浅谈定积分概念的教学设计
定积分概念教案范文
定积分概念教案范文教案标题：定积分概念的引入和初步认识一、教学目标1.了解定积分概念的引入背景和发展历程；2.掌握定积分的基本定义；3.能够应用定积分求解简单的几何和物理问题。
二、教学重点1.定积分引入背景和基本概念；2.定积分的基本定义和求解方法。
三、教学难点2.定积分的应用举例。
四、教学准备1.教师准备：教案、黑板、粉笔、教材参考书。
2.学生准备：课前预习教材相关内容，笔记本、笔等。
五、教学过程第一步：导入（10分钟）1.引入背景：告诉学生数学是一门从古至今都有许多人致力于研究的学科，其中有很多重要的概念和定理。
本节课我们将要学习的是定积分概念，它是微积分学中的基本概念之一第二步：展示（15分钟）1.介绍定积分的提出背景和发展历程，如牛顿、莱布尼兹等人对定积分的贡献；2.引入定积分的基本概念：设函数f(x)在闭区间[a,b]上有界，将[a,b]分为n个小区间，每个小区间长度为Δx，用Δx表示。
在每个小区间内任取一点ξi（ξi属于[i-1,i]）并计算f(ξi)Δx，然后将这n 个小区间上的和表示为Σf(ξi)Δx；3. 引入定积分的基本定义：当n趋向于无穷大，并且Δx趋向于0时，如果极限lim(Δx→0)Σf(ξi)Δx存在，且对任意x ∈ [a, b]，极限lim(n→∞)lim(Δx→0)Σf(ξi)Δx存在，那么称该极限为函数f(x)在闭区间[a, b]上的定积分，记作∫[a, b]f(x)dx，即∫[a,b]f(x)dx=lim(n→∞)lim(Δx→0)Σf(ξi)Δx；4.解释定积分的几何意义：定积分表示曲线与x轴所围成的面积。
通过几何图形进行解释和演示。
第三步：练习（25分钟）1.基本练习：通过一些基本的题目来巩固定积分的基本定义和概念的理解；2.综合练习：通过一些实际问题来应用定积分，如求一段弓形所围成的面积、求物体在一定时间内的位移等。
第四步：讲解与总结（15分钟）1.请学生上台分别讲解几个基本练习题的解题思路和方法；2.强调定积分与不定积分的区别：不定积分结果是一个函数表达式，而定积分结果是一个数值；3.总结定积分的基本概念和定义，强调定积分解决实际问题的重要性。
定积分的概念的教学设计
《1.5.3定积分的概念》教学设计1．教材分析1．1课标要求分析从教材上的要求来看，要求学生认识定积分的知识背景，理解背景中两个典型问题的解决思想，并能概括它们的共同特征从而引入定积分概念，理解定积分的含义和其符号的含义，明白定积分的几何意义和基本性质。
我个人认为由两个实例引入定积分概念这步很重要，能让学生理解定积分这一抽象的概念，并理解定积分的用途。
1．2教学内容分析1．2．1内容背景分析本节内容是人教A版选修2—2的1.5.3的内容，前面两节学习了如何解决“求曲边梯形面积”和“求变速运动路程”两个经典问题，在这两个问题的知识背景下这节课很自然地引入了定积分的概念。
这样能让学生充分理解定积分的由来和用途。
1．2．2教学内容的分析人教版的这节课的内容比较简短，要求掌握的层次也比较低。
主要通过前面两个实例的解决思路进行概括引入定积分的概念，明白积分的概念，积分符号的含义，了解定积分的几何意义和几个基本性质。
通过例1让学生进一步熟悉定积分的定义，熟悉计算定积分的“四步曲”。
2．学情分析我上这堂课的班级是高二（3）班，这个班在高二四个班中属于中等水平，上课思维不大活跃，不分学生接受能力还可以，但后进生比较多，这些学生基础较为薄弱，而且定积分的概念较为抽象，在引入的过程中包含了数列求和，求极限等复杂的知识内容。
作为引入定积分概念的课，推导的计算过程简单带过就好，不宜把知识点挖得太深。
我把这节课的重点放在让学生了解定积分概念的由来，明白定积分符号的含义、定积分的集合意义和一些基本性质，让学生掌握用定义求定积分的步骤。
3．教学目标1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义．4．教学重点和难点重点：理解定积分的概念、定积分的几何意义及基本性质，能用定义求简单的定积分．难点：定积分的概念、定积分的几何意义．5．教学过程1．创设情景复习：1.回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决思路，解决步骤：求曲边梯形面积: 分割→以直代曲→求和→取极限（逼近）求汽车路程:分割→以不变代变→求和→取极限（逼近）2．思考一下解决前面两个问题的共同特点：2．新课讲授1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b-=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n -∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n ξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式nS 无限趋近于常数S ，那么称该常数S为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
高等数学的教学设计与应用——以“定积分的概念”为例
探索的科学精神"学会用所学知识解决生活中所遇到的实 个常量还是变量/ -(.定义中提到的两个任意性有什么意
际问题$ 介绍定积分时"引导学生深刻体会习近平总书记 义/ -3.定积分的大小主要由哪些因素决定/ 学生经历之
提出的*人类命运共同体+"使学生认识到任何个人都不可 前的引例以及自主练习"很容易得到相关的结论"即!
