2013年重庆中考数学真题卷含答案解析

重庆市2013年初中毕业暨高中招生考试(B 卷)

数学试题（含答案全解全析）

(满分150分,考试时间120分钟)

参考公式:抛物线

y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为(-b 2a ,4ac -b 24a ),对称轴为

x=-b

2a .

第Ⅰ卷(选择题,共48分)

一、选择题(本大题12个小题,每小题4分,共48分.在每个小题的下面,都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案,其中只有一个是正确的)

1.在-2,0,1,-4这四个数中,最大的数是( ) A.-4

B.-2

C.0

D.1

2.如图,直线a 、b 、c 、d,已知c ⊥a,c ⊥b,直线b 、c 、d 交于一点,若∠1=50°,则∠2等于( )

A.60°

B.50°

C.40°

D.30° 3.计算3x 3÷x 2的结果是( ) A.2x 2 B.3x 2 C.3x

D.3

4.已知△ABC ∽△DEF,若△ABC 与△DEF 的相似比为3∶4,则△ABC 与△DEF 的面积之比为( )

A.4∶3

B.3∶4

C.16∶9

D.9∶16

5.已知正比例函数y=kx(k ≠0)的图象经过点(1,-2),则正比例函数的解析式为( ) A.y=2x B.y=-2x

C.y=12x

D.y=-1

2

x 6.为了比较甲乙两种水稻秧苗谁出苗更整齐,每种秧苗各随机抽取50株,分别量出每株长度,发现两组秧苗的平均长度一样,甲、乙的方差分别是3.5、10.9,则下列说法正确的是( ) A.甲秧苗出苗更整齐

B.乙秧苗出苗更整齐

C.甲、乙出苗一样整齐

D.无法确定甲、乙出苗谁更整齐

7.如图,矩形纸片ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,现将其沿AE对折,使得点B落在边AD上的点B1处,折痕与边BC交于点E,则CE的长为()

A.6cm

B.4cm

C.2cm

D.1cm

8.如图,AB是☉O的切线,B为切点,AO与☉O交于点C,若∠BAO=40°,则∠OCB的度数为()

A.40°

B.50°

C.65°

D.75°

9.如图,在△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,CD⊥AB,垂足为D,CD=1,则AB的长为()

+1 D.√3+1

A.2

B.2√3

C.√3

3

10.2013年“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行.童童从家出发前往观看,先匀速步行至轻轨车站,等了一会儿,童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出,演出结束后,童童搭乘邻居刘叔叔的车顺利回到家.其中x表示童童从家出发后所用时间,y表示童童离家的距离.下面能反映y与x的函数关系的大致图象是()

11.下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成,其中第①个图形有1颗棋子,第②个图形一共有6颗棋子,第③个图形一共有16颗棋子,…,则第⑥个图形中棋子的颗数为()

A.51

B.70

C.76

D.81

12.如图,在直角坐标系中,正方形OABC的顶点O与原点重合,顶点A、C分别在x轴、y轴上,反比例函数y=k

(k≠0,x>0)的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N,ND⊥x轴,

x

垂足为D,连结OM、ON、MN.

下列结论:

①△OCN≌△OAM;

②ON=MN;

③四边形DAMN与△MON面积相等;

④若∠MON=45°,MN=2,则点C的坐标为(0,√2+1).

其中正确结论的个数是()

A.1

B.2

C.3

D.4

第Ⅱ卷(非选择题,共102分)

二、填空题(本大题6个小题,每小题4分,共24分)

13.实数“-3”的倒数是.

14.分式方程1

=1的解为.

x-2

15.某届青年歌手大奖赛上,七位评委为甲选手打出的分数分别是:96.5,97.1,97.5,98.1,98.1,98.3, 98.5.则这组数据的众数是.

