第3章有限变形讲解
有限元方法课件 第三章 杆系结构有限元
3. 其他单元的单元刚度矩阵
(1) 平面桁架单元
EA Fxie l 0 0 F e EA xj 0 l 0 0 0 0 0 EA l 0 EA l 0
e 0 ui v e 0 i u e 0 j v e j 0
§3-2 单元刚度矩阵
1. 建立单元杆端力与杆端位移之间的关系
截面直杆单元e , 其杆端位移列向量与杆端力列 向量分别为 T {δ e } u ie vie i e u je v je je T e e e e {F e } Fxi Fyi M ie Fxj Fyj Me j
5. 正负号规定（强调） 杆端位移和杆端力（对单元而言）的正负号： 凡是与单元坐标轴方向一致的位移和力均为正值，
反之为负值。
力矩和转角以逆时针方向为正，反之为负。 作用在结点上的外力和结点位移（对整体而言）的 正负号： 与整体坐标系方向一致的结点力和结点位移为正，反 之为负。
以逆时针转的结点力矩和结点转角为正值,反之为负 值。
0 0 0 0
{F } F
{δ } u
e e
e i e xi
v
e i
u
e j e xj
v 0
e T j
0 F
T
（10-9）
单元刚度矩阵为:
EA l [K e ] 0 EA l 0 EA l 0 EA l 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 EA 0 1 0 l 0 0 0
对于杆系结构，杆系结构有限元法易于编制通用的计算程序。
第三章 杆系有限元
单元应力： E EBd 下面应用弹性体虚功原理导出单元刚度方程。
等截面杆单元
虚位移原理
弹性体受力平衡时，若发生虚位移，则外力虚功等于弹
性体内的虚应变能。——平衡条件
对于杆单元，定义虚位移如下： ui 节点虚位移： d u j 单元虚位移： u Nd
３）单元刚度矩阵对称、奇异、主对角元素恒正。
等截面杆单元
（四）举例 例1：求图示２段杆中的应力。
解：系统分为２个杆单元，单元之间在节点２连接。
单元刚度矩阵分别为：
等截面杆单元
（四）举例 例：求图示２段杆中的应力。
解：系统分为２个杆单元，单元之间在节点２连接。
单元刚度矩阵分别为：
等截面杆单元
参考弹簧系统的方法，装配系统的有限元方程（平衡方程）：
1 一个弹簧单元 的分析 2 弹簧系统
什么是单元特性？ 弹簧单元的刚度矩阵 弹簧单元的刚度方程 弹簧单元刚度矩阵的特点
弹簧系统的总刚度矩阵 如何求解系统的平衡方程
弹簧单元分析
弹簧是宏观力学特性最简单的弹性元件。下面以平衡弹簧系
统中一个弹簧单元为研究对象进行分析。
2个节点：
i, j
fi , f j
很多工程结构由 杆件组成，这类 结构的设计往往 需要进行有限元 分析。
常见的杆系结构
弹簧
○ ○ ○
○
○
○
○
○
○
梁 拱 刚架
桁架
○ ○ ○ ○ ○
3.1 引言
3.2 弹簧单元和弹簧系统 3.3 杆单元和平面桁架 3.4 梁单元和平面刚架 3.5 刚架分析实例 3.6 ANSYS分析实例
弹簧单元和弹簧系统
注意：总刚度矩阵 就是单元刚度矩阵 扩大后的叠加！
有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵资料
x)
(
x (
l
2 l
)(x )(l)
l
)
u1
(
x
0)(x l(l )
l 2
)
u2
(x (l
0)(x )( l )
l)
u3
2
2
22
令 N1 (2 1)( 1) 212 1 N2 2 2 222 2 N3 4 (1 ) 412
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●二次杆单元
三、二维单元及其单元刚度阵
1.三角形单元
●一次三角形单元
●面积坐标与直角坐标的关系
11 1
(1) 1 x 2
x2
x3
y y2 y3
11 1
(2) 1 x 2
x3
x1
y y3 y1
11 1
(3) 1 x 2
x1
