《概率论与随机过程》第3章习题答案

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应用随机过程第3章习题简答

iu
Yk
k
n
) (Y1 (u )) n
所以特征泛函：
Z (t ) (u ) E[ E (eiuZ (t ) | N (t ))] E[(Y (u )) N (t ) ] (Y (u )) k m(t )k m ( t )(Y1 ( u ) 1) 。 e k!
进而在时刻 s,t 的协方差函数：
Z ( s, t ) RZ ( s, t ) Z ( s) Z (t ) E ( N ( s))Var (Y1 ) Var (Y1 ) (u)du, ( s t )
0
s
由于： E (e
iuZ ( t )
| N (t ) n) E (e
（1）E (T ) (t R) f S1 (t )dt ( s W ) f S1 (t )dt = (W R 1/ )e s ( R 1/ ) 。
0 s
s

d ( E (T )) (W R 1/ )e s ds d ( E (T )) 当 W < 1/λ+ R 时， 0 ，平均到家时间是 s 的增函数，所以（1）的 ds 期望时间在 s=0 时最小； d ( E (T )) 当 W > 1/λ+ R 时， 0 ，平均到家时间是 s 的减函数，所以（1）的 ds
（1） P{ X (3) 5} e 3
(3 )5 ； 5!
P{ X (2) 5, X (3) X (2) 0} P{ X (3) 5} e2 (2 )5 e 2 5! ( )5 ； 5 (3 ) 3 e3 5!
（ 3 ） P{ X (2) 5 | X (3) 5}
0 s1 s2 s3 。 other

概率论第三版龙永红第三章习题及答案

第三章练习题一、填空题：1．设随机变量ξ与η相互独立且具有同一分布律：则随机变量ηξζ+=的分布律为：。

2．随机变量ξ服从（0,2）上均匀分布，则随机变量ξη2=在（0,4）的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧=041)(yy f η 其他4〈〈y o )()()()()()()()(2y F y F y p y p y y p y p y p y F --=-≤-≤=≤≤-=≤=≤=ξξηξξξξηyy O y y F y f 41212121)()(/=∙+∙==ηη 3．设x 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中的概率为0.4，则x 2的数学期望E (x 2) ＝ DX+（EX ）2=2.4+16=18.4 。

4．设随机变量x 服从 [1, 3 ] 上的均匀分布，则E (x 1)＝⎰=∙32121113Ln dx x5．设DX ＝4，DY ＝9，P XY ＝0.5，则D (2x – 3y) ＝4Dx+9Dy-2cov(2x,3y)=61 。

6．若X 与Y 独立，其方差分别为6和3，则D(2X －Y)＝___27_______。

二、单项选择：1．设离散型随机变量（ηξ,）的联合分布律为：若ξ与η独立，则α与β的值为：（ A ） A ．α＝92，β＝91B ．α＝91，β＝92C ．α＝61，β＝61D ．α＝185，β＝18131)311819161(1=+++-=+βα还原为（ηξ,）：2. 设（X ，Y ）是一个二元随机变量，则X 与Y 独立的充要条件是：（ D ） A 、 cov （X,Y ）= 0 B 、)()(i j i ij X Y P X P P = C 、 P = 0 D 、j i ij P P P ⨯=3．已知（X ，Y ）的联合密度为=)(x ϕ 04xy其它1,0≤≤y x ，则F （0.5，2）=（ B ）A 、0B 、0.25C 、0.5D 、0.1414425.015.005.001===⎰⎰⎰⎰ydy xdx xydxdy F ），（=0.254．如果X 与Y 满足D （X ＋Y ）＝D （X －Y ），则必有（）A ．X 与Y 独立B ．X 与Y 不相关C ．D （Y ）＝0 D ．D （X ）D （Y ）＝0 BE E E 故选），（））（（00cov 0=⇒=⇒=--ρηξηηξξ5．对任意两个随机变量X 和Y ，若E （X ，Y ）＝E （X ）E （Y ），则（ B ）A ．D （XY ）＝D （X ）D （Y ）B ．D （X ＋Y ）＝DX ＋DYC ．X 和Y 独立D ．X 与Y 不独立6．设DX ＝4，DY ＝9，P XY ＝0.5，则D （2X －3Y ）＝＿＿＿＿。

