椭圆的标准方程及性质
椭圆的标准方程
一、高考考点分析与讲解： 1．椭圆定义：
平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ） 的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间 的距离叫做椭圆的焦距．
说明：当与两个定点21,F F 的距离之和等于||21F F 的点的轨迹是线 段12F F ；与两个定点21,F F 的距离之和小于||21F F 的点的轨迹不存在． 2．根据定义推导椭圆标准方程：
取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴
设),(y x P 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ）.
则)0,(),0,(21c F c F -，又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>)（常数） {}a PF PF P P 221=+=∴ 2
21)(y c x PF ++=
又，
a y
c x y
c x 2)()(2
2
2
2
=+-+
++∴
，
化简，得 )()(2
2
2
2
2
2
2
2
c a a y a x c a -=+-， 由定义c a 22>,02
2
>-∴c a 令222b c a =-∴代入，得 222222b a y a x b =+， 两边同除22b a 得
12
222=+
b
y
a x
此即为椭圆的标准方程
它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -其中
2
22
b c a
+=
注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程
如果椭圆的焦点在y 轴上（选取方式不同，调换y x ,轴）焦点则变成),0(),,0(21c F c F -,只要将
方程
12
22
2=+b
y a
x 中的y x ,调换，即可得
12
22
2=+
b
x
a y
，也是椭圆的标准方程
说明：所谓椭圆标准方程，一定指的是
焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在12
22
2=+
b
y a
x 与
12
22
2=+
b
x a
y 这两个标准方程中，都有0>>b a 的要求，如方程
),0,0(12
2
n m n m n
y
m
x
≠>>=+
就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两
种形式的标准方程，可与直线截距式
1=+
b
y a
x 类比，如
12
22
2=+
b
y
a x
中，由于b a >，所以在x 轴
上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上(即看2
2
,y x 分母的大小)．
3
注：①是0a b >>；
②是222a b c =+（要区别与习惯思维下的勾股定理222c a b =+）； ③是定方程“型”与曲线“形”．
例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： 两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； 解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为
122
2
2
=+b
y
a x
)0(>>b a 9
454
,58
2,1022
2
2
2
2=-=-=∴==∴==c a b c a c a
所以所求椭圆标准方程为
19
252
2
=+
y
x
．
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是(4,0)-、(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10；
（2）两个焦点的坐标分别是(0,
2)-、(0,2)，并且椭圆经过点35
(,)22
-
；
（3）焦点在x 轴上，:2:1a b =
，c =
（4）焦点在y 轴上，2
2
5a b +=
，且过点(0)； （5）焦距为b ，1a b -=； （6）椭圆经过两点35
(,)22
-
，． 解析：（1）∵椭圆的焦点在x 轴上，故设椭圆的标准方程为222
2
1x y a
b
+
=（0a b >>）
， ∵210a =，4c =，∴2229b a c =-=，
所以，椭圆的标准方程为
2
2
125
9
x
y
+
=．
（2）∵椭圆焦点在y 轴上，故设椭圆的标准方程为222
2
1y x a
b
+
=（0a b >>）
， 由椭圆的定义知，
2a =
=
=
∴10a =，又∵2c =，∴2
2
2
1046b a c =-=-=， 所以，椭圆的标准方程为
2
2
110
6
y
x
+
=．
（3
）∵c =
2226a b c -==，①
又由:2:1a b =代入①得2
2
46b b -=， ∴2
2b =，∴28a =，又∵焦点在x 轴上， 所以，椭圆的标准方程为
2
2
18
2
x
y
+=． （4）设椭圆方程为222
2
1y x a
b
+=，
∴
2
2
1b
=，∴2
2b =，
又∵2
2
5a b +=，∴2
3a =， 所以，椭圆的标准方程为
2
2
132y
x
+=．
（5）∵焦距为6，∴3c =，
∴222
9a b c -==，又∵1a b -=，∴5a =，4b =，
所以，椭圆的标准方程为
2
2
125
16
x
y
+
=或
2
2
125
16
y
x
+
=．
（6）设椭圆方程为
2
2
1x
y
m
n
+
=（,0m n >）
， 由2235()()221351m n
m n
?
-?+=???+=??得6,10m n ==， 所以，椭圆方程为
2
2
110
6
y
x
+
+=．
点评：求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义，还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系．
例3 已知1F 、2F 为椭圆
()012
22
2>>=+
b a b
y a
x 的左、右焦点，过2F 做椭圆的弦AB .
（1） 求证AB F 1?的周长是常数；
（2） 若AB F 1?的周长为16，1AF 、21F F 、2AF 成等差数列，求椭圆的方程. 解：（1）AB F 1?的周长a BF BF AF AF l 42111=+++= 所以AB F 1?的周长为常数. （2） 164==a l ， 得4=a .
1AF 、21F F 、2AF 成等差数列，所以1AF +2AF =221F F ，
得 2=c ，122
=b ，所以所求椭圆方程是
112
16
2
2
=+
y
x
.
例4 已知椭圆C 经过原点，且一个焦点为()0,2F ，其长轴长为4，求椭圆C 的中心的轨迹
方程.
解：设椭圆C 的中心()y x M ,，已知焦点()0,2F ，则另一焦点
()y x F
2,22/
-.
因为原点O 在椭圆上，其长轴长为4，所以4/
=+OF OF .
()()422222
2=+-+
y x ，得中心轨迹方程为()1122
=+-y x .
（另解）2=OF ，所以 2/
=OF .设OF 的中点()0,1/
O
由三角形的中位线得 1/
=MO
,所以中心M 的轨迹是圆．
例5 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,2
2??
-
???
，求它的标准方程．
分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出,,a b c ．引导学生用其他方法来解．
解：设椭圆的标准方程为()222
2
10x y a b a
b
+
=>>，因点5
3,2
2??- ???在椭圆上，
则22
2225
91444a a b b a b ??+==?????=???
-=?
二、配套练习巩固与提高： 1．椭圆
2
2
116
25
x
y
+
=的焦点坐标为 （A ）(0, ±3) （B ）(±3, 0) （C ）(0, ±5) （D ）(±4, 0) 解：选A ． 2．在方程
2
2
110064
x
y
+=中，下列a , b , c 全部正确的一项是 （A ）a=100, b=64, c=36 （B ）a=10, b=6, c=8 （C ）a=10, b=8, c=6 （D ）a=100, c=64, b=36 解：选C ．
3．已知a =4, b =1，焦点在x 轴上的椭圆方程是 （A ）
2
214
x
y += （B ）2
2
14
y
x +
= （C ）
2
2116
x
y += （D ）2
2
116y
x +
=
解：选C ．
4．已知焦点坐标为(0, －4), (0, 4)，且a =6的椭圆方程是 （A ）
2
2
136
20
x
y
+
= （B ）
2
2
120
36
x
y
+
= （C ）
2
2
136
16
x
y
+
= （D ）
2
2
116
36
x
y
+
=
解：选B ．
5．若椭圆
2
2
1100
36
x
y
+
=上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是
（A ）4 （B ）194 （C ）94 （D ）14 解：选D ．
6．已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 解：选D ．
7．过点(3, －2)且与椭圆4x 2+9y 2
=36有相同焦点的椭圆的方程是 （A ）
2
2
115
10
x
y
+
= （B ）
2
2
15
10
x
y
+
= （C ）
2
2
110
15
x
y
+
= （D ）
2
2
125
10
x
y
+
=
解：选A ． 8．若椭圆a 2x 2－
2
2
a y =1的一个焦点是(－2, 0)，则a =
（A 4
（B ）
4
（C 4
（
D 4
解：选C ． 9．点P 为椭圆2
2
15
4
x
y
+
=上一点，以点P 以及焦点F 1, F 2为顶点的三角形的面积为1，则点P 的
坐标是 （A
）(±
2
, 1)
（B ）(
2
, ±1)
（C ）(
2
, 1) （D
）(2
, ±1)
解：选D ．
10
=10为不含根式的形式是
（A ）
2
2
125
16
x
y
+
= （B ）
2
2
125
9
x
y
+
= （C ）
2
2
116
25
x
y
+
= （D ）
2
2
19
25
x
y
+
=
解：选C ． 11．椭圆
2
2
12
5
x
y
m m +
=-+的焦点坐标是 （A ）(±7, 0) （B ）(0, ±7) （C ）(±7,0) （D ）(0, ±7) 解：选D ． 12．若方程
116252
2
=++
-m
y
m x
表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 （A ） ()25,16- （B ） ??? ??25,29
（C ） ??? ??-29,16 （D ） ??