x2
y y1 y2
三、二维单元及其单元刚度阵
1.三角形单元
●一次三角形单元
●面积坐标与直角坐标的关系
1
PA2 A3 A1 A2 A3
二维单元用于分析和解决平面问题和轴对称为 题。在第二章中已详细介绍过，而且是在直角坐 标中推导的。在下面这一节中，我们将介绍两种 平面单元，即三角形单元和四边形单元，包括一 次和二次三角形单元以及一次四边形单元。
1.三角形单元
三角形单元按其位移的阶数分为一、二、三次单元。
●一次三角形单元
第二章详细介绍过这种单元，其形状函数是坐标 的一次多项式，推导采用直角坐标。对于高次三角 形单元，这类坐标不方便，特此引入面积坐标。
y A5
A3 G A4
A1 A6
A2
o
x
第三章 有限元法的基本原理15
虚功方程的矩阵表达形式
{δ }* T {F} = ∫∫∫{ε }* T {σ}dxdydz
结点力：
⎧ fix ⎫
⎪ ⎪
fiy
⎪ ⎪
应力：
⎧σ x ⎫
⎪⎪σ
y
⎪ ⎪
{F
}
=
⎪ ⎨ ⎪
fiz f jx
⎪ ⎬ ⎪
{σ
}
=
⎪⎪⎨⎪στ xz
⎪⎪ ⎬ ⎪
⎪ ⎪ ⎩
f jy #
⎪ ⎪ ⎭
⎡*
⎤
⎢ ⎢
*
⎥ ⎥
⎢
*⎥
⎢ ⎣
*⎥⎦
单位体积上的惯性力
⎧u1x ⎫
{ } { } { p} = ρ δ
F= ma
=
ρ
⎨⎩⎧uuxy
⎫ ⎬ ⎭
=
ρ
[
N
]
⎨⎪⎪⎪uu12yx
⎪⎪ ⎬ ⎪
=
ρ
[
N
]
⎪⎩ # ⎪⎭
δi
e
惯性力
{
}f
e m
=
∫∫ [ N
]T
{
p} tdxdy
=
∫∫[N ]T
⎪⎪u3
x
⎪ ⎪
⎢1 ⎢
x3
⎪⎩u3y ⎪⎭ ⎢⎣
y1 1 x1
y2 1 x2
y3 1 x3
⎤ ⎧β1 ⎫
y1
⎥ ⎥
⎪ ⎪
β2
⎪ ⎪
y2
⎥ ⎥ ⎥
⎪⎪ ⎨ ⎪
β3 β4
⎪⎪ ⎬ ⎪
y3
⎥ ⎥ ⎥⎦
⎪ ⎪ ⎩⎪
β5 β6
⎪ ⎪ ⎭⎪
有限元第3章
单元2：
2、由于整个系统有3个节点(位移)，将上述方程扩大成3阶方程，有
F1 ka F2 = −ka F 0 3
−ka 0 u1 ka 0 u2 0 0 u3
0 0 u1 F1 0 F2 = 0 kb − kb u2 F 0 − k kb u3 b 3
10 3000 −1800 u2 = 20 −1800 3300 u3
u2 = 0.0103603m
u3 = 0.0117117m
F1 = 1200u1 − 1200u2 + 0 × u3 + 0 × u4 = −12.432kN
F4 = 0 × u1 + 0 × u2 − 1500 × u3 + 1500 × u4 = −17.567kN
kb
ka u2 = 0
u1
kb
3 u3 = 0
F3c , u3
只允许节点3有位移 u3 如图3-5(c)所示。类似情况(1)
F3c = −kb u3
F2 c = − F3c = −kbu3
F1c = 0
(4)合成。对整个系统来说有3个节点，每个节点只有一个方向的位移。因此方程式为
F1 k11 F2 = k21 F k 3 31
为了验证结果的正确性，我们进行受力平衡验证：
F1 + F2 + F3 + F4 = −12.432+10+20 − 17.567 ≈ 0
第三节 桁架结构的有限元法
一、单元分析 单元分析的目的是为整体分析做准备， 单元分析的目的是为整体分析做准备，单元分析就是建立单元杆端力和 杆端位移之间的关系，即单元刚度方程。 杆端位移之间的关系，即单元刚度方程。 单元分析的一般步骤如下： 单元分析的一般步骤如下： 1)用广义坐标法或试凑法建立形函数，从而建立满足变形协调的单元位移 用广义坐标法或试凑法建立形函数， 用广义坐标法或试凑法建立形函数 即单元内任意一点的位移用单元节点位移(对杆件单元为杆端位移 对杆件单元为杆端位移)来 场，即单元内任意一点的位移用单元节点位移 对杆件单元为杆端位移 来 表示； 表示； 2)由几何方程建立单元应变场，即单元内任意一点的应变由节点位移来表示； 由几何方程建立单元应变场， 由几何方程建立单元应变场 即单元内任意一点的应变由节点位移来表示； 3)由物理方程建立单元应力场，也即单元内任意一点的应力由节点位移来表示； 由物理方程建立单元应力场，也即单元内任意一点的应力由节点位移来表示； 由物理方程建立单元应力场