概率论与数理统计第三章随机向量及其概率分布练习题与答案详解

第三章随机向量及其概率分布（概率论与数理统计）练习题与答案详解（答案在最后）1．已知随机变量()1,3~-N ξ，()1,2~N η，且随机变量ηξ,相互独立，则~72+-ηξ ．2．设随机变量ηξ,相互独立，且均服从[]3,1区间上的均匀分布，令{}a A ≤=ξ，{}a B >=η，已知()97=B A P ，则常数=a ．3．设随机变量ηξ,独立同分布，且ξ服从二点分布()5.0,1b ，则随机变量{}ηξ,max =X 的分布律为． 4．假设ηξ,为随机变量，且()730,0=≥≥ηξP ，()()7400=≥=≥ηξP P ，则{}()=≥0,max ηξP ． 5．设随机变量ηξ,相互独立，下表给出了()ηξ,联合分布律和边缘分布律的部分数值，试将其余数值填入表中空白处．6．设随机变量i ξ()2,1=i 的分布律为i ξ －1 0 1P 0.25 0.5 0.25且()1021==ξξP ，则()==21ξξP ．7．假设随机变量()ηξ,的联合分布律为则q p ,应满足．若随机变量ηξ,相互独立，则=p ，=q ．8．假设盒子中装有3只黑球，2只红球，2只白球，从盒子中任取4只球，求黑球数ξ和红球数η的联合分布律和边缘分布律．9．掷一颗均匀骰子二次，设随机变量ξ表示第一次出现的点数，随机变量η表示两次出现点数的最大值，求二维离散型随机变量()ηξ,的联合分布律和边缘分布律．10．假设随机变量ξ服从参数为1=λ的指数分布，令⎩⎨⎧>≤=ii i ξξη，，，10 ()2 , 1=i ，求()21,ηη的联合分布律．11．设随机变量()ηξ,的联合分布律为求：(1) 常数k ； (2) ()2,21≥≤≤ηξP ； (3) ()2≥ξP ； (4) ()2<ηP ；(5) 在1=ξ条件下η的条件分布律和在2=η条件下ξ的条件分布律； (6) 随机变量ηξ,是否相互独立．12．若随机变量ηξ,相互独立，且随机变量ηξ,的分布律分别为：ξ－3 －2 －1 P 0.25 0.25 0.5 求：(1) ()ηξ,的联合分布律；(2) ηξ+2的分布律．13．设随机变量ηξ,独立同分布，均服从二点分布()p b ,1，记⎩⎨⎧++=为偶数，若，为奇数，若，ηξηξζ01问p 为何值时，ξ和ζ相互独立．14．知随机变量ηξ,互不相关，且随机变量ηξ,的分布律分别为： ξ 0 1 η 0 1 P q p P b a 其中b a q p ,,,均为大于零的常数，证明随机变量ηξ,相互独立．15．设二维随机变量()ηξ,的联合密度函数为()()⎩⎨⎧≤≤≤≤--=其它，，，，，042206,y x y x k y x f 求：(1) 常数k ； (2) 边缘密度函数； (3) ()4≤+ηξP ； (4) ()3,1<<ηξP ； (5) ()5.1<ξP ；(6) 随机变量ηξ,是否相互独立；(7) 条件密度函数()y x f ηξ，()x y f ξη．16．假设二维随机变量()ηξ,的联合密度函数为()⎩⎨⎧≤≤=其它，，，，01,22y x y kx y x f 求：(1) 常数k ； (2) 边缘密度函数； (3) ()ηξ<P ； (4) 随机变量ηξ,是否相互独立．17．假设二维随机变量()ηξ,的联合密度函数为()⎩⎨⎧>>=--其它，，，，，0002,2y x e y x f y x ，求ηξζ2+=的密度函数．答案详解1．()5,0N 2．由()97=B A P 及ηξ,相互独立得，()92=B A P ，由此得 922123=-⋅-a a ，解得：35=a 或37 3．X 0 1P 0.25 0.75 4．{}()=≥0,max ηξP ()00≥≥ηξ或P()+≥=0ξP ()-≥0ηP ()=≥≥0,0ηξP 755．由()()()11211,,y P y x P y x P ====+==ηηξηξ，可得()===11,y x P ηξ241，因为ηξ,相互独立，所以()()()1111,y P x P y x P =====ηξηξ，由此得()==1x P ξ41，由()()121==+=x P x P ξξ，可得()==2x P ξ43，由()()()()1312111,,,x P y x P y x P y x P ====+==+==ξηξηξηξ得()===31,y x P ηξ121，因为ηξ,相互独立，所以()()()3131,y P x P y x P =====ηξηξ，由此得()==3y P η31，由()==3y P η()()3231,,y x P y x P ==+==ηξηξ，可得()===32,y x P ηξ41，由()()()1321==+=+=y P y P y P ηηη 可得()==2y P η1，由联合分布律性质可得()===22,y x P ηξ3，6．设,的联合分布律为：由()1021==ξξP 得：011=p ，013=p ，031=p ，033=p 由()11-=ξP 11p =12p +13p +得：25.012=p ，由()12-=ξP 11p =21p +31p +得：25.021=p ，由()12=ξP 13p =23p +33p +得：25.023=p ，由()11=ξP 31p =32p +33p +得：25.032=p ，由联合分布律性质可得：022=p （也可用()5.001==ξP 得到）所以()==21ξξP ()+-=-=1,121ξξP ()0,021==ξξP ()01,121===+ξξP7．7=+q p ，101=p ，152=q 8．ξ 1 2 3 4 5 6P 61 61 61 61 61 61η 1 2 3 4 5 6 P 361 363 365 367 369 3611 10．()()2,10,021≤≤===ξξηηP P ()111--=≤=e P ξ， ()()2,11,021>≤===ξξηηP P 0=，()()2,10,121≤>===ξξηηP P ()2121---=≤<=e e P ξ， ()()2,11,121>>===ξξηηP P ()22-=>=e P ξ11．