?
??∞+,29
解：选B ． 13．过椭圆
()012
22
2>>=+
b a b
y a
x 的焦点F ，与长轴垂直的弦的长度是
（A ）
c
b
2
（B ）
c
b 2
2 （C ）
a
b
2
（D ） a
b 2
2
14．两焦点坐标分别为(0, 2), (0, －2)，且经过点(－
2
3,
2
5)的椭圆的标准方程是
解：
2
2
16
10
x
y
+
=．
15．当a +b =10, c =25时的椭圆的标准方程是
解：
2
2
136
16
x
y
+
=或
2
2
136
16
y
x
+
=．
16．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ’，则线段PP ’的中点M 的轨迹方程为 . 解：
2
2
14
x
y +=．
17．经过点M (3, －2), N (－23, 1)的椭圆的标准方程是 解：
2
2
115
5
x
y
+
=．
18．过椭圆4x 2
+2y 2
=1的一个焦点F 1的弦AB 与另一个焦点F 2围成的三角形△ABF 2的周长是
解：．
19．点P 为椭圆
2
2
1100
64
x
y
+
=上的一点，F 1和F 2是其焦点，若∠F 1PF 2=60°
，则△F 1PF 2的面积为
20．若y 2－lga ·x 2=3
1－a 表示焦点在x 轴上的椭圆，则a 的取值范围是
解：1
1
(
,)103． 21．已知A B C ?中，()0,3A ，()0,3B -，三边长AC 、AB 、BC 的长成等差数列，求顶点C 的轨迹方程．
解：
2
2
1(0)36
27
x
y
y +
=≠．
22．点P 是椭圆2
2
15
4
x
y
+
=上一点，以点P 以及焦点F 1,F 2为顶点的三角形的面积等于1，求点P
的坐标.
解：(,1)2
±
±．
23．椭圆的两焦点为F 1(－4, 0), F 2(4, 0)，点P 在椭圆上，已知△PF 1F 2的面积的最大值为12，求这椭圆的方程． 解：2
2
125
9
x
y
+
=．
26．如图，线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，|AB|=5.点M 是AB 上一点，且|AM|=2，点M 随线段AB 的运动而变化，求点M 的轨迹方程.
解：2
2
19
4
x
y
+
=．
27． 28． 29． 30．
椭圆的简单几何性质
一、高考考点分析与讲解：
1．范围：
由标准方程知，椭圆上点的坐标(,)x y 满足不等式
222
2
1,
1x y a
b
≤≤，
∴2
2
x a ≤，2
2
y b ≤，∴||x a ≤，||y b ≤， 说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里.
2．对称性：
在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称．若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称.
所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.
3．顶点：
确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标.
在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b
-，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点．同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点.
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点.
同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ?中，2||OB b =，
2||OF c =，22||B F a =，且2222222||||||O F B F O B =-，即222
c a c =-．
4．离心率：
椭圆的焦距与长轴的比c e a
=
叫椭圆的离心率.
∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆． 当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为222x y a +=． 5．椭圆的第二定义、准线：
当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=
e a
c e 时，这个点的
轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．
对于椭圆
12
22
2=+
b
y a
x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c
a
x 2
=
．根据对称性，相应于焦点
)0,(c F -'的准线方程是c
a
x 2
-
=．对于椭圆
12
22
2=+
b
x a
y 的准线方程是c
a
y 2
±
=．
可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何
意义．
由椭圆的第二定义e d
MF =∴
||可得：右焦半径公式为ex a c
a
x e ed MF -=-
==||||2
右；左
焦半径公式为ex a c
a
x e ed MF +=-
-==|)(|||2
左．
例1 求椭圆2
2
1625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出图形．
解：把已知方程化为标准方程222
2
1x y a
b
+
=，5a =，4b =，
∴3c =
=，
∴椭圆长轴和短轴长分别为210a =和28b =，离心率35
c e a ==，
焦点坐标1(3,0)F -，2(3,0)F ，顶点1(5,0)A -，2(5,0)A ，1(0,4)B -，2(0,4)B ．
1A
2A
2B
2A
O x y
2F
例2 过适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点(3,0)P -、(0,2)Q -； （2）长轴长等于20，离心率等于
3
5
．
解：（1）由题意，3a =，2b =，又∵长轴在x 轴上，
所以，椭圆的标准方程为
2
2
19
4
x
y
+
=．
（2）由已知220a =，3
5
c e a
=
=
，
∴10a =，6c =，∴2
2
2
10664b =-=， 所以，椭圆的标准方程为
2
2
1100
64
x
y
+
=或
2
2
110064
y
x
+=．
例3 如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）2F 为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面439km ，远地点B （离地面最远的点）
距地面2384km ，并且2F 、A 、B 在同一直线上，地球半径约为6371km ，求卫星运行的轨道方程（精确到1km ）．
解：如图，建立直角坐标系，使点2,,A B F 在x 轴上，2F 为椭圆右焦点（记1F 为左焦点），
设椭圆标准方程为
222
2
1x
y
a b
+
=（1a b >>）
， 则22||||||63714396810a c OA OF F A -=-==+=，
22||||||637123848755a c OB OF F B +=+==+=，
解得：7782.5a = 972.5c =
∴7722b =
=
=≈， 所以，卫星的轨道方程是
222
2
17783
7722
x
y
+
=．
例4 已知椭圆()2
2
550mx y m m +=>
的离心率为5
e =
m 的值．
解：依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：
①当焦点在x 轴上，即05m <<时，
有a b c =
==
，
∴=，得3m =；
②当焦点在y 轴上，即5m >时，
有a b c ===，
25
5
3
m =
?=
．
例5 （1）求椭圆
116
25
2
2
=+
y
x
的右焦点和右准线；左焦点和左准线．
（2）求椭圆81922=+y x 方程的准线方程．
解：（1）由题意可知右焦点)0,(c F 右准线c
a
x 2
=
；左焦点)0,(c F -和左准线c
a
x 2
-
=
（2）椭圆可化为标准方程为：
19
81
2
2
=+
x
y
，故其准线方程为4
2
272
±
=±
=c
a
y
小结：求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出．
例6 椭圆
116
25
2
2
=+
y
x
上的点M 到左准线的距离是5.2，M 到左焦点的距离为 ，
M
到右焦点的距离为 .
解：记椭圆的左右焦点分别为21,F F 到左右准线的距离分别为21,d d 由椭圆的第二定义可知：
e
d
MF =||5
3||1
1=
=
=a
c e
d MF 5.15.25
3||11=?=
=∴ed MF 5.1||1=∴MF
又由椭的第一定义可知：5.8||102||||221=∴==+MF a MF MF
另解：点M 到左准线的距离是2.5，所以点M 到右准线的距离为6
852
53
505.22
2
=
-
=
-c
a
5.86
855
3||||2
22
2=?
=
=∴=ed
MF e d MF
小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用
x y O ?