第三章杆件受力变形及其应力分析
第三章 杆件受力变形及其应力分析§３－１ 概 述一、构件正常工作的基本要求为了保证机器或工程结构的正常工作，构件必须具有足够的承受载荷的能力（简称承载能力）。
为此，构件必须满足下列基本要求。
１畅足够的强度例如，起重机的钢丝绳在起吊不超过额定重量时不应断裂；齿轮的轮齿正常工作时不应折断等。
可见，所谓足够的强度是指构件具有足够的抵抗破坏的能力。
它是构件首先应满足的要求。
图３－１ 构件刚度不够产生的影响２畅足够的刚度在某些情况下，构件受载后虽未破裂，但由于变形过量，也会使机械不能正常工作。
图３－１所示的传动轴，由于变形过大，将使轴上齿轮啮合不良，轴颈和轴承产生局部磨损，从而引起振动和噪声，影响传动精度。
因此，所谓足够的刚度是指构件具有足够的抵抗弹性变形的能力。
应当指出，也有某些构件反而要求具有一定的弹性变形能力，如弹簧、仪表中的弹性元件等。
３畅足够的稳定性例如千斤顶中的螺杆等类似的细长直杆，工作时当压力较小时，螺杆保持直线的平衡形式；当压力增大到某一数值时，螺杆就会突然变弯。
这种突然改变原有平衡形式的现象称为失稳。
因此，所谓足够的稳定性是指构件具有足够的保持原有平衡形式的能力。
上述的基本要求均与构件的材料、结构、截面形状和尺寸等有关。
所以，设计时在保证构件正常工作的前提下，还应合理地选择构件的材料和热处理方法，并尽量减小构件的尺寸，以做到材尽其用，减轻重量和降低成本。
二、变形固体及其基本假设自然界中的一切物体在外力作用下或多或少地总要产生变形。
在本书第二章中，由于物体产生的变形对所研究的问题影响不大，所以在该章中把所有物体均视为刚体。
而在图３－１中，如果轴上任一横截面的形心，其径向位移只要达到０畅０００５l （l 为轴的支承间的距离），尽管此时构件变形很小，但该轴已失去了正常工作的条件。
因为这一微小变形是影响构件能否正常工作的主要因素。
因此，在本章中所研究的一切物体都是变形固体。
在对构件进行强度、刚度和稳定性的计算时，为了便于分析和简化计算，常略去变形固体的·75·一些影响不大的次要性质。
有限元第三章杆系结构单元分析
一节点的受力情况可见，整个结构的结点总外力势能为
T
E* p ,结点
Fpi d
Fej 1
Fek 2
δi
i
j
k
（3-17）
F② 2
F① 1
M
Fiy
i
i
Fpi d Fix Fiｙ Mi T
Fix 总结点力 Fpid F1① F2②
图3-5 结点受力示意图
第3章 杆系结构的 有限元分析
有限单元法
3-1 引言
所谓杆件是指从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的 一维构件。在结构力学上我们通常将承受轴力或扭矩的杆件 称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁。在有限单元 法中这两种情况的单元分别称为杆单元和梁单元。为方便起 见，本书都称之为杆单元。
杆系结构是最简单的一类结构，也是我们在工程上最常 见的一类结构。本章以此类结构为基础介绍有限单元法的分 析过程。
有：
du dx
dN dx
δe
1 l
1 l
δe
Bi
Bj δ e Bδ e
（3-21）
这里
B
1 l
1 l
为应变矩阵。由虎克定律，其应力为：
E EBδe
（3-22）
有限单元法
③ 求单元刚度矩阵。这里考虑利用虚位移原理求单元刚 度矩阵,设杆端i、j分别产生虚位移 ui 、u j ，则由此引起的杆 轴任意截面的虚位移为：
j1
（3-13）
有限单元法
3-1-3 杆系结构总势能表达式
有关符号同上所述，由材料力学可知e单元的应变能 V e 在只考虑轴向和弯曲变形时为
第三章 有限元法-1