(1) 由联合分布律性质得：361=k(2) ()2,21≥≤≤ηξP ()2,1===ηξP ()3,1==+ηξP()2,2==+ηξP ()3,2==+ηξP 3615= (3) ()2≥ξP ()2==ξP ()3=+ξP 3630=(4) ()2<ηP ()1==ηP 366=(5) 在1=ξ条件下η的条件分布律为()11==ξηP ()()11,1====ξηξP P 61366361==()12==ξηP ()()12,1====ξηξP P 31366362==()13==ξηP ()()13,1====ξηξP P 21366363==在2=η条件下ξ的条件分布律为()21==ηξP ()()22,1====ηηξP P 613612362==()22==ηξP ()()22,2====ηηξP P 313612364== ()23==ηξP ()()22,3====ηηξP P 213612366==(6) 因为()()()j P i P j i P =====ηξηξ,，故ξ与η独立12．(1) 因为随机变量ηξ,相互独立，所以()j i P ==ηξ,()j i P ===ηξ,，由此得()ηξ,的联合分布律为：(2) ηξ+2 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 P 0.1 0.05 0.2 0.05 0.3 0.1 0.213．()0,0==ζξP ()0,0===ηξP ()21p -=，()1,0==ζξP ()1,0===ηξP ()p p -=1， ()0,1==ζξP ()1,1===ηξP 2p =， ()1,1==ζξP ()0,1===ηξP ()p p -=1，因为ξ和ζ相互独立，所以()1,0==ζξP ()0==ξP ()1=ζP ，由此得()()()p p p p p -⋅-=-1211，从而5.0=p而随机变量ηξ,的边缘分布律分别ξ 0 1 η 0 1 P q p P b a 所以q p p =+1211，p p p =+2221，b p p =+2111，a p p =+2212，又因为随机变量ηξ,不相关，所以()0,22=-=-=a p p E E E Cov ηξξηηξ，由上述式子得：a p p =22，aq a p a p =-=12， pb pa p p =-=21，bq aq q p =-=11，由此容易验证时()()()j P i P j i P =====ηξηξ,， ()1,0,=j i所以随机变量ηξ,相互独立15．(1) 因()1,2=⎰⎰R dxdy y x f ，即()⎰⎰=--204216dy y x k dx ，解得81=k (2) ()()⎰∞+∞-=dy y x f x f ,ξ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=⎰其它，，，02068142x dy y x ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它，，，，020341x x 同理得()()⎰∞+∞-=dx y x f y f ,η()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它．，，，042541y y (3) ()4≤+ηξP ()⎰⎰≤+=4,y x dxdy y x f ()326812042=--=⎰⎰-x dy y x dx (4) ()3,1<<ηξP ()83681132=--=⎰⎰dy y x dx (5) ()5.1<ξP ()42,5.1≤≤<=ηξP ()32276815.1042=--=⎰⎰dy y x dx(6) 由于()()()y f x f y x f ηξ≠,，故ξ与η不独立(7) 当42≤≤y 时，()y x f ηξ()()y f y x f η,=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤---=其它，，，，0202106x y yx 当20≤≤x 时，()x y f ξη()()x f y x f ξ,=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤---=其它，，，042266y x yx 16．(1) 由()⎰⎰⎰⎰-==11121,22x R ydy kx dx dxdy y x f ，得421=k(2) ()()⎰∞+∞-=dy y x f x f ,ξ⎪⎩⎪⎨⎧>≤=⎰101421122x x ydy x x ，，， ()⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=，，，，101182142x x x x 同理得()()⎰∞+∞-=dx y x f y f ,η⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它，，，0102725y y (3) ()ηξ<P ()⎰⎰<=yx dxdy y x f ,2017421102==⎰⎰-y y ydx x dy(4) 由于()()()y f x f y x f ηξ≠,，所以ξ与η不独立 17．因为()()z P z F ≤=ζζ()z P ≤+=ηξ2()⎰⎰≤+=z y x dxdy y x f 2,⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰⎰---00020202z z dy e dx zx z y x ，，，⎩⎨⎧≤>--=--，，，，0001z z e z e z z 所以()()⎩⎨⎧≤>==-000z z e z dzz dF z f z ，，，ζζ。