以此更好地理解定积分的概念$ 课外时间利用网络的学
4
图 图 K4444444444 H
习交流平台"与学生探讨知识"答疑解惑"使所有的疑惑能 够得到及时的解决"以便后续学习能畅通无阻$
结语
如果在%5"6&上!-&.)% 有正有负"则*6!-&. 7&的值 5
表示由曲线%`!-&. 直线 # &`5"&`6"%`% 所围图形在&轴 上方的面积减去在&轴下方的面积"即如下图$
能独善其身"要做到尽职尽责"才能实现共同发展$ 这种 -$.如果函数!- &. 在% 5"6& 上连续"或函数!- &. 在
思想方法贯穿于各个领域"小到身边事"大到国家事"乃至 %5"6&上有界"且只有有限个间断点"则函数!-&.在%5"6&
整个世界$
上可积$
)&( 抽象数学概念
-).定积分是一种和式的极限"即是一个实数$
们后期的计算"即将区间%%"$&分成0 等份"即&;`$0 "选
教学设计4：1.5.3定积分的概念
1.5.3 定积分的概念教学目标1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质． 教学引导知识点一 定积分的概念思考 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答案 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．梳理 一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x ，即ʃba f (x )d x ＝lim n →∞∑i ＝1n b －an f (ξi )，这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．知识点二 定积分的几何意义思考1 根据定积分的定义求得ʃ21(x ＋1)d x 的值是多少？ 答案 ʃ21(x ＋1)d x ＝52. 思考2 ʃ21(x ＋1)d x 的值与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，f (x )＝x ＋1围成的梯形面积有何关系？ 答案 相等．梳理 从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分ʃb a f (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分ʃb a f (x )d x 的几何意义．注意：f (x )<0(图象在x 轴的下方)时，ʃb a f (x )d x <0，－ʃb a f (x )d x 等于曲边梯形的面积．知识点三 定积分的性质思考 你能根据定积分的几何意义解释ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )吗？答案 直线x ＝c 把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲边梯形的面积S 是两个小曲边梯形的面积S 1，S 2之和，即S ＝S 1＋S 2.梳理 (1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)．(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃba f 2(x )d x . (3)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )．教学案例类型一 利用定积分的定义求定积分例1 利用定积分的定义，计算ʃ21(3x ＋2)d x 的值． 解 令f (x )＝3x ＋2. (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n .(2)近似代替、求和取ξi ＝n ＋i －1n (i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎫n ＋i －1n ·Δx＝3n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5 ＝32×n 2－n n 2＋5＝132－32n . (3)取极限ʃ21(3x ＋2)d x ＝lim n →∞ S n＝lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫132－32n ＝132. 反思与感悟 利用定义求定积分的步骤跟踪训练1 利用定积分的定义计算ʃ32(x ＋2)d x . 解 令f (x )＝x ＋2.将区间[2,3]平均分为n 个小区间，每个小区间的长度为Δx i ＝1n ，[x i －1，x i ]＝⎣⎡⎦⎤2＋i －1n ，2＋in ，i ＝1,2，…，n .取ξi ＝x i ＝2＋i n ，则f (ξi )＝2＋i n ＋2＝4＋in.则∑ni ＝1f (ξi )Δx i ＝∑ni ＝1 ⎝⎛⎭⎫4＋i n ·1n＝∑ni ＝1 ⎝⎛⎭⎫4n ＋i n 2＝n ·4n ＋1＋2＋…＋n n 2＝4＋n ＋12n.