解得
k12 f1x 0, k42 f 2 x 0, k22 f1 y k52 f 2 y 12 EI 6 EI , k32 m1 2 l3 l 12 EI 6 EI 3 , k62 m2 2 l l
(3)同理，设 1 1 ，其余位移分量均为零，即 u1 v1 u2 v2 2 0 此时梁单元如图(c)所示，由梁的变形公式得
对于所示的平面梁单元问题，利用材料力学中的杆件受力与变形 间的关系及叠加原理，可以直接计算出单元刚度矩阵[K](e)中的各系数 kst( s, t = i, j ) 的数值，具体方法如下： (1) 假设 u1=１，其余位移分量均为零，即 v1=1=u2=v2=2=0，此时 梁单元如图 (a)所示，由梁的变形公式得
“ 有限元法 ” 的基本思想早在20世纪40年代初期就有人提出， 但 真正用于工程中则是电子计算机出现以后。
“ 有限元法 ” 这一名称是1960年美国的克拉夫（Clough， R.W.） 在一篇题为 “平面应力分析的有限元法” 论文中首先使用。此后， 有 限元法的应用得到蓬勃发展。
到20世纪80年代初期国际上较大型的结构分析有限元通用程序多 达几百种，从而为工程应用提供了方便条件。由于有限元通用程序 使用方便，计算精度高，其计算结果已成为各类工业产品设计和性 能分析的可靠依据。
集成过程所依据的原理是节点变形协调条件和平衡条件。
4. 确定约束条件
由上述所形成的整体平衡方程是一组线性代数方程，在求解 之前，必修根据具体情况分析，确定求解对象问题的边界约束条 件，并对这些方程进行适当修正。
5. 有限元方程求解
通过求解整体平衡方程，即可求得各节点的位移， 进而根据位移可计算单元的应力及应变。
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第3章 有限变形§3.1 有限变形这时说的变形，除连续性条件外，没有其余任何条件。
小变形：小位移，小转动，小应变，)(21)(21,,,,i j j i ij i j j i ij u u u u +=-=εω有限变形：大位移，大转动，大应变对于一个微小六面体：小变形下变为一个平行六面体 有限变形下仍变为一个平行六面体 这一条件不变变形几何学方面来研究变形 四个问题： 1）记录2）什么办法来描述 3）怎么度量4）有没有办法将变形分解§3.2 物体的构形和坐标系物体：连续介质，变形前用0K 代表，变形后物体用t K 代表0K ：物体，物质点的集合,被始构形(material configuration)； t K ：变形后的物体,现时构形(spatial configuration)，P ：物质点p ：空间点，物质点在空间所占的位置。
初始坐标系 ⅢⅡⅠX X X O -k 1现时构形ⅠXⅡXⅢX)(K X P)(kx pXOod2xx 3x1xu现时坐标系 321x x x o -构形：每一瞬时与物质点对应的空间点的集合。
0=t 瞬时，初始构形 0K0K ：初始构形，X 点的坐标（K X ）t K ：现时构形，（瞬时t 的构形），x 点的坐标（k x ） 全部采用直角坐标系§3.3 描写物体运动和变形的方法1． Lagrange 描述法用物质坐标k X 作自变量（描述物体的运动和变形）(,) (,)k k K t x x X t ==x x X研究物质点在不同时刻所对应的空间点（着眼点：跟踪物质点运动状况）2． Euler 描述法用空间坐标k x 作自变量（描述物体的运动和变形）(,) (,)K K k t X X x t ==X X x研究空间点x 处对不同时刻流径这一空间的物质点（着眼点：跟踪在一个空间点上，不同时刻对应的物质点）（前者跟踪同一个人，不同晚上睡不同的床位，后者跟踪同一张床，不同晚上由不同的人去睡）位移点：u=+-u d x X （其中d 不随时间而变，X 也与t 无关）速度和加速度：分两种表述方法 1）Lagrange 法22(,)(,)K K X t tX t t ∂==∂∂===∂X v u x a v u2）Euler 法：（研究流体的流动等）(,)k x t =v v ——流场(,)d(,)d (,) k k k k k kkx t x x t t t x t x t v t x ∂∂∂==+∂∂∂∂∂=+∂∂v v a v v v物质导数=局部导数+迁移导数§3.4 变形梯度有限变形：记录（构形），描述⎩⎨⎧EL，度量（本节研究）物体的有限变形的研究，离不开一点的领域，或取一个线元。
