程组
3x+4y－2 =0
x= －2
2x+y+2 = 0 得 y=2
∴l1与l2的交点是M〔- 2，2〕
练习1、判定以下各对直线的位置关系，假设相交，
2020年高中数学第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离课
2．求经过两条直线 l1：x－2y＋4＝0 和 l2：x＋y－2＝0 的 交点 P，且与直线 l3：3x－4y＋5＝0 垂直的直线 l 的方程．
点 P 在直线 l 上
Aa＋Bb＋C＝0
直线 l1 与 l2 的交 方程组AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC12＝ ＝00，
点是 P
的解是yx＝＝ba，
(2)两条直线的交点 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组 A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0. 若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐 标； 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行．
比较这三种方法可知，方法(1)计算较烦琐，方法(2)变形较困难，方法(3)最简
便因而也最常用.
4．已知直线 l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限； (2)若使直线 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围． 解：(1)证明：直线 l 的方程可化为 y－35＝ax－15， 所以不论 a 取何值，直线 l 恒过定点 A15，35， 又点 A 在第一象限， 所以不论 a 取何值，直线 l 恒过第一象限．
[答案] B
考向 3 线关于点对称
【例 7】 与直线 2x＋3y－6＝0 关于点(1，－1)对称的直线
方程是( )
A．3x－2y＋2＝0
B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0
D．2x＋3y＋8＝0
高一数学(3.3直线的交点坐标与距离公式(3课时))PPT教学课件
2020/12/11
l:AxByC0
A B a C b 0
点A的坐标是方程组的解
A1xB1yC1 0
A2xB2yC2 0
6
思考5：对于两条直线 l1:A 1 x B 1 y C 1 0 和 l2:A 2x B 2y C 2 0,若方程组
A A12xxB B12yyC C1200
有惟一解，有无数组解，无解，则两直 线的位置关系如何？
有直线吗？
2020/12/11
9
思考5:方程 m ( 3 x 4 y 2 ) n ( 2 x y 2 ) 0 表示经过直线l1和l2的交点的直线系，一 般地，经过两相交直线l1:A1x+B1y+C1=0 和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程 可怎样表示？
m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0
2020/12/11
10
理论迁移
例1 判断下列各对直线的位置关 系，如果相交，求出其交点的坐标.
（1）l1：xy0,
l2： 3x3y100;
（2）l1： 3xy40, l2： 6x2y10;
（3）l1： 3x4y50, l2 ： 6x8y100.
2020/12/11
11
例2 求经过两直线3x+2y+1=0和
思考2:直线2x+y-1=0与直线2x+y+1=0， 直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的位置 关系分别如何？
2020/12/11
4
思考3:能根据图形确定直线3x+4y-2=0与 直线2x+y+2=0的交点坐标吗？有什么办 法求得这两条直线的交点坐标？
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式习题3.3》592PPT课件
(1)点A 在x 轴上，点B 在y 轴上,线段AB 的中点M 的坐标是(3, 4) 求线段AB 的长 ； (2)已知点P 是直线l : y 2x 3上任一点，M (4, 1), 求 PM 的最小值; (3)已知P,Q 分别为3x 4 y 12 0与6x 8y 6 0上任意一点， 求 PQ 的最小值.
5
41
5
(x2 y2 )min ( 5)2 5
基础巩固
(1)求在x轴上与点A(5,12) 的距离为13 的点的坐标； (2)求点P(1, 4)到直线3x 4 y 2 的距离d; (3)求直线l1 : 3x 4 y 2 0, l2 :12x 16 y 8 0之间的距离d.
3
3
O
x2
x
3
四、两平行线间的距离公式
两条平行直线Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0间的 距离为
d | c1 c2 | A2 B2
注意：用上述公式时两条直线方程x与y的系 数要对应相等.
A组10. 求平行线 3 x 2 y 1 0与 3 x 2 y 1 0
2
三、点到直线的距离公式
点P(x0，y0)到直线 l ：Ax +By +C=0的距离为：
d | Ax0 By0 C | A2 B2
注意：（1）用上述公式时直线方程要化为一般式； （2）当A=0或B=0时也可以画图解决.
A组9. 求点 P 5, 7 到直线1 2 x 5 y 3 0
间的距离.
