近世代数的发展历史
近世代数发展简史
近世代数发展简史近世代数是数学中的一个重要分支，它研究的是数与符号之间的关系以及代数结构的性质。
在近世代数的发展过程中，有许多重要的里程碑和贡献者。
本文将详细介绍近世代数的发展历程，包括其起源、重要概念的提出以及对现代数学的影响。
1. 起源近世代数的起源可以追溯到16世纪的欧洲。
当时，数学家开始对代数问题进行更加系统和抽象的研究，从而逐渐形成了近世代数的基本框架。
其中，意大利数学家斯卡拉潘尼（Niccolò Fontana Tartaglia）和费拉里（Gerolamo Cardano）在解三次方程和四次方程的过程中做出了重要贡献，他们的研究为近世代数的发展奠定了基础。
2. 重要概念的提出2.1 多项式多项式是近世代数中的重要概念之一。
法国数学家维尔纳（François Viète）在16世纪提出了多项式的概念，并建立了代数符号与数之间的联系。
他的工作为代数学的发展打下了坚实的基础。
2.2 群论群论是近世代数中的另一个重要概念。
德国数学家高斯（Carl Friedrich Gauss）和法国数学家狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）在19世纪提出了群论的基本概念和性质。
群论的研究不仅对近世代数的发展有着重要的影响，而且对现代数学的各个领域都产生了深远的影响。
2.3 环论环论是近世代数中的另一个重要分支。
德国数学家李特尔（Richard Dedekind）和德国数学家诺特（Ernst Eduard Kummer）在19世纪提出了环论的基本概念和性质。
环论的研究使得近世代数的抽象性更加突出，为后续的代数研究提供了重要的思想和方法。
3. 对现代数学的影响近世代数的发展对现代数学产生了深远的影响。
首先，近世代数的抽象性质和符号计算的方法为数学的发展提供了新的思路和方法。
其次，近世代数的研究为其他数学分支，如数论、几何学和拓扑学等提供了重要的工具和理论基础。
近世代数 课件
群中任意两个元素的乘积与它们的顺 序无关，即a*b=b*a。
循环群的性质
循环群的阶数就是a的幂次的个数； 循环群的运算可以用多项式表示。
交换群的性质
交换群的元素都是可交换的；阿贝尔 群的元素都是可交换的。
04
环论
环的定义与性质
总结词
环的基本定义、环的加法性质、乘法性质、单位元、 零元素等。
群的性质
群的结构
群的分类
一个集合G，在G的一个二 元运算下做成的代数系统， 如果满足封闭性、结合性、 存在单位元、存在逆元，则
称G为群。
封闭性、结合性、单位元存 在、逆元存在。
群中元素的个数有限或无限 ，群中元素可以是有理数、
整数、矩阵等。
根据群中元素的个数有限或 无限，可以分为有限群和无 限群；根据群中元素的性质 ，可以分为阿贝尔群和非阿
05
域论
域的扩张
定义
域的扩张是域论中的基本概念，它描述了一个域通过添加新的元素 而得到更广的域的过程。
有限扩张
如果一个域的扩张是有限的，则称其为有限扩张。有限扩张的性质 和结构是域论研究的重要内容之一。
代数扩张与超越扩张
根据添加元素的性质，扩张可以分为代数扩张和超越扩张。代数扩张 是通过添加代数元得到的，超越扩张则是通过添加超越元得到的。
环论在计算机科学中的应用
环论也是近世代数的一个重要分支，它在计算机科学中也有着重要的应用。例 如，在计算机算法设计中，可以利用环论中的模运算和多项式运算等概念，设 计出一些高效的算法。
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近世代数课件
• 引言 • 基本概念 • 群论 • 环论 • 域论 • 应用与实例
01
引言
什么是近世代数
近世代数定理
近世代数(抽象代数)
“近世代数即抽象代数。
代数是数学的其中一门分支，当中可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分。
初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的代数方程理论，主要研究某一代数方程（组）是否可解，如何求出代数方程所有的根〔包括近似根〕，以及代数方程的根有何性质等问题。
