材料非线性理论及其数值计算方法
非线性数学建模与数值计算方法
非线性数学建模与数值计算方法在当今社会的各个领域，非线性问题无处不在。
在处理这些非线性问题时，如何建立合理的数学模型和采用高效的数值计算方法成为了一大挑战。
非线性数学建模和数值计算方法是解决这些问题的关键。
一、非线性数学建模所谓非线性数学建模，是指在一定的数学理论支持下，对于某一研究问题，建立一个非线性的数学模型，来定量描述和分析问题的复杂性质和变化规律。
常见的非线性问题如：混沌、复杂动力学、非线性光学、非线性弹性等，这些问题也常常是跨学科研究的。
在这些问题中，模型的复杂性和精确性是十分重要的，而往往传统的线性模型无法满足研究的需要。
针对这些问题，使用非线性数学建模的方法，可以通过合适的方程模型，准确地描述复杂的现象，为研究提供重要的数学工具和分析手段。
二、数值计算方法在建立好数学模型后，我们需要使用数值计算方法对模型进行求解。
数值计算是通过数值方法求解实际的数学问题。
对于非线性问题的求解，因其特殊性质，使得求解过程十分复杂和困难。
然而，在数值计算的发展过程中，已经出现了许多高效的数值求解方法，如Newton法、分裂迭代法、Galerkin法、有限元法等。
这些数值计算方法在非线性问题的求解上，具有许多优点，如高精度、高效率、可自适应等，这些都使得非线性问题的求解变得更加可行和有效。
三、多尺度问题然而，在实际研究中，非线性问题往往是多尺度的，即问题的性质在不同的尺度下有不同的行为。
为了解决这一问题，我们需要使用多尺度建模和数值计算方法。
多尺度方法是指建立一个多尺度数学模型，将问题分解成不同的尺度上，将复杂问题分解为较小的模块，降低求解的难度。
在求解过程中，可以采用多重网格方法、耦合方法等，从而提高计算效率和精度。
在处理多尺度问题时，使用多尺度建模和数值计算方法，能够更好地描述和分析问题的各个尺度的行为，同时降低模型误差，提高模拟结果的可靠性和精度。
四、总结总之，非线性数学建模和数值计算方法是解决复杂问题的重要手段。
材料非线性分析
(
)
(4)
6. 当最终应力状态不在屈服面上时使用下面手动回归方法将应力移动到屈服面上。
FC e aT D aC + h C e σ= σ C − δλC D aC D
δλC =
(5)
பைடு நூலகம்
屈服面的形状在各子增量的结束点使用硬化准则进行修正。 卸载时假设为弹性。
判定屈服与否的屈服条件(yield criteria) 计算塑性变形的流动法则(flow rule) 描述塑性变形时屈服面的变化的硬化法则(hardening rule)
We Analyze and Design the Future
2
midas Civil
(1)
Analysis for Civil Structure
图2.8.27 隐式后退欧拉方法
显式方法中的硬化和塑性流动的方向的计算基准位置为‘ 交叉点’，即弹性应力增量与屈 服面的交点(图2.8.25的A)。隐式方法的计算基准位置为最终应力点(图2.8.27的B)。
显式方法计算相对简单，直接对应力进行积分，即不必在高斯点(Gauss Point)重复计 算。但是显式方法有下列缺点： 8
We Analyze and Design the Future
10
midas Civil
Analysis for Civil Structure
隐式后退欧拉方法 在隐式方法中使用下面公式计算最终应力。
σ= σ B − d λ Dea C C
(6)
式中的下标的意义参见图2.8.27。
dF =
其中，h是塑性硬化系数，因此可按下面公式计算应力的变化率。
材料非线性
25
材料非线性
输出.k文件，求解
求解完成即可得到所需的文件
第二部分 材料非线性有限元方程
26
材料非线性
后处理 使用软件：lsprepost
第二部分
材料非线性有限元方程
27
材料非线性
后处理 利用lsprepost可以得出各种曲线（应力、应变、能量、节点的速 度、加速度、位移等），便于分析、得出结论
材料非线性
③创建属性（Property） 在创建属性时，需要 选择属性的类型（即 板、壳、梁等），然 后根据该车型参数， 输入各组件的厚度。
注：材料属性创建完成后， 需要将其赋与组件。
第二部分 材料非线性有限元方程
21
材料非线性
划分网格（2D>automesh）
网格的划分：size and bias:用户手动输入划分网格 所需的参数 batchmesh/QI optimize:批划分，根据 已有或重新定义的参数、标准文件，批 量划分网格
