对数值分析的认识

《数值分析》课程体会
一对数值分析的认识
数值分析的定义：数值分析(numerical analysis)是研究分
析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方
法为研究对象。

为计算数学的主体部分。

运用数值分析解决问题的过程：实际问题→数学模型→数值
计算方法→程序设计→上机计算求出结果
数值分析这门学科有如下特点：1·面向计算机2·有可
靠的理论分析3·要有好的计算复杂性4·要有数值
实验 5.要对算法进行误差分析
本书主要内容：插值法，函数逼近与快速傅里叶变换，数
值积分，数值微分，解线性方程组的直接方法，解线性方程组
的迭代法，非线性方程与方程组的数值解法，矩阵特征值计算，常微分方程初值问题的数值解法。

接下来我将就网上查的一些资料以及这学期从课堂上学到
的谈一下自己对着门课程的认识。

大学的时候也上过数值分析，上完这门课之后，具体的公式记
不清楚了，但留下很深印象的是一些计算数学的思想。

比如说
迭代（iteration），再比如局部近似里的以直代曲其实就是数
值积分的思想，而不断的局部以直代曲，就是非线性方程牛顿
法的思想。

还有其他一些思想，比如外推法等。

因此，对这门
课的总体印象就是技巧性和实用性很强
科学研究方法可以分为理论分析、科学实验、科学计算。

理
论分析和科学实验大家比较熟知，那什么是科学计算呢？许多
复杂的问题需要借助计算机快速准确的数据处理能力，用计算
机处理数值问题的方法就是所谓的科学计算。

数值分析这门课
的主旨就是将分析问题代数化，培养计算思维，研究如何借助
计算工具求得数值问题(问题本身反映了初始数据和要求的数值
型数据之间的某种确定性关系）的数值解。

其实有数学以来就
有数值计算，数百年前，人类已经将数学应用在建筑、战争、
会计，以及许多领域之上，最早的数学大约是西元前1800年巴
比伦人泥板（Babylonian tablet ）上的计算式子。

例如所谓
的勾股数（毕氏三元数），（3, 4, 5），是直角三角形的三边
长比，在巴比伦泥板上已经发现了开根号的近似值。

当今，随
着计算机的出现和发展，数值计算迅速发展并形成数学科学的
一个独立的分支—计算数学。

那么数值分析在现实中有哪些应用？首先整理下用数学解决
实际问题的步骤，一般有以下几步：
1.根据实际问题建立数学模型——应用数学
2.数学模型分析(比如模型解的存在、唯一、适定性）——基础
数学
3.针对相应的数值问题设计可靠高效的算法
4.计算结果可视化
5.计算结果分析
我觉得后面三步其实都可以划分到数值分析里，而这门课的核
心即是设计高效可靠的算法。

举一些数值分析在实际中的应用。

凡是涉及到计算的地方几乎都需要数值分析，比如天气预报，比如工程设计，比如流体固体计算，比如核武器的研制，比如
导弹和火箭的发射等等。

因为这些问题大都会涉及方程组(线性，非线性，微分)的求解，而多数情况下是无法给出解析解的。

所
以需要考虑近似解析法（级数解法，逐次逼近法）和数值解法（给出一些离散点处解的近似值），这正是数值分析研究的内容。

具体介绍一下数值计算在天气预报中的应用：天气会受各种
因素的影响，稍微一些因素发生改变就会产生很大的变化，所
以天气预报其实是一件比较困难的工作（因为这是一个非线性
的问题）古代人们用占卜或者经验总结等方式来预计天气状况，这倒更像是统计学。

而有了计算机，我们就可以通过数值模拟
来预报天气。

具体过程就是：首先根据大气运动列出数学物理
方程（偏微分），其次对空间进行网格划分，然后通过观测数
据给出初值条件，最后通过数值方法求解这些偏微分方程得到
网格点处的数值解。

