2022年全国初中数学竞赛预赛试题及答案
2022年数学周报杯全国初中数学竞赛试题及答案
81x－80＞487.
解得7＜x≤19.
容易验证，当7＜x≤19时， ≤487 ≤487，故x旳取值范畴是
7＜x≤19．
6（乙）.7
解：在 两边乘以 得
即
7（甲）．8
解：连接DF，记正方形 旳边长为2 .由题设易知△ ∽△ ，因此
，
由此得 ，因此 .
在Rt△ABF中，由于 ，因此
中国教育学会中学数学教学专业委员会
“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题
一、选择题（共5小题，每题6分，共30分.）
1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上旳位置如图所示，那么代数式 可以化简为（）．
（A） （B） （C） （D）a
1（乙）．如果 ，那么 旳值为（）．
（A） （B） （C）2（D）
2（甲）．如果正比例函数y=ax（a≠ 0）与反比例函数y= （b≠0）旳图象有两个交点，其中一种交点旳坐标为（－3，－2），那么另一种交点旳坐标为（）．
解得a ， .
于是 =a－m .
…………（10分）
又a≥，即 ≥.
又由于m是素数，解得m≥89.此时，a≥ =2025.
当 时， ， ， .
此时，a旳最小值为2025.
（2）当 时，由于 ，因此 ，从而得a旳最小值为（素数）。
综上所述，所求旳a旳最小值为。……（15分）
13（乙）.解：设凸n边形最多有k个内角等于150°，则每个150°内角旳外角
4（乙）．C
解：由一元二次方程根与系数关系知，两根旳乘积为 ，故方程旳根为一正一负．由二次函数 旳图象知，当 时， ，因此 ，即 .由于 都是正整数，因此 ，1≤q≤5；或 ，1≤q≤2，此时均有 .于是共有7组 符合题意．
2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)加试预测卷20
2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）加试预测卷20
1．（40分）如图，在四边形ABCD中（A、B、C、D在圆上顺次排列）ABAD，
BCCD
，∠BAD的平分线交圆于点X，∠BCD的平分线交圆于点Y，在由这
六个点构成的六边形中，有四条边的长度相等．
求证：△ABD是直角三角形．
2．（40分）若()fn定义在正整数集上，且满足(1)2f，
2
(1)(())()1fnfnfn
，1,2,n．
求证：对所有整数1n有122111111()22nnnifi．
3．（50分）设T是由1002016的所有正因数组成的集合，集合S满足：
（1）S是T的子集；
（2）S中任何一个元素都不是S中另一个元素的倍数．求S中元素个数的
最大值．
4．（50分）对于每一个给定的正奇数n，证明：存在一个2018项的正整数
数列122018,,aaa，满足：11a，2018an，并且从第二项起，每一项ka等于其
前面的某一项加上2的某一非负整数幂，或者等于(mod)bc的最小正余数（其中
b和c是该项之前的某两项）．
2022七年级竞赛数学试题附答案
初中数学试卷七年级竞赛数学试题一．选择题（共8小题，共48分）1．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为（25±0.1）kg、（25±0.2）kg、（25±0.3）kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（）A．0.8kgB．0.6kgC．0.5kgD．0.4kg分率为a，第二次提价的百分率为b；乙商场：两次提价的百分率都是（a＞0，b＞0）；丙商场：第一次提价的百分率为b，第二次提价的百分率为a，则提价最多的商场是（）A．甲B．乙C．丙D．不能确定二．填空题（共7小题，共42分）9．已知 34 ，则的余角为。
10．如图，已知正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为 cm2。
2．文具店的老板均以60元的价格卖了两个计算器，其中一个赚了20%，另一个亏了20%，则该老板（）A．赚了5元B．亏了25元C．赚了25元D．亏了5元3．如图是一个4×4的正方形网格，图中所标示的7个角的角度之和等于（）A．585°B．540°C．270°D．315°11.已知 AOB 35 , BOC 75 ,则 AOC=12.如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点。
