线性系统理论思路

作者：大地知心交流邮箱:278742825@https://www.360docs.net/doc/c38162990.html,

关键词：线性系统理论；状态空间方程；系统的能控性；系统的能观测性；系统的子空间分解；系统的最小实现；系统的极点配置；系统极点的通常要求；

PS：小弟真心求成都数字信号处理方面的实习工作（2013年7月研二开始，想找个信号处理方面的工作），求各位大侠帮忙，具体情况如下：

小弟不才，现在是电信科学技术研究院2012届在读研究生，目前在北京航空大学上研究生的理论课程，明年将回成都帮导师做项目，但小弟的导师实在是有点抠门儿，研发的钱都不预支，而且什么都要发票才能报，那些不超过200块钱的人家卖家跟本没有发票啊，所以小弟经常是垫钱，没办法，而且导师给的项目也不是自己喜欢的信号处理，小弟现在有女朋友，女朋友工资也不高，真心也不想用父母的钱了，当然更不能靠女朋友养。所以希望在成都有数字信号处理尤其是数字信号处理与通信结合方面实习机会的前辈大侠们能帮小弟引荐一下，小弟感激不尽。

在研一（2012年9月至2013年6月）期间，我在北航选的课都是与信号处理有关的，而且都是认真学的，专业具体有以下这些：

秋季课程：

《随机过程理论》

《线性系统基础理论》

春季课程：

《数字信号处理》

《DSP体系结构》

《时间序列与谱估计》

《时间——频率分析》

因为在电信科学技术院（大唐集团）学习，通信方面的课程自然少不了，这些通信课程都是在电信科学技术院上，具体有：

《LTE》与4G有关

《无线通信技术》

《CDMA》

《现代通信技术》

下面是我总结的线性系统理论这门课的思路,由于水平有限，还望大家不吝赐教。

在本科阶段或者经典控制理论中，对系统性能，特别是稳定性的分析，采用的是在S 域建立系统传递函数的方法来进行系统性能的分析。这种方法描述了控制系统输入输出之间的端口关系，是系统的外部描述，当然，传递函数也可表述系统的部分内部结构，如系统的零点，极点。但是毕竟是基于端口关系，传递函数还是只能描述端口之间的等价关系，即第统的输入与输出信号之间的等价关系，不能对系统内部结构与端口信号之间的关系作完全描述。而在线性系统理论中，采用了一种新模型，即状态空间方程模型，分析域为时域。虽然系统可能只是单输入单输出，但不代表其内部只有一个状态变量，很多情况下是很多状态变量的，所以状态空间方程性然是矩阵模型，状态空间方程由四个矩阵确定，分别为A矩阵,B 矩阵,C矩阵,D矩阵，四个矩阵的含义分别为：

A矩阵：表示系统内部各状态变量之间的关系；

B矩阵：表示输入对每个状态变量之间的关系；

C矩阵：表示输出与每个状态变量之间的关系；

D矩阵：表示输入对输出的真接传递关第，也称前馈矩阵。

状态空间方程为：

?????+=+=?)

()()()()()()()(t D t x t C t y t u t B t Ax t x 注意，式中的x,u,y 皆为列向量。

将系统转化为矩阵形式其实最大的好处之一就是方便在计算机上运用矩阵理论进行处理。

我们知道，常微分方程也是对线性系统的描述，所以已知一个系统的常微分方程是可以将其转化为状态空间方程的，而且我们往往是能直接通过系统的常微分方和将其转化为能控标准型的。同理，传递函数也能转化为状态空间方程。当然，系统结构图也可以转化为状态空间方程。这些转化的方法任何一本系统理论的书上都是有的。

有了状态空间方程后，为了我们方便分析，一般情况下我们会对这个状态空间方程进行等价线性变换，变换的目的是把状态空间方程化为我们定义好的标准型，这些标准型包括对角线标准型（当系统矩阵A 的特征值没有重根时），约当标准形（当系统矩阵A 的特征值有根时），模态标准型（当系统矩阵A 的特征值出现共轭复数时）。

对于状态空间方程后，我们若单考虑Ax x =?