∴ʃ32(x ＋2)d x ＝lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫4＋n ＋12n ＝92. 类型二 利用定积分的性质求定积分例2 已知ʃ10x 3d x ＝14，ʃ21x 3d x ＝154，ʃ21x 2d x ＝73，ʃ42x 2d x ＝563，求下列各式的值． (1)ʃ20(3x 3)d x ； (2)ʃ41(6x 2)d x ； (3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x . 解 (1)ʃ20(3x 3)d x ＝3ʃ20x 3d x ＝3()ʃ10x 3d x ＋ʃ21x 3d x ＝3×⎝⎛⎭⎫14＋154＝12.(2)ʃ41(6x 2)d x ＝6ʃ41x 2d x ＝6()ʃ21x 2d x ＋ʃ42x 2d x ＝6×⎝⎛⎭⎫73＋563＝126.(3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x ＝ʃ21(3x 2)d x －ʃ21(2x 3)d x＝3ʃ21x 2d x －2ʃ21x 3d x ＝3×73－2×154＝－12. 反思与感悟 若函数f (x )的奇偶性已经明确，且f (x )在[－a ，a ]上连续，则 (1)若函数f (x )为奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0.(2)若函数f (x )为偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x .跟踪训练2 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，－1≤x <0，e －x ，0≤x ≤1，且ʃ0－1(2x －1)d x ＝－2，ʃ10e －x d x ＝1－e －1，求ʃ1－1f (x )d x . 解 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1f (x )d x ＋ʃ10f (x )d x ＝ʃ0－1(2x －1)d x ＋ʃ10e－x d x ＝－2＋1－e －1＝－(e －1＋1)．类型三 利用定积分的几何意义求定积分 例3 用定积分的几何意义求下列各式的值． (1)ʃ1－14－x 2d x ；(2)π2π-2sin d x x ⎰.解 (1)由y ＝4－x 2得x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图象如图所示．ʃ1－14－x 2d x 等于圆心角为60°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和，S 弓形CED ＝12×π3×22－12×2×3＝2π3－3，S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝23，∴ʃ1－14－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3. (2)∵函数y ＝sin x 在x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是奇函数， ∴π2π-2sin d x x ⎰＝0.跟踪训练3 求定积分：ʃ20(4－(x －2)2－x )d x .解 ʃ204－(x －2)2d x 表示圆心在(2,0)，半径等于2的圆的面积的14， 即ʃ204－(x －2)2d x ＝14×π×22＝π. ʃ20x d x 表示底和高都为2的直角三角形的面积， 即ʃ20x d x ＝12×22＝2. ∴原式＝ʃ204－(x －2)2d x －ʃ20x d x＝π－2. 当堂检测1．下列结论中成立的个数是( )①ʃ10x 3d x ＝∑i ＝1n i 3n 3·1n ；②ʃ10x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1n (i －1)3n 3·1n ； ③ʃ10x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1ni 3n 3·1n . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】②③成立．2．关于定积分a ＝ʃ2－1(－2)d x 的叙述正确的是( ) A ．被积函数为y ＝2，a ＝6 B ．被积函数为y ＝－2，a ＝6C ．被积函数为y ＝－2，a ＝－6D ．被积函数为y ＝2，a ＝－6 【答案】C【解析】由定积分的概念可知， ʃ2－1(－2)d x 中的被积函数为y ＝－2，由定积分的几何意义知，ʃ2－1(－2)d x 等于由直线x ＝－1，x ＝2，y ＝0，y ＝－2所围成的图形的面积的相反数， ∴ʃ2－1(－2)d x ＝－2×3＝－6.3．已知定积分ʃ60f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则ʃ6－6f (x )d x 等于( )A ．0B ．16C ．12D ．