第3节 计算机中数据的表示
二、八、十、十六进制的使用及转换
二、八、十、十六进制的使用及转换十六进制(英文名称:Hexadecimal)，是计算机中数据的一种表示方法。
同我们日常生活中的表示法不一样。
它由0-9，A-F组成，字母不区分大小写。
与10进制的对应关系是:0-9对应0-9;A-F对应10-15;N进制的数可以用0~(N-1)的数表示，超过9的用字母A-F。
基本简介: 十六进制(英文名称:Hexadecimal)，是计算机中数据的一种表示方法。
同我们日常生活中的表示法不一样。
它由0-9，A-F组成，字母不区分大小写。
与10进制的对应关系是:0-9对应0-9;A-F 对应10-15;N进制的数可以用0~(N-1)的数表示，超过9的用字母A-F。
表示方法: 十六进制照样采用位置计数法，位权是16为底的幂。
对于n位整数，m位小数的十六进制数用加权系数的形式表示如下:16进制的20表示成10进制就是:2×16¹+0×16º=3210进制的32表示成16进制就是:20十进制数可以转换成十六进制数的方法是:十进制数的整数部分"除以16取余"，十进制数的小数部分"乘16取整"，进行转换。
比如说十进制的0.1转换成八进制为0.0631463146314631。
就是0.1乘以8=0.8，不足1不取整，0.8乘以8=6.4，取整数6，0.4乘以8=3.2，取整数3，依次下算。
编程中，我们常用的还是10进制.毕竟C/C++是高级语言。
比如: int a = 100,b = 99;不过，由于数据在计算机中的表示，最终以二进制的形式存在，所以有时候使用二进制，可以更直观地解决问题。
但二进制数太长了。
比如int 类型占用4个字节，32位。
比如100，用int类型的二进制数表达将是: 0000 0000 0000 0000 0110 0100面对这么长的数进行思考或操作，没有人会喜欢。
因此，C，C++ 没有提供在代码直接写二进制数的方法。
数据在计算机内的表现形式
(一)字符数据在内存中的存储形式字符型、字母型和数值编辑型、字符编辑型数据项中的数据，每一个字符都在内存中占一个字节。
这种形式称为标准数据形式。
由于内存中数据都是以二进制数来表示的，因此要规定每一个字符用怎样的一组二进制数来表示。
每类计算机系统分别选择其所用的代码形式。
(ASCII, EBCDIC)如果采用字符型数据形式，不论是字母或数字，都按一个字节存放一个字符。
(二)数值型数据在内存中的存储形式1.外部十进制（扩张十进制）形式按数值在机器外部的表现形式，一个数字在内存中占一个字节。
每一个数字与二进制代码的关系同上。
77 C PIC 9(3) VALUE 486.11110100 11111000 111101104 8 6为表示方便，有时用十六进制数来表示一个数。
因此上面的数也可表示为：F4 F8 F6如果为一个负数。
77 D PIC S9(3) VALUE -486.11110100 11111000 110101104 8 6此时，负号不占一个字节，而在最后一个字节中放入某个信息，一般是将此字节的前四位1111改为1101，后四位不边。
计算机检查最后一个字节的前四位，如果是1101，则按负数处理。
如果是1100，则按正数处理。
或者说，用十六进制中”C” (1100)代表正，“D”(1101)”代表负，F”(1111)代表无符号，即绝对值。
（也有些计算机系统不用CD而用其他数代表正负）2.外部浮点数形式某些数据，它的值很大或很小,用以前讲的外部十进制形式存储是有困难的。
COBOL允许用指数形式来表示一个数。
+1.23876E+59(+1.23876×1059)-1.38457E-69(-1.38457×10-69)其中E表示以10为底的指数。
E前面的部分成为“数值部分”或“尾数部分”。
E后面的是“指数部分”或“阶码部分”。
数值部分和指数部分各有一个符号以表示正或负。
其一般形式为：数符数值部分 E 阶码符阶码为了表示这种指数形式的数据（外部浮点形式），在PIC字句中可以这样写：77 A PIC +9.99999E+99或77 B PIC -9V99999E-99它表示在内存中按以上形式存放数据。
计算机中实数的表示方法
计算机中实数的表示方法在计算机中，实数是一种非常重要的数据类型，用于表示具有无限精度的数字。
实数的表示方法需要考虑精度和范围两个方面。
一、精度计算机中的实数采用浮点数表示法，即通过使用有限的二进制位数来表示无限数量的实数。
浮点数表示法采用科学计数法的形式，其中包含三个部分：符号位、尾数和指数。
1. 符号位：用于表示实数的正负，通常用一个二进制位表示，0表示正数，1表示负数。
2. 尾数：尾数是实数的有效数字部分，通常用二进制表示。
在浮点数表示法中，尾数通常被规范化，即尾数的最高位为1，这样可以节省存储空间。
3. 指数：指数用于表示实数的数量级，用二进制表示。
在浮点数表示法中，指数通常采用偏移表示法，即指数的真实值加上一个偏移量。
这样做的目的是使指数可以表示正数和负数。
通过符号位、尾数和指数的组合，计算机可以表示各种大小和精度的实数。
二、范围在计算机中，实数的表示范围是有限的。
由于计算机存储空间的限制，无法表示无限大小的实数。
实数的表示范围取决于尾数和指数的位数。
1. 尾数位数：尾数的位数决定了实数的精度。
通常情况下，计算机采用32位或64位的浮点数表示法，其中32位表示单精度浮点数，64位表示双精度浮点数。
2. 指数位数：指数的位数决定了实数的表示范围。
通常情况下，计算机采用8位或11位的指数表示法，其中8位表示单精度浮点数的指数，11位表示双精度浮点数的指数。
根据尾数和指数的位数，计算机可以表示不同范围的实数。
例如，对于32位浮点数，可以表示的最大正数约为3.4×10^38，最小正数约为1.2×10^-38，而对于64位浮点数，则可以表示的最大正数约为1.8×10^308，最小正数约为2.2×10^-308。
三、精度损失由于浮点数的表示方式是有限的，因此在计算机中进行实数运算时可能会产生精度损失。
这是因为一些实数无法精确地表示为有限的二进制位数。
例如，考虑将0.1表示为二进制小数。
2025年高考数学一轮复习讲义含答案解析 第3节 第1课时 成对数据的统计分析
第三节成对数据的统计分析第1课时变量间的相关关系及回归模型课标解读考向预测1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型中参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型中参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件.2.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测.预计2025年高考，变量间的相关关系、回归模型主要以应用题的方式出现，需要在复杂的题目描述中找出数量关系，建立数学模型，并且运用数学模型解决实际问题，考查分析问题和处理数据的能力.必备知识——强基础1．变量的相关关系(1)相关关系两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．(2)散点图将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做01散点图．利用散点图，可以判断两个变量是否相关，相关时是正相关还是负相关．(3)正相关和负相关①当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量02正相关．②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势，则称这两个变量03负相关．(4)线性相关①一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在04一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关．②一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关．2．样本相关系数(1)相关系数r 的计算变量x 和变量y 的样本相关系数r 的计算公式如下：r ＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1（x i －x －）2∑ni ＝1（y i －y －）2＝∑ni ＝1x i y i －n x －y－∑ni ＝1x 2i －n x－2∑ni ＝1y 2i －n y－2.(2)相关系数r 的性质①当r >0时，称成对样本数据05正相关；当r <0时，称成对样本数据06负相关；当r ＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系．②样本相关系数r 的取值范围为07[－1，1]．当|r |越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越08强；当|r |越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越09弱．3．一元线性回归模型经验回归方程与最小二乘法我们将y ^＝b ^x ＋a ^称为Y 关于x 的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的b ^，a ^叫做b ，a 的最小二乘估计，其中＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑n i ＝1（x i －x －）2＝10∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑ni ＝1x 2i －n x－2，＝y －－b ^x －.4．残差与残差分析(1)残差：对于响应变量Y ，通过观测得到的数据称为11观测值，通过经验回归方程得到的y ^称为12预测值，13观测值减去14预测值称为残差．(2)残差分析：残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．(3)刻画回归效果的方式①残差图法作图时纵坐标为残差，横坐标为自变量x ，这样作出的图形称为残差图．在残差图中，残差点比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高．