解：
d 11 2 2 13 32 (2)2 13 13
特别地： 当A=0或B=0时也可以画图解决. 例2. (1)求两条直线x 2 0 与x 5 0 之间的距离； (2)求两条直线y 1 与2 y 3 0 之间的距离. 答 案 ：(1)d 7；(2)d 1 . 2
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行线间的距离》877PPT课件
核心素养之直观想象与数学运算
HE XIN SU YANG ZHI ZHI GUAN XIANG XIANG SHU XUE YUN SUAN
对称问题
典例 (1)点A(2,3)关于Q(1,2)的对称点A′的坐标为_(_0_,1_)_.
解析 由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，
设垂足为M，则|MP|最小，
直线 MP 的方程为 y－1＝－43(x－2)，
3x－4y－27＝0， 解方程组y－1＝－43x－2，
得yx＝＝－5，3，
∴所求点的坐标为(5，－3).
12345
任务五：课堂小结
KE TANG XIAO JIE
已知两平行直线，其距离可利用公式d＝ |C1－C2| 求解，也可在已知直线上取一
略和方法，所以说对称问题充分体现了直观想象和数学运算的数学核心
素养.
任务四：达标检测
1.直线x－2y－1＝0与直线x－2y－C＝0的距离为 2 5，则C的值为
A.9
√B.11或－9
C.－11
D.9或－11
解析 两平行线间的距离为 d＝|－112＋－－－2C2|＝2 5， 解得C＝－9或11.
12345
点，转化为点到直线的距离.
A2＋B2
解析 设A′的坐标为(x′，y′)， 则x′2＋2＝1，y′2＋3＝2， ∴x′＝0，y′＝1，∴A′的坐标为(0,1).
(2)点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是
A.(－2,1)
√B.(－2,5)
C.(2，－5)
D.(4，－3)
解析 设对称点坐标为(a，b)， 由题意，得aba－ － ＋2 343＋ ＝b1＋ ，2 4－2＝0， 解得ab＝＝－5，2， 即 Q(－2,5).
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3.3.1-3.3.2 两点间的距离
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知A(0,10)，B(a，－5)两点间的距离是17，则实数a的值是( )
A．8 B．－8 C．±8 D．18
解析：由两点间距离公式得a2＋152＝172，
∴a2＝64，∴a＝±8.
答案：C
2．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数
m
的值是( )
A．－2 B．－7 C．3 D．1
解析：因为线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0.
所以线段AB的中点m＋12，0在直线x＋2y－2＝0上，解得m＝3.
答案：C
3．直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0(k∈R)所经过的定点是( )
A．(5,2) B．(2,3) C.－12，3 D．(5,9)
解析：由(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0，得
k(2x－y－1)－x－3y
＋11＝0，
由 2x－y－1＝0，－x－3y＋11＝0，得 x＝2，y＝3，∴直线过定点(2,3)．
答案：B
4．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则|AB|的值为( )
A．6 B.2 C．2 D．不确定
解析：由题意得kAB＝b－a5－4＝1，即b－a＝1，
所以|AB|＝－2＋b－a2＝2.
答案：B
5．已知A(3，－1)，B(5，－2)，点P在直线x＋y＝0上．若使|PA|＋|PB|取最小值，则
P
点的坐标为( )
A．(1，－1) B．(－1,1)
C.135，－135 D．(－2,2)
解析：点A(3，－1)关于直线x＋y＝0的对称点为A′(1，－3)，连接A′B，
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则A′B与直线x＋y＝0的交点即为所求的点，直线A′B的方程为y＋3＝－2＋35－1(x－1)，
即y＝14x－134，与x＋y＝0联立，解得x＝135，y＝－135，故P点的坐标为135，－135.
答案：C
6．若△ABC的三个顶点分别为A(－2,2)，B(3,2)，C(4,0)，则AC边的中线BD的长为________．
解析：由题知AC中点D的坐标为(1,1)，则由距离公式得|BD|＝－2＋－2＝
5.
答案：5
7．已知点A(－2,2)，B(2,23)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，此时|PA|的值为________．
解析：设所求点P(x,0)，由|PA|＝|PB|得，
x＋2＋－2＝x
－2＋－232，
化简得8x＝8，解得x＝1，
所以所求点P(1,0)，所以|PA|＝＋2＋－2＝13.
答案：13
8．若三条直线x＋y＋1＝0,2x－y＋8＝0和ax＋3y－5＝0共有三个不同的交点，则a的取
值范围为________．
解析：解方程组 x＋y＋1＝0，2x－y＋8＝0，得 x＝－3，y＝2，即两直线的交点坐标为(－3,2)，故实数
a
满足
a
－＋3×2－5≠0，
－a3≠－1，
－a3≠2，
解得 a≠13，a≠3，a≠－6，
即实数a满足的条件为a∈R且a≠13，a≠3，a≠－6.