8【答案】B【解析】ʃ6－6f (x )d x ＝2ʃ60f (x )d x ＝16.4．由函数y ＝－x 的图象，直线x ＝1，x ＝0，y ＝0所围成的图形的面积可表示为( ) A ．ʃ10(－x )d x B ．ʃ10|－x |d x C ．ʃ0－1x d x D ．－ʃ10x d x【答案】B【解析】由定积分的几何意义可知，所求图形的面积为S ＝ʃ10|－x |d x . 5．计算ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x .解 如图所示，由定积分的几何意义得ʃ3－39－x 2d x ＝π×322＝9π2， ʃ3－3x 3d x ＝0，由定积分性质得ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x ＝ʃ3－39－x 2d x －ʃ3－3x 3d x ＝9π2.。
北京 《定积分的概念》名师教学设计
)n ，作和式：()n S f x ξ=∆∑上的定积分。
记为：③求和：1()ni i b af n ξ=-∑； ④取极限：()1()lim nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰2．定积分的几何意义如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。
说明：一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。
考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆++∆不妨设1(),(),,()0i i n f x f x f x +<于是和式即为()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -∆+∆++∆--∆++-∆()b af x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）2．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1a b dx ba -=⎰1性质2 ⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质） 性质3 1212[()()]()()bbbaa af x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ （定积分的线性性质）性质4()()()()b cbaacf x dx f x dx f x dxa cb =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）性质5 若[]b a x x f ,,0)(∈≥，则⎰≥badx x f 0)(推论1：)()(x g x f ≥，⎰⎰≥babadx x g dx x f )()( ()b a <推论2：⎰⎰≥babadx x g dx x f )()( ()b a <性质6设m M ,为)(x f 在[]b a ,上的最大值、最小值，则)()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰性质7（中值定理）若[]b a x f ,)(∈，则至少有一[]b a ,∈ξ，使))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ.y解：201y x x x y x⎧=⎪⇒==⎨=⎪⎩及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=1120xdx x dx =-⎰⎰，所以⎰120S =(x -x )dx 32130233x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=13【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。
积分和定积分的教学设计方案
教学内容
02
积分的概念和性质
积分的定义：积分是定积 分、不定积分、二重积分、 三重积分、曲线积分、曲 面积分的总称，是微积分
基本概念之一。
积分的几何意义：定积分 的值等于曲线下的面积。
积分的性质：可加性、可 减性、可乘性、可除性、 保序性、绝对值不等式性
质等。
积分的物理意义：在物理 中，积分可以用来计算曲 线下的面积，从而求出物
Hale Waihona Puke 学生能够理解 积分和定积分 的几何意义和 物理意义
学生能够运用 积分和定积分 解决实际问题
学生能够通过 比较不同积分 方法的优缺点， 选择合适的积 分方法
0
0
0
0
1
2
3
4
情感态度与价值观目标
培养学生对数学的兴趣和热爱，增强数学学习的自信心。 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，提高学生的数学素养。 引导学生认识到数学在现实生活中的应用价值，增强学生的数学应用意识。 培养学生的合作精神和团队意识，提高学生的社会适应能力。
