因动点产生的面积问题

因动点产生的面积问题

1.如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、

C不重合），过点D作直线

1

2

y x b

=-+交折线OAB于点E．

（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；

（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

图1

2. 如图1，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F．

（1）求经过点A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；

（3）连结EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问当CF为值时S最小，并求出最小值．

图1

3.如图1，在△ABC中，∠C＝90°，A C＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E 作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．

（1）求线段AD的长；

（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，

①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值围）；

②当x取值时，y有最大值？并求出最大值．

（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．

图1 备用图

4. 如图1，已知：抛物线y ＝x 2＋bx －3与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，并且OA = OC ．

（1）求这条抛物线的解析式；（2）过点C 作CE // x 轴，交抛物线于点E ，设抛物线的顶点为点D ，试判断△CDE 的形状，并说明理由；（3）设点M 在抛物线的对称轴l 上，且△MCD 的面积等于△CDE 的面积，请写出点M 的坐标（无需写出解题步骤）．

图1

5.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的顶点O 为坐标原点，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，CB ∥OA ，OC ＝4，BC ＝3，OA ＝5，点D 在边OC 上，CD ＝3，过点D 作DB 的垂线DE ，交x 轴于点E ．

（1）求点E 的坐标；

（2）二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像经过点B 和点E ．

①求二次函数的解析式和它的对称轴；

②如果点M 在它的对称轴上且位于x 轴上，满足S △CEM ＝2S △ABM ，求点M 的坐标．

图1

6.如图1，直线l 经过点A (1，0)，且与双曲线m y x =

(x ＞0)交于点B (2，1)．过点(,1)P p p -(p ＞1)作x 轴的平行线分别交曲线m y x =(x ＞0)和m y x

=-(x ＜0)于M 、N 两点． （1）求m 的值及直线l 的解析式；

（2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；

（3）是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △AMP ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．

图1

因动点产生的面积问题

1.（2010年市中考第25题）如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是

线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线

1

2

y x b

=-+交折线OAB于点E．

（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；

（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

图1

思路点拨

1．数形结合，用b表示线段OE、CD、AE、BE的长．

2．求△ODE的面积，要分两种情况．当E在OA上时，OE边对应的高等于OC；当E在AB边上时，要利用割补法求△ODE的面积．

3．第（2）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形．

4．图形翻折、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理．

满分解答

(1)①如图2，当E在OA上时，

3

2

b

<<，由

1

2

y x b

=-+可知，点E的坐标为(2b,0)，OE＝2b．

此时S＝S△ODE＝11

21

22

OE OC b b

⋅=⨯⨯=．

②如图3，当E在AB上时，35

22

b<

≤，把y＝1代入

1

2

y x b

=-+可知，点D的坐标为(2b－2,1)，

CD＝2b－2，BD＝5－2b．把x＝3代入

1

2

y x b

=-+可知，点E的坐标为

3

(3,)

2

b-，AE＝

3

2

b-，BE＝

5 2

b

-．此时S＝S

矩形OABC

－S△OAE－S△BDE－S△OCD

＝

13151

33()()(52)1(22)

22222

b b b b

-⨯-----⨯⨯-2

5

2

b b

=-+．

(2)如图4，因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DM＝DN，

那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形．

作DH⊥OA，垂足为H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2．

设菱形DMEN的边长为m．在Rt△DNH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以12＋(2－m)2＝m2．解

得

5

4

m=．所以重叠部分菱形DMEN的面积为

5

4

．