②残差平方和法残差平方和为∑n i ＝1(y i －y ^i )2，残差平方和15越小，模型拟合效果越好．③利用决定系数R 2刻画回归效果R 2＝1－∑n i ＝1（y i －y ^i ）2∑ni ＝1（y i －y －）2，R 2越16大，模型拟合效果越好；R 2越17小，模型拟合效果越差．1．求解经验回归方程的关键是确定回归系数a ^，b ^，应充分利用回归直线过点(x －，y －)．2．根据经验回归方程计算的y ^值，仅是一个预测值，不是真实发生的值．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，若a ^<0，则变量x 和y 负相关．()(2)经验回归直线y ^＝b ^x ＋a ^至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点．()(3)样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强．()(4)残差平方和越大，线性回归模型的拟合效果越好．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．小题热身(1)甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x ，y 的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的R2分别如下表：甲乙丙丁R20.980.780.500.85建立的回归模型拟合效果最好的是()A．甲B．乙C．丙D．丁答案A解析R2越大，表示回归模型的拟合效果越好．(2)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i，y i)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中，最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2C．y＝a＋b e x D．y＝a＋b ln x答案D解析由散点图分布可知，散点图分布在一个对数型函数图象的附近，因此最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是y＝a＋b ln x．故选D.(3)(人教A选择性必修第三册复习参考题8T2改编)在一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e中，下列说法正确的是()A．Y＝bx＋a＋e是一次函数B．响应变量Y是由解释变量x唯一确定的C．响应变量Y除了受解释变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生D ．随机误差e 是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差e 的产生答案C解析对于A ，一元线性回归模型Y ＝bx ＋a ＋e 中，方程表示的不是确定性关系，因此不是一次函数，所以A 错误；对于B ，响应变量Y 不是由解释变量x 唯一确定的，所以B 错误；对于C ，响应变量Y 除了受解释变量x 的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e 的产生，所以C 正确；对于D ，随机误差是不能避免的，只能将误差缩小，所以D 错误．(4)若某商品的广告费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间有如下表所示的对应数据：x 24568y2040607080根据表中数据，利用最小二乘法求得y 关于x 的经验回归方程为y ^＝b ^x ＋1.5，当广告费支出为10万元时，销售额的估计值为________万元．答案106.5解析x －＝15×(2＋4＋5＋6＋8)＝5，y －＝15×(20＋40＋60＋70＋80)＝54，所以样本中心为(5，54)，将其代入经验回归方程y ^＝b ^x ＋1.5中，有54＝5b ^＋1.5，解得b ^＝10.5，所以经验回归方程为y ^＝10.5x ＋1.5，当x ＝10时，y ^＝10.5×10＋1.5＝106.5.考点探究——提素养考点一变量间相关关系的判断例1(1)对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是()A ．r 2<r 4<0<r 3<r 1B ．r 4<r 2<0<r 1<r 3C ．r 4<r 2<0<r 3<r 1D ．r 2<r 4<0<r 1<r 3答案A解析由散点图知图①与图③是正相关，故r 1>0，r 3>0，图②与图④是负相关，故r 2<0，r 4<0，且图①与图②的样本点集中在一条直线附近，因此r 2<r 4<0<r 3<r 1.(2)(2023·河北邢台阶段考试)已知r 1表示变量X 与Y 之间的线性相关系数，r 2表示变量U 与V 之间的线性相关系数，且r 1＝0.837，r 2＝－0.957，则()A ．变量X 与Y 之间呈正相关关系，且X 与Y 之间的相关性强于U 与V 之间的相关性B ．变量X 与Y 之间呈负相关关系，且X 与Y 之间的相关性强于U 与V 之间的相关性C ．变量U 与V 之间呈负相关关系，且X 与Y 之间的相关性弱于U 与V 之间的相关性D ．变量U 与V 之间呈正相关关系，且X 与Y 之间的相关性弱于U 与V 之间的相关性答案C解析因为线性相关系数r 1＝0.837，r 2＝－0.957，所以变量X 与Y 之间呈正相关关系，变量U 与V 之间呈负相关关系，且X 与Y 之间的相关性弱于U 与V 之间的相关性．故选C.【通性通法】判断相关关系的方法(1)散点图法：如果样本点的分布从整体上看大致在某一曲线附近，变量之间就有相关关系；如果样本点的分布从整体上看大致在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．(2)样本相关系数：当r >0时，正相关；当r <0时，负相关；|r |越接近于1，相关性越强．(3)经验回归方程：当b ^>0时，正相关；当b ^<0时，负相关．【巩固迁移】1．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )都在直线y ＝－12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A ．－1B ．0C ．－12D ．1答案A解析因为所有样本点都在直线y ＝－12x ＋1上，呈现完全负相关，所以样本相关系数为－1.2．(2023·天津高考)调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示．其中相关系数r ＝0.8245，下列说法正确的是()A ．花瓣长度和花萼长度没有相关性B ．花瓣长度和花萼长度呈负相关C ．花瓣长度和花萼长度呈正相关D ．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245答案C解析因为相关系数r ＝0.8245>0.75，所以花瓣长度和花萼长度的相关性较强，并且呈正相关，所以A ，B 错误，C 正确；因为相关系数与样本的数据有关，所以当样本发生变化时，相关系数也可能会发生变化，所以D 错误．故选C.考点二样本相关系数、决定系数的应用例2(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山，为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m 2)和材积量(单位：m 3)，得到如下数据：样本号i 12345678910总和根部横截面积0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6x i 材积量y i0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.40 3.9并计算得∑10i ＝1x 2i ＝0.038，∑10i ＝1y 2i ＝1.6158，∑10i ＝1x i y i ＝0.2474.(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m 2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数r ＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1（x i －x －）2∑n i ＝1（y i －y －）2，1.896≈1.377.解(1)设这种树木平均一棵的根部横截面积为x －，平均一棵的材积量为y －，则x －＝0.610＝0.06，y －＝3.910＝0.39.(2)r ＝∑10i ＝1x i y i －10x －y －（∑10i ＝1x 2i －10x －2）（∑10i ＝1y 2i －10y －2）＝0.2474－10×0.06×0.39（0.038－10×0.062）×（1.6158－10×0.392）＝0.01340.002×0.0948＝0.01340.01×1.896≈0.01340.01377≈0.97.(3)设所有这种树木的根部横截面积总和为X ，总材积量为Y ，则X Y ＝x －y －，故Y ＝0.390.06×186＝1209(m 3)．【通性通法】经验回归方程的拟合效果，可以利用相关系数r 判断，当|r |越趋近于1时，两变量的线性相关性越强．或利用决定系数R 2判断，R 2越大，拟合效果越好．【巩固迁移】3．我国机床行业核心零部件对外依存度较高，我国整机配套的中高档功能部件大量依赖进口，根据中国机床工具工业协会的数据，国内高档系统自给率不到10%，约90%依赖进口．因此，迅速提高国产数控机床功能部件制造水平，加快国产数控机床功能部件产业化进程至关重要．通过对某机械上市公司近几年的年报公布的研发费用x (单位：亿元)与产品的直接收益y (单位：亿元)的数据进行统计，得到下表：年份2016201720182019202020212022x 234681013y15222740485460根据数据，可建立y 关于x 的两个回归模型：模型①：y ^＝4.1x ＋10.9；模型②：y ^＝21.3x －14.4.