用
案例选择：选择具有 代表性的案例，如积 分计算、定积分的应
用等
案例总结：总结案例 中的知识点和解题思 路，帮助学生加深理
解
教学步骤
04
导入新课
回顾旧知：复习积分和 定积分的概念和性质
创设情境：通过实际问 题或数学问题引出新课
内容
引导探究：引导学生 思考如何求解定积分，
并逐步推导公式
归纳总结：总结定积 分的计算方法和步骤，
作业评估
作业完成情况：评估学生对课堂内容的掌握程度 作业质量：评估学生的解题思路和表达能力 作业反思：引导学生对所学内容进行总结和反思 作业反馈：及时给予学生指导和建议，提高学习效果
§1.5.3定积分的概念教案
1.5。
3定积分的概念教学目标 能用定积分的定义求简单的定积分；理解掌握定积分的几何意义；重点 定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义难点 定积分的概念、定积分的几何意义复习： 1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤 2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 新课讲授1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=),在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=,作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0(亦即n →+∞)时,上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数,x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。
说明:（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个常数,即n S 无限趋近的常数S（n →+∞时）称为()ba f x dx ⎰，而不是n S ． (2）用定义求定积分的一般方法是:①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈;③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑； ④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3)曲边图形面积：()ba S f x dx =⎰;变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()ba W F r dr =⎰ 2．定积分的几何意义如果在区间[,]a b 上函数连 续且恒有()0f x ≥,那么定积分()ba f x dx ⎰表示由直线,x a xb ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。
浅谈定积分概念的教学设计
浅谈定积分概念的教学设计作者：唐琦林来源：《读与写·教育教学版》2013年第01期摘要：定积分是微积分教学中的一个重点，同时也是一个难点，在定积分的概念教学中，如何让学生理解定积分的本质，培养数学思想，挖掘学生潜力，激发学生想象力和创造力，勇于进取，提高解决实际问题的能力是非常重要的。
关键词：定积分概念教学设计中图分类号：G642 文献标识码： A 文章编号：1672-1578（2013）01-0035-02自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化过程的变化趋势才能求得结果。
这正是人类文明发展中的伟大创举——极限思想和极限方法产生的客观基础。
微积分的创立，是数学史上一个具有划时代意义的创举，也是人类文明的一个伟大成果，正如恩格斯评价的：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被当做人类精神的最高胜利了。
”定积分又是微积分教学中的一个重点，同时也是一个难点，在定积分的概念教学中，如何让学生理解定积分的本质，培养数学思想，挖掘学生潜力，激发学生想象力和创造力，勇于进取，提高解决实际问题的能力是非常重要的，笔者在教学过程中作了如下设计：1 注意背景知识与引入方法定积分概念起源于求平面图形的面积，空间立体的体积，曲线段的长度，物体的重心等几何和物理问题。
17世纪以前，计算这些问题缺乏一种统一的数学方法，直至牛顿和莱布尼兹建立了微积分之后，才有了统一的积分方法，并把求面积、体积、长度这一类问题和求原函数联系起来。
200年后，才由黎曼用严格的形式给出了定积分的概念，也称黎曼积分。
在教材中，引入定积分的两个经典引例是“曲边梯形的面积”和“变速直线运动的路程”，为了引入自然，我们采用探究式的教学方法，以培养学生的问题意识，突出数学思想方法提出问题，启动思维：探究1：你知道如何求正方形、长方形、三角形的面积吗？这些图形都有什么特点？探究1的设计意图：学生归纳平面图形特点是：各边都是线段组成的图形；同时把思维引向如何求面积的方向上来。