? 1F 2F A x y
O A
2B 1B F 图①
例7 点P 与定点A （2，0）的距离和它到定直线8=x 的距离的比是1：2，求点P 的轨迹． 解法一：设),(y x P 为所求轨迹上的任一点，则2
1|
8|)2(2
2=
-+-x y x 由化简得
112
16
2
2
=+
y
x
，故所
的轨迹是椭圆．
解法二：因为定点A （2，0）所以2=c ，定直线8=x 所以82
==
c
a
x 解得4=a ，
又因为2
1==a c e 故所求的轨迹方程为
112
16
2
2
=+
y
x
例8 点P 与定点A （2，0）的距离和它到定直线5=x 的距离的比是1：2，求点P 的轨迹； 解法一：设),(y x P 为所求轨迹上的任一点，则
2
1|
5|)2(2
2
=
-+-x y x 由化简得
094632
2
=-+-y x x 配方得
13
4
)1(2
2
=+
-y
x ，故所的轨迹是椭圆，其中心在（1，0）
． 解法二：因为定点A （2，0）所以2=c ，定直线8=x 所以52
==
c
a
x 解得102
=a ，故所
求的轨迹方程为
16
10
2
2
=+
y
x
．
例9 （1）求出椭圆方程13
4
2
2
=+
y
x
和
13
4
)1(2
2
=+
-y
x 的长半轴长、短半轴长、半焦距、离心率；
（2）求出椭圆方程
13
4
2
2
=+
y
x
和
13
4
)1(2
2
=+
-y
x 长轴顶点、焦点、准线方程．
解：因为把椭圆
13
4
2
2
=+
y
x
向右平移一个单位即可以得到椭圆
13
4
)1(2
2
=+
-y
x 所以问题1
中的所有问题均不变，均为2
1,1,3,3====
=a
c e c b a ．
13
4
2
2
=+
y
x
长轴顶点、焦点、准线方程分别为：)0,2(±，)0,1(±4±=x ．
13
4
)1(2
2
=+
-y
x 长轴顶点、焦点、准线方程分别为：)0,12(+±，)0,11(+±14+±=x ．
例10 椭圆
13
4
2
2
=+
y
x
上位于y 轴左侧的部分是否存在一点P ，使点P 到左准线的距离是
点P 到两焦点1F 、2F 的距离的比例中项. 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.
解：假设存在，设点()00,y x P ，左准线l ：4-=x ， 所以点P 到左准线的距离40+=x d ，又212
PF PF d
=，
01212x PF +
=、022
12x PF -
=，得()2
02
04
144x x -
=+
得 45
12
00-=-
=x x 或，与20-≥x 矛盾，所以点P 不存在.
二、配套练习巩固与提高： 1．椭圆19
25
2
2
=+
y
x
上一点P 到左焦点的距离为8，那么点P 到右准线的距离是
（A ）
2
5 （B ） 4
5 （C ） 3
5 （D ） 4
25
解：选A ．
2．椭圆
()012
22
2>>=+
b a b
y a
x 上任意一点()00,y x P 到左焦点1F 、右焦点2F 的距离分别为1r 、2r ，
椭圆的离心率为e ，则1r 、2r 分别等于
（A ） a ex +0、a ex -0 （B ） a ex -0、a ex +0 （C ） 0ex a +、0ex a - （D ） 0ex a -、0ex a + 解：选C ． 3．椭圆
()012
22
2>>=+
b a b
y a
x 的两个焦点 1F 、2F ，若椭圆上存在点P ，使得0
2190=∠PF F ，
则椭圆的离心率的取值范围是
（A ） ???
??22,0 （B ） ???????1,22 （C ） ???
??23,0 （D ） ???
????1,23 解：选B ．
4．设AB 是过椭圆右焦点的弦，那么以AB 为直径的圆必与椭圆的右准线 （A ）相切 （B ）相离 （C ）相交 （D ）相交或相切
解：选B ．设AB 的中点为M ，则M 即为圆心，直径是|AB|；记椭圆的右焦点为F ，右准线为l ； 过点A 、B 、M 分别作出准线l 的垂线，分别记为d d d ,,21由梯形的中位线可知2
2
1d d d +=
又由椭圆的第二定义可知e
d AF =1
||e d BF =2
||即)(||||21d d e BF AF +=+
又2
2
|
|||2
||2
1d d e BF AF AB +?
=+=
且10< ||AB d > ∴故直线与圆相离． 5．方程Ax 2 +By 2 =C 表示椭圆的条件是 （A ）A , B 同号且A ≠B （B ）A , B 同号且C 与异号 （C ）A , B , C 同号且A ≠B （D ）不可能表示椭圆 解：选C ． 6．已知椭圆方程为 2 2 149 9 x y + =中，F 1, F 2分别为它的两个焦点，则下列说法正确的有 ①焦点在x 轴上，其坐标为(±7, 0)；② 若椭圆上有一点P 到F 1的距离为10，则P 到F 2的距离为4；③焦点在y 轴上，其坐标为(0, ±210)；④ a =49, b =9, c =40， （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 解：选B ． 7．如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为 （A ） 5 3 （B ） 3 12 （C ） 4 3 （D ）910 解：选A ． 8．若点P 到两定点F 1(－2, 0), F 2(2, 0)的距离之和为4，则点P 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）线段 （D ）两点 解：选C ． 9．设椭圆的标准方程为 2 2 13 5x y k k + =--，若其焦点在x 轴上，则k 的取值范围是 （A ）k >3 （B ）3 解：选C ． 10．若AB 为过椭圆 12 22 2=+ b y a x 中心的弦，F (c , 0)为椭圆的右焦点，则△AFB 面积的最大值是 （A ）b 2 （B ）bc （C ）ab （D ）ac 解：选B ． 11．已知椭圆 116 2 2 =+ m y x ，直线x y 2 2= ，如果直线与椭圆的交点在x 轴上的射影恰为椭圆的 焦点，则m 的值是（ ） （A ） 2 （B ） 22 （C ） 8 （D ） 32 解：选C ． 12．直线l 经过点()2,0M 与椭圆2222=+y x 有两个不同的公共点，那么直线l 的倾斜角的范围是 （A ） ??? ? ? ?-26arctan ,2 6arctan π （B ） ??? ? ? ? -???? ??ππ,2 6 a r c t a n 26a r c t a n ,0 （C ） ???? ?? 26arctan ,0 （D ） ???? ?? -ππ,26 arctan 解：选A. 13．以椭圆的右焦点2F 为圆心做圆使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于点M ，若直线1MF （1F 为椭圆的左焦点）是圆2F 的切线，则椭圆的离心率是 （A ） 2 2 （B ） 2 3 （C ） 13- （D ） 32- 解：选C ． 14．一条直线l ：022=+-y x 过椭圆 12 22 2=+ b y a x 的左焦点1F 和一个顶点B ，该椭圆的离心率 为 （A ） 5 1 （B ） 5 2 （C ） 5 5 （D ） 5 52 解：选D ． 15．已知椭圆 13 4 2 2 =+ y x 内一点()1,1-P ，2F 为椭圆的右焦点，M 为椭圆上的一个动点，则 2MF MP +的最大值为 （A ） 54- （B ） 54+ （C ） 53- （D ） 53+ 解：选B ． 16．椭圆 14 9 2 2 =+ y x 的两个焦点 1F 、2F ，点P 是椭圆上的动点，当21PF F ∠为钝角时，则点P 的横坐标的范围是 解：填??? ? ? ?- 553, 5 53． 17．椭圆的两个焦点为()0,41-F 、 ()0,42F ，椭圆上一点P ，若21F PF ?的最大面积是12，则椭圆的方程是 解： 19 25 2 2 =+ y x ． 18．已知椭圆82 2 =+y mx 与椭圆1002592 2 =+y x 的焦距相等，则m 的值等于 解： 17 9． 19．椭圆8192 2 =+y x 的长轴长为 ，短轴长为 ，半焦距为 ，离心率为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，准线方程为 解：18，6，26， 3 22，)26,0(±，)9,0(±)0,3(±，4 2 27± =y ． 20．短轴长为8，离心率为 5 3的椭圆两焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点， 则2ABF ?的周长为 解：20． 21．椭圆 12 22 2=+ b y a x (a >b >0)的半焦距为c ，若直线y =2x 与椭圆的一个交点的横坐标为c ，则椭圆 的离心率为 1-． 22．把椭圆的长轴AB 分成8等分，过每个等分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于721,P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则||||||721F P F P F P +++ = 解法一：5 3= =a c e ，设i P 的横坐标为i x ，则i x i 4 55+-=不妨设其焦点为左焦点 由5 3||= = =a c e d F P i 得i i ex a c a x e F P i i i 4 32)4 55(5 35)(||2 + =+ -?+ =+=+ = 35)721(4 372||||||721=++++ ?=+++ F P F P F P ． 解法二：由题意可知1P 和7P 关于y 轴对称，又由椭圆的对称性及其第一定义可知 a F P F P 2||||71=+，同理可知a F P F P 2||||62=+，a F P F P 2||||53=+，a F P =||4 故357||||||721==+++a F P F P F P ． 23．直线062=+-y x 过椭圆125 2 2 =+ m y x 的左焦点，则椭圆的右准线方程 是 . 解：填3 25= x ． 24．过椭圆 19 25 2 2 =+ y x 的右焦点F ，做倾斜角为 4 π 的直线，交椭圆于A 、 B 两点，则弦AB 的长是 . 解：填 17 90． 25．已知椭圆 19 36 2 2 =+ y x ，过点()2,4P 做直线交椭圆于A 、B 两点，若P 为 线段AB 的中点，则直线AB 的方程是 . 填：082=-+y x ． 26．若方程x 2cosα－y 2sinα+2=0表示一个椭圆，则圆(x +cosα)2+(y +sinα)2=1的圆心在第 象限． 解：四． 27．椭圆 2 2 112 3 x y + =的两个焦点为F 1，F 2, 点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 1|是|PF 2|的 倍． 解：7． 28．