这部分（没有输入，此时系统为自治系统，即齐次系统），是可以求出解的，求出的解称为状态转移矩阵，有了状态转移矩阵，任给一个初始状态向量，这个向量与状态转移矩阵相乘，便可以得到任意时刻的状态。值得注意的是对于定常线性系统，这个解就是矩阵指数函数。当然若是非齐次的，即有输入矩阵B(t)，还是可以解出通解的，通解的表达式为：

系统在1t 时刻的状态解为：

?Φ+Φ=10)()(),()(),()(10011t t d u B t t x t t t x ττττ

当然也有输出解为：

))()(),()(),(()(1010011?Φ+Φ=t t d u B t t x t t C t y ττττ

通过这个通解的表达式，如果求出了状态转移矩阵，并且还知道输入u(t),显然，系统的响应是可以算出的，而且很容易算出，最常见的是零输入响应与零状态响应。

有了状态空间方程，实际上就是有了线性系统的结构。结构分析中很重要的两点性能是系统的能控型与能观察型。能控型是指输入u(t)对于状态x(t)的控制能力，能观察性是指输出方程y(t)对状态x(t)的反映能力。为了讨论系统的能控型与能观察性线性系统理论给出了很多判断方法，其中最重要的是能控矩阵和能观察矩阵，通过判断这两个矩阵的秩我们可以判断系统是否能控，是否能观察。如果系统是不能控或不能观察的，那么我们可以对其进行子空间分解，这个子空间是既能控也能进行观察的。

进一步，若我们已经知道一个系统的输入输出特性，即已知传递函数，我们便可以着手构建这个系统，当然为了节约成本，我们希望最小实现，即系统的阶数最低。线性系统理论中也给出了具体实现的方法。

系统实现了其输入输出功能，但我们还需要验证其是否是稳定的，试问，工程中谁敢用一个不稳定的系统呢？俄国科学家李雅普诺夫从类似的能量角度建立了一套关于系统稳定性的判断方法，在这套理论里，定义了几种稳态，也建立了几种判断系统是否稳定的方法。

李雅普诺夫引出了一个虚构的能量函数，称为李雅普诺夫函数，通过这个李雅普诺夫函数，可以判定系统的是否稳定，如果稳定，又是属于哪类稳定。

值得注意的是，李雅普诺夫第一法还有专门针对非线性系统稳定性的判断方法。

至此，我们已经了解了线性系统的状态空间的描述方法—状态空间方程，线性系统的运动分析—状态空间方程的解，线性系统的结构分析—能控性，能观测性，子空间分解，最小实现，线性系统的稳定性—李雅普诺夫稳定性理论，这些是线性系统的理论基础，运用这些理论，我们便可基于上述理论成果提出设计系统的综合方法，以设计出有效的控制系统。目前应用比较广泛的有以下一些方法：状态反馈与极点配置，状态观测器理论，线性二次型最

优控制，线性系统的镇定理论，线性系统的鲁棒性理论与

H控制等。

系统的零极点配置广泛存在于信号处理的各门课当中，所以我们重点说下运用线性系统理论对系统进行零极点配置。在线性系统理论里，反馈分为两种，一种是状态反馈（通常是全状态反馈），而另一种是输出反馈。两者的区别在于前者以状态量作为反馈量，而后者以输出量作为反馈量，由于系统的各输出y为各状态x的线性组合，不一定能够包含所有状态，因此输出反馈能够实现的部分状态反馈，与全状态反馈相比对系统的影响是不完全的，这也正是经典反馈控制方法局限性的原因。当然万事万物有好就有坏，使用状态反馈在进行极点置时，对于单输入单输出系统的极点配置既保证能观控性也可以保证能观测性，但是多输入多输出系统就只能保证能控性，不能够保证能观测性了，而输出反馈虽不能任意配置极点，但是可以保证能观测性嘛。

实际的系统没有开环运行的，都是闭环的，所以我们要考虑的零极点配置问题都是闭环的情况下讨论，称为闭环零极点的配置。由于控制系统的运动性质与运动品质的优劣基本上是由系统的闭环极点在s平面上的位置决定的。因此在线性系统的综合设计中，能够在s平面上找到满足动态性能要求的闭环极点的位置是非常必要的。当然，系统的闭环零点对于系统的影响也很大，但是由于系统的闭环零点表现了输出量与状态量之间的线性组合关系（怎么理解？第一步：写出一个由常微分方程描述的线性系统，然后在S域求出其传递函数，分母的零点为极点，分子的零点为零点，观察分子与分母分别来自常微分方程的哪部分；第二步：把这个常微分方程描述的线性系统转化成能控标准型的状态空间方程，如教材14在页例 2.1.4，我们发现形成零点的那些系数只与输出方程有关，而与状态方程无关，所以闭环零点表现了输出量与状态量之间的线性组合关系），不构成动力学系统的运动特性，因些系统的运动特性的本质是由状态变量来确定的。