(1)根据表格中的数据，分别求出模型①，②的决定系数R 2的大小(结果保留三位有效数字)；(2)(ⅰ)根据(1)选择拟合精度更高、更可靠的模型；(ⅱ)若2023年该公司计划投入研发费用17亿元，使用(ⅰ)中的模型预测可为该公司带来多少直接收益？回归模型模型①模型②∑7i ＝1(y i －y ^i )279.1318.86附：R 2＝1－∑ni ＝1（y i －y ^i ）2∑ni ＝1（y i －y －）2，17≈4.1.解(1)因为y －＝15＋22＋27＋40＋48＋54＋607＝38，所以∑7i ＝1(y i －y －)2＝232＋162＋112＋22＋102＋162＋222＝1750，则模型①的决定系数R 21＝1－∑7i ＝1（y i －y ^i ）2∑7i ＝1（y i －y －）2＝1－79.131750≈0.955，模型②的决定系数R 22＝1－∑7i ＝1（y i －y ^i ）2∑7i ＝1（y i －y －）2＝1－18.861750≈0.989.(2)(ⅰ)由(1)知，R 21<R 22，所以模型②的拟合精度更高、更可靠．(ⅱ)由经验回归方程y ^＝21.3x －14.4，可得当x ＝17时，y ^＝21.317－14.4≈72.93，所以若2023年该公司计划投入研发费用17亿元，大约可为该公司带来72.93亿元的直接收益．考点三回归分析(多考向探究)考向1一元线性回归模型例3已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在6～22℃之间，一农学实验室研究人员为研究温度x (单位：℃)与绿豆新品种发芽数y (单位：颗)之间的关系，每组选取了成熟种子50颗，分别在对应的8～14℃的温度环境下进行实验，得到如下散点图：其中y －＝24，∑7i ＝1(x i －x －)(y i －y －)＝70，∑7i ＝1(y i －y －)2＝176.(1)运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系？(2)求出y 关于x 的经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并预测在19℃的温度下，种子的发芽颗数．参考公式：相关系数r ＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑n i ＝1（x i －x －）2∑n i ＝1（y i －y －）2，经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑n i ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑n i ＝1（x i －x －）2，a ^＝y －－b ^x －.参考数据：77≈8.77.解(1)根据题意，得x －＝17×(8＋9＋10＋11＋12＋13＋14)＝11.∑7i ＝1(x i －x －)2＝(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(11－11)2＋(12－11)2＋(13－11)2＋(14－11)2＝28，∑7i ＝1（x i －x －）2∑7i ＝1（y i －y －）2＝28×176＝877≈70.16.因而相关系数r ＝∑7i ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑7i ＝1（x i －x －）2∑7i ＝1（y i －y －）2≈7070.16≈0.998.由于|r |≈0.998很接近1，∴可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．(2)b ^＝∑7i ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑7i ＝1（x i －x －）2＝7028＝52，a ^＝24－52×11＝－72，∴y 关于x 的经验回归方程为y ^＝52x －72.若x ＝19，则y ^＝52×19－72＝44颗，∴在19℃的温度下，预测种子的发芽颗数为44.【通性通法】求经验回归方程的步骤【巩固迁移】4．(2023·安徽马鞍山第三次教学质量监测)为了研究某果园的一种果树的产量与种植密度的关系，某中学的数学兴趣小组在该果园选取了一块种植区域进行了统计调查，他们将每株果树与其直线距离不超过1米的果树株数x 记为其密度，在记录了该种植区域内每株果树的密度后，从中选取密度为0，1，2，3，4的果树，统计其产量的平均值y (单位：kg)，得到如下统计表：x 01234y15121198(1)小组成员甲认为y 与x 有很强的线性相关关系，请你帮他利用最小二乘法求出y 关于x 的经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)小组成员乙提出：若利用经验回归方程计算的平均产量的估计值y ^i 与实际的平均产量y i (1≤i ≤n ，n ∈N *)满足1n ∑ni ＝1|y i －y ^i |>0.5，则应该修正模型，寻找更合适的函数拟合x 与y 的关系．统计知种植密度分别为5，6的果树的平均产量为5.5kg 、4.4kg ，请你以这七组数据为依据判断(1)中得到的经验回归方程是否需要修正？参考公式：b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑n i ＝1x 2i－n x －2，a ^＝y －－b ^x －.解(1)x －＝2，y －＝11，∑5i ＝1x i y i ＝93，∑5i ＝1x 2i －5x －2＝10，故b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x －y －∑5i ＝1x 2i －5x －2＝－1.7，a ^＝y －－b ^x －＝14.4，所以经验回归方程为y ^＝－1.7x ＋14.4.(2)令x ＝0，1，2，3，4，5，6，代入y ^＝－1.7x ＋14.4，分别得|y ^－y |＝0.6，0.7，0，0.3，0.4，0.4，0.2，从而17∑7i ＝1|y i －y ^i |＝2.67，故不需要修正．考向2非线性回归模型例4某工厂生产一种产品，从该种产品中随机抽取6件合格产品，测得数据如下：尺寸x /mm 384858687888质量y /g16.818.820.722.42425.5(1)若按照检测标准，合格产品的质量y 与尺寸x 之间近似满足关系式y ＝c ·x d (c ，d 为大于0的常数)，求y 关于x 的经验回归方程；(2)已知合格产品的收益z (单位：千元)与合格产品尺寸和质量的关系为z ＝2y －0.32x ，根据(1)中经验回归方程分析，当合格产品的尺寸x 约为何值时(结果用整数表示)，收益z 的预报值最大？附：①参考数据：∑6i ＝1(ln x i ·ln y i )＝75.3，∑6i ＝1(ln x i )＝24.6，∑6i ＝1(ln y i )＝18.3，∑6i ＝1(ln x i )2＝101.4.②参考公式：对于样本(v i ，u i )(i ＝1，2，…，n )，其经验回归直线u ^＝b ^v ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑ni ＝1（v i －v －）（u i －u －）∑n i ＝1（v i －v －）2＝∑n i ＝1v i u i －n v －u －∑n i ＝1v 2i －n v－2，a ^＝u －－b ^v －，e≈2.7182.解(1)对y ＝c ·x d (c ，d >0)两边取自然对数得ln y ＝ln c ＋d ln x .令v i ＝ln x i ，u i ＝ln y i ，则u ^＝d ^v ＋a ^，其中a ^＝ln c ^.根据所给统计量及最小二乘估计公式得d ^＝∑6i ＝1v i u i －6v －u －∑6i ＝1v 2i －6v－2＝∑6i ＝1（ln x i ·ln y i ）－∑6i ＝1（ln x i ）·∑6i ＝1（ln y i ）6∑6i ＝1（ln x i ）2－[∑6i ＝1（ln x i ）]26＝75.3－24.6×18.3÷6101.4－24.62÷6＝0.270.54＝12，a ^＝u －－d ^v －＝∑6i ＝1（ln y i ）6－d ^×∑6i ＝1（ln x i ）6＝18.36－12×24.66＝1，又a ^＝ln c ^＝1，所以c ^＝e ，所以y 关于x 的经验回归方程为y ^＝e·x 12.(2)由(1)得y ^＝e·x 12，所以z ^＝2e x －0.32x ＝－0.32(x )2＋2e x .令t ＝x ，则当t ＝e0.32时，z ^取得最大值，此时x ＝t 2≈72，所以当合格产品的尺寸x 约为72时，收益z 的预报值最大．【通性通法】非线性回归分析的步骤【巩固迁移】5．(2024·淄博诊断)小叶紫檀是珍稀树种，因其木质好备受玩家喜爱．其幼苗从观察之日起，第x 天的高度为y cm ，测得数据如下：x 14916253649y479111213数据的散点图如图所示：为近似描述y 与x 的关系，除了一次函数y ＝bx ＋a ，还有y ＝b x ＋a 和y ＝bx 2＋a 两个函数可选．(1)从三个函数中选出“最好”的曲线拟合y 与x 的关系，并求出其回归方程(b ^保留到小数点后1位)；(2)判断说法“高度从1000cm 长到1001cm 所需时间超过一年”是否成立，并给出理由．参考公式：b ^＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑n i ＝1（x i －x －）2＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑ni ＝1x 2i －n x－2，a ^＝y －－b ^x －.参考数据(其中u i ＝x i ，t i ＝x 2i )：x －＝20，u －＝4，t －＝668，y －＝8，∑7i ＝1x 2i ＝4676，∑7i ＝1u 2i ＝140，∑7i ＝1t 2i ＝7907396，∑7i ＝1x i y i ＝1567，∑7i ＝1u i y i ＝283，∑7i ＝1t i y i ＝56575.