线段|AB |=4，|PA |+|PB |=6, M 是AB 的中点，当点P 在同一平面内运动时，PM 长度的最大值、最小值分别为 解：3 ， 29．方程|2|) 1()1(22 2 ++=-+-y x y x 表示什么曲线？ 解：2 22 | 2|)1()1(22 = ++-+-y x y x 12 2< ；即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比常数（且 该常数小于1）．所以，方程表示椭圆． 30．求过点P (3, 0)且与圆x 2+6x +y 2 －91=0相内切的动圆圆心的轨迹方程． 解： 2 2 125 16x y + =． 31．椭圆 ()012 22 2>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，短轴的下端点A 长轴的右端点B ， 点M 在椭圆上，且x MF ⊥2轴，原点为O ，若AB OM // （1） 求椭圆的离心率； （2） 若点N 为椭圆上不同于长轴端点的任意一点，求21NF F ∠的范围； （3） 过2F 与OM 垂直的弦CD ，若CD F 1?的面积为320，求椭圆方程. 解：（1）??? ? ??a b c M 2,，a b k ac b k AB OM ===2 ，得22 =?=e c b ； （2）因为2 21π = ∠AF F ，所以21NF F ∠的范围是?? ? ? ? 2, 0π； （3）22c b =，222c a =，则椭圆22222c y x =+…①、直线CD ：()c x y --=2…②，②代 入① 得 022252 2 =--c cy y 得 c y y 5 3421= -，3205 3422 12 121211=? ?= -= ?c c y y F F S CD F ， 得 2522==b c 、502 =a ，所求椭圆方程是 125 50 2 2 =+ y x ． 32．已知点M 为椭圆 116 25 2 2 =+ y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求 ||3 5||1MF MA + 的最小值． 分析：应如何把 ||3 51MF 表示出来 解：左准线1l ：3 252 - =- =c a x ，作1l MD ⊥于点D ，记||MD d = 由第二定义可知： 5 3||1= ==a c e d MF ? d MF 5 3||1= ? ||3 51MF d = 故有||||||||3 5||1MD MA d MA MF MA +=+=+ 所以有当A 、M 、D 三点共线时，|MA|+|MD|有最小值：3 251+ 即||3 5||1MF MA + 的最小值是 3 28 变式1：||5||31MF MA +的最小值； 解：283 283)||3 5||(3||5||311=? =+=+MF MA MF MA 变式2：||||5 31MF MA +的最小值； 解：5 2832853|)|3 5|(|5 3||||5 311=?= + = +MF MA MF MA 33．已知 ,A B 为椭圆 22 2 2519 x y a +=上的两点，2F 是椭圆的右焦点． 若228||||,5 a A F B F A B +=的 中点到椭圆左准线的距离是32 ，试确定椭圆的方程． 解：由椭圆方程可知 、两准线间距离为 ．设 ， 到右准线距离分别为 ， ， 由椭圆定义有 ，所以 ，则 ， 中点 到右准线距离为 ，于是 到左准线距离为 ， ，所求椭圆方程 为 ． 34．已知椭圆的中心在原点，长轴在x 轴上，，直线1=+y x 被椭圆截得的弦AB 的长为22，且 弦AB 的中点M 与椭圆的中心O 的连线的斜率为 2 2，求这个椭圆的方程. 解：设椭圆方程)0(222222>>=+b a b a y a x b ，()11,y x A 、()22,y x B ， 弦AB 的中点()00,y x M ，则222 122 12b a y a x b =+，222 222 22b a y a x b =+， 得 ()()()()021********=-++-+y y y y a x x x x b . ()2121x x y y --=-、0212x x x =+、0212y y y =+、 2 20 0=x y ，得2 2 2b a = . ( ) ( )0122212. 1, 2 2 222222=-+ -+??? ?+-==+b x x x y b a y a x b ，由弦长公式 得 2 32 = b ，则32 =a ，所以椭圆方程为 13 23 2 2 =+y x ． 35．椭圆)0(222222>>=+b a b a y a x b 的离心率3 2= e ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，A 、 B 是椭圆上不同的两个点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点()0,1Q . （1） 求线段AB 的中点()00,y x M 的横坐标0x ； （2） 若322=+BF AF ，且椭圆上一点P 满足0 2160=∠PF F ，求椭圆的方程及21PF F ?的面 积 解：（1）设()11,y x A 、()22,y x B 弦AB 的中点()00,y x M ，则2 22 122 12b a y a x b =+， 2 22 2 2222b a y a x b =+， 得 ()()()()021212 21212 =-++-+y y y y a x x x x b . 0212x x x =+、0212y y y =+、 11 002 121-=-? --x y x x y y ，得2 2 5 9b a = ， 得 4 90= x . （2）123 2x a AF - =、223 2x a BF - =、2 92021= =+x x x ， 322=+BF AF ，得 53= ?=b a ，所以椭圆方程是 15 92 2 =+y x . 设 11r PF =、22 r PF =，则()???==-+=+16 260cos 2, 620 21222 121c r r r r r r . 得 3 2021= r r ，所以 3 3560 sin 2 10 212 1 = = ?r r S F PF ． 36．过椭圆()012 22 2>>=+ b a b y a x 的一个焦点F 做弦AB ，若1d AF =、2d BF =，求证： 2 1 11d d + = 2 2b a ． 解：证明：设F 为右焦点，直线AB 的倾斜角θ为锐角，点A 在x 轴的上方A 、B 到右准线的距 离分别为1m 、2m ，F 到右准线的距离为p ，离心率为e ，则 θθc o s c o s 2211d m p d m -==+ ①. 又 e d m 11= 、e d m 22=代入①得 2 111d d + = ep 2. 又 a c e =、c b p 2 = 所以 2 1 11d d + =2 2b a . 37．已知椭圆C 的两个焦点()0,221-F 、() 0,222F ， （1） 当直线l 过1F 与椭圆交于M 、N 两点，且MN F 2?的周长为12时， 求椭圆C 的方程； （2）是否存在直线m 过点()2,0P 与椭圆C 交于A 、B 两点，且以A B 为直径的圆过原点，若存 在求直线m 的方程；若不存在，说明理由. 解：解：（1） 19 2 2 =+y x （过程略） （2） 设直线m ：()存在且k k kx y ,02≠+=代人椭圆方程得 ()027369122=+++kx x k ，0>?得 3 33 3>- 以A B 为直径的圆过原点，则 OB OA ⊥，设()11,y x A 、()22,y x B 得()()()()04212201121221212121=++++?+++?=+x x k x x k kx kx x x y y x x 由韦达定理得 ( )049172911272 22 2 =++- ++k k k k ，解得 3 31± =k 使得 0>? 所以满足条件的直线m 的方程是06331=+-y x 或06331=-+y x ． 椭圆中焦点三角形的性质及应用 定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形． 性质一：已知椭圆方程为 ),0(12 22 2>>=+ b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中 ,21θ=∠PF F 则2 tan 2 21θ b S PF F =?． θ cos 2)2(212 22 1 2 2 12 PF PF PF PF F F c -+== )cos 1(2)(212 21θ+-+=PF PF PF PF θ θθcos 12) cos 1(244) cos 1(24)(2 2 22 2 2121+= +-= +-+= ∴b c a c PF PF PF PF 122 2 121sin sin tan 2 1cos 2 F PF b S PF PF b θθθθ?∴= = =+ 性质二：已知椭圆方程为 ),0(12 22 2>>=+ b a b y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ， 若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点． 证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：o ex a PF +=1，o ex a PF -=1 在21PF F ?中，2 12 2 12 1 2 1 2cos PF PF F F PF PF -+= θ212 21221242)(PF PF c PF PF PF PF --+= 1))((2412442 2 12 2 --+= --= o o ex a ex a b PF PF c a = 122 2 2 2--o x e a b a x a ≤≤-0 2 2 a x o ≤∴ 性质三：已知椭圆方程为 ),0(12 22 2>>=+ b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中 ,21θ=∠PF F 则.21cos 2 e -≥θ 证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ?中，由余弦定理得： 1222242)(2c o s 2 12 2 2 12 21221212 2 12221--= --+= -+= r r c a r r c r r r r r r F F r r θ .2112221) 2 (2222 22 2 2 2 12 2 e a c a r r c a -=--= -+-≥ 命题得证． 练习：（2000年高考题）已知椭圆 )0(12 22 2>>=+ b a b y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一 点,P 使得,1200 21=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围． 