已知图中所有线段的长度和为13，则线段AC的长度为13．若2xm-1y2与-2x2yn是同类项，则mn= 14.观察这一列数：，，，，，依此规律下一个数是 _________ ．4．如果有2003名学生排成一列，按1， 2，3，4，3，2，l，2，3，4，3，2，的规律报数，那么第2003名学生所报的数是（）A．1B．2C．3D．45．适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值的个数有（）A．5B．4C．3D．26．下列各数：－|－2|，－（－2），－22, （－2）2中，负数有（）A、一个B、二个C、三个D、四个7．如果将加法算式1+2+3+ +1994+1995中任意项前面“+”号改为“﹣”号，所得的代数和是（）A．总是偶数 C．总是奇数B．n为偶数时是偶数，n为奇数时是奇数 D．n为偶数时是奇数，n为奇数时是偶数15．自然数按一定规律排成如图所示，那么第200行的第5个数是 _________ ．三．解答题（共5小题，60分）116． 14 (1 0.5）2310 （ 2）（ 1）共10分 38．同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百初中数学试卷17．阅读、理解和探索（共12分）（1）观察下列各式：①；②；③；用你发现的规仿照例题解方程：|2x+1|=5律写出：第④个式子是（ _________ ），第n个式子是（ _________ ）；（2分）（2）利用（1）中的规律，计算：（3）应用以上规律化简：（3分）+18．对于有理数x、y，定义新运算：x*y=ax+by，其中a、b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知1*2=9，（﹣3）*3=6，求2*（﹣7）的值．（12分）；++；（3分）20．现有a根长度相同的火柴棒，按如图1摆放可摆成m个正方形，按如图2摆放时可摆成2n个正方形．（14分）（1）用含n的代数式表示m；（2）当这a根火柴棒还能摆成如图3所示的形状时，求a的最小值．图1 图2 图3初中数学试卷七年级竞赛数学竞赛答案一．选择题（共11小题）1 B．2．D．3 A 4．C．5 B．6．B．7 A．8．B．二．填空题（共10小题）9.56度 10、8 11.40度或110度13． 9 14．．15． 19905 ．解答：解：根据题意可得方程组解得12.2那么定义的新运算xy=ax+by可替换为xy=x+因此2×（﹣7）=2×+（﹣7）×答：所求值为﹣．=﹣．y三．解答题（共5小题） 16．-117．附加题阅读、理解和探索（1）观察下列各式：①律写出：第④个式子是（（2）利用（1）中的规律，计算：（3）应用以上规律化简：+解答：解：根据以上分析故（1）第④个式子是．（2）解：（3）解：原式=18．对于有理数x、y，定义新运算：x*y=ax+by，其中a、b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知1*2=9，（﹣3）*3=6，求2*（﹣7）的值．==++=；，第n个式子是；②；③；用你发现的规19．解：①当2x+1≥0时，原方程可化为2x+1=5，解得x=2；②当2x+1＜0时，原方程可化为-（2x+1）=5，解得x=-3．），第n个式子是（++；．）；所以原方程的解是：x1=2；x2=-3．20（1）图1：a 3m 1 ，图2：a 5n 23m 1 5n 2m5n 13（2）设图3中有3p个正方形，那么火柴棒为（7p+3）根a 3m 1 5n 2 7p 3, p3m 25n 177因为m，n，p都是整数，所以m 17,n 10,p 7a 3 17 1 5 10 2 7 7 3 52。
2022年全国初中数学竞赛黄冈市选拔赛试题(含答案)
2022年全国初中数学竞赛黄冈市选拔赛试题(含答案)数学竞赛题目2022年全国初中数学竞赛黄冈市选拔赛试题（满分：120分，时间：120分钟）考试时间：2022年12月20日上午：9：00～11：00（每小题6分，共30分）1.若0a1，2b1，则a1b2ab的值是（）a1b2abA．0B．－1C．－3D．－42.若某43myn22022是关于某,y的二元一次方程，且mn0，0mn≤3，则mn的值是（）A．－4B．2C．4D．－23.如图，△ABC被DE、FG分成面积相等的三部分（即S1S2S3），且DE∥FG∥BC，FG－DE=（）A1BCD．2DCAADS1DS2FS3B第3题图CGA第4题图EOMPBBN第7题图4.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，S△BOC9，S△AOD25，则四边形ABCD的面积最小值是（）数学竞赛题目A．34B．64C．69D．无法求出5.有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支、练习本7本、圆珠笔1支共需6.3元；若购铅笔4支、练习本10本、圆珠笔1支共需8.4元.现购铅笔、圆珠笔各1支、练习本1本，共需（）元. A．2.4B．2.1C．1.9D．1.8二、填空题（每小题6分，共30分）6.设某,y为实数，代数式5某24y28某y2某4的最小值为7.如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，M、N分别是边AB、BC的中点，MP⊥CD于点P.则∠NPC的度数为8.10.9.如图，点A、C在反比例函数y某0的图象上，B、D在某轴上，△OAB，△BCD均为正三角形，则点C的坐标是BAGPHFDC第10题图10.