法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的思想彻底解决了用根式求解多项式方程的可能性问题。
他是第一个提出「群」的思想的数学家，一般称他为近世代数创始人。
近世代数发展简史
近世代数发展简史引言概述:近世代数是数学中的一个重要分支，它的发展经历了几个重要的阶段。
本文将从近世代数的起源开始，逐步介绍其发展的关键点和重要成果。
首先，我们将探讨近世代数的起源和发展背景，然后详细介绍近世代数的五个主要部分，包括整数环、多项式环、域、线性代数和群论。
一、整数环1.1 整数环的定义和性质1.2 整数环的基本运算和性质1.3 整数环的应用和发展二、多项式环2.1 多项式环的定义和性质2.2 多项式环的基本运算和性质2.3 多项式环的应用和发展三、域3.1 域的定义和性质3.2 域的基本运算和性质3.3 域的应用和发展四、线性代数4.1 线性代数的基本概念和性质4.2 线性代数的基本运算和性质4.3 线性代数的应用和发展五、群论5.1 群论的基本概念和性质5.2 群论的基本运算和性质5.3 群论的应用和发展正文内容:一、整数环1.1 整数环是指由整数构成的一个环结构，它包含了整数的加法和乘法运算。
整数环的性质包括封闭性、结合律、交换律、分配律等。
整数环在数论、密码学等领域有着重要的应用，如素数的判定和加密算法的设计等。
整数环的发展经历了欧几里得算法的提出和数论的建立，为后续代数学的发展奠定了基础。
二、多项式环2.1 多项式环是指由多项式构成的一个环结构，它包含了多项式的加法和乘法运算。
多项式环的性质包括封闭性、结合律、交换律、分配律等。
多项式环在代数几何、信号处理等领域有着广泛的应用，如曲线的描述和信号的滤波等。
多项式环的发展经历了多项式插值和多项式因式分解等重要成果的提出，为代数学的发展提供了重要工具。
三、域3.1 域是指一个满足一定条件的数学结构，它包含了加法、乘法、减法和除法运算。
域的性质包括封闭性、结合律、交换律、分配律等。
域在代数方程、密码学等领域有着广泛的应用，如多项式方程的求解和公钥密码算法的设计等。
域的发展经历了有理数域、实数域和复数域的建立，为代数学的发展提供了重要基础。
近世代数即抽象代数
近世代数即抽象代数。
代数是数学的其中一门分支，当中可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分。
初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的方程理论，主要研究某一方程〔组〕是否可解，如何求出方程所有的根〔包括近似根〕，以及方程的根有何性质等问题。
法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题。
他是第一个提出「群」的思想的数学家，一般称他为近世代数创始人。
他使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期。
近世代数学习系列二群近世代数的主要研究对象是具有代数运算的集合，这样的集合称为代数系。
群就是具有一个代数运算的代数系，群的理论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是近世代数的基础.现在它已发展成为一门内容丰富、应用广泛的数学分支，在物理学、力学、化学、生物学、计算机科学等方面都有越来越广泛的应用。
群是一个集合，在这集合上定义了一种二项演算，也就是说存在一个映射，给这集合的任意两个元的有序对，都对应了这集合的另一个元，作为这两个元关于这种演算的结果。
这演算通常称为乘法，两个元a、b关于这乘法进行演算的结果，通常写为a∙b或者就简略记为ab。
乘法被要求满足下面三个条件：1.结合律。
a∙ ( b∙c ) = ( a∙b) ∙c2.存在单位元e，对任意元a都有e∙a = a∙e = a3.对任意元a，都存在a的逆元a-1，满足a∙a-1 = a-1∙a = e如果这乘法还满足交换律a∙b = b∙a，则把这群称为加群或Abel群。
这时更多地把演算写成加法。
群的单位元有时写为 1，Abel群的时候则写为 0。
单位元是唯一的，这是因为如果d和e都是单位元，则根据定义我们有d= de = e。