解(1)从散点图可以看出，曲线的形状与函数y ＝x 相似，故选择函数y ＝b x ＋a 拟合y 与x 的关系．b ^＝283－7×4×8140－7×42＝5928≈2.1，a ^≈8－2.1×4＝－0.4，其经验回归方程为y ^＝2.1x －0.4.(2)将y ＝1000，1001分别代入经验回归方程，得2.1x 1－0.4＝1000和2.1x 2－0.4＝1001，故x 2－x 1≈454，显然454＞365，所以，说法“高度从1000cm 长到1001cm 所需时间超过一年”成立．课时作业一、单项选择题1．(2024·湘豫名校模拟)根据下表样本数据：x 23456y42.5－0.5－2－3得到的经验回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则()A ．a ^>0，b ^>0B ．a ^>0，b ^<0C ．a ^<0，b ^>0D ．a ^<0，b ^<0答案B解析由表中的数据可得，变量y 随着x 的增大而减小，则b ^<0，x －＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y－＝4＋2.5－0.5－2－35＝0.2，又经验回归直线y ^＝b ^x ＋a ^经过点(4，0.2)，可得a ^>0.2．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析的方法分别求得样本相关系数r 与残差平方和m ，如下表：甲乙丙丁r 0.820.780.690.85m106115124103则哪位同学的试验结果体现A ，B 两个变量有更强的线性相关性？()A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁答案D解析r 的绝对值越大，m 越小，线性相关性越强．3．(2023·河北高三校联考期末)下列四幅残差分析图中，与一元线性回归模型拟合精度最高的是()答案D解析用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，显然D 项的拟合精度最高．故选D.4．已知某地的财政收入x 与支出y 满足经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^＋e (单位：亿元)，其中b ^＝0.8，a ^＝2，|e |≤0.5，如果今年该地区的财政收入为10亿元，那么支出预计不会超过()A ．9亿元B ．10亿元C ．9.5亿元D ．10.5亿元答案D解析y ^＝0.8×10＋2＋e ＝10＋e ≤10.5.5．用模型y ＝c e kx 拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z ＝ln y ，其变换后得到经验回归方程为z ^＝0.5x ＋2，则c ^＝()A ．0.5B ．e 0.5C ．2D ．e 2答案D解析因为y ＝c e kx ，两边取对数得ln y ＝ln (c e kx )＝ln c ＋ln e kx ＝kx ＋ln c ，则z ^＝k ^x ＋ln c ^，而z ^＝0.5x ＋2，于是得ln c ^＝2，即c ^＝e 2.6．根据一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，求得经验回归方程为y ^＝1.5x ＋0.5，且x －＝3.现发现这组样本数据中有两个样本点(1.2，2.2)和(4.8，7.8)误差较大，去除后重新求得的经验回归直线l 的斜率为1.2，则()A ．去除两个误差较大的样本点后，y 的估计值增加速度变快B ．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的经验回归直线一定过点(3，4)C ．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的经验回归方程为y ^＝1.2x ＋1.4D ．去除两个误差较大的样本点后，样本点(2，3.75)对应的残差为0.05答案C解析对于A ，因为1.5>1.2，所以去除两个误差较大的样本点后y 的估计值增加速度变慢，故A 错误；对于B ，当x －＝3时，y －＝3×1.5＋0.5＝5，设去掉两个误差较大的样本点后，横坐标的平均值为x －′，纵坐标的平均值为y －′，则x －′＝x 1＋x 2＋…＋x n －6n －2＝3n －6n －2＝3，y －′＝y 1＋y 2＋…＋y n －10n －2＝5n －10n －2＝5，故B 错误；对于C ，因为去除两个误差较大的样本点后，重新求得经验回归直线l 的斜率为1.2，所以5＝3×1.2＋a ^，解得a ^＝1.4，所以去除两个误差较大的样本点后的经验回归方程为y ^＝1.2x ＋1.4，故C 正确；对于D ，当x ＝2时，y ^＝1.2×2＋1.4＝3.8，y －y ^＝3.75－3.8＝－0.05，故D 错误．二、多项选择题7．下列说法中正确的是()A ．经验回归分析中，R 2的值越大，说明残差平方和越小B ．若一组观测数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )满足y i ＝bx i ＋a ＋e i (i ＝1，2，…，n )，且e i 恒为0，则R 2＝1C ．经验回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法D ．画残差图时，纵坐标为残差，横坐标一定是编号答案ABC解析对于A ，经验回归分析中，R 2的值越大，说明模型的拟合效果越好，则残差平方和越小，A 正确；对于B ，若一组观测数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )满足y i ＝bx i ＋a ＋e i (i ＝1，2，…，n )，且e i 恒为0，则R 2＝1，B 正确；对于C ，经验回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，C 正确；对于D ，残差图中横坐标可以是样本编号，也可以是身高数据，还可以是体重的估计值等，D 错误．8．下列有关经验回归分析的说法中正确的是()A ．经验回归直线必过点(x －，y －)B ．经验回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线C ．当样本相关系数r >0时，两个变量正相关D ．如果两个变量的相关性越弱，则|r |就越接近于0答案ACD解析对于A ，经验回归直线必过点(x －，y －)，故A 正确；对于B ，经验回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，故B 不正确；对于C ，当样本相关系数r >0时，则两个变量正相关，故C 正确；对于D ，如果两个变量的相关性越弱，则|r |就越接近于0，故D 正确．故选ACD.三、填空题9．(2023·广东广州模拟)某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，这5次试验的数据如下表：零件数x (个)1020304050加工时间y (min)62a758189若用最小二乘法求得经验回归方程为y ^＝0.67x ＋54.9，则a 的值为________．答案68解析由已知得x －＝10＋20＋30＋40＋505＝30，y －＝62＋a ＋75＋81＋895＝61＋2＋a5，所以61＋2＋a 5＝0.67×30＋54.9，解得a ＝68.10．用模型y ＝ekx －1去拟合一组数据时，已知如下数据：∑6i ＝1x i ＝18，y 1y 2y 3y 4y 5y 6＝e 48，则实数k 的值为________．答案3解析由y ＝ekx －1得ln y ＝kx －1，所以y 1y 2y 3y 4y 5y 6＝e 48⇒k ∑6i ＝1x i －6＝18k －6＝48，则k ＝3.11．(2023·海南调研)在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 6，y 6)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，6)都在曲线y ＝bx 2－12附近波动，经计算∑6i ＝1x i ＝12，∑6i ＝1y i ＝14，∑6i ＝1x 2i＝23，则实数b 的值为________．答案1723解析令t ＝x 2，则非线性经验回归方程变为线性经验回归方程，即y ＝bt －12，此时t －＝∑6i ＝1x 2i 6＝236，y －＝∑6i ＝1y i 6＝146，代入y ＝bt －12，得146＝b ×236－12，解得b ＝1723.12．新能源汽车的核心部件是动力电池，电池占了新能源整车成本的很大一部分，而其中的原材料碳酸锂又是电池的主要成分．从2020年底开始，碳酸锂的价格不断升高，下表是2023年某企业的前5个月碳酸锂的价格与月份的统计数据：月份代码x 12345碳酸锂价格y (万元/kg)0.50.61m1.5根据表中数据，得出y 关于x 的经验回归方程为y ^＝0.28x ＋a ^，根据数据计算出在样本点(5，1.5)处的残差为－0.06，则表中m ＝________．答案 1.4解析由题设，1.5－y ^＝1.5－(0.28×5＋a ^)＝－0.06，可得a ^＝0.16.又x －＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y －＝0.5＋0.6＋1＋m ＋1.55＝3.6＋m 5，所以0.28×3＋0.16＝3.6＋m 5，可得m ＝1.4.四、解答题13．某研究机构为调查人的最大可视距离y (单位：米)与年龄x (单位：岁)之间的关系，对不同年龄的志愿者进行了研究，收集数据得到下表：x 2025303540y167160150143130(1)根据上表提供的数据，求出y 关于x 的经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)根据(1)中求出的经验回归方程，估计年龄为50岁的人的最大可视距离．参考公式：经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑n i ＝1（x i －x －）2＝∑n i ＝1x i y i －n x －y －∑n i ＝1x 2i －n x－2，a ^＝y －－b ^x －.