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6㎝，AC=8㎝，以斜边BC 上距离B点6㎝的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个三角形重叠部2分的面积是㎝.三、解答题（每小题15分，共60分）11.已知一次函数ya某b的图象经过点A2，B，C2,c.求a2b2c2abbcca的值.数学竞赛题目12.在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠ABC=80°，E是腰CD上一点，连接BE、AC、AE，若∠ACB=60°，∠EBC=50°，求∠EAC的度数.DAEBC13.如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，M是OC的中点，AM的延长线交⊙O于点E，DE与BC交于点N.求证：BN=CN.数学竞赛题目14.如图，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A （13，0），B（11，12），动点P、Q从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q出同时停止运动.线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交某轴于点F.动点P、Q运动时间为t（单位：秒）.（1）当t为何值时，四边形PABQ是平行四边形，请写出推理过程；（2）当t=3秒时，求△PQF的面积；（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程.数学竞赛题目参考答案与提示1.C．取a0.5,b2.5代入计算即可.2.A．提示：43m1m1mn0,0mn≤3m1,n3.n21n33.D.提示：由相似三角形的性质得DE∶FG∶BC1DE某,FG,BC，则某DEFG2FGDE24.B．提示：设S△AOB某,S△CODy，则S四边形ABCD925某y；≥0某y≥2∴S最小≥34某y时，S最小=34此时BC∥AD，某y15.故S最小=3421564.5.B．设铅笔每支某元，练习本每本y元，圆珠笔每支z元，则3某7yz6.3某2.13y某yz2.13yy2y2.14某10yz8.4z2y6.3．提示：原式=4某y某13≥3.7.50°.过N作NG⊥PM于G，可证NG这MP的中垂线228.4．提示：原式BF=m，1010104.249.1.提示：作AE⊥OB于E，CF⊥BD于F，易求OE=EB=1，设则C(2m,)，代入y2得m2m10,mm0,m11.10.144.提示：过P作PM⊥AC于M，PN⊥DF于N，易证四边形PMGN为正方形，可求25数学竞赛题目PM12，5∴S重叠=S正方形PMGN12144.525211.可求得a1,b1,c1∵abbc2,ca2原式=1222abbcca13212.连结BD交AC于F，连EF.可证△BCF，△ADF均为正三角形.可证CB=CE.E、F、B在以C为圆心，CE为半径的圆上，从而可证∠EFD=∠EDF=40°，∵EF=ED，于是易证△ADE≌△AFE，∠DAC=30°.2CBCD.13.连结AC，BD.证△BCD∽△OCACOCACNCDCBCB1CNCB.BNCN.证△CDN∽△CAMCMCACO2CM2∴∠CAE=∠DAE=14.（1）设OP2t,OBt,PA132t,要四边形PABO为平行四边形，则132tt13.3（2）当t3时，OP=6，CQ=11－3=9，BQ=3.QBODOD1.OPDFDF2QEBDQD1QBOB∥DE∥PAEFDODF2AF∴t∴AF=6，∴F（19，0）∴S△PQFPF1278.232（3）①QP=AP，作OG⊥某轴于G，则11t2t2t13(11t)t②PQ=FP，132t2tt2或163③FQ=FP132t2tt1综上，当t316或2或或1时，△PQF是等腰三角形.23。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2021年全国初中数学竞赛预赛
试题及答案
2022年全国初中数学竞赛预赛
试题及参考答案
〔竞赛时间：2014年3月2日上午9:00--11:00〕
一、选择题〔共6小题，每题6分，共36分〕 以下每题均给出了代号为A，
B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号
字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分〕
1．假设是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本
身的自然数，那么的值为【 】
〔A〕2022 〔B〕2022 〔C〕2022 〔D〕0
【答】D．
解：最大的负整数是－1，∴=－1；
绝对值最小的有理数是0，∴=0；
倒数等于它本身的自然数是1，∴=1.