同样逆元也是唯一的，因为如果b和c都是a的逆元，则b= bac = c。
显然 ( a-1 ) -1 = a。
在一个集合A上定义一个满足上面三个条件的演算使其做成一个群，这有时被称为“给集合A加上了群的结构”。
代数式的发展简史
代数式的发展简史代数是数学的一个重要分支，它研究的是数与符号的关系。
代数式的发展史可以追溯到古希腊时期，当时的数学家开始探索未知数和变量之间的关系。
然而，代数的真正发展始于16世纪的欧洲，特别是文艺复兴时期。
在文艺复兴时期，数学开始成为一门独立的学科，并且代数式的研究逐渐得到重视。
法国数学家维阿里于1557年出版了一本名为《代数的新分析》的书，这本书被认为是代数学的里程碑。
维阿里在书中引入了字母作为未知数的符号，并且发展了一套运算规则，这为代数式的处理提供了基础。
随着时间的推移，代数的发展进入了17世纪，这个时期的代数学家们开始研究多项式的性质和解法。
法国数学家费马在17世纪提出了一个著名的数论问题，即费马大定理，这个问题在代数学的发展中起到了重要的推动作用。
18世纪是代数学史上一个重要的时期，代数的发展进入了一个新的阶段。
欧拉是18世纪最重要的代数学家之一，他对代数式的理论做出了重要贡献。
欧拉提出了代数方程的根与系数之间的关系，即欧拉公式，这个公式对后来的代数研究产生了深远的影响。
19世纪是代数式发展史上的又一个重要时期。
这个时期的代数学家们开始研究更为复杂的代数结构，如群、环、域等。
德国数学家高斯是19世纪代数学的杰出代表之一，他在代数方程的解法和代数理论的发展方面做出了突出的贡献。
高斯提出了代数方程的基本定理，即每个非常数代数方程都有复数根的定理，这个定理对代数学的发展产生了深远的影响。
20世纪是代数学发展的黄金时期，代数的研究领域进一步扩展。
在这个时期，代数学家们开始研究更为抽象的代数结构，如线性代数、抽象代数等。
同时，计算机的出现也为代数式的发展提供了新的工具和方法。
代数式的发展史是代数学发展史的一部分，它记录了人们对数与符号关系的认识和研究的历程。
从古希腊时期到现代，代数式的发展经历了漫长而曲折的道路。
代数式的发展不仅推动了数学的发展，也对其他学科的发展产生了深远的影响。
无论是古代的未知数问题，还是现代的抽象代数理论，代数式的发展都是数学发展史上的重要组成部分。
代数式的发展历史
代数式的发展历史一、古希腊时代的代数式代数式的发展可以追溯到古希腊时代。
在公元前6世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯提出了一个重要的数学概念——比例。
他研究了一种特殊的比例关系，即等差比例，这对于后来的代数发展起到了重要的推动作用。
毕达哥拉斯的研究奠定了代数式的基础，为后来的代数学家提供了重要的启示。
二、古代阿拉伯数学家的贡献在古代，阿拉伯地区的数学家也为代数式的发展做出了重要的贡献。
他们将代数式的研究与几何学相结合，提出了一种新的解方程方法——代数法。
这种方法通过将未知数表示为虚数，将方程转化为代数式，从而解决了许多复杂的数学问题。
阿拉伯数学家的研究使代数式的发展迈出了重要的一步。
三、文艺复兴时期的代数式在文艺复兴时期，代数式的研究经历了一个重要的变革。
数学家开始将代数式与几何学分离，并将其视为一门独立的学科。
他们提出了一种新的解方程方法——方程法。
这种方法通过代数式之间的运算关系，将方程转化为更简单的形式，从而解决了许多复杂的数学问题。
文艺复兴时期的代数学家的研究为代数式的发展开辟了新的道路。
四、近代代数学的发展在近代，代数学得到了迅猛的发展。
数学家们通过对代数式的研究，提出了许多重要的概念和定理。
其中最重要的是代数方程的根与系数之间的关系——韦达定理。
这个定理揭示了代数方程的根与系数之间的关系，为解方程提供了重要的方法。
此外，近代代数学家还研究了多项式的因式分解、数列的递推关系等重要内容，丰富了代数式的研究领域。
五、现代代数学的发展随着科学技术的进步，代数学的研究也得到了极大的推动。
现代代数学家通过引入抽象代数的概念，将代数式的研究推向了一个新的高度。
他们提出了一系列新的概念和定理，如群论、环论、域论等，极大地拓展了代数式的研究领域。
现代代数学的发展使代数式不仅仅局限于数学领域，还广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等各个领域。