D’ B’
s
A
B *
D
O C
B’D’与 BD 形状相同
第一部分
材料本构关系
10
弹塑性材料本构
②随动强化模型
材料从塑性段的某点B(σ*)开始卸载，一旦降至2σs时，
B *
D
s
A
s
材料就开始反向屈服，以后按塑性加载段规律流动（沿
与AB段一样的硬化曲线A’B’流动，曲线AB与A’B’间 相 距始终为2σs）
网格划分完成后，需要对网格进行质量检查(qualityindex)
第二部分 材料非线性有限元方程
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材料非线性
非线性材料的力学行为研究
非线性材料的力学行为研究非线性材料是指在受力作用下，其应力—应变关系不符合胡克定律的材料。
非线性材料的力学行为研究对于理解材料的性能和应用具有重要意义。
本文将介绍非线性材料的力学行为研究的一些主要方向和方法。
一、非线性材料的定义与特点非线性材料可以用于描述一系列本构关系并不遵循胡克定律的材料。
相比于线性材料，非线性材料具有以下特点：应力与应变之间的关系不是简单的线性关系；材料的弹性模量和剪切模量是应变的函数；力学性能对应变速率和历史依赖性具有敏感性等。
二、非线性材料的力学行为研究方法1. 实验研究方法实验是研究非线性材料力学行为的重要手段。
通过设计不同类型的实验装置，可以对非线性材料进行弯曲、拉伸、压缩等受力实验，观察和测量材料在不同应变下的应力响应，进而分析材料的力学行为。
2. 理论研究方法非线性材料的力学行为通常需要借助理论模型进行描述和解释。
常用的理论模型包括弹性—塑性模型、黏弹性模型、粘弹塑性模型等。
通过建立合适的数学模型，可以对非线性材料的力学行为进行描述，并预测其性能。
3. 数值模拟方法数值模拟方法广泛应用于非线性材料力学行为的研究中。
通过建立材料的有限元模型，可以模拟材料在受力过程中的变形和应力分布，并通过数值计算方法求解非线性材料的力学行为。
三、非线性材料的力学行为研究主要方向1. 弯曲行为研究对于柔性材料或纤维增强复合材料等，在弯曲过程中呈现出复杂的非线性力学行为。
研究材料的弯曲行为可以揭示材料的弯曲刚度、屈曲载荷和屈曲模式等。
2. 拉压行为研究拉伸和压缩是非线性材料最常见的受力形式之一。
研究材料在拉压过程中的应力—应变特性，可以评估材料的强度、韧性和变形行为。
3. 疲劳行为研究非线性材料在长期循环加载下会呈现出明显的疲劳失效行为。
研究材料的疲劳行为对于评估材料的可靠性和寿命具有重要意义，可以通过疲劳试验和数值模拟方法实现。
四、非线性材料力学行为研究的应用领域1. 结构工程针对非线性材料的力学行为研究可以优化结构工程设计，提高结构的承载能力和抗震性能。
材料力学的非线性行为分析
材料力学的非线性行为分析材料力学是研究材料在外力作用下的变形和破坏行为的科学，非线性行为是指材料在受力作用时呈现出的非线性特性，即力与应变不成比例关系。
在许多工程和科学领域中，对材料力学的非线性行为进行准确和全面的分析具有重要意义。
本文将着重讨论非线性行为的基本概念、常见的非线性模型以及分析方法。
一、非线性行为的基本概念在材料力学中，强度、刚度、屈服点等参数通常被用来描述材料的特性。
然而，当外力增大到一定程度时，材料的性质将不再呈现线性关系，这时就出现了非线性行为。
非线性行为主要包括弹性-塑性行为、接触-分离行为以及材料的损伤和断裂等。
二、非线性模型的选择1. 弹塑性模型弹塑性模型是描述材料弹性和塑性变形的常用模型。
其中，最经典的是von Mises屈服准则，常用于金属的塑性变形分析。
2. 黏弹性模型黏弹性模型主要用于描述粘弹性材料的非线性行为，包括粘性和弹性两个部分。
常见的黏弹性模型有Kelvin模型和Maxwell模型。
3. 损伤模型损伤模型用于描述材料在加载过程中的损伤积累和破坏行为。
常用的损伤模型有弹塑性损伤模型、粘弹性损伤模型以及断裂力学模型等。
三、非线性行为的分析方法1. 实验测试实验测试是分析材料非线性行为最直接的方法之一。
通过应力-应变测试、拉伸试验等，可以获得材料在不同应力下的应变，进而建立非线性模型。
2. 数值计算数值计算是通过数学方法对材料力学进行模拟和计算的重要手段。
常用的数值计算方法有有限元法、边界元法、网格法等。
通过设定材料的非线性模型及边界条件，可以得到材料的应力分布和变形情况。
非线性分析的结果可用于工程设计、材料选用以及破坏预测等方面。