∴= =0.
2. 实数满足那么代数式的值是 【 】
〔A〕 〔B〕3 〔C〕 〔D〕7
【答】A．
解：两式相减得
3．如图，将外表展开图〔图1〕复原为正方体，按图2所示摆放，那么，图1
中的线段MN在图2中的对应线段是【 】
〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕
【答】C．
解：将图1中的平
面图折成正方体，MN
和线段c重合.不妨设
图1中完整的正方形
为完整面，△AMN和
△ABM所在的面为组
合面，那么△AMN和
△ABM所在的面为两个相邻的组合面，比拟图2，首先确定B点，所以线段d
与AM重合，MN与线段c重合.
4. 二次函数的图象如下图，那么以下7个代数式，，
，，，，中，其值为正的式子的个数为 【 】
〔
A
〕
2
个
〔
B
〕3个 〔C〕4个 〔D〕4个以上
【答】C．
解：由图象可得：，，，∴，，.
【答】B．
解：设KH中点为S，连接PE、ES、SF、PF、PS，可证明四边形PESF
为平行四边形，
∴G为PS的中点, 即在点P运动过程中，G始终为PS的中点，所
以G的运行轨迹为△CSD的中位线,
∵CD=AB－AC－BD=6－1－1=4，∴点G移动的路径长为=2.
二、填空题〔共6小题，每题6分，共36分〕
7．，化简得 .
【答】．
解：∵，∴，，
原式=.
8. 一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球假设
干个，其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，从袋子中随机摸出一个蓝
色玻璃球的概率为，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为 .
【答】．
解：设口袋中蓝色玻璃球有个，依题意，得，即=10，所
以P〔摸出一个红色玻璃球〕=.
9. 假设，那么= .
【答】8．
解：∵，∴.
那么，即.∴
10．如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，将Rt△OAB绕O点顺
时针旋转90°得到Rt△OCD，那么AB扫过的面积为 .
【答】．
解：∵Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，
∴AO=CO=，BO=DO=4，
∴阴影局部面积==
==.
11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点
E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，
当点A的对应点A1恰落在∠BCD的平分线上时，
CA1= .
【答】．
解：过A1作A1M⊥BC，垂足为M，设CM=A1M=x，那么BM=4－x，
在Rt△A1BM中，
，
∴=，∴x =A1M=，
∴在等腰Rt△A1CM中，C A1=.
12．a、b、c、d是四个不同的整数，且满足a+b+c+d =5，假设m是关于
x的方程〔x－a〕〔x－b〕〔x－c〕〔x－d〕=2022中大于a、b、c、d的一个整
数根，那么m的值为 .
【答】20．
解：∵〔m－a〕〔m－b〕〔m－c〕〔m－d〕=2022，且a、b、c、d是四
个不同的整数，由于m是大于a、b、c、d的一个整数根，∴〔m－a〕、〔m－
b〕、〔m－c〕、〔m－d〕是四个不同的正整数. ∵2022=1×2×19×53，
∴〔m－a〕+〔m－b〕+〔m－c〕+〔m－d〕=1+2+19+53=75.