16.如图,一个圆心角为90°的扇形,半径OA=2,那么图中阴影部分的面积为.(结果保留π)

17.在平面直角坐标系中,作△OAB,其中三个顶点分别是O(0,0),B(1,1),A(x,y)(-2≤x≤2,-2≤y≤2,x, y均为整数),则所作△OAB为直角三角形的概率是.

18.如图,平面直角坐标系中,已知直线y=x上一点P(1,1),C为y轴上一点,连结PC,线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD,过点D作直线AB⊥x轴,垂足为B,直线AB与直线y=x交于点A,且BD=2AD,连结CD,直线CD与直线y=x交于点Q,则点Q的坐标为.

三、解答题(本大题2个小题,每小题7分,共14分.解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤)

)-1.

19.计算:(-1)2013-|-2|+(√3-π)0×√83+(1

4

20.如图,在边长为1的小正方形组成的10×10网格中(我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点),四边形ABCD在直线l的左侧,其四个顶点A、B、C、D分别在网格的格点上. (1)请你在所给的网格中画出四边形A'B'C'D',使四边形A'B'C'D'和四边形ABCD关于直线l 对称,其中,点A'、B'、C'、D'分别是点A、B、C、D的对称点;

(2)在(1)的条件下,结合你所画的图形,直接写出线段A'B'的长度.

四、解答题(本大题4个小题,每小题10分,共40分.解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤)

21.先化简,再求值:(x+2

x -x-1

x-2

)÷x-4

x2-4x+4

,其中x是不等式3x+7>1的负整数解.

22.为了贯彻落实国家关于增强青少年体质的计划,重庆市全面实施了义务教育学段中小学学生“饮用奶计划”的营养工程.某牛奶供应商拟提供A(原味)、B(草莓味)、C(核桃味)、D(菠萝味)、E(香橙味)等五种口味的学生奶供学生选择(所有学生奶盒形状、大小相同),为了了解对学生奶口味的喜好情况,某初级中学九年级(1)班张老师对全班同学进行了调查统计,制成了如下两幅不完整的统计图:

(1)该班五种口味的学生奶喜好人数组成一组统计数据,直接写出这组数据的平均数,并将折线统计图补充完整;

(2)在进行调查统计的第二天,张老师为班上每位同学发放一盒学生奶.喜好B味的小明和喜好C味的小刚等四位同学最后领取.剩余的学生奶放在同一纸箱里,分别有B味2盒,C味和D味各1盒,张老师从该纸箱里随机取出两盒学生奶.请你用列表法或画树状图的方法,求出这两盒牛奶恰好同时是小明和小刚喜好的学生奶的概率.

23.“4·20”雅安地震后,某商家为支援灾区人民,计划捐赠帐篷16800顶,该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送帐篷.计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶,大、小货车每天均运送一次,两天恰好运完.

(1)求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶?

(2)因地震导致路基受损,实际运送过程中,每辆大货车每次比原计划少运200m顶,每辆小货车每次比原计划少运300顶,为了尽快将帐篷运送到灾区,大货车每天比原计划多跑1

m次,小

2

货车每天比原计划多跑m次,一天恰好运送了帐篷14400顶,求m的值.

24.已知:如图,在?ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,CE=CD,点F为CE的中点,点G为CD上的一点,连结DF、EG、AG,∠1=∠2.

(1)若CF=2,AE=3,求BE的长;

∠AGE.

(2)求证:∠CEG=1

2

五、解答题(本大题2个小题,每小题12分,共24分.解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤)

25.如图,已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B(5,0),另一个交点为A,且与y 轴交于点C(0,5).

(1)求直线BC与抛物线的解析式;

(2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,求MN的最大值;

(3)在(2)的条件下,MN取得最大值时,若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点,以BC为边作平行四边形CBPQ,设平行四边形CBPQ的面积为S1,△ABN的面积为S2,且S1=6S2,求点P的坐标.