六、代数式的应用和未来发展代数式作为数学的一个重要分支，广泛应用于各个领域。
代数学发展简史
代数学发展简史一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分，因为科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧。
——傅鹰数学的历史是重要的，它是文明史的有价值的组成部分，人类的进步和科学思想是一致的。
—— F. Cajori0、引言数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。
大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。
这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。
在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。
在此简要介绍代数学的有关历史发展情况。
“代数”（algebra）一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔·花拉子米（al-Khowārizmī，约780－850）一本著作的名称，书名的阿拉伯文是‘ilm al-jabr wal muqabalah，直译应为《还原与对消的科学》．al-jabr 意为“还原”，这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项；muqabalah 意即“对消”或“化简”，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项．在翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”，拉丁文“aljebra”一词后来被许多国家采用，英文译作“algebra”。
阿布·贾法尔·穆罕默德·伊本·穆萨·阿尔—花拉子米的传记材料，很少流传下来．一般认为他生于花拉子模[Khwarizm，位于阿姆河下游，今乌兹别克境内的希瓦城(Хива)附近]，故以花拉子米为姓．另一说他生于巴格达附近的库特鲁伯利(Qut-rubbullī)．祖先是花拉子模人．花拉子米是拜火教徒的后裔，早年在家乡接受初等教育，后到中亚细亚古城默夫(Мерв)继续深造，并到过阿富汗、印度等地游学，不久成为远近闻名的科学家．东部地区的总督马蒙(al-Ma’mūn，公元786—833年)曾在默夫召见过花拉子米．公元813年，马蒙成为阿拔斯王朝的哈利发后，聘请花拉子米到首都巴格达工作．公元830年，马蒙在巴格达创办了著名的“智慧馆”(Bayt al-Hikmah，是自公元前3世纪亚历山大博物馆之后最重要的学术机关)，花拉子米是智慧馆学术工作的主要领导人之一．马蒙去世后，花拉子米在后继的哈利发统治下仍留在巴格达工作，直至去世．花拉子米生活和工作的时期，是阿拉伯帝国的政治局势日渐安定、经济发展、文化生活繁荣昌盛的时期．花拉子米科学研究的范围十分广泛，包括数学、天文学、历史学和地理学等领域．他撰写了许多重要的科学著作．在数学方面，花拉子米编著了两部传世之作：《代数学》和《印度的计算术》．1859年，我国数学家李善兰首次把“algebra”译成“代数”。
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第4讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射 ——同态映射
1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例
9
第5讲 基本概念之等价关系与集合的分类 ——商集
1 商集 2 等价关系 3 集合的分类 4 集合A上的等价关系与 集合A的分类之间的联系
10
第三章 群
11
第1讲 代数系统
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第一章 绪 论
1
第1讲 绪 论