概率论第三章部分习题解答PPT课件

D 2 E Y 2 2 Y E 2 Y 2 1 .0 0 ( 0 .2 8 ) 2 4 0 .9504
(3 )E 3 Y E 3 2 X X 2 2 2 3 E 1 2 X E 2 X 2 3 1 .2 1 2 2 .1 0 6 .72 E 3 2 Y 1 4 E [X 2 (3 X )2 ] 1 4 ( 4 0 .4 3 4 0 .2) 8 0 .7 82
11的相关系数定义定理3定理5如果x不相关12十切比雪夫不等式与大数定律1切比雪夫不等式4伯努利大数定律3辛钦大数定律若方差一致有上界独立同分布在独立试验序列中事件a的频率按概率收敛于事件a一批零件有9个合格品与3个废品安装机器时从中任取一个
第三章随机变量的数字特征
（一）基本内容一、一维随机变量的数学期望
定义1：设X是一离散型随机变量，其分布列为：
X x 1 x 2 x i
P p(x1) p(x2 ) p(xi )
则随机变量X 的数学期望为: EXxipxi
i
定义2：设X是一连续型随机变量，其分布密度为 f x,
则随机变量X的数学期望为 EX xfxdx
.
1
二、二维随机变量的数学期望
（1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi , yj)，则
0
.
17
5 设随机变量X 的概率密度为：
f x Ax2eax22 x0 (a0),求系数A及EX与D X.
0 x0
x2
解 f(x)d xA2e xa2d x1
0
令
x2 a2
t,即 xa
t,dx at1 2dt 2
x2
Ax2e a2
dx
0
A a2te tat 1 2d tA a3