26.已知,在矩形ABCD中,E为BC边上一点,AE⊥DE,AB=12,BE=16,F为线段BE上一点,EF= 7.连结AF.如图1,现有一张硬质纸片△GMN,∠NGM=90°,NG=6,MG=8,斜边MN与边BC在同一直线上,点N与点E重合,点G在线段DE上.如图2,△GMN从图1的位置出发,以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动,同时,点P从A点出发,以每秒1个单位的速度沿AD 向点D匀速移动,点Q为直线GN与线段AE的交点,连结PQ.当点N到达终点B时,△GMN 和点P同时停止运动.设运动时间为t秒,解答下列问题:

(1)在整个运动过程中,当点G在线段AE上时,求t的值;

(2)在整个运动过程中,是否存在点P,使△APQ是等腰三角形.若存在,求出t的值;若不存在,说明理由;

(3)在整个运动过程中,设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S.请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围.

答案全解全析：

1.D ∵1>0>-2>-4,故选D.

2.B ∵c⊥a,c⊥b,∴a∥b,∴∠1=∠2=50°,故选B.

3.C 3x3÷x2=3x.故选C.

4.D ∵两个相似图形的面积比是相似比的平方,故选D.

5.B 把(1,-2)代入y=kx,得k=-2,∴y=-2x.故选B.

6.A 因为方差越小,数据的波动幅度越小,所以甲秧苗出苗更整齐.故选A.

7.C 由题设知四边形ABEB1一定是正方形,故BE=AB=6 cm,∴CE=8-6=2 cm.

8.C ∵AB是☉O的切线,∴OB⊥AB,∴∠ABO=90°,∴∠O=90°-40°=50°.

∵OB=OC,∴∠OCB=(180°-50°)÷2=65°.故选C.

9.D ∵△ADC为等腰直角三角形,△CDB为含30°角的直角三角形,

∴AD=CD=1,BD=√3CD=√3,∴AB=√3+1.故选D.

10.A ∵童童步行的速度小于轻轨运行的速度,而等乘轻轨和观看演出都花费了一定的时间,故选A.

11.C 根据题图示规律可得第⑥个图形中的棋子数是1+3+5+7+9+11+10+9+8+7+6=76.故选C.

12.C 设正方形OABC的边长为m,∴点N(k

m ,m),点M(m,k

m

),

∴NO=MO.∴在正方形OABC中,△OCN≌△OAM,故①正确.由①得MN2-ON2=(m-k

m

)2-2k,不恒为零,∴②不成立.∵Rt△MOA与Rt△NOD的面积均等于k的一半,故四边形DAMN与△MON的面

积相等,故③成立.将Rt△OAM绕点O逆时针旋转90°,得Rt△OCM1,且点A与点C重合,点N、

C、M1三点共线.若∠MON=45°,可得△MON≌△NOM1,可得NC=MA=1

2

MN=1.又△MBN是等腰直角三角形,MN=2,∴BM=BN=√2,∴OC=√2+1,故点C(0,√2+1),故④正确.故①③④均正确,选C.

评析本题综合考查反比例函数图象的性质、系数k的几何意义,三角形的旋转变换中的角和边之间的关系,特殊角三角函数值等知识点.将Rt△OAM绕点O逆时针旋转90°,得Rt△OCM1是判断④正确与否的关键.本题综合性较强,是区分度很高的一道选择题中的压轴题.

13.答案-1

3

解析∵a的倒数是1

a (a≠0),∴-3的倒数是-1

3

.

14.答案 3

解析去分母得x-2=1,∴x=3.经检验,符合题意.