但是在进行非线性分析时，需要注意模型的参数选择、模型的适用性以及计算误差等因素。
总之，非线性行为是材料力学中重要的研究内容，对于理解材料的变形和破坏行为具有重要意义。
通过选择合适的非线性模型和分析方法，我们可以准确地描述和预测材料的非线性行为，为工程实践和科学研究提供有力支持。
有限元方法中材料非线性计算综述
6
(non-associated flow)。关联流动中使用了屈服函数 作为流动势 。关 联流动用来描述由位错诱发的塑性流动， ABAQUS® 中除铸铁外的一般金属与 Cam-Clay 土力学模型采用了关联流动的格式。非关联流动在处理摩擦型塑性流 动方面比关联流动更好，Mohr-Coulomb 和 Drucker-Prager 等模型使用了非关联 流动。关联流动集成的刚度矩阵 K ep 是对称矩阵，在材料不出现软化现象的时候
, H 0
(3)
5
其中 H H1 , H 2 , 为后继屈服条件中的内变量，表征了材料的强化、粘性等各种 复杂性质，其表达形式也可以非常复杂。塑性力学中常用的 Tressca 屈服准则和 Mises 屈服准则是 的两种特殊形式。Mises 屈服准则的应用较多一些，其屈 服与金属拉伸试验结果吻合得更好，而且其函数形式比较光滑。 Mises 屈服准则为：
2
Newton-Raphson 方法要求在给定 u 的时候计算的切线刚度 K ep ， K ep f int u u 。
K ep 与材料的状态有关， K ep 的计算将在后文中提及，现在假定在给定 u 的情况下 K ep 已经算出。
(a) Newton-Raphson 法 图1
(b) Quasi-Newton 法
K ep 还是正定的，容易求解。而非关联流动集成的刚度矩阵是不对称的，容易导
致求解失败。 除了以上与率不相关的塑性流动外， 粘塑性计算中需要定义率相关的流动法 则，粘性流动率 通常是与应力相关的。常见的粘塑性流动法则有： Bingham 模型：
k , Mises 0 Mises Mises 0 0,
3
非线性本构理论及方程
非线性本构理论及方程非线性本构理论及方程是构成工程力学和材料科学的重要组成部分，它反映了物质的力学特性，是了解材料的自然行为的关键概念。
本文将介绍非线性本构理论及其相关方程，包括非线性本构模型、非线性本构方程、压缩圆柱模型、等因式能量函数等。
首先，介绍非线性本构模型。
非线性本构模型是描述材料性质的基本概念，它涉及材料物理本质，模型可以用来研究材料在加载过程中的全局响应，以及材料力学和结构力学性质。
常见的非线性本构模型有弹性-塑性模型、扭转模型、粘弹性模型等。
其次，介绍非线性本构方程。
非线性本构方程是描述材料性质的基本方程，它涉及材料物理本质，可以用来研究材料在加载过程中响应的性质和行为规律。
常见的非线性本构方程有Jaumann函数、等因式能量函数、Rice-Salamon函数等。
再次，介绍压缩圆柱模型。
压缩圆柱模型是用来描述材料性质的一种模型，它是一种压缩材料的流变特性模型，可以用来描述材料在压缩方向的性质，同时也可以用来分析材料的非线性行为。
压缩圆柱模型的一般形式为：σ=K_0*[1+e~(-K~2*ε)]^(-n)其中，K_0是已知的参数，e~(-K~2*ε)是可以计算的，n是未知的参数，σ是应力，ε是压缩应变。
最后，介绍等因式能量函数。
等因式能量函数是用来描述材料性质的常用方程，它是建立材料屈服条件的重要函数，可以用来表征材料在上下线性段之间的行为规律。
等因式能量函数的一般形式为：W=K_1ε^2*(1+K_2ε^n)其中，K_1、K_2和n是未知参数，W是能量，ε是应变。
综上所述，非线性本构理论及其相关方程是工程力学和材料科学的重要组成部分，它反映了物质的力学特性，是了解材料的自然行为的关键概念。
本文介绍了非线性本构模型、非线性本构方程、压缩圆柱模型、等因式能量函数等。
将本构理论和方程应用到工程设计中，将有助于更好地使用材料以解决工程问题。
08-材料非线性问题
222第八章 材料非线性问题前章讨论的是几何非线性问题，它是由结构变形的大位移引起的。
本章将讨论材料非线性问题。
所谓材料非线性问题，指的是由于材料的本构关系是非线性的，从而使得用位移表达的平衡方程式(组)呈非线性形式。
这种问题主要可分成二类，第一类是非线性弹性问题，此类问题中的材料从一开始应力－应变关系就呈非线性关系，如橡皮、塑料、岩石等等。
但非线性弹性问题中的变形过程是可逆的，即卸载后结构会恢复到加载前的位置。