期末考试题概率第三章习题附答案提示

概率第三章习题〔附答案提示〕一、填空题1、设随机变量X 服从[0，2]上均匀分布，那么=2)]([)(X E X D 。

2、设随机变量X 服从参数为λ泊松〔Poisson 〕分布，且)]2)(1[(--X X E ＝1，那么=λ___ ____。

3、随机向量〔X ，Y 〕联合密度函数23,02,01(,)20,xy x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，那么E (X )= 。

4、随机变量X 数学期望μ=EX ，方差2σ=DX，k 、b 为常数，那么有()E kX b += ；)(b kX D += 。

5、设随机变量X 服从参数为2泊松分布，且Y =3X -2, 那么E (Y )= 。

6、设随机变量X 服从[0,2]上均匀分布，Y =2X +1，那么D (X )= ，D (Y )= 。

7、设〔X ，Y 〕为二维随机向量，D (X )、D (Y )均不为零。

假设有常数a >0与b 使 {}1=+-=b aX Y P ，那么X 与Y 相关系数=XY ρ 。

8、随机变量)4,(~μN X ，那么~2X Y μ-= 。

9、设随机变量X ～B(100，0.8)，由中心极限定理可知，P{74<X≤86}≈__________.(Φ(1.5)=0.9332)二、选择题1、设)(x Φ为标准正态分布函数，100, ,2, 1, 0A ,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则，发生事件且()0.2P A =，10021X X X ，，，相互独立。

令∑==1001i i X Y ，那么由中心极限定理知Y 分布函数)(y F 近似于〔〕。

A. )(y Φ B ．20()4y -Φ C ．(1620)y Φ- D ．(420)y Φ- 2、设离散型随机变量概率分布为101)(+==k k X P ，3,2,1,0=k ，那么)(X E ＝〔〕。

B. 2 C 3、假设)()()(Y E X E XY E =，那么〔〕。

《概率论与随机过程》概率论部分习题答案

《概率论与随机过程》概率论部分习题解答参考一、ABC BC A C B A C AB C B A C B A .3;.2;.1C B A C B A C B A C B A .4 二、填空1．（1）0.2, (2)52; 2．1 0.4 3．P （A ）+P （B ）－P （AB ）， 1－P （A ）；4．3213211,)1)(1)(1(1p p p p p p ----- ；5．)002.0028.0()3.0()7.0()3.0(,)135.0()7.0()3.0(55514452335++或或C C C ； 6．3125864)6.0()4.0(,6,,2,1,0,)6.0()4.0(333666或C k C k k k =- ； 7．1 ， 4，+∞<<∞---∞-⎰x dt et x,2218)1(2π ；8．0.7612 ; 9．1 ； 10．3 ； 11．3ln 21； 12．1 ；13．σπ2； 14．91,92 ； 15． 2， 0。

三、单项选择题1．C 2．B 3．B 4．C 5．D 6．D 四、计算题1. 解：设A 1、A 2表示第一、二次取出的为合格品{}{}{}{}{}72960495119532321)()(1)(1132121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==⨯-=-=-=-==三批全拒收收三批中至少有一批被接接收接收拒收P P A P A P A A P P P P2. 解：（1）22535523,51288883=⨯⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛===⨯⨯=ΩA N N44.0512225)(===ΩN N A P A（2）1802334523,336678131538=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===⨯⨯=ΩA A N A N A 54.05630381325)(54.0336180)(==⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====ΩA P N N A P A 或3. 解：令{}个盒子各有一球恰有n A =,!!()nA nnN N N N N N N n n N n n P A N Ω⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=因此4. 解：令{}{}有效系统有效系统b B a A ==829.093.01862.092.0)(1)()()(1)()()()()2(988.0862.093.092.0)(862.085.0)92.01(93.0)()()()()()()()()()()()1(85.0)(93.0)(92.0)(=--=--=--===-+==--=-=-=-=-+====B P AB P A P B P AB A P B P B A P B A P B A P A B P A P B P A B P B P A B B P AB P AB P B P A P B A P A B P B P A P 所以其中5. 解：设A 1、A 2、A 3分别为甲、乙、丙的产品，B 表示产品是次品，显然12312311(),()()24()()2%()4%P A P A P A P B A P B A P B A ====== 1111(1)()()()2%1%2P A B P B A P A ==⨯=由乘法公式 025.041%441%221%2)()()()2(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A P A B P B P 由全概率公式（3）由Bayes 公式 4.0025.021%2)()()()()(31111=⨯==∑=i ii A P A B P A P A B P B A P 6. 解：设A 表示原为正品 )(A P =96% )(A P =4% 设B 表示简易验收法认为是正品 )(A B P =98% )(A B P =5% 所求概率为998.004.005.096.098.098.096.0)()()()()()()()()(≈⨯+⨯⨯=+==A P AB P A P A B P A B P A P B P AB P B A P7. 解：设A =｛机器调整良好｝ B =｛合格品｝)(A P =75% )(A P =25% )(A B P =90% )(A B P =30% 因此 )(B A P =)()()()()()()()(A B P A P A B P A P A B P A P B P AB P +=%90%30%25%90%75%90%75=⨯+⨯⨯=8. 解：设A 1、A 2分别表示第一次取到有次品产品的事件和无次品产品的事件，B 为第一次取出的合格品，显然有1)(,43)(,21)()(2121====A B P A B P A P A P由Bayes 公式111112213()()324()131()()()()71242P A P B A P A B P A P B A P A P B A ⨯===+⨯+⨯ 设C 表示第二次取出次品的事件2834173)(=⨯=C P9. 解：设A =｛甲出现雨天｝，B =｛乙出现雨天｝由题意可知 )(A P =0.2, )(B P =0.18, )(A B P =0.6所求概率为P (A ∪B )=P (A )+P (B )－P (AB )=P (A )+(B )－P (A )P (B ︱A ) =0.2+0.18－0.2×0.6=0.26 10. 解：令{},3,2,1==i i A i 次取出为正品第所求概率为0084.0989099910010)()()()()()(21312121321321=⨯⨯===A A A P A A P A P A A A P A A P A A A P11. 解：设{}3,2,1==i i A i 人能译出第 A =｛密码被译出｝,则123A A A A =123123()()1()P A P A A A P A A A ==- 1234231()()()10.6534P A P A P A =-=-⨯⨯= 12. 解：设X 表示卖出的一包产品中的次品数（1）X ～B （10，0.01）于是 P ｛卖出的一包被退回｝ =P {X ＞1｝=1－P ｛X ≤1｝=1－P ｛X =0｝－P ｛X =1｝=004.0)99.0()01.0(99.0()01.0(191110100010≈--C C ）（2）X ～B （20，0.01）P ｛卖出的一包被退回｝ =P ｛X ＞2｝=1－P ｛X ≤2｝ =1－P ｛X =0｝－P ｛X =1｝－P ｛X =2｝=001.0)99.0()01.0()99.0()01.0(99.0()01.0(1182220191120200020≈---C C C ）13. 解：先研究一人负责维修20台设备的情况。