15.答案98.1

解析 ∵数据98.1出现的次数最多,∴众数是98.1. 16.答案 π-2

解析 阴影部分面积为圆面积的四分之一减去等腰直角三角形OAB 的面积,故阴影部分面积为1

4π·22

-1

2×2×2=π-2. 17.答案 2

5

解析 在5×5=25个整数点中,能和点O 、B 组成直角三角形的整数点有(0,1)、(0,2)、(-1,1)、(-2,2)、(1,0)、(2,0)、(1,-1)、(2,-2),共8个点,∵能组成三角形的共有20个点, ∴所求概率为P=820=2

5. 18.答案 (9

4,94)

解析 过点P 作MN∥x 轴,交y 轴于点M,交直线AB 于点N. ∵PC=PD,PC⊥PD,∴Rt△MPC≌Rt△NDP.

∵点P(1,1),∴PM=OM=DN=1,∴NB=1,DB=2,又DB=2AD, ∴BA=3.∵点A 在直线y=x 上,∴A(3,3),∴OB=3,

又PN=CM=2,∴C(0,3),D(3,2),∴直线CD 的解析式为y=-1

3x+3. 联立{y =x ,

y =-13

x +3,可求得点Q 的坐标为(94,9

4).

评析 本题综合考查旋转的性质、三角形全等的判定与性质、用待定系数法确定一次函数解析式、求两直线交点的坐标等知识点.以PC=PD 为切入点构造两全等直角三角形是解题的关键.将求解直线的交点转化为求解方程组的解是常见的方法之一.本题难度适中. 19.解析 原式=-1-2+1×2+4=3.

评析 本题综合考查绝对值、负整数指数幂、零次幂等实数的运算法则,属容易题. 20.解析 (1)如图:

(2)A'B'=AB=√12+32=√10. 21.解析 原式=(x -2)(x+2)-x (x -1)

x (x -2)

·

x 2-4x+4x -4

(2分)

=x 2-4-x 2+x x (x -2)·

(x -2)2

x -4

=

x -4

x (x -2)

·

(x -2)2

x -4

(5分)

=

x -2x

.(6分)

由3x+7>1,解得x>-2.

又∵x 是该不等式的负整数解,∴x=-1.(8分) 当x=-1时,原式=

-1-2-1

=3.(10分)

22.解析 (1)平均数为8,折线图如图所示.

(2)设所剩学生奶分别为B 1、B 2、C 、D,画树状图如下:

或列表

B 1 B 2

C

D B 1 (B 1,B 2)

(B 1,C) (B 1,D) B 2 (B 2,B 1) (B 2,C) (B 2,D) C (C,B 1) (C,B 2) (C,D) D

(D,B 1)

(D,B 2)

(D,C)

由树状图或列表知:一共有12种等可能情况,其中恰好同时是小明和小刚喜好的有2种.所以,这两盒牛奶恰好同时是小明和小刚喜好的学生奶的概率P=212=1

6. 23.解析 (1)设小货车原计划每辆每次运帐篷x 顶, 则大货车原计划每辆每次运帐篷(x+200)顶.(1分) 根据题意得2×2(x+200)+2×8x=16 800.(2分) 解得x=800,

800+200=1 000.(3分)

答:大货车原计划每辆每次运送帐篷1 000顶,小货车原计划每辆每次运送帐篷800顶.(4分) (2)2(1 000-200m)(1+1

2m )+8(800-300)(1+m)=14 400.(7分) 化简,得m 2

-23m+42=0,解得m=2或m=21.(9分) ∵1

2m 为整数,∴m=21(舍去). 答:m=2.(10分)

24.解析 (1)∵CD=CE=2CF,∴AB=DC=4,(1分) ∴由勾股定理得BE=√aa 2-A a 2=√7.(3分) (2)证明:延长AG 、BC 交于点M.

∵CE=CD,∠1=∠2,∠ECG=∠DCF,

∴△ECG≌△DCF.(5分)

∴CF=CG,

∵CD=CE=2CF,

∴CG=DG,

又∵AD∥BC,

∴∠DAG=∠CMG,∠ADG=∠MCG,

∴△ADG≌△MCG,∴AG=MG.(7分)

∵AE⊥BC,∴EG=AG=MG,

∴∠CEG=∠M.(9分)

∵∠AGE=∠CEG+∠M,

∠AGE.(10分)

∴∠AGE=2∠CEG,即∠CEG=1

2

评析本题综合考查三角形全等的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识,证明△ECG≌△DCF是解题的切入点,本题综合性较强,第(2)问属于较难题.