答案：a∈R且a≠13，a≠3，a≠－6
9．在直线2x－y＝0上求一点P，使它到点M(5,8)的距离为5，并求直线PM的方程．
解析：∵点P在直线2x－y＝0上，
∴可设P(a,2a)．
根据两点的距离公式得
|PM|2＝(a－5)2＋(2a－8)2＝52，
即5a2－42a＋64＝0，
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解得a＝2或a＝325，
∴P(2,4)或325，645.
∴直线PM的方程为y－84－8＝x－52－5或y－8645－8＝x－5325－5，
即4x－3y＋4＝0或24x－7y－64＝0.
10．求过两条直线x－2y＋4＝0和x＋y－2＝0的交点P，且满足下列条件的直线方程．
(1)过点Q(2，－1)；
(2)与直线3x－4y＋5＝0垂直．
解析：由 x－2y＋4＝0，x＋y－2＝0，得 x＝0，y＝2，∴P(0,2)．
(1)∵kPQ＝－32.
∴直线PQ：y－2＝－32x，
即3x＋2y－4＝0.
(2)直线3x－4y＋5＝0的斜率为34，
∴所求直线的斜率为－43，其直线方程为：y－2＝－43x，
即4x＋3y－6＝0.
[B组 能力提升]
1．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离是( )
A．52 B．25 C．510 D．105
解析：根据光学原理，光线从A到B的距离，等于点A关于x轴的对称点A′到点B的距离，
易求得A′(－3，－5)．
所以|A′B|＝＋2＋＋2＝510.
答案：C
2．函数y＝ x2－2x＋2＋ x2－6x＋13的最小值是( )
A.5 B.7 C.11 D.13
解析：y＝ x2－2x＋2＋ x2－6x＋13
＝ x－2＋－2＋ x－2＋－2，
∴y表示x轴上的点P(x,0)到A(1,1)，B(3,2)两点的距离之和．
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如图，点B关于x轴的对称点B′(3，－2)，
∴|BP|＝|B′P|.又∵两点之间线段最短，
∴y的最小值为|AB′|＝ －2＋－2－2＝13.
答案：D
3．两直线l1：3ax－y－2＝0和l2：(2a－1)x＋5ay－1＝0，分别过定点A、B，则|AB|＝________.
解析：直线l1：y＝3ax－2过定点A(0，－2)，直线l2：a(2x＋5y)－(x＋1)＝0，过定点
2x＋5y＝0
x
＋1＝0
，
即B－1，25，由两点间距离公式得∴|AB|＝135.
答案：135
4．已知△ABC的一个顶点A(2，－4)，且∠B，∠C的角平分线所在直线的方程依次是x＋
y
－2＝0，x－3y－6＝0，求△ABC的三边所在直线的方程．
解析：如图，BE，CF分别为∠B，∠C的角平分线，由角平分线的性质，
知点A关于直线BE，CF的对称点A′，A″均在直线BC上．
∵直线BE的方程为x＋y－2＝0，
∴A′(6,0)．
∵直线CF的方程为x－3y－6＝0，
∴A″25，45.
∴直线A′A″的方程是y＝0－456－25(x－6)，
即x＋7y－6＝0，这也是BC所在直线的方程．
由 x＋7y－6＝0，x＋y－2＝0，得B43，23，
由 x＋7y－6＝0，x－3y－6＝0，得C(6,0)，
∴AB所在直线的方程是7x＋y－10＝0，
AC所在直线方程是x－y
－6＝0.
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5．已知两直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4(0
解析：两直线l1：a(x－2)＝2(y－2)，l2：2(x－2)＝－a2(y－2)，都过点(2,2)，
如图：
设两直线l1，l2的交点为C，且它们的斜率分别为k1和k2，
则k1＝a2∈(0,1)，
k
2
＝－2a2∈－∞，－12.
∵直线l1与y轴的交点A的坐标为(0,2－a)，直线l2与x轴的交点B的坐标为(2＋a2,0)．
∴SOACB＝S△OAC＋S△OCB＝12(2－a)·2＋12·(2＋a2)·2＝a2－a＋4＝a－122＋154.
∴当a＝12时，四边形OACB的面积最小，其值为154.