变形前线元：d d K K PQ X ==⋅X E 变形后线元：d d K k pq x ==⋅x ex X d d →经历了一个长度的变化和方向的变化（它们的量都可能是很大的）1）Lagrange 法：物质坐标K X ——自变量p 点：),(t X x x K k k =q 点：),d (d t X X x x x K K k k k +=+求d x ：K KkK k K K k k X X x t X x t X X x x d ),(),d (d ⋅∂∂=-+= K K k k X X x x d d ∂∂=表示d x 和d X 的关系（可见Kk X x∂∂的重要性） KkX x ∂∂称为物质变形梯度张量F （称为“物质”的理由是物质坐标下的）。
即 K k Kk kKx X x F ,简写=∂∂= d d d d k kK K x F X ==x F X 变形前后线元之间的关系（包含了长度和方向） （*）x Ⅰ2变形前d x （方向、长度）变形后d x （方向、长度）下面验证F 是一个二阶张量km lm kl m l kl m l kl m k KM M m m k K k q q x xq x x q x x X X X x x x X x ==∂∂=∂∂=∂'∂'∂∂⋅∂∂⋅∂'∂='∂'∂δ类似KM KMQ x X ='∂∂ 即 T'=⋅⋅F q F Q∴F 为二阶张量，关系到两个坐标系，称为两点张量。
kk K Kx X ∂=⊗∂F e E F 对应于一个线性变换，（从（*）式看），包含了方向和长度的变换。
由此可见，F 包含了全部的有限变形信息。
Grad ∂==∂xF x X（所以称为变形“梯度”） kK k K F =⊗e E kk K Kx X ∂=⊗∂e E （各种不同的写法） r '=F qFQ2）Euler 法：用空间坐标k x ——自变量，t 作参变量。
P 点（与p 对应的物质点）：),(t x X X k K K =Q 点（与q 对应的物质点）：),d (d t x x X X X k k K K K +=+ k kKK x x X X d d ⋅∂∂=（知道现在线元，倒回去查原来的线元） 对应于一个由k x d 的线性变换。
空间变形梯度张量：1-F（ 以空间坐标为自变量）1,grad K K k K k K k kX Xx -∂∂===⊗=⊗∂∂F X E e X E e x 其实，F 与1-F互逆，所以以1-F定义。
§3.5 变形张量回顾变形梯度张量：,d d =F x F X 包含了全部信息变形张量只研究其长度改变的信息（不包含方向改变） 1）Lagrange 描述法：K X 作为自变量 变形前d X 的长度2d :(d )d d K K L L X X =⋅ 变形后d x 的长度2d :(d )d d d d k k kl k l l l x x x x δ=⋅=⋅上述K X d 应该是已知的，k x d 可求出的。
则LK L l K k kl L K lL kK kl L lL K kK kl X X x x X X F F X F X F l d d d d )d )(d ()d (,,2⋅=⋅==δδδL K L k K k X X x x d d dl)(,,2=∴变形张量C （称为Green 变形张量） C 为正定的（0)d (2≥c ）,,KL k K k L C x x =→C 为对称张量。
T ,,k K k L K Lx x ==⊗C F FC E E已知变形梯度张量可求出变形张量。
