统计与统计案例知识点及题型归纳

统计与统计案例知识点及题型归纳

知识点精讲

一、抽样方法

二、样本分析

(1)样本平均值：1

1n

i i x x n ==∑。

(2)样本众数：样本数据中出现次数最多的那个数据。

(3)样本中位数：将数据按大小排列，位于最中间的数据或中间两个数据的平均数。

(4)样本方差：()2

21

1n i i s x x n ==-∑。

众数、中位数、平均数都是描述一组数据集中趋势的量，方差是用来描述一组数据波动情况的特征数。 三、频率分布直方图的解读 (1)频率分布直方图的绘制

①由频率分布表求出每组频数n i ；

②求出每组频率i

i n P N

=

(n 为样本容量)； ③列出样本频率分布表；

④画出样本频率分布直方图，直方图横坐标表示各组分组情况，纵坐标为每组频率与组距比值，各小长方形的面积即为各组频率，各小长方形的面积总和为1。

(2)样本估计总体

步骤：总体→抽取样本→频率分布表→频率分布直方图→估计总体频率分布。

样本容量越大，估计越精细，样本容量无限增大，频率分布直方图无限无限趋近概率分布密度曲线。 (3)用样本平均数估计总体平均数，用样本标准差估计总体标准差。

公式：aX b ax b +=+，s 2

(aX +b )=a 2s 2

(X )。 四、线性回归

线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系(相关关系)的方法。

对于一组具有线性相关关系的数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，其回归方程$

$y bx a =+$的求法为 $()()()11

2

22

11

n

n

i i i i

i i n n

i i

i i x x y y x y

nx y

b x x x

nx a y bx

====?

---?

?==??--??=-??∑∑∑∑$$

其中，11n i i x x n ==

∑，1

1n

i i y y n ==∑，(x ,y )称为样本点的中心。 步骤：画散点图，如散点图中的点基本分布在一条直线附近，则这条直线叫这两个变量的回归直线，直线斜率k >0，称两个变量正相关；k <0，称两个变量负相关。

五、独立性

独立性检验是判断两个分类变量是否存在相关关系的案例分析方法。

步骤为列出2?2列联表(如表13-8所示)，求出()()()()()

22

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，并判断：

表13-8

若K 2

>10.828，有1212若10.828≥K 2

>6.635，有99%把握称“A 取A 1或A 2”对“B 取B 1，B 2”有关系；

若6.635≥K 2

>3.841，有95%把握称“A 取A 1或A 2”对“B 取B 1，B 2”有关系；

若K 2

≤3.841，没有把握称A 与B 相关。

题型归纳及思路提示

题型1 抽样方式 思路提示

根据所抽取的对象与要求，若抽取的对象中有明显差异，考虑用分层抽样，否则选择简单随机抽样或系统抽样。当总体中的个体较少时，常采用简单随机抽样；当总体中的个体较多时，常采用系统抽样。

例13.16某地区有小学150所，中学75所，大学25所。现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取 所学校，中学中抽取 所学校。

解析：本地区共有学校150+75+25=250(所)，所以从小学中应抽取150

3018250

?=(所)，从中学中抽取

75309250

?=(所)。

变式1 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9。抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做

问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C 。则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )。

A. 7

B. 9

C. 10

D. 15

变式2 某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表13-9所示，已知在全校学生中任取一名，抽到二年级女生的概率为0.19，现用分层抽样的方法，在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( )。

变式3 统计表格，如表13-10所示，由于不小心，表格中的A ，C 产品的有的有关数据被污染看不清楚，统计员记得A 产品样本容量比C 产品的样本容量多10，由此可得C 产品数量为_______。

题型2 思路提示

对样本进行分析并用样本估计总体，包括用样本数字特征估计总体数字特征和用样本的频率分布估计总体的频率分布。在进行样本分析时，应从统计图表中获取数据。体现在以下几个方面：(1)在频率分布

直方图中，长方形面积=组距?频率

组距

=频率，即随机变量的概率；(2)对于频数、频率、样本容量，已知其二

必可求第三个；(3)随机变量在各组数据内的频数之和为样本容量。

例13.17：某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图13-16所示，其中茎为十位数，叶为个位数。

1792015

3013-16

图

(1)根据茎叶图计算样本均值；

(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；

(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率。

分析：阅读茎叶图得出样本数据，利用平均数公式计算出样本均值。(2)根据样本算出优秀工人的比例，再估计12人中优秀工人的个数。(3)用组合数公式求出所有可能的组合的个数和符合条件“恰有1名优秀工人”的组合的个数，利用古典概型概率公式进行计算。