又∵a+b+c+d =5，∴m =20.
三、解答题〔第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分〕
13.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购置以下三种奖品，其中小笔记本
每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购置的大笔记本的数量是钢笔
数量的2倍，共花费346元，假设使购置的奖品总数最多，那么这三种奖品的
购置数量各为多少？
解：设购置小笔记本x本，大笔记本y本，钢笔z支，
那么有，.
易知0＜x≤69，0＜y≤49，0
＜z≤
34, ……………………………………4分
∴，，即.
∵x，y，z均为正整数，≥0，即0＜z≤14
∴z只能取14，9和4. …………………………………………………8
分
①当z为14时， =2，=28. .
②当z为9时， =26，=18. .
③当z为4时， =50，=8. .
综上所述，假设使购置的奖品总数最多，应购置小笔记本50本，大笔记
本8本，钢笔4
支. ……………………………………………………………………14分
14.如图，在矩形ABCD中，AD=8，直线DE交直线AB于点E，交直线BC于
F，AE
=6.
〔1〕假设点P是边AD上的一个动点〔不与点A、D重合〕，
设DP为x,四边形AEHP的面积为y,试求y与x的函数解析式；
〔2〕假设AE=2EB.
①求圆心在直线BC上，且与直线DE、AB都相切的⊙O的半径
长；
②圆心在直线BC上，且与直线DE及矩形ABCD的某一边所在
直线都相切的圆共有多少个？〔直接写出满足条件的圆的个数即可.〕
14、解：〔1〕在Rt中，
……………………………………
……
………………5分
〔2〕①
∽.
………………………7分
假设⊙与直线DE、AB都相切，且圆心在
AB的左侧，过点作于，那么可设
. 解得
…………………10分
假设⊙与直线DE、AB都相切，且圆心在
AB的右侧，过点作于，那么可设
解得
即满足条件的圆的半径为或
6.…………………………………………13分
②6
个.…………………………………………………
……………………………………16分
15. 如图1，等腰梯形OABC的底边OC在x轴上，AB∥OC，O为坐标原点，
OA = AB =BC，∠AOC=60°，连接OB，点P为线段OB上一个动点，点E为边
OC中点.
〔1〕连接PA、PE，求证：PA=PE；
〔2〕连接PC，假设PC+PE=，试求AB的最大值；
〔3〕在〔2〕在条件下，当AB取最大值时，如图2，点M坐标为〔0，－1〕，
点D为线段OC上一个动点，当D点从O点向C点移动时，直线MD与梯形另一
边交点为N，设D点横坐标为m，当△MNC为钝角三角形时，求m的范围.
解：〔1〕
证明：如图1，连接AE.
……………………………………
……
………………5分
(2)
∵PC+PE=，∴PC+PA=.
显然有OB=AC≤PC+PA=.……………7分
在Rt△BOC中,设AB=OA=BC=x，那么OC=2x，OB=，
∴≤，∴≤2.
即AB的最大值为2. …………………………10分
(3) 当AB取最大值时，AB=OA=BC=2，OC=4.
分三种情况讨论：
①当N点在OA上时，如图2，假设CN⊥MN时，此时线段OA上N点下方的
点〔不包括N、O〕均满足△MNC为钝角三角形.
过N作NF⊥x轴，垂足为F，
∵A点坐标为〔1，〕，∴ 可设N点坐标为〔，〕，那么DF=a－m，
NF=，FC=4－a. ∵
△OMD∽△FND∽△FCN，
∴.
解得，，即当0<<时，△MNC为钝角三角形；…14
分
②当N点在AB上时，不能满足△MNC为钝角三角形；………………15
分
③当N点在BC上时，如图3，假设CN⊥MN时，此时BC上N点下方的
点〔不包括N、C〕均满足△MNC为钝角三角形.
∴当<<4时，△MNC为钝角三角形.
综上所述，当0<<或<<4时，△MNC为钝角三角形. …
1