简解：由椭圆焦点三角形性质可知.21120 cos 2 e -≥即2 212 1e -≥- , 于是得到e 的取值范围是.1,23? ?? ? ??? 性质四：已知椭圆方程为 ),0(12 22 2>>=+ b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ， ,,1221βα=∠=∠F PF F PF 则椭圆的离心率β αβαsin sin )sin(++= e ． ,,1221βα=∠=∠F PF F PF 由正弦定理得： β α βαsin sin ) 180 sin(1 22 1PF PF F F o = = -- 由等比定理得： βαβαsin sin ) sin(2 1 21++= +PF PF F F 而 ) sin(2) sin(21βαβα+=+c F F ， β αβ αsin sin 2sin sin 2 1 += ++a PF PF ∴β αβαsin sin )sin(++= = a c e ． 练习：已知椭圆的焦点是F 1(－1，0)、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且｜F 1F 2｜是｜PF 1｜和｜PF 2｜的等差中项． (1)求椭圆的方程； (2)若点P 在第三象限，且∠PF 1F 2＝120°，求tan F 1PF 2． 解：(1)由题设2｜F 1F 2｜＝｜PF 1｜＋｜PF 2｜ ∴2a ＝４，又2c ＝2，∴b ＝3 ∴椭圆的方程为3 4 2 2 y x + ＝1． (2)设∠F 1PF 2＝θ，则∠PF 2F 1＝60°－θ 椭圆的离心率2 1= e 则 ) 60 sin(2 3sin ) 60sin(120 sin ) 180sin(2 1θθθθ-+= -+-= o o o o ， 整理得：5sin θ＝3(1＋cos θ) ∴ 5 3cos 1sin = +θ θ故5 32 tan = θ ，tan F 1PF 2＝tan θ＝ 113525 3153 2= - ? ． 椭圆的标准方程与性质 教学目标： １了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用; 2 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 高考相关点: 在高考中所占分数:13分 考查出题方式:解答题的形式，而且考查方式很固定，涉及到的知识点有:求曲线方程,弦长,面积，对称关系，范围问题,存在性问题。 涉及到的基础知识 1．引入椭圆的定义 在平面内与两定点Ｆ１，Ｆ２的距离的和等于常数(大于|F1F２|=2c）的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P={M||MF1｜＋|ＭF2|＝2a｝，｜F1F2|＝２c,其中a＞0,c>０,且a,c为常数： 有以下３种情况 (１）若a＞c,则集合P为椭圆； (2）若a＝c，则集合P为线段； (3)若a 标准方程x2 ａ2 +＼ｆ（y２,ｂ2）＝1 （a>ｂ>0) ＼f(y2，a2）＋错误!=1 (a>ｂ>０) 图形 性质范围 －a≤x≤a -b≤y≤b -b≤ｘ≤b -a≤ｙ≤a 对称性对称轴:坐标轴;对称中心：原点 顶点 A1(-a,0),A２(a,０） Ｂ1(０,-b）,B2(0,b) A１(0，－a),A２(0，a) B1(－ｂ,0),B2(b,0）轴长轴A1A2的长为2ａ;短轴B1B2的长为2b 焦距｜F１Ｆ２|=2c 离心率ｅ=错误!∈(０，1） ａ，b，c的关系c2=a2-b2题型总结 类型一椭圆的定义及其应用 例1：如图所示，一圆形纸片的圆心为Ｏ，F是圆内一定点,M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与Ｆ重合,然后抹平纸片,折痕为ＣD，设CＤ与OM交于点P,则点P的轨迹是( ) A.椭圆? B.双曲线 C.抛物线 D.圆 【解析】根据CD是线段MF的垂直平分线.可推断出,进而可以知道 结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹【答案】根据题意知，CD是线段MF的垂直平分线．,(定值）,又显然，根 据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以Ｆ、O两点为焦点的椭圆.所以A选项是正确的 练习1：已知Ｆ1,F２是椭圆C： 22 22 1 x y a b +=(a>b＞0)的两个焦点，P为椭圆C 上的一点,且 错误! 1⊥2 PF，若△PF1F２的面积为9,则ｂ＝____＿_＿_． 【解析】由题意的面积∴故答案为: 【答案】３ 练习2：已知F1，Ｆ２是椭圆错误!+错误!=１的两焦点，过点F２的直线交椭圆于A，B两点,在△AF1Ｂ中,若有两边之和是10，则第三边的长度为() A．6?B.5 Ｃ．4 D．3 第12讲 解析几何初步（1） 模块一、椭圆的定义及标准方程 考点1椭圆的定义 1.平面内到两个定点的距离的和等于常数2a （大于12F F ）的点的轨迹叫椭圆．定点1F ，2F 叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距（2c ）. 2.已知B ，C 是两个定点，6BC =，且ABC ?的周长等于16，则顶点A 在 上运动. A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆 3.设M 是圆2F ：22(1)16x y -+=上的任意一点，点1F (1,0)-是一定点，作1MF 的垂直平分线，交2MF 于P ，则点P 的轨迹为 . 4.设圆22(1)16x y -+=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B -且与x 轴不重合，交圆A 于C 、D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于M ，则点M 的轨迹为 . 考点2椭圆的标准方程 考法1焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：122 22=+b y a x （0a b >>），（222c a b =-）. 1.椭圆C ：164 1002 2=+y x 的焦点在 轴上，焦点坐标为 ， ，焦距为 . 2.已知4a =，3b =，焦点在x 轴上，则椭圆的标准方程为 . 3.已知4a =，3c =，焦点在x 轴上，则椭圆的标准方程为 . 4.（2015·广东卷·文科）已知椭圆22 2125x y m +=（0m >）的左焦点为1(4,0)F -， 则m = A ．9 B ．4 C ．3 D ．2 5.（2015·广东卷·文科）已知椭圆22 2125x y m +=（0m >）的左焦点为1(4,0)F -， 则m = A ．9 B ．4 C ．3 D ．2 6.（2020·北京卷）已知椭圆C ：22 221x y a b +=过点(2,1)A --，且2a b =．则椭圆 C 的方程为 . 考法2焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：方程为22 221y x a b +=（0a b >>）. 1.椭圆C ：125 92 2=+y x 的焦点在 轴上，焦点坐标为 ， ，焦距为 . 2.（2002·全国卷）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k . 3.如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 A.(0,)+∞ B.(0,2) C.(1,)+∞ D.(0,1) 4.（2009·陕西卷·文理科）“0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点3 椭圆定义的应用 1.椭圆C ： 136 1002 2=+y x 上一点P 到焦点1F 的距离等于6，则点P 到另一焦点2F 的距离是 ． 2.已知椭圆C ：22 16410 x y + =的焦点为1F 、2F ，直线l 过椭圆的焦点1F ，且与椭圆交于A B 、两点，则2ABF ?的周长为 . 3.已知椭圆C ：22 192 x y + =的焦点分别为1F 、2F ，点M 在椭圆上，若14MF =,则2MF = ，21F MF ∠= . 6.（2009·上海卷）已知椭圆C ：22 221x y a b +=（0a b >>）的焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上的一点，且120PF PF ?=，若三角形12PF F ?的面积为9，则b = A.3 B.6 C.9 D.12 模块二、椭圆的简单性质 椭圆的标准方程及其几何性质 1. 椭圆定义： （1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在; 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10< 椭圆的标准方程及其几何性质 欧阳光明（2021.03.07） 1. 椭圆定义： （1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数 |)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的 焦点. 当21212F F a PF PF >=+时,P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时,P 的轨迹不存在; 当2 12 12F F a PF PF ==+时,P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10< 当12222 >+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当1 2 2 22=+b y a x 时,点P 在椭圆上; 4.直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆相交0>??;直线与椭圆相切0=??;直线与椭圆相离 0 【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大全 (一)椭圆的定义及椭圆的标准方程： ●椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数 )2(2121F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦 点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：①若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形 (二)椭圆的简单几何性： 标准方程 图形 性质 焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦距 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴长 长轴长12A A ,12A A =a 2，短轴长12B B ,12B B =b 2 离心率 ①(01)c e e a = << ，②21()b e a =-③2 22b a c -= （离心率越大，椭圆越扁） 1.