解析：(1)由茎叶图可知，样本数据为17，19，20，21，25，30，则样本均值

171920212530

226

x +++++=

=，故样本均值为22。

(2)日加工零件个数大于样本均值的工人有2名，故优秀工人的频率为

21

63

=，该车间12名工人中优秀工人大约有2

1246

?=(名)，故该车间约有4名优秀工人。

(3)记“恰有1名优秀工人”为事件A ，其包含的基本事件个数为C 14C 1

8=32，所有基本事件的总数为

C 2

12=66，由古典概型概率公式，得()32166633

P A =

=

。所以恰有1名优秀工人的概率为16

33。 变式1 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表

示(如图13-17所示)，设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则( )。

865088400

1028

752202337800312448314

238

13-17

甲乙图 A. x 甲m 乙

B. x 甲x 乙，m 甲>m 乙

D. x 甲>x 乙，m 甲

变式2 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验。选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙。

(1)假设n =4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望； (2)试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量

(单位：kg/hm 2

)如表13-11所示。

表13-11

种？

附：样本数据x 1，x 2，…，x n 的样本方差[()()()]2222121

n s x x x x x x n

=-+-++-

L ，其中x 为样本平均

数。

例13.18某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图13-18所示，规定85分及其以上为优秀。

(1)表13-12所示的是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a ，b 的值；

(2)数；

(3)在(2)中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X ，求X 的分布列与数学期望。

解析：(1)由频率分布直方图可知，a =0.4?5?1000=200，b =0.02?5?1000=100。

(2)设抽取的40人中成绩为优秀的学生人数为x ，则350300100

401000

x ++=

，解得x =30，即其中成绩为优秀的学生人数为30名。

(3)依题意，随机变量X 的可能取值为：0，1，2。

且()210240C 30C 52P X ===，()

1110102C C 51C 13P X ===， ()220

2C 292C 52P X ===，所以X 的分布列为：

数学期望为()350125213522

E X =?+?+?=。

变式1 某班50名同学在一次百米测试中的成绩全部介于13秒和19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：

第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒； 第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒； ……

第六组，成绩大于等于18且小于19秒。

如图13-19所示是由上述分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17秒的学生占全班总人数的百分比为x ，成绩大小等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为( )。

A. 0.9，35

B. 0.9，45

C. 0.1，35

D. 0.1，45

甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图13-20所示，则( )。

A. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

B. 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数

C. 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

D. 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

题型3 线性回归方程 思路提示

首先通过对散点图观察分析是否为线性回归，若为线性回归则利用最小二乘法求出回归直线方程。 具体步骤为：

(1)求x ，y ，2

x ，x y ； (2)求1n

i i i x y =∑；

(3) 21

n

i i x =∑；

(4)代入公式，求1

2

2

1

n

i i

i n

i

i x y

nx y

b

x

nx

==-=-∑∑$；

(5)代入公式求，$a

y bx =-$，代入直线方程得$$=+y bx a $。 这里要注意的是回归直线恒过样本中心点(x ,y )。

例13.19如表13-13所示，其中提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产耗能y (吨)标准煤的几组对照数据。

表13-13

(1)请画出表示数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程$

$=+y bx a $； (3)已知该厂技改前100吨产品的生产耗能为90号标准煤，试根据(2)求得的回归方程，预测生产100吨甲产品耗能比技改前降低多少吨标准煤？

(参考数值：3?2.5+4?3+5?4+6?4.5=66.5)。

解析：(1)由题设所给数据，可得散点图(如图13-21所示)上的点基本在一条直线附近，数据正相关，存在回归方程。

(2)由表13-14所示可知，()()

()1

2

1

3.5=

=0.75

n

i

i

i n

i

i x x y

y b x

x ==--=-∑∑$，$a

y bx =-$=0.35，即x ，y 的回归方程为$=0.7+0.35y x 。

(3)由产耗能为90-(0.7?100+0.35)=19.5(吨)标准煤。

评注：(1)两个变量是否具有相关关系，主要依据散点图加以判断，看变量对应的点是否分布在一条

直线附近，若是，则具有相关关系；否则不具有相关关系；(2)用公式计数为，$a

，b $的值时，要先算b $的

值，然后才能算$a

。 变式1 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如表13-15所示。

根据表13-15可得回归方程=+y bx a 中的b 为9.4，据此模型预报首先费用为6万元时销售额为( )。

A. 63.6万元

B. 65.5万元

C. 67.7万元

D. 72.0万元

变式2 调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收

入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并出调查数据得到y 对x 的回归直线方程：$

y =0.254x _0.321。由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_______万元。

变式3 设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据

(x i ,y i )(i =1,2,…,n)，用最小二乘法建立的回归方程为$

y =0.85x -85.71，则下列结论中不正确的是 A. y 与x 具有正的线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心(x ,y )