通过C 可直接算出长度的变化（优点）。
2）Euler 描述法：k x 作为自变量变形后的长度l d ：k k x x l d d )d (2⋅= （作为已知的） 变形前的长度L d ：2,,,,(d )d d d d d d d d K K KL K L KL K k L l k l K k L l k l L X X X X X X x x X X x x δδ=⋅=⋅==Cauchy 变形张量1-B1,,111()()K k K l k l TX X ----=⊗=B e e B F F通过变形梯度张量可求出变形张量。
§3.6 变形梯度张量的极分解变形梯度张量F 。
（若）F 是一个可逆张量，即1-F存在，则F 可写为：=⋅F R U 或 =⋅F V R右极分解 左极分解上述分解存在且唯一的，R 是正常正交张量，表示转动，所以记为R ，U 和V 是对称、正定张量。
1．右极分解的证明若 =⋅F R U 成立，且R 为正交张量，U 为对称正定张量。
T T T T T ()=⋅=⋅=⋅F R U U R U R则 T T ()()=⋅⋅=⋅F F U R R U U U 又 T=F F C 为正定的，对称轴，∴ 由F 可找到U ，且U 为正定、对称的。
又 1-=⋅R F UT 1TT1T111U-----=⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=R U F R R U F F U U U U I∴R 为正交张量。
2．右极分解的唯一性设 ''=⋅=⋅F R U R UT T 2TTT2()()'''==⋅⋅'''''''==⋅=⋅⋅=U R F R R UU U U U U UR R R R U U'∴=U U ，由此可推得 '=R R3． 左右极分解中的R 是相同的。
=F RU 又 *=⋅F V R***T ***T *()()==⋅⋅=⋅⋅F VR R R V R R R V R上式为一右极分解，因为右极分解是唯一的，则*=R R 同时由上式可得：T =⋅⋅U R V R U ：右伸长张量 V ：左伸长张量 U 和V 是相似张量。
则 T=V RUR§3.7 Lagrange 标架和Euler 标架通过这两个标架的学习了解,,R U V 的几何意义。
=⋅⎧⎨=⋅⎩F R UF V Rd d =⋅x F X F 相当于一个变换。
变形后线元；变形前线元1．右极分解d d d =⋅=⋅⋅x F X R U X将d X 先进行U 变换，再进行R 变换。
U 正定对称二阶张量， 对称张量，存在三个互相垂直的主方向，αM （1,2,3=α）（ 正定）对应有三个主值（非负）(111222333α)αα=Λ⊗=Λ⊗+Λ⊗+Λ⊗U M M M M M M M MLagrange 标架：123,,M M M 作为基矢 第一步：(d d α)αα⋅=Λ⊗⋅U X M M Xd d X αα=X M 也按Lagrange 标架分解。
()(d d d X X αααββα)αα=Λ⊗⋅=ΛU X M M M M第二步：d (d )⋅=⋅F X R U X 即 (d d X α)αα=Λx RM 又 (d d X α)αα=Λx m则：αα=⋅m R M （变换后仍为矢量）正交张量：有体内积性质，即，有αM 为单位矢量，正交变换后的αm 仍为单位矢量，但方向改变，且αM 仍为三个互为正交的。
αm 三个相垂直的方向——Euler 标架根据前面两步可知：U 右伸长张量，R 转动张量。
２．左极分解d d d ==⋅⋅x F X V R X第一步：d d X αα⋅=⋅R X R M （保内性质）d X αα=m （长度不变，但投影到Euler 标架上） 第二步：d ?⋅=V R X令TT(α)αα==⋅Λ⊗⋅V RUR R M M Rd (α)α=Λ⊗m mEuler 标架是V 的三个主方向，以123,,m m m 作为基矢。
设(α)αα=λ⊗V m m 则)()Λ=ααλ(∴U 和V 主方向不同，主值相等。