定积分的概念教学设计
定积分的概念教学设计11 合同主体甲方（教学设计提供方）：＿___________________________乙方（教学设计使用方）：＿___________________________111 合同标的本合同的标的为“定积分的概念教学设计”，该教学设计应包括但不限于以下内容：1111 定积分概念的引入方式，应生动、直观且易于理解。
1112 对定积分定义的详细阐述，包括分割、近似代替、求和、取极限等步骤的清晰讲解。
1113 设计丰富的实例，帮助学生理解定积分在几何、物理等领域的应用。
1114 配套的课堂练习和课后作业，以巩固学生对定积分概念的掌握。
112 甲方的权利和义务1121 权利有权按照合同约定收取教学设计的费用。
有权要求乙方按照合同约定使用教学设计。
1122 义务保证教学设计的内容科学、准确，符合数学学科的教学要求和国家相关教育标准。
根据乙方的合理需求，对教学设计进行必要的修改和完善。
为乙方提供教学设计使用过程中的必要咨询和指导。
113 乙方的权利和义务1131 权利有权按照合同约定获得完整的教学设计资料。
有权要求甲方对教学设计进行解释和说明。
1132 义务按照合同约定支付教学设计的费用。
遵守甲方对教学设计使用的相关规定，不得擅自传播、复制或用于其他未经授权的用途。
积极配合甲方的咨询和指导，及时反馈教学设计使用过程中的问题和建议。
114 违约责任1141 若甲方未按照合同约定提供教学设计，或提供的教学设计存在严重质量问题，甲方应承担违约责任，退还已收取的费用，并按照合同约定支付违约金。
1142 若乙方未按照合同约定支付费用，每逾期一天，应按照未支付金额的一定比例向甲方支付逾期违约金。
1143 若乙方违反合同约定擅自传播、复制或用于其他未经授权的用途，应承担侵权责任，赔偿甲方因此遭受的损失，并按照合同约定支付违约金。
115 争议解决方式1151 本合同在履行过程中如发生争议，双方应首先友好协商解决。
定积分概念教案范文
定积分概念教案范文教学内容：定积分概念教学教学目标：1.了解定积分的定义与概念；2.理解定积分的几何意义；3.掌握定积分的计算方法。
教学重点：1.理解定积分的概念；2.理解定积分的几何意义。
教学难点：1.掌握定积分的计算方法。
教学准备：白板、笔、相关的教学图表。
教学过程：Step 1：引入定积分的概念（10分钟）教师在黑板上写出“定积分”的定义：设f(x)是定义在[a, b]上的函数，如果对于任意划分ξ: a = x0 < x1 < ... < xn = b，任取ξi ∈ [xi-1, xi]，存在数ξi*，使得极限limξ→0 Σ f(ξi*)Δxi存在，且与ξ的取法无关，则称该极限为f(x)在[a, b]上的定积分，记为∫(a, b) f(x)dx。
Step 2：定积分的几何意义（20分钟）1.教师画出函数f(x)与x轴围成的曲边梯形，并解释这个曲边梯形的面积就是定积分的几何意义。
2.教师对不同类型的函数进行讨论，如常数函数、正函数、负函数、奇函数、偶函数等，以帮助学生更好地理解定积分的几何意义。
Step 3：定积分的计算方法（40分钟）1.教师通过例题演示定积分的计算方法，包括不定积分、定积分与导数的关系、基本公式等，并强调定积分的性质。
2.学生进行相关练习，巩固所学的定积分计算方法。
Step 4：讨论与拓展（30分钟）1.学生提问与讨论：可以让学生提问一些与定积分相关的问题并进行讨论，如定积分存在的条件、定积分与不定积分的关系等。
2.拓展学习：可以对定积分进行扩展学习，如定积分的应用、定积分的意义等。
Step 5：总结与反思（10分钟）教师对本节课的内容进行总结，并让学生进行反思：对定积分的概念有了更深的理解吗？掌握了定积分的计算方法吗？教学延伸：1.学生可以通过阅读相关的课外资料，深入了解定积分的应用与历史背景；2.学生可以完成一些定积分的练习题，进一步巩固所学的知识。
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浅谈定积分概念的教学设计
摘要：定积分是微积分教学中的一个重点，同时也是一个难点，在定积分的
概念教学中，如何让学生理解定积分的本质，培养数学思想，挖掘学生潜力，激
发学生想象力和创造力，勇于进取，提高解决实际问题的能力是非常重要的。
关键词：定积分概念 教学设计
自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的，而必须
通过分析一个无限变化过程的变化趋势才能求得结果。这正是人类文明发展中的
伟大创举——极限思想和极限方法产生的客观基础。微积分的创立，是数学史上
一个具有划时代意义的创举，也是人类文明的一个伟大成果，正如恩格斯评价的：
“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被当做人
类精神的最高胜利了。”定积分又是微积分教学中的一个重点，同时也是一个难
点，在定积分的概念教学中，如何让学生理解定积分的本质，培养数学思想，挖
掘学生潜力，激发学生想象力和创造力，勇于进取，提高解决实际问题的能力是
非常重要的，笔者在教学过程中作了如下设计：