C. 若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg

D. 若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58.79kg

题型4 独立性检验 思路提示

独立性检验是判断两个分类变量是否存在相关关系的案例分析方法，它与概率中事件的独立性不同，具体步骤为：

(1)列出2?2列联表；

(2)求()()()()()

22

n ad bc K a b c d a c b d -=++++；

(3)最后根据临界值作出判断。

例13.20为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样调查了500位老人，结果如表13-16所示。

(1)(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者帮助与性别相关？

(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。

解析：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老

年人的比例估计值为7014

=

500100

。 (2)列出2?2列联表(如表13-17所示)。 表13-17

()2

50040270301609.96720030070430

K ?-?=≈???。

由于9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者帮助与性别有关。

(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出，该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查中，先确定该地区老年人中男、女的比例，

再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好。

变式1 为比较注射A ，B 两种药物产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔作试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A ，另一组注射药物B 。表13-18和表13-19所示的分别

是注射药物A 和药物B 后皮肤疱疹面积的频率分布(疱疹面积单位：mm 2

)。

表13-18

疱疹 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80]

频数

30

40

20

10

表13-19

疱疹面积 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80] [80,85) 频数

10

25

20

30

15

(1)完成图13-22和图13-23所示的分别注射药物A ，B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；

（2）完成表13-20所示的2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 的疱疹面积有差异.

疱疹面积小于70mm 2

疱疹面积不小于70mm 2

合计 注射药物A a = b = 注射药物B c =

d =

合计

附：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++.

2()0.1000.0500.0250.0100.001

2.706

3.811 5.021 6.63510.828

P K k k

≥

变式2 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图： 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”

（1）根据已知条件完成下面的22?列联表，并据此资料

你是否认 非体育迷 体育迷 合计 男 女 10 55 合计

（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷“人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望()E X 和方差()D X

0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01

频率/组距 0 60 65 70 75 80 85 疱疹面积 图 13-22 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01

频率/组距

0 60 65 70 75 80 85 疱疹面积 图 13-23

附：

()2

11221221

2

1+2+

+1+2

-

=

n n n n n

n n n n

χ，

()

2

P k

χ≥0.05 0.01

k 3.841 6.635

有效训练

1．变量X与Y的卡方统计量K2的值，下列说法正确的是（）

A．K2越大，“X与Y有关系”可信度越小 B．K2越小，“X与Y有关系”可信度越小

C．K2越接近0，“X与Y无关”程度越小 D．K2越大，“X与Y无关”程度越大

2．甲乙两名同学在5次体育测试中的成绩如图13-25所示，则有（）

A．x x

<

甲乙，乙比甲稳定B．x x

>

甲乙，甲比乙稳定

C．x x

>

甲乙，乙比甲稳定D．x x

<

甲乙，甲比乙稳定

87278

6828

2915

13-25

十位

甲乙

数字

个位数字个位数字

图

3．为了了解某地区高三学生的身体状况，抽查了该地区100名17.5～18岁的男生体重（千克），得到频率分布直方图（如图13-26所示）.由图知这100名学生在[56.5,64.5)的学生人数为（）

A．20 B．30 C．40 D．50

4．设两个变x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵截距是a，那么必有（）

A．b与r符号相同B．a与r符号相同C．b与r符号相反D．a与r符号相反

5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到台表13-23所示的2×2列联表.

表13-23

由22

()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -

=++++算得：22

110(40302020)7.860506050

K ??-?=

≈???. 附表13-24：

参照表13-24,得到正确的结论是（ ）

A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

6．设1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y g

g g 是娈量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图13-27所示），以下结论中正确的是（ ）

A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率

B ．x 和y 的相关系数在0到1之间

C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同

D ．直线l 通过点(,)x y

7．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生.

8．某学校食堂随机调查了一些学生是否因距离远近而选择食堂就餐的情况，经计算得到K 2

=4.932.所以判定距离远近与选择食堂有关系，那么这种判断出错的可能性为 . 附表13-25:

9．某数学老师身高176c m ，他爷爷，父亲，儿子的身高分别是173c m ，170c m 和182c m ，因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高是 C m ．

10．已知样本X ：

则：（1）x=；（2）2()

s x= .

11．为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00～22：00时间段的休闲方式与性别关系，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表（如表13-26所示）.

（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；

（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在20：00～22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”？

参考公式：

2

2

()

()()()()

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

，其中n=a+b+c+d.

参考数据（如表13-27）

12．某种产品的广告费支出现x与销售额y（单位：万元）之间有如表13-28所示的对应数据：

（1）画出散点图；

（2）求回归直线方程；

（3）若实际销售额不低于82.5万元，则广告费支出最少是多少万元？