25.解析(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴的一个交点为B(5,0),与y轴交于点C(0,5),

∴将B(5,0)、C(0,5)代入y=x2+bx+c,解得b=-6,c=5.

∴二次函数解析式为y=x2-6x+5.(2分)

设直线BC的解析式为y=kx+5.

将B(5,0)代入直线BC解析式y=kx+5,解得k=-1,

∴直线BC的解析式为y=-x+5.(3分)

(2)如图①,设M(x,y),则

MN=-x+5-(x2-6x+5)(5分)

=-x 2

+5x

=-(a -52)2+25

4.(6分)

∴MN 的最大值为25

4.(7分)

图①

(3)如图②,由(2)易得S 2=5,∴S 1=6S 2=30.(8分) BC=5√2,直线BC 的解析式为y=-x+5,∠CBO=45°. ∵S 1=30,

∴平行四边形CBPQ 中BC 边上的高为

5√2

=3√2.(9分)

图②

过点C 作CD⊥PQ 与PQ 所在直线相交于点D, PD 交y 轴于点E,CD=3√2,∴CE=6. ∴E(0,-1),

∴直线PQ 的解析式为y=-x-1.(10分) ∵点P 同时在抛物线和直线PQ 上, ∴x 2

-6x+5=-x-1,解得x 1=2,x 2=3,

∴P1(2,-3),P2(3,-4).(12分)

评析本题以抛物线为载体,考查了初中数学的主干知识:函数、方程;考查了学生综合运用数学知识以及运用转化思想、数形结合思想、函数与方程思想解决问题的能力;考查了待定系数法、配方法等数学方法.

26.解析(1)如图①,在矩形中,

图①

∵AB=12,BE=16,∴AE=20,

由△ABE∽△ECD,得AB

BE =EC

CD

,得CE=9,∴AD=25.

∵NG=6,MG=8,

∴NM=10.(1分)

∵GM∥AE,当G点落在AE上时,点M与点E重合. ∴t=10.(2分)

(2)存在满足条件的t,理由如下:

(i)当AP=PQ时,如图②,过P作PH⊥AQ于点H. AP=t,NE=t,

由△EQN∽△MGN,

图②

得NQ=35

t,QE=45

t,AQ=20-45

t,AH=4

5

t.

∵AQ=2AH, ∴t=25

3.(4分)

(ii)当AP=AQ 时,如图③.

图③

∵AP=t,AQ=20-4

5t,

∴20-4

5t=t, t=

1009

.(6分)

(iii)当AQ=PQ 时,如图④.

图④

过Q 作QK⊥AP 于点K,

由△AKQ∽△AED,得AK AE =AQ

AD ,得AQ=5

8t, 又AQ=20-4

5t,

∴20-45

t=58t,∴t=

80057

.(8分)

(3)S={ 6

25t 2

(0≤t <7),-775t 2-143t +493

(7≤t <10),-13t 2+143t +233(10≤t <71

5),67(t -17)2(71

5≤t ≤16).

(12分

)

评析本题综合考查了动点问题、等腰三角形的判定和性质、二次函数、三角形相似、分段函数的知识,综合性强.第(2)问求解的关键是分类讨论思想的应用.第(3)问求解的关键是将三角形的运动转化为顶点G和顶点N的几个特殊位置的确定,这样才能求出三角形在运动过程中t的取值范围,而只有正确求解出临界状态时t的值,才能合理地对重叠部分面积进行分类,本题求解面积时化归思想方法的应用也比较重要.本题图形复杂,分类情况比较多,是一道综合性非常强的压轴题.