概率论第二版第3章习题答案讲解重点讲义资料

习题3.11.在10件产品中有2件一等品，7件二等品和1件次品.从这10件产品中任意抽取3件，用X表示其中的一等品数，Y表示其中的二等品数，求(X,Y) 的分布列.解X的可能取值为0，1, 2; Y的可能取值为0, 1, 2, 3,因此(X,Y)的可能取值为｛(i, j)：i =O,1,2; j =O,1,2,3｝，且有C； C121 C? 35P(X=0,Y=2) 一 , P(X=O,Y=3) -312Oc；P(X JY =1)=C i0C2C1C1l 匕,P(X=1,Y = 2)12OC oP(X =2,Y =0)=3C10 12OC2C2 42一C o -12O，c； c；7C o - 12O .1丄CCF云，pa2—P(X Y w 1)= ex y<1O ::x ::y1xdy d o2-y5. 设(X,Y)的密度函数为f(x，y) = {A o Xy O w x w4,O w y w■.x ；其它•，求：(1)常数A; (2) P{X < 1,Y < 1}.(1)由联合密度函数的性质__ __f(x, y)dxdy=1，有4 - x /口 3odxo AxgyN，得 A =323 3 1 v x 1 P(X w 1,Y w 1)xydxdy xdx ydy 二 x <；,y<132 32 ‘0 640W xW 4,0W yW . -x10. 袋中有2只白球和3只黑球，从中连取两次，每次取一只. 列随机变量:分别就有放回抽取和无放回抽取两种情形，求：（1）（X,Y ）的联合分布列；（2）两次摸到同样颜色球的概率.（1）有放回抽样：由事件的独立性条件得（X,Y ）的联合分布列为如下表两次摸到同样颜色球的概率为9413P （X =0,Y =0） P （X =1,Y =1）=25 25 25（2）无放回抽样：由乘法定理得（X,Y ）的联合分布列为64定义下X =0,第一次取到白球；第一次取到丫 =八 0,第二次取到白球；第二次取到黑球.3 3 9P(X =0,Y =0)=5 5 252 36P(X =1,Y =0)=3 2 6 P(X =0,Y =1)= 5 5 25 2 2 4P(X =1,Y =1)=3 26P(X =0,Y =0)：5 420 2 36P(X = 1,Y = 0)：3 2 6 P(X =0,Y =1)二 54 202 1 2P(X =1,Y =1)=如下表两次摸到同样颜色球的概率为P(X =0,Y =0) P(X =1,Y =1^0.3 0.1 =0.4 .习题3.22.已知(X,Y)的联合分布函数为求: (1)边缘分布函数；(2)联合密度函数及边缘密度函数；(3)判断X 与Y 的独立性.解 (1) F x (x)二 lim F(X , y) =1 -e 」,(x ■ 0)y —/hee'x y)dy =e 」 e_y dyf Y (y)二...f(x, y)dx 二 e'x y)dx =e* e 」dx = e~y ,(y 0)(3) 由于 f (x,y)二 f x (x)f Y (y)，所以 X,Y 相互独立.3. 一个盒子中有三只乒乓球，一只白色，两只黄色，现从袋中有放回的任取两次，每次取一只，以X ，Y 分别表示第一次、第二次取到球的颜色.求：(1) X 和Y 的联合分布列；(2) X 和Y 的边缘分布列；(3)判断X 和Y 的独立性.解定义下列随机变量：[1,第一次取到白球；「1,第二次取到白球；XY =2,第一次取到黄球•2 ,第二次取到黄球•(1)在有放回取球条件下1 1 11 2 2P(X =1,Y =1)， P(X =1,Y =2)=3 3 9 3 3 9 2 1 22 2 4P(X =2,Y =1)， P(X =2,Y =2)=_(X -y )X ■ 0, y •0；即有(2) F Y W)巳i m ： F X (X )=FF(x,y) =1 -ej(y 0) ：：2F(X ,Y )f (x" “F Y (y)-；e*), XA O, y>0;0,其它•f x (x)二 f(x, y)dy --cO-bo-e —y y 0;y W 0.二 e 」,(x 0)F(x,y)e 03 3 9 3 3 9X 1 2 Y P1/32/3P(2)边缘分布列1/32/3(3)由于 P{X =i,丫二 j}二 P{X =i} P{Y 二 j}, i =1,2; j =1,2 ,所以 X,Y 相互独立.5.随机变量(X,Y)在区域｛(x, y) | a ：： x ： b,c ： y ： d ｝上服从均匀分布，求(X,Y)的联合密度函数与边缘密度函数，判断随机变量X,Y 是否独立.解区域{匕，y )桃& b,c y 的|面积为S D =( b — a ( d — C 所以(X,Y)的联合密度函数f (x, y) W (b _a)(d _c)'丨0,a ：： x :: b, c ：： y ：： d;其它.X 和Y 的边缘密度函数■beddy ,(a ■■ xb) cb _a1 b 1f Y (y)r f(x,y)dx =(b_a)(d_c)a dx =?1；,(c V d)1 ,故 f X (x)=右 a *bC f Y (y)=岚,c y d•；[0, 其它•[ 0, 其它•由于 f(x,y)二 f x (x) f Y (y)，所以 X,Y 独立.8.甲、乙两人各自独立进行两次射击，命中率分别为 0.2, 0.5,求甲、乙命中次数X 与Y 的联合概率分布.解依题意，X ~ b(2, 0. 2Y), b~ (2 据公式 P(X=R=C kp(1— P 可算得X 和Y 的概率分布分别为(01 2)( 01 2、X ~, Y~.064 0.32 0.04,025 0.5 0.25,由X 和Y 的独立性可得X 和Y 的联合概率分布为习题3.31-丫 -2).(修改后的题)解 P(X -丫乞丄)= f(x,y)dxdy2 LL 11 911=23xdx 0dy +丄3xdxx」dyr +荷晶m =mi n(X,Y)123P 0.44 0.34 0.14 0.08 ；M + m0 1 2 3 45 67P 0.044 0.1 0.175 0.29 0.227 0.11 0.046 0.008 (2)1. 5. 设随机变量(X,Y )的密度函数为 f(x,y) 3x , 0 ：： x ：1,0 ：： y x ;其它.(1)6. 设随机变量X 与Y 独立，它们的概率密度分别为0 _x “ 2y ， 0乞 y 「1其它.Y(y)= 0，其它.(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)，且由题意，有I2x ，f x (x八 0,求 P (X Y <1).（修改后的题）解因为X 与Y 独立，所以（X,Y ）的密度函数为工 4xy ， f (x,y)二 f x (x)f Y (y)二 0S°，0 _ x _1,0 _ y _1; 11- xP(X YEir .. f(x,y)dxdy = .0dx.0 4xydy 「°2x(1 - x)x4yg习题3.4e’x^y ）x > 0 y > 0， 2.设X 与丫的联合密度为f （x,y ）»e， 0,7u‘，求P （X<Y ）及10,其它•E （XY ）."boP(X :：Y) = e" y )dxdy = o e 」dx x 「e —y dyr 1 e dx e 2J0x(2) E(XY)二U U xyf (xy)dxdy 「° 一 o xye" y)dxdy 7 x ::xe dx_yye dy =1 . 4.设Y~E ⑴且Y w kY > k. （kT ，2），求：（1）X1与X o 的联合概率分布；(2) E(X 1 X o ).解(1) Y~ f (y)二y 0y 0.X 1Y;1，T0,鳥（X 1,X o ）有四个可能取值:P(X1 =0,X2 =0) = P(丫w 1,Y w 2) = P(Y w 1)= J；ebdy = 1—e_，P(X i =0,X 2 =1) = P(Y W 1,Y 2)=0,P(X “ =1,X 2 =0) = P (丫 1,Y W 2) = P(1：：Y W 2)= :e 」dy 二 -e ，, P(X i =1,X 2 =1) = P(Y>1,Y >2) = P(Y A 2)= .X i 与X 2的联合概率分布为故 E(X 1 X 2)=0 (1-e 」)1 (e —Le —f 2 e_ 2 e_ 牯一.解方法12 3 2 说说2 1 2 11E(X ) = . ：：：.x f (x,y)dxdy = .02x dx ^dy 匕, 1 2 从而 D(X)二E(X 2)-[E(X)]2.同理，E(Y) ,D(Y)18 3 1 1 5 1E(XY) = ,02xdx 1^ydy , Cov(X ,Y) = E(XY) - E(X )E(Y)「忑， 12 36D(X Y) =D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)二 118方法2114E(X Y) = ：：：：(x y)f (xy)dxdy = ：0 dx z2(x y)dy =3 ,-be 2 1 1 211 E[(X +Y) ] = J J (x + y) f(xy)dxdy = [dx] 2(x + y)dy 0 1 -x1 D(X Y)二 E[(XY)2]-[E(X Y)]2(2) X 1 X 2的概率分布为(X 1 X 2)~1 -e —1J _2_2e5.设随机变量X 和Y 的联合分布在以点(0,1)、(1,0)、 (1,1)为顶点的三角形区域D 上服从均匀分布，求随机变量U 二XY 的方差.I 2X 和Y的联合密度函数为f(x，yi 。