方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中 a 最大且a 2= b 2+ c 2. 2. 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是：ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B 。A ＞B 时，焦点在y 轴上，A ＜B 时，焦点在x 轴上。 (三)焦点三角形的面积公式：122tan 2 PF F S b θ ?=如图： ●椭圆标准方程为:122 22=+b y a x )0(>>b a ，椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任意一点， 12,F F 为焦点且∠12F PF θ=，则△12F PF 为焦点三角形，其面积为122tan 2 PF F S b θ ?=。 (四)通径 ：如图：通径长 2 2b MN a = ●椭圆标准方程:122 22=+b y a x )0(>>b a ， (五)点与椭圆的位置关系： （1）点00(,)P x y 在椭圆外?22 00 221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上?220220b y a x +＝1； （3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< (六)直线与椭圆的位置关系： ●设直线l 的方程为：Ax+By+C=0，椭圆122 22=+b y a x （a ﹥b ﹥0），联立组成方程 组，消去y(或x)利用判别式△的符号来确定： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交；（2）相切：0?=?直线与椭圆相切； （3）相离：0?>b a 相交于两点 11(,)A x y 、22(,)B x y ， 把AB 所在直线方程y=kx+b ，代入椭圆方程122 22=+b y a x 整理得：Ax 2+Bx+C=0。 ●弦长公式： ① 212212 212 4)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ? +=2 1（含M N F x y 椭圆及其标准方程 一、教学目标 (一)知识目标 1、使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及推导； 2、掌握焦点、焦点位置与方程关系、焦距； (二)能力目标 通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力； (三)学科渗透目标 通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力 二、教材分析 1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程． (解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较．) 2．难点：椭圆的标准方程的推导． (解决办法：推导分4步完成，每步讲解，关键步骤加以补充说明．) 3．疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因． (解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．) 三、教学过程 （一）创设情境，引入概念 1、动画演示，描绘出椭圆轨迹图形。 2、实验演示。 思考：椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？ （二）实验探究，形成概念 1、动手实验：学生分组动手画出椭圆。 实验探究： 保持绳长不变，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有什么变化？ 思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？ 2、概括椭圆定义 引导学生概括椭圆定义 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 距离的和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆。 教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。 思考：焦点为21,F F 的椭圆上任一点M ，有什么性质？ 令椭圆上任一点M ，则有)22(22121F F c a a MF MF =>=+ （三）研讨探究，推导方程 1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？ M 2 F 1F 《椭圆及其标准方程》（第一课时）教学设计 一、教学内容分析 教材选自人教A版《普通高中课程标准实验教科书》数学选修2-1.《椭圆及其标准方程》是继学习圆以后运用“曲线与方程”思想解决二次曲线问题的又一实例。椭圆的标准方程是圆锥曲线方程研究的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用。一方面，它是对前面所学的运用“代数方法研究几何问题”的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质和双曲线、抛物线的基础；另一方面，教科书以椭圆作为学习圆锥曲线的开始和重点，并依此来介绍求圆锥曲线方程和利用方程讨论几何性质的一般方法，为我们后面研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和方法。因此本节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容。 椭圆是通过描述椭圆形成过程进行定义的，作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方 程建立的基石，这是本节课的一个教学重点；而坐标法是解析几何中的重要数学方法，椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例，让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程，并通过探究得到椭圆的标准方程，有利于培养学生观察分析、抽象概括的能力。 学生对“曲线与方程”的内在联系仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识，并未真正有所感受。通过本节学习，学生一方面认识到椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法，学习双曲线、抛物线奠定了基础。 根据以上分析，确定本课时的教学难点和教学重点分别是： 教学重点：掌握椭圆的定义及标准方程，体会坐标法的应用。 教学难点：椭圆概念的深入理解及选择不同的坐标系推导椭圆的标准方程。 二、学生学情分析 在学习本节课前，学生已经学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的思想方法有了一些了解和运用的经验，对坐标法研究几何问题也有了初步的认识。因此，学生已经具备探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力。而本节课要求学生通过自己动手亲自作出椭圆并且还要 椭圆的定义、标准方程及性质(一) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1、椭圆的焦距（） A．2 B． C． D． 2、是定点，，动点M满足，则点M的轨迹是（） A．椭圆 B．圆 C．线段 D．直线 3、若椭圆的两个焦点分别为，且椭圆过点则椭圆的方程为（）A． B． C． D． 4、方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（） A． B． C． D．（0,1） 5、过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一焦点构成的周长是（） A． B．2 C． D．1 6、已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（） A．或 B． C．或 D． 7、已知，则曲线有（） A．相同的短轴 B．相同的焦点 C．相同的离心率 D．相同的长轴 8、椭圆的焦点，P为椭圆上的一点，已知，则的面积为（） A．9 B．12 C．10 D．8 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．) 9、椭圆的离心率为，则= . 10、设是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则*的最大值为 . 11、椭圆的焦点分别是，点在椭圆上.如果线段的中点在轴上，那么是倍. 12、已知圆及点，为圆上一点，的垂直平分线交于于，则点的轨迹方程为 . 三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 13、如果点在运动的过程中，总满足关系式，点的轨迹是什么曲线?写出它的方程. 14、点到定点的距离和它到定直线的距离的比是，求点的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形. 15、已知点是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1，求点的坐标. 椭圆的定义及其标准方程 教学课题椭圆及其标准方程 所属学科数学课时安排1课时年级高二 所选教材 《普通高中课程标准实验教科书数学》人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心编著选修2-1第二章第二节《椭圆及其标准方程》 教学目标 1.知识与技能 理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义及其标准方程，能够准确的推导出椭圆的标准方程。 2.过程与方法 通过椭圆标准方程的推导，能运用坐标法解决简单的几何问题；通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想。 3.情感态度和价值观 感受数学在其他领域的广泛运用，培养对数学的热爱。 教学重难点 重点：椭圆的定义，椭圆的标准方程的推导。 难点：对椭圆定义的理解，椭圆标准方程的推导。 学情分析 本节课是圆锥曲线的第一课时。