1 注意背景知识与引入方法
定积分概念起源于求平面图形的面积，空间立体的体积，曲线段的长度，物
体的重心等几何和物理问题。17世纪以前，计算这些问题缺乏一种统一的数学
方法，直至牛顿和莱布尼兹建立了微积分之后，才有了统一的积分方法，并把求
面积、体积、长度这一类问题和求原函数联系起来。200年后，才由黎曼用严格
的形式给出了定积分的概念，也称黎曼积分。在教材中，引入定积分的两个经典
引例是“曲边梯形的面积”和“变速直线运动的路程”，为了引入自然，我们采用探
究式的教学方法，以培养学生的问题意识，突出数学思想方法提出问题，启动思
维：
探究1：你知道如何求正方形、长方形、三角形的面积吗？这些图形都有什
么特点？
探究1的设计意图：学生归纳平面图形特点是：各边都是线段组成的图形；
同时把思维引向如何求面积的方向上来。
探究2：你知道圆的面积公式吗？它的面积是怎样计算的？
探究2的设计意图：学生感受求曲边图形面积的难度，回忆圆的面积求法，
为本节课类比作好铺垫。
2 引入新课，探究学习
探究3：阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线y=f（x）的一段，我们
把由直线x=ɑ， x=b（ɑ≠b），y=0和y=f（x）曲线所围成的图形称为曲边梯形。
如何计算这个曲边梯形的面积S？思考下面问题：
（1）曲边梯形与“直边图形”有什么区别？
（2）能否将球这个曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”面积的问题？
探究3的设计意图：给出曲边梯形的定义，明确本节的研究课题，由具体问
题出发，激发思维热情。
我们可以针对这一问题用Mathematica软件制作一个动画，先把曲边梯形等
分成10个小矩形，再将曲边梯形等分成20个、30个、70个小矩形，通过动画
演示，可以使学生深刻领会定积分的思想。同样的，我们也可以做出积分上和逼
近其下确界的相应图像。在传统教学中，无论教师将分点怎么增加，也无法刻画
“分点无限增加”的细分过程。将动态图形鲜明、生动、形象的展现在屏幕上，学
生可以清晰地看到：随着小矩形的不断增加，其面积之和就越来越接近曲边梯形
的面积这一事实。是学生可以在具体的情境中体会这种无限的过程，这种“从有
限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变”的思想，是对微积分思
想的朴素的直观认识。
探究4：如何求由抛物线y=x2与直线x=1，y=0所围成的平面图形部分的面
积S？
结论：（1）曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，
“直边图形”的所有边都是直线段。
（2）应用“以直代曲”的思想求曲边梯形面积，共分四步。
教师引导，学生自主完成探究。
探究4的设计意图：先研究特殊的曲边梯形的面积，简化运算，揭示思想核
心。
第一步——分割：化整为零，把整体量化为局部量
第二步——近似代替：以“不变”代“变”，在局部量中做近似代替
第三步——求和：把局部量的近似值累加起来。此处，教师强调：这里的面
积毕竟是近似值，不能代替真实值，尚需完善。
第四步——取极限：把整体量的近似值转化为精确值。
3 整理新知，巩固所学
探究5：求曲边梯形面积的四个步骤都是什么？这四个步骤间有何关系？
探究5的设计意图：先分后总整理一般步骤，得到一般方法，给出求解这类
问题的一般步骤——“四步曲”，由特殊问题探究上升到一般认识。对曲边梯形的
面积问题，注重详细分析，这一分析过程是把整体分为局部，在局部以直代曲，
以不变代变，这种处理问题的思想方法即为“极限思想方法”，它是高等数学的基
本思想方法，甚至可以说是微积分的灵魂，后面的各种积分都是采用这种思想方
法去处理的，详细地分析面积问题后，总结所应用的方法步骤，突出强调结果是
一个“和的极限”。对第二个引例，以启发为主，师生一起进行简要地分析，引导
学生作出类似结论。
4 对比实例，抽象定义
上面两个问题所需的计算量，一个是几何学中的面积，一个是物理学中的路
程。虽然两个量表示的实际意义不同，但计算这些量的方法和这些量的数学形式
都是相同的。总结问题共性，着重指出实际中还有很多类似问题，它们都可以归
结到此类相同的数学形式，因此要对这些形式进行研究，于是抽象出定积分的概
念。
5 剖析概念，领会实质
给出定义后，教师应进一步阐述：（1）定积分是一个特殊的极限值，因此是
一个数值，这与定积分截然不同；（2）通过解释两个“任意”，结合极限的唯一性，
说明若定积分存在的话，其结果是确定的，与区间的分法与区间内点的取法无关；
（3）定积分的值仅与积分区间和函数结构有关，所以更换积分变量所采用的字
母，积分值不会发生变化；（4）给出定积分存在的条件。
6 归纳总结
借助多媒体与图形结合起来，更有利于学生的直观理解，体会逼近的思想。
积极的师生互动能帮助学生看到知识之间的联系，有助于知识的重组和迁移。让
学生自己小结，养成良好的学习习惯。
参考文献：
[1]耿立华.谈定积分概念的教学[J].中国科教创新导刊，2009（4）.
[2]生汉芳，何颖.定积分概念的创新教学尝试[J].大学数学，2010（10）.