随机过程第三章

Tn 的概率密度函数： Tn 的特征函数：
fTn (t ) e t u (t )
ΦTn (t )
j
D[Tn ] 1 2
Tn 的数字特征：
E[Tn ] 1 ,
时间间隔Tn

证明：首先注意到事件{T1>t}发生当且仅当泊松过程在区间[0,t]内没有事件发生，因而
假设在假设在0内事件内事件aa已经发生一次确定这一事件到已经发生一次确定这一事件到达时间达时间w11的分布的分布定理定理设设x是泊松过程已知在是泊松过程已知在0tt内事件内事件aa发生发生nn次则这次则这nn次到达时间次到达时间ww11ww22wwnn与相应与相应于于nn个个0tt上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布有相同的分布二项分布例例22设在设在内事件内事件aa已经发生已经发生n内事件内事件aa发生发生k次的概率
[二项分布] 随机变量 X 为n重贝努利试验中事件A发生的次数，则 X ~ B (n, p)
n P( X k ) p k q n k k
E ( X ) np, D( X ) npq
[泊松定理] 在二项分布中，设 np= 是常数，则有
lim P( X
n
“我建立了描述随机现象的一种概率分布.”── 泊松
泊松简介
泊松的科学生涯开始于研究微分方程及其在摆的运动和声学理论中的应用。他工作的特色是应用数学方法研究各类力学和物理问题，并由此得到数学上的发现。他对积分理论、行星运动理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论都有重要贡献。泊松是19世纪概率统计领域里的卓越人物.他改进了概率论的运用方法，特别是用于统计方面的方法，建立了描述随机现象的一种概率分布──泊松分布.他推广了“大数定律”，并导出了在概率论与数理方程中有重要应用的泊松积分.他是从法庭审判问题出发研究概率论的，1837年出版了他的专著《关于刑事案件和民事案件审判概率的研究》.

概率论参考答案刘金山主编第3章

pij p⋅ j pij p i⋅
， i = 1,2, "
P{Y = y j | X = xi } =
， j = 1,2, "
在 Y = 4 的条件下， X 的条件分布律；
P{ X = 1| Y = 4} = 0 P{ X = 2 | Y = 4} = 1 6
P{ X = 3 | Y = 4} = 0 P{ X = 4 | Y = 4} = 0
xi ≤ x yi ≤ y
1 6
⎧0, ⎪1 ⎪ , ⎪ F ( x, y ) = ⎨ 2 ⎪5 , ⎪6 ⎪1, ⎩
5. 因为 X 与 Y 相互独立，所以
x < −1或y < 0;
− 1 ≤ x < 0, y ≥ 0;
x ≥ 0,0 ≤ y < 1; x ≥ 0, y ≥ 1.
P { X = x, Y = y} = P { X = x} ⋅ P {Y = y}
1 = 0. 6 1 = 1. 6 1 =0. 6 1 = 0. 6
3 0 4 0
X
P
1 0
2 1
(2) X 的边缘分布律 P{ X = 2} = p2⋅ = p21 + p22 + p23 + p24 = 0 + 由条件分布率
1 1 1 +0+ = 6 6 3
P{Y = y j | X = xi } =
1
13 2 xy 3 f X ( x) = ∫ f ( x , y ) dy = ∫ xy dy = 02 −∞ 2 +∞ 23
2
=
0 2Leabharlann x , 2 = 3y2,3x2 y 2 fY ( y ) = ∫ f ( x , y ) dx = ∫ xy dx = 02 −∞ 4

概率论与随机过程习题集(北邮研一专硕)

习题 2
2.1 设随机过程 X (t ) = Vt + b，t ∈(0,∞)，b 为常数，V 服从正态分布 N (0,1) 的随机变量，求
X (t ) 的一维概率密度、均值和相关函数。
解：由V ∼ N (0,1) ，则： E (V ) = 0，D(V ) = 1
则 X (t ) 的均值函数为： E ⎡⎣ X (t )⎤⎦ = E (Vt + b) = tE (V ) + b = b
Y (t ) = X (t ) +ϕ (t ) ，求随机过程Y (t ) 的均值和协方差函数。
解：由Y (t ) = X (t ) +ϕ (t ) ，ϕ (t)为普通函数
则随机过程Y (t ) 的均值函数为： mY (t ) = E ⎡⎣Y (t )⎤⎦ = E ⎡⎣ X (t ) + ϕ (t )⎤⎦ = mX (t ) + ϕ (t )
⎢ ⎣
2
⎡⎢⎣cos
⎛ ⎜⎝
π
i1 4
⎞ ⎟⎠
−
1⎤⎥⎦
⎤ ⎥ ⎦
2
=
9 4
-end-
2.4 设有随机过程 X (t ) = Acos (ωt ) + B sin (ωt )，其中ω 为常数， A, B 是相互独立且服从正态
( ) N 0,σ 2 的随机变量，求随机过程的均值和相关函数。
解：由于 A, B ∼ N (0,σ 2 ) ，则 E ( A) = E ( B) = 0，D( A) = D ( B) = σ 2
( ) X (t ) 的相关函数为： RX (t1,t2 ) = E ⎡⎣ X (t1 ) X (t2 )⎤⎦ = E (vt1 + b)(vt2 + b) = t1t1E v2 + b2 = t1t1 + b2