一 关于代数的观念 二 数学史的发展阶段 三 代数发展的阶段(数学发展史) 四 代数学发展的四个阶段 五 几类与近世代数的应用有关的实际
问题
2
第二章 基本概念
3
特权福利
特权说明
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集合与元素的相关概念
集合的相关概念
集合的运算及运算律
集合的补充及说明
6
第2讲 基本概念之集合及其之间的关系 —对应关系(映射)(人造关系)
1 映射概念回忆
2 映射及相关定义 3 映射的充要条件
4 映射举例
5 符号说明
6 映射的合成及相关结论
7 映射及其映射相等概念的推广
8 集合及其之间的关系——特殊
近世代数发展简史
近世代数发展简史近世代数是数学中的一个重要分支，它研究的是数和运算的性质。
近世代数的发展经历了数百年的演变和进步，从最初的代数方程解法到现代的抽象代数理论，为数学的发展做出了巨大的贡献。
本文将详细介绍近世代数的发展历程和关键里程碑。
1. 代数的起源代数的起源可以追溯到古希腊和古埃及时期。
古希腊数学家毕达哥拉斯和欧几里得等人对代数方程的解法进行了研究，提出了一些基本的代数原理和方法。
古埃及人也在解决实际问题中使用了代数的概念和方法。
2. 文艺复兴时期的代数在文艺复兴时期，代数开始脱离实际应用，成为一门独立的学科。
意大利数学家斯卡拉潘尼和法国数学家维尼奥等人对代数进行了深入研究，并提出了一些重要的代数理论。
斯卡拉潘尼的《代数学》被认为是近世代数的奠基之作。
3. 高斯的贡献19世纪初，德国数学家高斯对代数的发展做出了重要贡献。
他提出了复数的概念，并将代数方程的解法推广到复数域上。
高斯的《代数学基础》成为了近世代数的经典著作，对后来的代数研究产生了深远影响。
4. 抽象代数的出现20世纪初，抽象代数作为一门独立的数学学科开始崭露头角。
法国数学家加罗华和德国数学家诺特等人对代数的结构和性质进行了深入研究，提出了一些重要的概念和定理。
抽象代数的出现使代数的研究更加系统化和抽象化。
5. 现代代数理论的发展近现代，代数理论得到了极大的发展和完善。
代数的研究范围涉及了群论、环论、域论等多个方面。
代数理论的应用也广泛渗透到其他数学领域，如数论、几何学等。
代数的发展对数学的发展起到了重要的推动作用。
总结：近世代数的发展经历了数百年的演变和进步，从最初的代数方程解法到现代的抽象代数理论，为数学的发展做出了巨大的贡献。
从古希腊和古埃及的代数起源，到文艺复兴时期的代数研究，再到高斯的贡献和抽象代数的出现，近世代数的发展历程丰富多样。
现代代数理论的发展使代数的研究更加系统化和抽象化，并对其他数学领域产生了深远影响。
近世代数的发展不仅推动了数学的进步，也为人类认识世界和解决实际问题提供了重要的工具和方法。
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近世代数的发展历史
代数学是以数、多项式、矩阵、变换和它们的运算，以及群、环、域、模等为研究对象
的学科．简单地说，代数学是研究代数结构的，而近世代数--抽象代数是代数学研究的一个
重要分支，主要研究群、环、域、模这四种抽象的代数结构，并深入研究了具有一定特性的
群、环、域、模及其子结构、商结构、同态和同构、以及作为它们支柱的具体例子，它不仅
在代数学中，而且在现代数学的理论与应用中都具有基本的重要性．
19世纪中叶以后，各种形形色色的几何学象雨后春笋般涌现出来，需要进行总结分类，
而这时群论又是一个热门话题，其影响渗透到数学的各个领域，使数学家们感到，全部数学
不过是群论的某个方面，而不是什么别的东西．在这种情况下，出现了克莱因的“爱尔兰纲
领”．
克莱因（1849-1925）是德国数学家．他在自己和李关于群论方面研究工作的基础上，
着手寻找刻划各种几何特征，其基本观点是每种几何都由变换群所刻划，并且每种几何所要
做的实际就是研究变换群下的不变量．或者，一个几何的子几何是在原来变换群的子群下的
一族不变量，在此定义下相当于给定变换群的几个的所有定理仍然是子群几何中的定理．克
莱因用变换群的观点对几何学进行分类，在这种观点下，几何学被看作是研究图形（某种元
素的集合）对某种变换群的不变性之数学分支，克莱因这种研究几何的方法，完全避开直观
图形而诉诸代数结果，确实是一项伟大的转折．当克莱因发表这种见解时，遭到其老师普吕