解(1)由题意可得x －＝20＋25＋30＋35＋405＝30，y －＝167＋160＋150＋143＋1305＝150，∑5i ＝1x i y i ＝20×167＋25×160＋30×150＋35×143＋40×130＝22045，∑5i ＝1x 2i ＝202＋252＋302＋352＋402＝4750，所以b ^＝22045－5×30×1504750－5×302＝－455250＝－1.82，则a ^＝y －－b ^x －＝150＋1.82×30＝204.6，故所求经验回归方程为y ^＝－1.82x ＋204.6.(2)当x ＝50时，y ^＝－1.82×50＋204.6＝113.6，即年龄为50岁的人的最大可视距离约为113.6米．14．数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫(3×3)内的数字均含1～9，且不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛，赛前小明在某数独APP 上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度y (秒)与训练天数x (天)有关，经统计得到如表的数据：x 1234567y990990450320300240210(1)现用y ＝a ＋bx 作为经验回归模型，请利用表中数据，求出该经验回归方程；(2)请用(1)中的结论预测，小明经过20天训练后，每天解题的平均速度y 约为多少秒？t i ∑7i ＝1t i y i ＝1845，t －＝0.37，∑7i ＝1t 2i －7t －2＝0.55.参考公式：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其经验回归直线v ^＝α^＋β^u 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为β^＝∑ni ＝1u i v i －n u －v －∑n i ＝1u 2i －n u－2，α^＝v －－β^u －.解(1)由题意得y －＝17×(990＋990＋450＋320＋300＋240＋210)＝500，令t ＝1x，则y 关于t 的经验回归方程为y ^＝b ^t ＋a ^，则有b ^＝∑7i ＝1t i y i －7t －y－∑7i ＝1t 2i －7×t－2＝1845－7×0.37×5000.55＝1000，a ^＝500－1000×0.37＝130，所以y ^＝1000t ＋130，又t ＝1x，所以y 关于x 的经验回归方程为y ^＝1000x ＋130.(2)当x ＝20时，y ^＝180，所以经过20天训练后，小明每天解题的平均速度约为180秒．15.(多选)(2024·河北三河市开学考试)某企业秉承“科学技术是第一生产力”的发展理念，投入大量科研经费进行技术革新，该企业统计了最近6年投入的年科研经费x (单位：百万元)和年利润y (单位：百万元)的数据，并绘制成如图所示的散点图，已知x ，y 的平均值分别为x －＝7，y －＝10，甲统计员得到的经验回归方程为y ^＝1.69x ＋a ^，乙统计员得到的经验回归方程为y ^＝2.52e 0.17x .若甲、乙二人计算均未出现错误，则以下结论正确的是()A ．当投入年科研经费为20(百万元)时，按乙统计员的经验回归方程可得年利润估计值为75.6(百万元)(取e 3.4＝30)B ．a ^＝－1.83C ．经验回归方程y ^＝1.69x ＋a ^比y ^＝2.52e 0.17x 拟合效果好D ．y 与x 正相关答案ABD解析将x ＝20代入y ^＝2.52e 0.17x ，得y ^＝75.6，投入年科研经费为20(百万元)时，按乙统计员的经验回归方程可得年利润估计值为75.6(百万元)，A 正确；将x －＝7，y －＝10代入y ^＝1.69x ＋a ^，得a ^＝－1.83，B 正确；由散点图可知，经验回归方程y ^＝2.52e 0.17x 比y ^＝1.69x ＋a ^的拟合效果更好，C 错误；因为y 随x 的增大而增大，所以y 与x 正相关，D 正确．故选ABD.16．(2024·河北唐山统考)据统计，某城市居民年收入(所有居民在一年内收入的总和，单位：亿元)与某类商品销售额(单位：亿元)的10年数据如下表所示：第n 年12345居民年收入x 32.231.132.935.737.1商品销售额y 25.030.034.037.039.0第n 年678910居民年收入x 38.039.043.044.646.0商品销售额y41.042.044.048.051.0依据表格数据，得到下面一些统计量的值．∑10i ＝1x i∑10i ＝1y i∑10i ＝1(x i －x －)2∑10i ＝1(y i －y －)2379.6391247.624568.9(1)根据表中数据，得到样本相关系数r ≈0.95.以此推断，y 与x 的线性相关程度是否很强？(2)根据统计量的值与样本相关系数r ≈0.95，建立y 关于x 的经验回归方程(系数精确到0.01)；(3)根据(2)的经验回归方程，计算第一个样本点(32.2，25.0)对应的残差(精确到0.01)，并判断若剔除这个样本点再进行回归分析，b ^的值将变大还是变小(不必说明理由，直接判断即可)?附：样本(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )的相关系数r ＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1（x i －x －）2∑ni ＝1（y i －y －）2，2.297≈1.516，b ^＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑n i ＝1（x i －x －）2，a ^＝y －－b ^x －.解(1)根据样本相关系数r ≈0.95，可以推断线性相关程度很强．(2)由r ＝∑10i ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑10i ＝1（x i －x －）2∑10i ＝1（y i －y －）2≈0.95及b ^＝∑10i ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑10i ＝1（x i －x －）2，可得b ^r＝∑10i ＝1（x i －x －）2∑10i ＝1（y i －y －）2∑10i ＝1（x i －x －）2＝∑10i ＝1（y i －y －）2∑10i ＝1（x i －x －）2≈2.297，所以b ^≈r 2.297≈0.95×1.516≈1.440，又因为x －＝37.96，y －＝39.1，所以a ^＝y －－b ^x －≈－15.56，所以y 关于x 的经验回归方程为y ^＝1.44x －15.56.(3)第一个样本点(32.2，25.0)的残差为25.0－(1.44×32.2－15.56)＝－5.808≈－5.81，由于该点在回归直线的左下方，故将其剔除后，b ^的值将变小．17．(2023·广东汕头三模)某药企为评估一款新药的药效和安全性，组织一批志愿者进行临床用药实验，结果显示临床疗效评价指标A 的数量y 与连续用药天数x 具有相关关系．刚开始用药时，指标A 的数量y 变化明显，随着天数增加，y 的变化趋缓．根据志愿者的临床试验情况，得到了一组数据(x i ，y i )，i ＝1，2，3，4，5，…，10，x i 表示连续用药i 天，y i 表示相应的临床疗效评价指标A 的数值．该药企为了进一步研究药物的临床效果，建立了y 关于x 的两个回归模型：模型①：由最小二乘公式可求得y 关于x 的经验回归方程为y ^＝2.50x －2.50；模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线y ＝b ln x ＋a 的附近，令t ＝ln x ，则有∑10i ＝1t i ＝22.00，∑10i ＝1y i ＝230，∑10i ＝1t i y i ＝569.00，∑10i ＝1t 2i ＝50.92.(1)根据所给的统计量，求模型②中y 关于x 的经验回归方程；(2)根据下列表格中的数据，说明哪个模型的预测值精度更高、更可靠；(3)根据(2)中精确度更高的模型，预测用药一个月后，疗效评价指标相对于用药半个月的变化情况(一个月以30天计，结果保留两位小数)．回归模型模型①模型②残差平方和∑10i ＝1(y i －y ^i )2102.2836.19附：样本(t i ，y i )(i ＝1，2，…，n )的最小二乘估计公式为b ^＝∑ni ＝1（t i －t ）（y i －y －）∑ni ＝1（t i －t ）2，a ^＝y －－b ^t ；相关指数R 2＝1－∑ni ＝1（y i －y ^）2∑ni ＝1（y i －y －）2.参考数据：ln 2≈0.6931.解(1)由题意，知∑10i ＝1t i ＝22.00，∑10i ＝1y i ＝230，可得t ＝2.20，y －＝23，又由b ^＝∑10i ＝1（t i －t ）（y i －y －）∑10i ＝1（t i －t ）2＝∑10i ＝1t i y i －10t y －∑10i ＝1t 2i －10t2＝569.00－10×2.20×2350.92－10×2.202＝25，则a ^＝y －－b ^t ＝23－25×2.20＝－32，。
计算机基础课程第一章 信息技术与计算机(第二讲)
由多个汉字组成
键入前三个字的第一码和最后一字的第一码Βιβλιοθήκη 4、汉字字根的类型分哪几种？
分为单、散、连、交四种类型。
单：基本字根本身就能组成一个字，如：女、金、山、由、土、木等。
散：基本字根之间有一定的距离，如：冒、汉、幼、吕、明等。
连：一个基本字根连一单笔画就能组成一个汉字，如：自、勺、旦，还有一种是带点的结构，如：太、犬、术、义等。
（4）二进制转成十六进制方法：将二进制数从小数点开始，分别向左向右每4位一组划分，不足4位均用0补足4位，然后每组用一位十六进制数取代，即可得到十六进制数。
8、数据中的存储单位
位：计算机中最小的数据单位是二进制的一个数位，简称位（比特）。
字节（Byte）八位二进制数为一个字节1B=8bit
1KB=1024B 1MB=1024KB 1G=1024MB.