这也是为什么主持人总是说大概在...地区，大致在...时段，可能有...量级的降水...因为时空是连续的，
而网格划分不可能无限密，所得的数值解也存在误差。

二 对插值法的体会与认识
1提出的背景：
（1）在工程实际问题中，某些变量之间的函数关系是存在的，但通常不能用式子表示。

（2）有些函数虽然有表达式，但是比较复杂，计算f(x)不经济，且不利于在实际中在计算机上计算。

由此也可以看出数值分析是一门有技术带动的科学。

2自主学习时的体会：这一章是我负责介绍给大家的，因此在准备的过程中也查了许多资料，总的体会是这一章还是比较基础与简单的。

重要的思想是构造基函数的思想，难点是误差分析的证明及对于高次插值病态性质的理解。

3插值函数定义：已知由实验（测量）得到的某一函数 y=f(x)在区间[a,b]中互异的n+1个xi ( i=0, 1, ... ,n)处的值yi=f(xi) (i=0,1,...,n),需要构造一个简单易算的函数P(x)作为y=f(x)的近似表达式：
y=f(x)≈P(x) ,
使得
P(xi)= f(xi) = yi (i=0,1, ..., n)
这类问题就称为插值问题，P(x)称为插值函数， P(x)一般取最简单又便于计算得函数。

4拉格朗日插值：考虑最简单、最基本的插值问题。

求n 次插值多项式 li(x) (i=0,1, …,n),使其满足插值条件：
拉格朗日插值多项式的基函数：
0,()(0,1,,)1,
i j j i l x j n j i ≠⎧==⎨=⎩
可知, 除 xi 点外, 其余都是li(x)的零点。

符合基函数的性质。

5牛顿插值多项式：牛顿插值是一种逐次生成插值多项式的方法，它克服了拉格朗日插值的缺点—当插值节点增减时，全部基函数随之改变，整个公式也将发生变化，实际计算中很不方便。

6埃尔米特插值：无论是拉格朗日插值还是牛顿插值，它们只要求逼近函数与实际函数在给定节点的函数值相等。

而埃尔米特插值不但要求它们函数值重合，而且要去若干阶导数值也重合。

其中要去在一个节点X1处有直到n 阶导数都重合的插值多项式就是泰勒多项式了。

H3(x)称为三次埃尔米特插值多项式要求满足的条件。

埃尔米特插值的模型：
7分段低次插值：设Ln （x ）为逼近函数，并非逼近函数次数越高逼近f(x)的精度越好，因为对任意的插值节点，当n 趋于无穷时，Ln （x ）不一定收敛到f(x)。

本质上Ln （x ）是振荡的，用切比雪夫多项式可以克服这一问题。

33()(0,1)()i i i i H x y i H x m =⎧=⎨'=⎩300110011()()()()()
H x y x y x m x m x ααββ=+++2200110110010110
220100110110
[12]()[12]()()()()()x x x x x x x x y y x x x x x x x x x x x x m x x m x x x x x x ----=+++------+-+---11()()i i x x x x -+--00()()()()()(0,1,,)n i i i n x x x x l x x x x x i n --=--=11()()
i i i i x x x x -+--
8三次样条插值：在实际问题中，如高速飞机的机翼形线，船体放样等型值线往往要求有二阶光滑度，即二阶连续导数。

给定区间[a,b]的一个划分 a=x0<x1<…<xn=b， yi=f (xi) (i=0,1,…,n),如果函数S(x)满足：
（1）S(xi )=yi (i=0,1,…,n);
（2）在每个小区间[xi, xi+1] (i=0,1,...,n-1)上是次数不超过3的多项式;
(3) 在每个内节点xi (i=1,2,...,n-1)上具有二阶连续导数,则称 S(x) 为关于上述划分的一个三次多项式样条函数，简称三次样条。

总结
拉格朗日插值是利用基函数的方法构造插值多项式，在理论上较为方便但计算不太方便。

基函数的方法将插值问题归结为特定条件下容易实现的插值问题。

牛顿插值多项式计算上较为方便，是求函数近似值常用的方法。

本质上是广义坐标系的方法。

牛顿插值多项式计算上较为方便，是求函数近似值常用的方法。

由于高次插值存在龙格现象，它没有实用价值，通常都是使用分段低次插值，特别是三次样条插值，它具有良好的收敛性和稳定性，又有二阶光滑度，理论和应用上都具有重要的意义。