克的反对，斥其大胆妄为．克莱因因此离开哥廷根大学，而到爱尔兰根大学，按照惯例他向
大学的哲学教授会和评议会作了专业就职演说．这个演说通常称为“爱尔兰根纲领”，在讲
演中克莱因阐述了自己的观点，对后世几何有深远的影响．
对五次和五次以上方程寻求根号群的长期失败，最终引导到19世纪20年代群论的诞
生．其创立者是法国青年数学家伽罗华．群论的出现使代数学从古典代数方程论为中心转变
为以研究各种代数结果的性质为中心，向着代数数论、超复数系、线性代数、环论、域论等
方面发展．
伽罗华，1829年3月第一篇数学论文在《纯粹与应用数学年鉴》上发表，同时开始研
究高次方程根号解问题，他提出制定一个已知方程解是否可用根式表示的判别原则．伽罗华
为研究方程论而发展起来的方法很可能比他在方程论中的发现更引人注目．他的研究导师了
群论理论的诞生．
伽罗华在爱情纠纷引起的一场荒谬战斗中丧了命．在进行决斗前夕，伽罗华曾写信给其
朋友，写道：“我请求我的爱国朋友不要责备我不是为自己的祖国而献出生命．„„苍天做
证，我曾用尽办法试图拒绝这场战斗，只是出于迫不得已才接受了挑战．”“别了，我为公共
福利已经献出了自己的大部分生命．”伽罗华在信中还请求朋友将自己的研究成果向德国数
学家高斯和雅可比求教，“但不谈论定理正确与否；而是就这些定理的重要性发表他们自己
的见解．此后我希望某些人将会发现清理这种一团混乱的状况是有益的．”
伽罗华实质上创立了群的研究，他是最先（1832年）在严格定义下用“群”（group）
这个字的．
阿贝尔，在克里斯蒂大学当学生时，他认为他已经发现了如何用代数方法解一般五次方
程，但不久自己纠正了这种想法，1824年发表了小册子谈及此事，阿贝尔在其早年论文中
证明了用根式解一般五次方程的不可能性，于是这个曾困绕从邦别利到韦达等数学家的难题
最终被解决了，在抽象代数中，交换群现在被称为阿贝尔群．
戴德金是德国数学家，就学与哥廷根大学，是高斯和狄利克雷学生．他的成就主要在代
数理论方面，他研究了任意域、环、群、结构及模等问题．特别是引入环的概念，并给理论
子环下了一般性的定义．代数数域中的戴德金函数，实数论中的戴德金分割，与韦伯合著的
代数函数理论，自然数理论都是其著名的贡献．
庞加莱在一个研究领域中从未停留很长时间，并且喜欢敏捷地从一个领域跳到另一个领
域，他论述微分方程的博士论文涉及存在定理．这一著作引导他去发展自守函数理论，尤其
是所谓Zeta-Fuchsian函数：庞加莱证明，他能用来解带有代数系数的二阶线性微分方程，
和拉普拉斯一样，他对概率论这门学科作出了很有价值的贡献，预言了拓扑学在二十世纪中
的重要意义，如今组合拓扑的“庞加莱群”就是以他的名字命名的．
据传说，庞加莱不善于操作，他两只手都不利索，不管用哪只手都同样笨拙．他根本没
有画画的能力，他在中学时图画课成绩为零．结业时，他的同学开玩笑的组织了他的“艺术
杰作”公开展览．他们在每一副画上都用希腊文字仔细的表明“这是房子”，“这是马”等．
诺特—抽象代数领域最杰出的数学家之一，1882年出生与德国爱尔兰根．她虽然是一
位贫穷的讲师，并且没有什么教学技巧；但是，她激励了惊人多的学生，他们也在抽象代数
的领域留下了自己的脚印．她在抽象环和理想论方面的研究，对现代代数的发展尤为重要．
她离开爱尔兰根后，到哥廷根学习，她1919年在那里通过了其他学教书资格考试，尽管当
时教授评议的某些成员反对妇女任教．他们叫喊：“当战士们回到大学时，发现他们要在妇
女的脚下学习时，不知道他们会怎么想．”希尔伯特对这种论调感到厌烦，并且答复到：“先
生们1在评议她的大学讲师资格时，性别有什么关系．大学评议会毕竟不是澡堂．”1922年，
她成为哥廷根大学的杰出教授．定理4．4 设G是任意群，则G同构于变换群T(G)的一
个子群．
这个用Cayley命名的定理给出一个抽象群G和另一个具体群 的关系，即任一n阶群
都和n元对称群 的一个子群同构，也就是说，如果我们能把 中所有不同构的n阶子群都找
出来，这样我们也就把所有可能存在的n阶群都找出来了．把研究抽象群归结为研究置换群
（即对称群 的子群）．当然给人一些良好的感觉，例如对寻找群的例子或讨论某些问题是会
有帮助的，但它不会给我们很多，而只是研究群的一种途径，这也是我们可以感觉到的．