十：fgh
七：ag
两个字根组成
输入时需键入识别码
第一个字根+第二个字根+识别码+空格
申由“日”“丨”组成，末笔是丨，本身是杂合型，所以识别码是k,申：jhk
三个字根组成
汉字由三个字根组成时需要输入识别码
第一个字根+第二个字根+第三个字根+识别码
“姻”vldy拆成女、口、大最后一笔是捺，识别码是y
四个字根组成
授课日期
授课节次
授课班级
教学目的
1、了解计算机中数据的表示方法及存储单位
2、能够使用几种输入方法输入汉字
3、掌握各种进制之间的转发
4、知道计算机病毒的概念及病毒防治的常用方法
教学重点
1.五笔字型输入法
2.各种进制之间的转换方法
简述数据的概念及分类。
简述数据的概念及分类。
数据是指以符号形式表示的、可输入计算机进行处理的信息。
数据可以是数字、文字、符号或图像等形式，可以通过计量、观察或收集而得到。
根据数据的特征和表现形式，数据可以分为以下几类：
1. 数字数据：用数字表示的数据，如年龄、身高、温度等。
2. 文字数据：用文字或符号表示的数据，如姓名、地址、文章等。
3. 图像数据：用像素点表示的数据，如照片、图表、图形等。
4. 音频数据：用声波表示的数据，如音乐、语音等。
5. 视频数据：用连续的图像序列表示的数据，如电影、电视节目等。
此外，数据还可以根据其来源和性质进行分类：
1. 主观数据：由个体的主观意愿、情感及观点等决定的数据。
2. 客观数据：与个体主观意愿无关，能够进行客观测量和观察的数据。
3. 定量数据：可进行数值计量和统计分析的数据。
4. 定性数据：无法进行数值计量和统计分析，只能进行描述和归类的数据。
5. 实时数据：即时产生或传输的数据，如传感器采集的实时环境数据等。
6. 历史数据：过去产生的数据，可以用于回顾和分析。
不同类型的数据需要采用不同的方法和技术进行处理和分析，以提取有用的信息和洞察。
03第三讲
数据存储器（D）
4.非局部变量:一个程序单元可以引用 未被本单元说明而被其它单元说明 的变量。 5.引用环境:局部变量+非局部变量。 6.别名:同一单元的引用环境中有两个 变量绑定于同一数据对象，称这些 变量具有别名。
7.副作用的产生:对绑定于一个非局部 变量的对象进行修改。 8.程序单元可以递归激活,从而一个单 元可以有很多个实例,但代码段相同。 不同的仅仅是活动记录。 9.静态分配和动态分配 Fortran Pascal 或C
可以通过数据类型显式定义数据的精度
第三节 用户定义类型
许多语言允许程序员规定 基本数据对象的聚合,乃至聚 合的聚合
1. 笛卡尔积
N个集合A1,A2,…,An的笛卡尔积表示为 A1A2…An，它是一个集合,其元素为 (a1,a2,…,an), aiAi 任意正多边形可表示为 integer *real
2. 有限映像
①定义：从定义域类型DT的值的 有限集合，到值域类型RT的值的 有限集合的函数称为有限映像。
var a:array[1..50] of char; 表示：整数1至50到字符集的有限映像
②值域对象通过下标选取。
③下标越界会出错，动态检查
④下标可用来选取值域的多个元素
⑤SNOBOL4的ARRAY构造符并 不要求值域集的所有元素是同一 类型的
6. 幂集
类型T的元素所有子集的集合，称为
幂集,记为Powerset(T),T称为基类
型。
应用:每次的操作对象仅仅是某个集合的
子集。
7. 小结 通过PASCAL的类型定义和变量说明， 给出用户定义类型显式命名的优点:
①可读性 （选择名字） ②可修改性 （不修改变量说明） ③可分性 （重复使用） ④一致性检查 （参考第8节）
计算机等级考试一级计算机基础--数据表示
一个英文字母或数字：一个字节，一个汉字：两个字节。 o
4Byte
5Byte 6Byte 7Byte . 。 。 。 。
8位二进制最多可表示 256个数
KB，MB，GB，TB的关系： 1KB=1024B
1MB= 1024KB
1GB=1024MB 1TB=1024GB
（234）H =（2*162+3*161ꡦ）B = （1*24+0*23+1*22+1*21+0*20）D
从右至左 43210
练习题
1．二进制数 00111001 转换成十进制数是______。 A、58 B、57 C、56 D、41 2．二进制数 101001 转换成十进制数是______。
D、二进制数11
4．设任意一个十进制整数为D，转换成二进制数为B。根据数制的概念，下列 叙述中正确的是______。
A、数字B的位数<数字D的位数B、数字B的位数≤数字D的位数 C、数字B的位数≥数字D的位数D、数字B的位数>数字D的位数
进制之间的转换
其它进制转化为十进制 十进制分解： 9658= 9000+600+50+8 =9*1000+6*100+5*10+8 (9658)D =（9*103 +6*102+5*101 +8*100）D
练习题
1. 世界上公认的第一台电子计算机诞生的年代是______。 A、1943 B、1946 C、1950 D、1951
2. 目前微机中所广泛采用的电子元器件是______。
A、电子管 B、晶体管 C、小规模集成电路 D、大规模和超 大规模集成电路
数据类型及其分类
数据类型及其分类数据类型是程序设计中的基础概念，它定义了数据的特点和操作。
在计算机编程中，数据可以分为不同的类型，每种类型都有其特定的属性和可执行的操作。
本文将详细介绍主要的数据类型及其分类。
一、基本数据类型基本数据类型是编程语言中最基础、最原始的数据类型，它们是构成其他复杂数据类型的基石。
常见的基本数据类型包括以下几种：1. 整型（int）：用来表示整数，可以是正数、负数或零，不包含小数部分。
2. 浮点型（float）：用来表示带有小数部分的数字，通常具有单精度或双精度两种精度。
3. 字符型（char）：用来表示单个字符，可以是字母、数字、标点符号等。
4. 布尔型（bool）：用来表示真值，只能取两个值，即真（true）或假（false）。
二、复合数据类型复合数据类型是由多个基本数据类型组合而成的数据类型，它们能够存储更加复杂的数据结构。
常见的复合数据类型包括以下几种：1. 数组（array）：是一种由相同类型的元素组成的数据结构，可以按照索引位置来访问每个元素。
2. 字符串（string）：是由一串字符组成的数据类型，可以进行字符串的连接、比较等操作。
3. 结构体（struct）：是一种用户自定义的数据类型，可以包含多个不同类型的数据成员。
4. 枚举（enum）：是一种具有离散取值的数据类型，用于定义一组相关的常量。
三、指针类型指针是一种特殊的数据类型，用于存储变量的内存地址。
通过指针，可以直接访问内存中存储的数据。
指针类型包括以下几种：1. 指针变量（pointer）：用于存储其他变量的地址，可以通过指针访问对应地址上的值。
2. 空指针（null pointer）：指向空地址的指针，表示它不指向任何有效的内存空间。
3. 野指针（wild pointer）：指向非法地址的指针，未初始化或已经释放的指针称为野指针。
四、抽象数据类型抽象数据类型（Abstract Data Type，ADT）是一种高级的数据类型，它将数据和操作封装在一起，提供了一种抽象的方式来理解和使用数据。
数据的表示1