第二类是非线性弹塑性问题，当结构材料中的应力水平超过屈服极限以后，就会出现非线性性质，各种结构的弹塑性分析就是这类问题。
在加载过程中，弹塑性问题和非线性弹性 问题在本质上是相同的，但其卸载过程和前者是不同的，当外载去除后结构不能够回复到加载前的位置，而存有残余变形，即非线性的弹塑性问题是不可逆的。
更进一步的研究，材料非线性问题还有粘弹性问题，粘塑性问题及非线性脆性材料问题等，本书将不予讨论。
随着新型材料的发展应用，材料承载能力的进一步挖潜等，使的材料非线性问题的应力、变形分析，在工程上有着愈来愈重要的意义。
例如塑料部件的应用、金属的压力加工、金属部件的预应力处理等等，都必须进行准确的非线性弹性或弹塑性分析。
由于材料非线性问题最后亦是归结为求解一组非线性方程组的问题，因此上章所介绍的求解非线性问题的一般方法都完全适用于材料非线性问题。
当然，根据具体问题的性质，存有选择哪一种方法更方便，有效的问题。
本章将分别介绍非线性弹性问题及弹塑性问题基本理论及具体求解方法，最后对双重非线性问题(即材料非线性和几何非线性的复合问题)作一般性的讨论。
§8-1 非线性弹性问题的求解方法纯粹的材料非线性问题属于小变形问题。
前面章节所到的几何关系式及单元的平衡条件仍然成立。
即有{}{}δε][B = (8-1){}{}R dV B T =⎰δ][ (8-2)其中几何关系式(8-1)是线性的，][B 和位移{}δ无关。
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材料非线性理论及其数值计算方法
在材料非线性问题中，物理方程中的应力—应变关系不再是线性的。
例如在结构中的裂纹尖端存在应力集中现象，当外载荷达到一定数值时该部位进入塑性，而此时结构中的其他部位还处于弹性阶段。
又如很多金属与非金属材料存在“率效应”：在不同的应变率下应力—应变关系是不同的，当高速变形时，结构表现得更“硬”一些，也就是在高应变率下材料的弹性模量更高，这种率效应反映了材料的粘性。
所谓材料本构，是指材料的应力—应变关系。
在材料本构模型中，主要有弹性、塑性、粘性以及三者的混合，例如粘弹性、粘弹塑性材料等，这里主要介绍塑性与粘性的基本理论及其数值计算方法。
1. 塑性材料基本理论
所谓弹性材料，一般是指载荷的加载过程与卸载过程中，应力—应变关系曲线保持不变。
1）弹性材料。
加载与卸载曲线完全重合且应力—应变关系始终为线性，该曲线的斜率即为该材料的弹性模量；2）超弹性材料。
如果加载与卸载曲线完全重合，但是应力—应变关系为非线性关系，该材料称为超弹性材料，该材料本构常常用来模拟橡胶材料；3）弹塑性材料。
在加载段应力与应变保持线性，当应力大于屈服应力σs 时，材料进入塑性，此后如果继续加载，应力—应变关系仍然为线性，但是斜率发生变化。
卸载曲线与加载段曲线斜率相同，这样当完全卸载后，材料中将保留永久的塑性变形εp。
一维情况下弹塑性材料本构的描述比较简单，首先判断结构的应力状态是否达到屈服应力，如果没有达到，则按照线弹性材料本构进行处理。
如果材料内的应力已经超过屈服应力，按照塑性变形本构计算结构中的应力—应变。
在三维条件下，判断材料是否进入塑性可以使用V.Mises 屈服准则，即
03
1212=-σs ij ij s s 式中，δσσij m ij ij s -=为斜应力张量，)(31332211σσσσ++=m 为平均应力。
该式的力学意义是，当等效应力σ等于材料的屈服应力σs
时，材料开始进入塑性变形。
在LS-DYNA3D 中，线弹性材料本构的定义方式为*MAT_ELASTIC （1#材料）；超弹性本构
的定义方式为*MAT_MOONEY-RIVLIN_PUBBER(27
#材料)；经常使用的弹塑性本构定义方式为*MAT_PLASTIC_KINEMATIC(3#材料)。
2.粘弹性材料基本理论
描述线性粘弹性材料最基本的模型为弹性元件与粘性元件。
在粘弹性力学研究中，一般采用弹性元件与粘性元件的组合作为基本单元。
1）粘弹性材料的数值计算方法
由于粘弹性体的现实状态涉及到变形的历史与外载的作用历程。
在有限元计算中需要用增量方法求解。
在LS-KYNA3D中，粘弹性材料本构的定义方式有*MAT_VISCOELASTIC(6#材料)以及*MAT_ELASTIC_WITH_VISCOSITY(60#材料)等。
（注：素材和资料部分来自网络，供参考。
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