极点配置的任务就是把闭环极点配置到我们想要的位置上去。那位理想的极点位置在哪里呢？概括来说，对于希望极点的基本要求如下：

①n阶系统，有n个固有极点，所以希望极点的个数也为n个。

②由稳定性约束，n个希望极点一定位于s平面的左半平面。

③希望极点应该具有一对共轭复数的主导极点来决定系统运动的主导行为；（为什么？我的理解：共轭复数对应于微分方程的通解中，相位刚好相反，可以使系统获得良好的动态特性，如过渡时间的快慢，振荡幅度的大小等，）

④希望极点的选取应该使得系统具有较强的抗干扰能力和较弱的参数灵敏性。

具体的配置方法就是构造状态反馈矩阵，具体的计算方法在每本线性系统理论的书中都有介绍。

另外，对于系统极点配置，有以下几点需要说明，在实际工程中还是蛮有用的。

①对单输入单输出系统来说，状态反馈实现的极点配置不改变原系统的零点，这个好理解，因为这只在状态方程上动手脚，而没有在输出方程上动手脚嘛。

②希望配置的极点数要等于系统固有极点数，且不能产生零点、极点对消，否则，不满足能观测性。

③单输入单输出系统的极点配置既保证能控性也可以保证能观测性，但是多输入多输出系统只能保证能控性，不能够保证能观测性。

④作为比较，输出反馈不能任意配置极点，但是可以保证能观测性。

这门课虽然结束了，但以下结论还是应该长时间记住：

1.传递函数矩阵与状态空间方程的关系：

D B A sI C s G +-=-1)

()(，通常D 为0，所以一般情况下用的是： B A sI C s G 1

)()(--= 2.若系统的传递函数出现了零极点对消，那么系统要么是不可控的，要么是不可观测的，要么是既不可控也不可观测的。

3.若系统的传递函数是互质的，那么系统的最小实则是既可控又可观察的，系统的维数也等于传递函数的阶次。

4.如果系统是可控的，则极点是可以任意配置的。

5.状态空间方程的通解为？

系统在1t 时刻的状态为：

?Φ+Φ=10)()(),()(),()(10011t t d u B t t x t t t x ττττ

6.系统引入状态反馈矩阵后其能观察性是有可能发生变化的，这一点体现在传递函数的因子相消上，但是不管是全状态反馈还是输出反馈，都能保证原系统的能控性。

7.系统的零点反映的是谁与谁的关系，为什么？系统的极点反映的是谁是谁的关系，为什么？

因此在线性系统的综合设计中，能够在s 平面上找到满足动态性能要求的闭环极点的位置是非常必要的。当然，系统的闭环零点对于系统的影响也很大，但是由于系统的闭环零点表现了输出量与状态量之间的线性组合关系（怎么 理解？第一步：写出一个由常微分方程描述的线性系统，然后在S 域求出其传递函数，分母的零点为极点，分子的零点为零点，观察分子与分母分别来自常微分方程的哪部分；第二步：把这个常微分方程描述的线性系统转化成能控标准型的状态空间方程，如教材14在页例2.1.4，我们发现形成零点的那些系数只与输出方程有关，而与状态方程无关，所以闭环零点表现了输出量与状态量之间的线性组合关系），不构成动力学系统的运动特性，因此系统的运动特性的本质是由状态变量来确定的。

8系统在进行极点配置时希望极点的选取有哪些要求？

极点配置的任务就是把闭环极点配置到我们想要的位置上去。那位理想的极点位置在哪里呢？概括来说，对于希望极点的基本要求如下：

①n 阶系统，有n 个固有极点，所以希望极点的个数也为n 个。

②由稳定性约束，n 个希望极点一定位于s 平面的左半平面。

③希望极点应该具有一对共轭复数的主导极点来决定系统运动的主导行为；（为什么？我的理解：共轭复数对应于微分方程的通解中，相位刚好相反，可以使系统获得良好的动态特性，如过渡时间的快慢，振荡幅度的大小等，）

④希望极点的选取应该使得系统具有较强的抗干扰能力和较弱的参数灵敏性。

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