第六章数据的收集与整理3.数据的表示〔一〕一、学生起点分析“扇形〞的概念，知道“圆可以分割成假设干个扇形〞，还能够把扇形所占整个圆的份数和百分比形式联系起来，这些为顺利学习扇形统计图作了良好的认知根底准备.二、学习任务分析教科书基于学生对数据的收集与整理的根底之上，提出了本课的具体学习任务：对所收集的数据通过制作扇形统计图描述数据，并能从扇形统计图中尽可能多地获取正确信息，利用数据进行简单的推断，理解扇形统计图表示数据的特点.本课《统计图的选择》内容附属于“统计与概率〞这一数学学习领域，因而务必效劳于统计教学的远期目标：“让学生经历数据收集、整理与表示、数据分析以及作出推断的全过程，开展学生的统计意识〞，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标.三、教学目标；2.能从扇形统计图中获取正确的信息，并能作出合理的解释和决策；3.能按照制做扇形统计图的步骤绘制扇形统计图；4.在统计过程中体会数据的客观真实性，感受数学与现实生活的密切联系，增强数学应用意识，养成以科学数据为依据分析问题、解决问题的良好习惯.四、教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：课前准备——问题导入；第二环节：情境引入；第三环节：自主合作学习；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业. 第一环节课前准备活动内容：问题导入每年当生日快乐的祝福如约而至的时候，我们总要和亲友一起分享生日蛋糕的美味，那么你是如何将蛋糕平均分成n份？平均分成六份怎么分？为什么会这样分呢？活动目的：活动效果和活动本卷须知：为制作扇形统计图打下良好根底，激发了学生学习的积极性与主动性.此环节不需太长时间，只是唤醒对已学知识的回忆，同时引发学生学习兴趣.第二环节情境引入〔获取信息，体会特点〕活动内容：小明是校学生会体育部部长，他想了解现在同学们更喜欢什么球类运动，以便学生会组织受同学们欢迎的比赛.于是他设计了调查问卷，在全校每个班随机选取了10名同学进行调查，调查结果如下：〔1〕如果你是小明，你会组织什么比赛？你是怎样判断的？〔2〕喜欢篮球运动的人数占调查总人数的百分比是多少？喜欢足球运动的人数占调查总人数的百分比是多少？排球、乒乓球、羽毛球、其他球类运动的百分比呢？上述所有百分比之和是多少？〔3〕你能设法用扇形统计图表示上述结果吗？活动目的：培养学生从图中表获取信息的能力，并通过此问题体会实际生活中收集与整理数据的过程及在现实生活中的实际意义.活动效果和活动本卷须知：由此引出：计算各种球类爱好者的百分比，思考所有百分比之和为1的结论，为解决第〔3〕问提供准备条件. 学生在三个问题的思考中明确数据经过收集整理后，要进行数据的表示，通过对各种球类爱好者的百分比的计算推动学生思考扇形与整圆面积的比与百分比的关系. 第三环节：自主合作学习〔扇形统计图的绘制〕活动内容：具体做法如下：〔1〕计算各选项人数占调查总人数的百分比，并填在下表中：〔2〕计算各个扇形的圆心角度数：圆心角度数＝360°×该项所占的百分比〔3〕在圆中画出各个扇形，并标上百分比.活动目的和活动本卷须知：通过两个表格的分步填写，明确制作扇形统计图的根本步骤 .可以让每个学生都经历知识的生成过程，对于有问题时可以小组内进行交流，此环节学生可能会提出百分比除不尽如何保存小数位的问题，在此只要保证百分比和为1即可，同样要保证圆心角度数之和为360°. 第四环节：练习提高 活动内容：做一做1．观察以以下图，答复以下问题：（1） 如果用整个圆表示总体，那么哪个扇形表示总体的25%？（2） 如果用整个圆表示你们班的人数，那么扇形B 大约代表多少人？（3） 如果用整个圆表示9公顷稻田，那么扇形C 大约代表多少公顷稻田？议一议图示的是甲、乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计图，根据统计图，小明认为对全年食品支出费用乙户比甲户多，你同意他的看法吗？为什么？甲其他21%教育23%衣着25%食品31%乙其他24%教育19%衣着23%食品34%想一想小明对在全班40名学生中进行了“你对哪些课程非常感兴趣〞的调查，获得如下数据：语文20人，数学25人，英语18人，物理10人，计算机34人，其他12人.他想用扇形统计图表示这些数据，却发现6项的百分比之和大于1，为什么会这样呢？活动目的和活动本卷须知：此处留给学生充分的时间与空间去思考、交流.通过前面几个步骤的学习，学生对扇形统计图积累了一定的认识，但也容易产生理解上的错误，所以利用课本上提供的几个材料，澄清概念，加深对扇形统计图的认识.第五环节：课堂小结活动内容：师生互相交流总结〔1〕统计图的特点：①圆代表总体；②扇形代表总体中的不同局部；③扇形的大小反映局部占总体的百分比的大小.〔2〕各个扇形所占的百分比之和为1；〔3〕在不同的统计图中，不能简单地根据百分比的大小来比较局部量的大小.活动目的和活动本卷须知：活动效果：第六环节：布置作业必做题：课本习题6.3 1、2、3五、教学反思“研究问题的需要、数据本身的特点及统计图本身的特点〞科学合理的选择统计图.而且能让学生通过社会调查亲自去感受统计图在实际生活中的应用，体会数学的实际价值.并且让学生利用小组调查搜集来的自己感兴趣的数据制作统计图.从而培养学生善于观察生活、搜集数据、选择决策的能力.3.注意改进的方面附件1：本课时学案学习目标： 1.能描述对圆心角的认识．2.会计算各局部占总体的百分比及各扇形的圆形角度数．绘制扇形统计图的步骤〔五步〕．4.培养整理、表示数据的能力和动手能力．活动1：自主学习(认真看书，在书中找出答案)1、顶点在的角叫圆心角．扇形统计图中，所有扇形圆心角的和为．2、在扇形统计图中，每局部占总体的百分比等于该局部所对应的扇形与360°的比．3、对某城市1000户家庭人口数做一次随机抽样调查，得到以下数据.(1)计算出各类家庭占1000户家庭人口数的百分比〔填下表〕；(2)根据百分比，计算出各类家庭所对应的扇形的圆心角的度数〔填下表〕；活动2：互助学习：阅读并完成课本P208—P209问题及做一做、想一想，讨论总结绘制扇形统计图的步骤〔五步〕〔1〕计算各局部的；〔2〕计算各局部的度数；〔3〕画圆、画；〔4〕标出；〔5〕写名称.活动3：问题解决：〔针对上面的问题、重点强调过程〕在以上两个学习环节中你们小组的问题有哪些？ 活动4：自主反响1.初一某班有学生50人， 下面收集的是这个班同学身高的数据：画出扇形统计图.解：〔1〕各身高段人数占全班总数的百分数为：40~149 cm 为___ __；149~155cm 为__ ___； 155~160cm 为______；〔4〕160~167cm 为________；表示各身高段人数的扇形的圆心角度数为：140~149 cm ：___ × = __°； 149~155cm ：___ × = __°； 155~160cm ：___ × = __°； 160~167cm ：___ × = __°.2.下面收集的是某校七年级300名学生上学的数据，将表中数据制成扇形统计图活动5：学习反思1.我的收获：▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁2.我的缺乏：▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁。
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第3节计算机中数据的表示教学目的：了解计算机中数据的分类和表示方法；掌握原码、反码、补码的概念以及相互之间的转换；教学重点：数据的浮点表示；原码、反码、补码的概念以及相互之间的转换；教学难点：浮点表示，原码、反码、补码表示范围教学课时：2◆【课前预习】◆阅读教材，完成课堂探究中的填空。
◆【课堂探究】◆一．计算机中的数据分类数据按其属性是否具有度量多少的数量含义而分为数值型、字符型、逻辑型三大类。
1．数值型：具有量的多少的含义，根据是不含有小数又分为整型和实型两类。
2．字符型：无数量多少的含义，但无论哪一个字符均对应一个惟一的二进制编码，此编码或用于计算机内部处理或用于信息的输入输出。
常用的有ASCII码、汉字的各种编码。
3．逻辑数据：为了使计算机具有逻辑判断能力，引入了逻辑数据，并使计算机能对它们进行逻辑运算，从而得出一个逻辑式的判断结果。
在计算机中用一位或一个字节表示，仅取“真“或“假“两个值，在计算机内部常用0表示假，1表示真。
二．计算机中数据的表示方法１．数值型数据的表示在计算机内部，要表示一个数值数据，将涉及数的正负号及小数点，根据是否考虑正负号，可将数值数据分为无符号数与有符号数，根据数据小数点是否固定可将其分为定点数和浮点数。
（１）带符号数的表示在计算机内部，数的正负号用一位二进制数来表示，这个二进制位一般在数的最高位，又称为符号位，且用0代表正，用1代表负。
若用八位二进制位表示一个有符号的整数，其最高位为符号位，则表示数值的只有七个二进制位，可表示的最大整数为127，最小整数为－127。
符号：０表示正，１表示负数值：随具体情况而定（２）带小数的数的表示：定点表示、浮点表示在计算机内部，通常用两种方法来表示带小数点的数，即所谓的定点数和浮点数。
①定点数：是小数点在数中的位置是固定不变的数，数的最高位为符号位，小数点可在符号位之后，也可在数的末尾。
缺点：只有纯小数或整数才能用定点数表示；②浮点数：小数点在数中的位置是浮动的、不固定的数。