它是在学生学习了直线和圆的方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容。 从知识上看，学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步的认识。 从学生现有的学习能力看，通过一年多的实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。 从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给椭圆以数学描述？如何“定性”“定量”地描述椭圆是学生关注的问题，也是学习的重点问题。他们渴望将感性认识理性化，渴望通过自己动手作图、观察、辨析和完善概念，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。 因此，本节课关注的重点：知识上是椭圆的定义和标准方程；从学生的情感态度上，关注学生的全方位参与，特别是思维起点和思维发展点。 教学方法 探究式教学法，通过教师引导学生自主探究、合作学习完成本节课的学习，是学生在获得知识的同时能够掌握学习方法，提高自主学习能力。 教学过程 1.联系实际、引入课题 火腿是受到大家广泛喜爱的一种食品，在食用时我们有时我们会把它切成片吃，那么不知道大家有没有发现切火腿也是一门学问，我们都知道火腿具有轴对称性，当我们垂直于火腿的轴线切下去时，截面曲线为圆；倾斜一定角度之后，截面曲线就变成了另外的一种曲线，这是一种我们没有研究过的曲线，现在我们把火腿近似的看成一个圆柱，用截面去截圆锥，所得到的截面曲线就是我们切火腿时形成的截面曲线——椭圆，今天我们就来学习椭圆及其标准方程。 （说明：从生活实际出发，引发对于椭圆的思考，培养学生从生活中发现数学问题的能力，同时激发学生的学习激情。） 2.回顾复习，温故知新 在之前的学习中我们已经认识了圆，研究了圆的定义、标准方程、和其他几何性质。那么请大家回忆圆的定义是什么？其标准方程是什么？求曲线方程的方法步骤是什么？（请同学复述圆的定义、其标准方程、曲线方程的推导方法，如果学生复述有困难，需教师引导学生进行回顾） 圆的定义：平面内到定点的距离等于常数r（r>0）的点的轨迹叫做圆。 圆的标准方程：（x-a）2+(y-b)2=r2，圆心O（a，b），半径r。 圆的标准方程的推导过程：（建设限代化） （1）建系设点， 【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大 （一）椭圆的定义及椭圆的标准方程： ?椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点F 1、 F 2的距离之和等于常数 （二）椭圆的简单几何性： ?标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。 2 2 x 2 y 2 =1 (a b O) a b (PF 1 + PF 2 =2a ■ F1F 2）,这个动点P 的轨迹叫椭圆?这两个定点叫椭圆的 焦 点，两焦点的距离叫作椭圆的 焦距. 注意：①若（PF 1 + |PF 2 |=F I F 2），则动点P 的轨迹为线段F 1F 2 ； ②若（PF 1 + PF ^<|F 1F 2 ），则动点P 的轨迹无图形 2 2 y 2 X 2 =1 (a ■ b ■ O) a b 图形 性质 焦占 八焦距 范围 F i (-c,O)，F 2(C ,0) F I (O,-C )，F 2(0,C ) F 1F 2 =2C F 1 F 2 = 2c x^b, | y| 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 标准方程 (_a,0) , (0,-b) (0,-a), (_b,0) 顶点 ?椭圆标准方程为 =1 (a b - 0)，椭圆焦点三角形: 设P 为椭圆上任意一点, F i ,F 2为焦点且/ F 1PF 2 ?，则△ F i PF 2为焦点三角形，其面积为 轴长 长轴长 AA 2, AAj =2a ，短轴长 BB 2, EB 2 =2b 离心率 ① e = C (0cec1)，② e =』1—(b )2 ③ c 2 = a 2_b 2 a V a (离心率越大，椭圆越扁) 【说明】： 1?方程中的两个参数a 与b ,确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点 F i ，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数 a ，b ，c 都大于零，其中 a 最大且 a 2 = b 2+ c 2. 2 2 2.方程Ax By 二C 表示椭圆的充要条件是：ABC 工0,且A ，B ，C 同号，A 2 2 S PF I F 2 = b 2 tan 。 2 (四)通径：如图：通径长 2 2 ?椭圆标准方程：笃? — =1 a 2 b 2 (五)点与椭圆的位置关系： C 1) 点 P(x o ,y o )在椭圆外= a b a b x =1； 课题：12.4椭圆的基本性质（二课时） 教学目标： 1、掌握椭圆的对称性，顶点，范围等几何性质. 2、能根据椭圆的几何性质对椭圆方程进行讨论，在此基础上会画椭圆的图形． 3、学会判断直线与椭圆的位置，能够解决直线与椭圆相交时的弦长问题，中点问题等. 4、在对椭圆几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化，学会分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；培养探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心. 教学重点：椭圆的几何性质及初步运用 教学难点：直线与椭圆相交时的弦长问题和中点问题 教学过程： 一．课前准备： 1、 知识回忆 （1） 椭圆和圆的概念 （2） 椭圆的标准方程 2、课前练习 1) 圆的定义： 到一定点的距离等于______的图形的轨迹。 椭圆的定义： _______________________________的图形的轨迹。 2) 椭圆的标准方程： 1。焦点在x 轴上____________（ ） 2。焦点在y 轴上____________（ ） 若125 162 2=+y x ，则椭圆的长轴长________短半轴长__________，焦点为____________，顶点坐标为__________，焦距为______________ 二．教学过程设计 一、引入课题 “曲线与方程”是解析几何中最重要最基本的内容其中有两类基本问题：一是由曲线求方程，二是由方程画曲线．前面由椭圆定义推导出椭圆的标准方程属于第一类问题，本节课将研究第二类问题，由椭圆方程画椭圆图形，为使列表描点更准确，避免盲目性，有必要先对椭圆的范围、对称性、顶点进行讨论. 二、讲授新课 （一） 对称性 问题1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性？ x -代x 后方程不变，说明椭圆关于y 轴对称； y -代y 后方程不变，说明椭圆曲线关于x 轴对称； x -、y -代x ，y 后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称； 问题2：从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？ 以把x 换成－x 为例，如图在曲线的方程中，把x 换 课题：椭圆标准方程与几何性质复习（1） 课时：11 课型：复习课 一．复习目标：熟练掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质及重要结论．二．知识要点： 1、椭圆及标准方程：标准方程有两种，注意焦点在坐标轴上位置的确定；有时标准 方程可以改写为=1；标准方程有时可以用待定系数法求得。 2、椭圆中的四线：两对坐标轴，两对准线；六点：两个焦点，四个顶点； 3、弦长公式：|AB|= 4、椭圆中的点对焦点的张角的变化情况： 5、点代作差结论： 6、焦点三角形的面积：tan 7、特殊的焦点弦：通径= 8、椭圆中的最值问题： （1）、椭圆上的点到椭圆外的直线距离有最大值和最小值； （2）、椭圆上的点到椭圆内的点及椭圆的焦点的距离之和有最大值和最小值； （3）、A为椭圆内的点，F为椭圆的一个焦点，M是椭圆上动点，则存在M，使得|MA|+|MF|有最小值； （4）、A为椭圆内的点，F为椭圆的一个焦点，M是椭圆上动点，则存在M，使得|MA|-|MF|最大； 9、椭圆的焦半径 左：= a+e = a-e 10、有关椭圆中向量的最值问题P是椭圆上的点，则 (1)、||||=(a+e)( a-e)=. (2)、| |:(| |==++2=+ +2||||()=+4-2()=4+. (3)、+（或+）. (4)、=||||()=-()=-+. 三、椭圆精典题型： 1、已知椭圆=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为 A.2 B.3 C.4 D.5 2、 椭圆22 12516 x y +=的一个焦点为F,O 是坐标原点,点P 在椭圆上,且||4PF =,M 是线段PF 的中点,则||OM =___________; 3、 在平面直角坐标系中,已知顶点和,顶点在椭圆上,则____. 4、 椭圆22 14 x y m +=的焦距为2,则m 的值等于（ ） A.5或 5、 已知方程22 212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆,则m 的取值范围是 ( ) A.2m >或1m <- B. 2m >- C.12m -<< D. 2m >或21m -<<- 6、 “0m n >>”是“方程22 1mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 7、 椭圆122 22=+n y m x )0,0(>>n m 的一个焦点坐标是(2,0), 且椭圆的离心率2 1=e , 则椭圆的标准方程为 ( ) A.1161222=+y x B.1121622=+y x C.164482 2=+y x D.148 6422=+y x 8、已知椭圆22 221x y a b +=有两个顶点在直线22x y +=上,则此椭圆的焦点坐标是( ) A.(0) B.(0, C.(0) D.(0, 椭圆的标准方程与几何性质 高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆ 典例在线 （1）已知椭圆24x +2 2 y =1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|=2，则12PF F △的面积是 A B ．2 C ． D （2）已知F 1，F 2分别是椭圆E :22x a +221y b =(0a b >>)的左、右焦点，点(1)在椭圆 上，且点(1-，0)到直线PF 2P (1-，4-)，则椭圆的标准方程为 A ．x 2 +2 4 y =1 B ．24x +y 2 =1 C ．x 2 +2 2 y =1 D ．