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《概率论与随机过程》第三章习题答案 3.2 随机过程t为tcosAt0式中，A具有瑞利分布，其概率密度为02222aeaaPaA，

，20，在上均匀分布，与是两个相互独立的随机变量，0为常

数，试问X(t)是否为平稳过程。解：由题意可得: 0021210200222220002222dtcosdaeaadadeatcosat

120212021202

12020222120202

20210120220222020100222222002010212121221122102122121212212122222222222222ttcosttcosttcosdettcosdaeeattcosdeadttcosttcosadeadtcostcosdaeaadadeatcosatcosattttRaaaaaaa



















）（，

可见t与t无关，21ttR，与t无关，只与12tt有关。 t是平稳过程

另解： 

00

220000

00[cos()][cos()][];(,)cos()cos(())cos()cos(())tEAtEAEtEARttEAttEAEtt







)cos()cos())cos((0200022222AEtEAE



t是平稳过程

3.3 设S(t) 是一个周期为T的函数，随机变量在（0，T）上均匀分布，称X(t)=S（t+）,为随相周期过程，试讨论其平稳性及各态遍历性。解：

)()()()()([),(tan)()()()()()([)](''''''''RdSTdSTdttSTdTttSttttRtconsdxxSTdxxSTdSTdtSTdTtSdTtStTtTTTTTTtTTT0t000t00)S(1)S(1)S(11)S()])S(S(E111111 )]S(EtE[X

t是平稳过程

3.4 设t是一随相周期过程,题3.4图表示它的一个样本函数,周期为T,幅度a都是常数,0t是(0,T)上均匀分布的随即变量,求t. t

0a0t4TTt

图题4.3







4TnTt8TnTt)nT4T-t-(tT8a8TnTtnTt)nTt-(tT8a)t(x000000tt

tt-T/8000002t-T/8tT/4tt-T/822002t-T/8t-T/422218aTE[X(t)]x(t)dt(t-t)dt(t-t)dtTT44aT(t-t)(t-t)T44aTa-(T/8)()T88















3.6 随机过程tcosAt0，其中A可以是，亦可以不是随机变量，是在20，上均匀分布的随机变量。求：（1）时间自相关函数及集自相关函数。（2）A具备什么条件两种自相关函数才能相等。

解：（1）时间自相关函数T2000TT1x(t)x(t)limAcos(t)cos(t)dt2T  20cos()2A

设A不是随机变量，A是一个常数，集自相关函数为12Rtt， 120102

2222

02102100

coscos1coscos2cos()2222Rttttttttd，









设A为随机变量，集自相关函数为：2121t,tR )cos(2][)cos()cos(02201021AEtAtAERXX

（2）当A为常数时，两种自相关函数相等，即)cos(2),()()(0221AttRtxtxXX 当A为随机变量时，如果要使21)()(XXRtxtx，必须满足：

)cos(2)cos(2][0202AAE

即 22][AAE。该等式在A为随机变量时不成立。所以，只有A为常数时，两种自相关函数才能相等。

3.7随机过程BcostAsint)t(X 式中，A，B均为零均值的随机变量，求证：X(t) 是均值各态历经，而均方值无各态历经性。解：

E[X(t)]= 0E[B]costE[A]sintBcost]E[Asint

0Bcost]dt[Asint21[X(t)]E20

t]cosE[Bt]sinE[Aostsint2E[A]E[B]ct]cosE[Bt]sinE[A]BcostAsintE[(t)]E[X2222222222

)(222202BA41dtBcost][Asint21(t)][XE



故，X(t)均值各态遍历，均方值则非。 3.8 设X（t）与Y（t）是统计独立的平稳过程。求证有它们的乘积构成的随机过程ttt

也是平稳的。解：ttt ttt,tt是统计独立的与

又tt，是平稳过程，yxmtmt 



RttRmmtRRRttttttttttttRmmt,RttR,RttRyxyx212121212121212121，，，

，，

 与t无关，只与时间差有关。  随机过程t也是平稳的。

3.9设X(t) 与Y(t)为单独和联合平稳，求：（1）Z（t）=X(t)+Y(t)的自相关函数（2）X(t)与Y（t）统计独立时的结果（3）X(t)与Y（t）统计独立时且均值为零时的结果。解： 



)()()()(),(XYXYYX22212121221121ZRRRR))Y(tY(t))Y(tX(t))X(tY(t))X(tX(tE)]Y(t))][X(tY(t)[X(tEttR



YXZm2mRRR)()()(YX )()()(YXRRRZ

3.10 平稳过程X(t)的自相关系数为：cos3cos4e)(RX （1）求E[X2(t)]和2 （2）若将正弦分量视为信号，其他为噪声，求功率信噪比解：（1）

50R1lim5140R)]t(X[E2X222X2mTmT）（）（

cos3RS)(

; 10RS)(

cos4RNe)(； 40RN)(

41/N

3.12随机过程X(t)为： )t(Acos)t(X，式中A,0, 统计独立随机变量，其中 A的均值为2，方差位4， ),(~上均匀分布。]5,5[~上均匀分布，X（他t）是否各态历经，并求出相关函数。