一般浮点数既有整数部分又有小数部分，通常对于任何一个二进行制数Ｎ，总可以表示成：Ｎ＝±２P×SＮ、Ｐ、Ｓ均为二进制数，Ｐ为Ｎ的阶码，一般为定点整数，常用补码表示，阶码指明小数点在数据中的位置，它决定浮点的表示范围；Ｓ称为浮点数N的尾数，一般为定点小数，常用补码或原码表示，尾数部分给出了浮点数的有效数字位数，它决定了浮点数的精度，且|S|<１；在计算机中表示一个浮点数其结构为：假设用八个二进制位来表示一个浮点数，且阶码部分占4位，其中阶符占一位；尾数部分占4位，尾符也占一位。
若现有一个二进制数N＝（101100）2可表示为：２110×0.1011，则该数在机器内的表示形式为：一个浮点形式的尾数S若满足0.5≤|S|＜1，且尾数的最高位数为1，无无效的0，则该浮点数称为规格化数；规格化数可以提高运算的精度。
S为原码表示，则 S１=1规格化数S为补码表示 N为正数，则S1 ＝１N为负数，则S1＝０（３）无符号数的表示方法小。
若用八位二进制数表示一个有符号的整数，则表示数值的有八个二进制位，那么可表示的最大整数为255，最小整数为0。
(4)数值型数据的编码在计算机中数据和符号全部数字化，若最高位为符号位，且用0表示正、1表示负，那么，把包括符号在内的一个二进制数我们称为机器数，这样，采用把各种符号和数值位一起编码的方法来表示数值型数据。
数值型数据在计算机中通常用以下几种码制表示,即原码、反码和补码。
①原码表示法：是最简单的机器数表示法。
其数符位用0表示正，1表示负，数值一般用二进制形式表示。
如果一个机器数为X，则原码可记作[Ｘ]原。
如：有X1的真值为+1101010 则[X1]原＝01101010。
有X2的真值为-1010110 则[X2]原＝11010110。
原码数的与二进制位数有关。
若用８位二进制位小数、整数的原码时，其表示范围为：1.1111111（0.9921875D）~0.1111111(-0.9928175D)11111111(-127D)~01111111(+127D)但在原码表示法中0有两种表示形式，即正0(00000000)和负0(10000000)之说；n位的二进制数用原码表示，则可表示的数的个数为2n-1个②反码表示法：正数的反码同原码，负数的反码为除符号位外，其它各位按位取反。
如：有X1＝+1101010 则[X1]原＝01101010[X1]反＝11010110。
有X2＝－1010110 则[X2]原＝11010110[X2]反＝10101001。
在反码表示法中0也有两种表示形式，即有正0和负0的区别，[+0]反＝00000000 [-0]反＝11111111n位的二进制数用反码表示，则可表示的数的个数为2n－1个；③补码表示法：正数的补码同原码，负数的补码为反码加1；补码是二进制运算中的一个较为重要的概念，补码的符号位是数值的一部分，可同数值一起参加运算，它可以把减法转换成加法运算。
若用8位二进制表示，小数、整数的补码表示范围为：1.0000000~0.1111111 即－1~0.992817510000000~01111111 即-128~+1270的表示在补码中是唯一的，即[+0]补=[-0]补=0000000n位的二进制数用补码表示，则可表示的数的个数为２n个；◆【当堂训练】◆一、选择题1、在机器数的三种表示形式中，符号位可以和数值位一起参加运算的是( )。
A、原码B、反码C、补码D、反码和补码2、若机器数10110010对应的真值为－4DH，则该机器数采用的表示形式是( )。
A、补码B、原码C、反码D、移码3、一个8位二进制补码的表示范围是( )。
A、0～255B、-128～128C、-127～128D、-128～1274、已知x的原码为11001000，y的原码为10001000，则x+y的补码为( )。
A、01010000B、11001000C、10110000D、101011115、若浮点数的阶码采用3位补码表示，尾数采用6位补码表示，则浮点数101100110的阶码、尾数对应的十进制分别是( )。
A、－1、－6B、－3、－0.8125C、－2、1.1875D、5、386、机器数11111111对应的十进制整数不可能的是( )。
A、255B、－127C、－0D、－1287、机器数80H所表示的真值是128，则该机器数为( )形式的表示。
A、原码B、反码C、补码D、移码8、在浮点数中，阶码、尾数的表示格式是( )。
A、阶码定点整数、尾数定点小数B、阶码定点整数、尾数定点整数C、阶码定点小数、尾数定点整数D、阶码定点小数、尾数定点小数9、下列用补码表示的数中的最小数是( )。
A、00101101BB、11111111BC、10000001BD、10101101B10、若某数x的值为－0.1010，在计算机中表示为1.0110，则该数所用的编码是( )。
A、原码B、补码C、反码D、移码11、在定点二进制运算器中，减法运算一般通过( )来实现。
A、原码运算的二进制减法器B、补码运算的二进制减法器C、补码运算的十进制加法器D、补码运算的二进制加法器二、判断题1、计算机中正数只有原码、无反码、补码。
2、字长为16的补码，其所能表示的定点小数最小值为－1。
3、机器数10000000所对应真值的十进制可以是－1、－128、－0、－127。
4、0的原码、反码和补码表示的形式都是唯一的全零表示。
5、16位补码表示的定点小数的最小值是－32768。
3、对任何数求其补码的补码，其值为原码。
4、机器数和真值的表示形式是一致的。
5、求y的负补的方法是除符号外，其余各位取反，末尾加1。
6、浮点数的溢出以尾数是否溢出作为标准。
7、加法运算后的进位标志存放在累加器中。
8、两个定点数相减，不会产生溢出。
9、一个数的原按位取反后末位加1，则为该数的补码。
10、字长为n的原码、反码、补码所能表示的整数范围是相同的。
三、填空题1、一个码长为6的原码的最多可表示__________个十进制数。
2、若某数的码是FAH，则该数的补码是__________H。
3、已知[x]补＝11101B,则[－2x]补＝__________B。
4、已知某数的补码为8AH，则将其扩展为12位后，表示为__________H。
5、十进制数－27对应的8位二进制补码为____________________。
6、若一个8位的原码由3个1和5个0组成，则可对应的最大真值为__________________。
7、补码为10000000，若其真值为－1，则该数采用__________形式表示。
8、x的补码为000101，则－2x的补码为____________________。
9、设寄存器的内容为10000000，若它的真值为－127，则为__________码。
10、二进制数0.011011的规格化数为____________________，二进制－0.0110100的规格化数为____________________(阶码用3位补码表示，尾数用6位补码形式表示)。
◆【课后巩固】◆一、选择题1．浮点数表示法中，( )是隐含的。
A．基数 B.尾数C．阶码D．尾符2.一个16位机器数1000000000000000,它是一个带符号的整数，若为补码表示方式，其真值用十六进制表示为( )。
A.+8000B.-8000C.+0000D.-00003．浮点数的精度主要由( )决定。
A．基值B。
尾数的位数C．尾数的符号D．阶码的位数4.规格化浮点数的尾数最高一位二进制数( )。
A．一定为1 B．一定为0 C．任意D．不一定为139．若X补＝0.1101010，则X原=( )。
A.1.0010101 B．1.0010110 C．0.0010110 D．0.11010105.若定点整数64位，含i位符号位，补码表示，则所能表示的绝对值最大的负数为( )A.一264B．一(264—1) C．一263D．一(263一1)6．浮点数之所以能表示很大或很小的数，是因为A．使用了阶码B．使用字节数多C．使用尾数较 D.可写很长的数7．在所有由两个1和六个0组成的8位二进制整数(补码)中，最小的数是( )。
A．一127 B．一128 C．一64 D.—658．定点数作补码加减运算时，其符号位是( )。
A．与数位分开进行运算B．与数位一起C．符号位单独作加减运算D．两数符号位9．已知[x]补＝10110100，[Y]补＝01101010，则[x—Y]补的结果是( )。
A．溢出B．01101010 C．01001010 D.1100101010．定点整数8位字长，采用补码形式表示，所能表示的范围是( )。