22 x +y 2 =1 （3）已知椭圆22x a +2 2y b =1(0a b >>)的左、右焦点分别为F 1(c -，0)，F 2(c ，0)，若椭圆上 存在点P ，使1221 sin sin a c PF F PF F ∠∠=，则该椭圆离心率的取值范围为 A ．(01-) B ．，1) C ．(0) D ．1-，1) 【参考答案】（1）A ；（2）D ；（3）D ． 【试题解析】（1）由椭圆的方程可知a =2，c ，且|PF 1|+|PF 2|=2a =4，又|PF 1|－|PF 2|=2， 所以|PF 1|=3，|PF 2|=1．又|F 1F 2|=2c =|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2 ，即12PF F △为直 角三角形，所以12122||11 12 |2|PF F S F F PF = =?=△．故选A ． （3）根据正弦定理得 2112 21 sin sin PF PF PF F PF F ∠∠= ，又 1221 sin sin a c PF F PF F ∠∠=可得 21 a c PF PF =，即12 PF c PF a = =e ， 所 以 |PF 1|=e|PF 2| ． 又 |PF 1|+|PF 2|=e|PF 2|+|PF 2|=|PF 2|·(e+1)=2a ，所以|PF 2|= 21 a e +．因为a －c <|PF 2| 椭圆的标准方程 一、教材分析 1、地位及作用 圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用。同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材。 推导椭圆的标准方程的方法对双曲线、抛物线方程的推导具有直接的类比作用，为学习双曲线、抛物线内容提供了基本模式和理论基础。因此本节课具有承前启后的作用，是本章的重点内容。 2、教学内容与教材处理 椭圆的标准方程共两课时，第一课时所研究的是椭圆标准方程的建立及其简单运用，涉及的数学方法有观察、比较、归纳、猜想、推理验证等，我将以课堂教学的组织者、引导者、合作者的身份，组织学生动手实验、归纳猜想、推理验证，引导学生逐个突破难点，自主完成问题，使学生通过各种数学活动，掌握各种数学基本技能，初步学会从数学角度去观察事物和思考问题，产生学习数学的愿望和兴趣。 3、教学目标 根据教学大纲和学生已有的认知基础,我将本节课的教学目标确定如下： 1.知识目标 ①建立直角坐标系，根据椭圆的定义建立椭圆的标准方程， ②能根据已知条件求椭圆的标准方程， ③进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法，体会数形结合的数学思想。 2.能力目标 ①让学生感知数学知识与实际生活的密切联系，培养解决实际问题的能力， ②培养学生的观察能力、归纳能力、探索发现能力， ③提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。 3.情感目标 ①亲身经历椭圆标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶， ②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨， ③养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。 4、重点难点 基于以上分析，我将本课的教学重点、难点确定为： ①重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法， ②难点：椭圆的标准方程的推导。 二、教法设计 在教法上，主要采用探究性教学法和启发式教学法。以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习。探究性学习就是充分利用了青少年学生富有创造性和好奇心，敢想敢为，对新事物具有浓厚的兴趣的特点。让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件，自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题。 三、学法设计 １ 课题：§椭圆的定义及其标准方程 鹿城中学田光海 一、教案背景： 1.面向对象：高中二年级学生 2.学科：数学 3.课时：2课时 4.教学内容：高中新课程标准教科书《数学》北师大版选修1-1第二章圆锥曲线与方程§椭圆及其标准方程 二. 教材分析 本节课是圆锥曲线的第一课时，它是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用，是本章的重点内容之一。 1. 教法分析 结合生活经验观察发现、启发引导、探究合作。在学生的生活体验、直观感知、知识储备的基础上，引导学生逐步建构概念，为学生数学思想方法的形成打下基础。利用多媒体课件,精心构建学生自主探究的教学平台,启发引导学生观察,想象,思考,实践,从而发现规律、突破学生认知上的困难，让学生体验问题解决的思维过程，获得知识,体验成功。主要采用探究实践、启发与讲练相结合。 2. 学法分析 从知识上看，学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步的认识。 从学生现有的学习能力看，通过一年多的学习，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。 从学生的学习心理上看，学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给椭圆以数学描述? 如何“定性”“定量”地描述椭圆是学生关注的问题，也是学习的重点问题。他们渴望将感性认识理性化，渴望通过自己动手作图、观察来辨析和完善概念，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。 3.教学目标 知识与技能：掌握椭圆的定义；理解椭圆标准方程的推导过程，掌握椭圆标准方程的两种形式，会运用待定系数法求椭圆的标准方程。 过程与方法：经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，逐步提高学生的观察、分析、归纳、类比、概括能力；通过椭圆标准方程的推导，进一步掌握求曲线方程的一般方法——坐标法，并渗透数形结合、等价转化的数学思想方法。 情感、态度与价值观：通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣，提高学生审美情趣，培养学生勇于探索的精神。 g3.1079 椭圆 1.椭圆的定义: 第一种定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线. 2.椭圆的标准方程: (1))0(122 22>>=+b a b y a x ,焦点:F 1(-c,0),F 2(c,0),其中c=22b a -. (2))0(122 22>>=+b a a y b x ,焦点:F 1(0,-c),F 2(0,c),其中c=22b a -. 3.椭圆的参数方程:???==θ θ sin cos b y a x ,(参数θ是椭圆上任意一点的离心率). 4.椭圆的几何性质:以标准方程)0(122 22>>=+b a b y a x 为例: ①范围:|x|≤a,|y|≤b;②对称性:对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0);③顶点A(a,0),A ′ (-a,0),B(0,b),B ′(0,-b);长轴|AA ′|=2a,短轴|BB ′|=2b;④离心率:e=a c ,0 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 椭圆及其标准方程练习题 【基础知识】 一．椭圆的基本概念 1.椭圆的定义：我们把平面内与两个定点 的距离的和等于常数 （ ）的点的轨迹叫做椭圆，用符号表示为这两个定点叫椭圆的 ，两个焦点之间的距离叫做椭圆的 。 椭圆的图象和性质 数学定义式 |MF 1|+|MF 2|=2a 焦点位置 x 轴 y 轴 图形 标准方程 焦点坐标 焦距 顶点坐标 a , b , c 的关系式 长、短轴 长轴长=2a , 短轴长=2b 对称轴 两坐标轴 离心率 a c e = ( 0 < e < 1) y x o y x o 椭圆方程的总形式为 [经典例题]： 例1. 根据定义推导椭圆标准方程. 已知B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且ABC ?的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 例2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； ⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,2 5） 例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0). (2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. 例4 已知椭圆经过两点（)5,3()2 5 ,23与-，求椭圆的标准方程 例5 1.椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆离心率是 ； 椭圆的标准方程与性质 1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质： 2.2第1课时 椭圆及其标准方程 一、选择题 1．平面上到点A (－5,0)、B (5,0)距离之和为10的点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．线段 D ．轨迹不存在 2．椭圆ax 2＋by 2＋ab ＝0(a A ．±34 B ．±22 C ．±32 D ．±3 4 5．椭圆x 24＋y 2 ＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则 |PF 2|＝( ) A. 32 B.3 C.7 2 D ．4 6．(09·陕西理)“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．椭圆x 2m ＋y 2 4＝1的焦距是2，则m 的值是( ) A ．5 B ．3或8 C ．3或5 D ．20 8．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一个焦点F 2 构成△ABF 2的周长是( ) A ．2 B ．4 C.2 D ．2 2 9．已知椭圆的方程为x 216＋y 2 m 2＝1，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是( ) A ．－4≤m ≤4 B ．－4椭圆的标准方程与性质
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