小专题14三角函数与相似
专题04 三角函数与相似(解析版)
九年级数学下册解法技巧思维培优专题04 三角函数与相似【典例1】（2019•南岸区校级月考）如图，点A 是双曲线y =k x 上一点，过A 作AB ∥x 轴，交直线y ＝﹣x 于点B ，点D 是x 轴上一点，连接BD 交双曲线于点C ，连接AD ，若BC ：CD ＝3：2，△ABD 的面积为114，tan ∠ABD =95，则k 的值为（ ）A ．﹣2B ．﹣3C ．−34D ．34【点拨】如图作BH ⊥OD 于H ．延长BA 交y 轴于E ．由tan ∠ABD ＝tan ∠BDH =95，设DH ＝5m ，BH ＝9m ，则BH ＝BE ＝9m ，OD ＝4m ，推出C （﹣6m ，185m ），推出A （−125m ，9m ），由△ABD 的面积为114，推出12×335m ×9m =114，可得m 2=554，推出k ＝﹣6m ×185m ＝﹣2； 【解析】解：如图作BH ⊥OD 于H ．延长BA 交y 轴于E ．∵AB ∥DH ，∴∠ABD ＝∠BDH ，∴tan ∠ABD ＝tan ∠BDH =95，设DH ＝5m ，BH ＝9m ，则BH ＝BE ＝9m ，OD ＝4m ，∴C （﹣6m ，185m ），∴A （−125m ，9m ）， ∵△ABD 的面积为114， ∴12×335m ×9m =114， ∴m 2=554，∴k ＝﹣6m ×185m ＝﹣2， 故选：A ．【典例2】（2019•潍坊期末）如图，反比例函数y =2x 的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第二象限内有一点C ，满足AC ＝BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数y =k x 的图象上运动，tan ∠CAB ＝2，则k ＝ ﹣8 ．【点拨】连接OC ，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，过点C 作CF ⊥y 轴于点F ，通过角的计算找出∠AOE ＝∠COF ，结合“∠AEO ＝90°，∠CFO ＝90°”可得出△AOE ∽△COF ，根据相似三角形的性质得出比例式，再由tan ∠CAB ＝2，可得出CF •OF 的值，进而得到k 的值．【解析】解：如图，连接OC ，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，过点C 作CF ⊥y 轴于点F ，∵由直线AB 与反比例函数y =2x 的对称性可知A 、B 点关于O 点对称，∴AO ＝BO ．又∵AC ＝BC ，∴CO ⊥AB ．∵∠AOE +∠AOF ＝90°，∠AOF +∠COF ＝90°，∴∠AOE ＝∠COF ，又∵∠AEO ＝90°，∠CFO ＝90°，∴△AOE ∽△COF ，∴AE CF =OE OF =AO CO ，∵tan ∠CAB =OC OA=2， ∴CF ＝2AE ，OF ＝2OE ．又∵AE •OE ＝2，CF •OF ＝|k |，∴k ＝±8．∵点C 在第二象限，∴k ＝﹣8，故答案为﹣8．【典例3】（2019•大兴区期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形的直角顶点与原点O 重合，顶点A ，B 恰好分别落在函数y =−1x （x ＜0），y =4x （x ＞0）的图象上，则tan ∠ABO 的值为 12 ．【点拨】点A ，B 落在函数y =−1x （x ＜0），y =4x （x ＞0）的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形AOB 的两条直角边的比，从而得出答案．【解析】解：过点A 、B 分别作AD ⊥x 轴，BE ⊥x 轴，垂足为D 、E ，∵点A 在反比例函数y =−1x （x ＜0）上，点B 在y =4x （x ＞0）上，∴S △AOD =12，S △BOE ＝2，又∵∠AOB ＝90°∴∠AOD ＝∠OBE ，∴△AOD ∽△OBE ，∴（AO OB ）2=S △AOD S △OBE ， ∴AO OB =12，在RtAOB 中，tan ∠ABO =AO OB =12，故答案为12．【典例4】（2019•广州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点P （﹣1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝mx的图象与反比例函数y=n−3x的图象相交于A，P两点．（1）求m，n的值与点A的坐标；（2）求证：△CPD∽△AEO；（3）求sin∠CDB的值．【点拨】（1）根据点P的坐标，利用待定系数法可求出m，n的值，联立正、反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点A的坐标（利用正、反比例函数图象的对称性结合点P的坐标找出点A的坐标亦可）；（2）由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB∥CD，利用平行线的性质可得出∠DCP＝∠OAE，结合AB⊥x 轴可得出∠AEO＝∠CPD＝90°，进而即可证出△CPD∽△AEO；（3）由点A的坐标可得出AE，OE，AO的长，由相似三角形的性质可得出∠CDP＝∠AOE，再利用正弦的定义即可求出sin∠CDB的值．【解析】（1）解：将点P（﹣1，2）代入y＝mx，得：2＝﹣m，解得：m＝﹣2，∴正比例函数解析式为y＝﹣2x；将点P（﹣1，2）代入y=n−3x，得：2＝﹣（n﹣3），解得：n ＝1，∴反比例函数解析式为y =−2x ．联立正、反比例函数解析式成方程组，得：{y =−2xy =−2x，解得：{x 1=−1y 1=2，{x 2=1y 2=−2， ∴点A 的坐标为（1，﹣2）．（2）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AB ∥CD ，∴∠DCP ＝∠BAP ，即∠DCP ＝∠OAE ．∵AB ⊥x 轴，∴∠AEO ＝∠CPD ＝90°，∴△CPD ∽△AEO ．（3）解：∵点A 的坐标为（1，﹣2），∴AE ＝2，OE ＝1，AO =2+OE 2=√5．∵△CPD ∽△AEO ，∴∠CDP ＝∠AOE ，∴sin ∠CDB ＝sin ∠AOE =AE AO =5=2√55．【典例5】（2019•肥城市模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO＝2．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点B的坐标；（3）在x轴上是否存在点E，使|AE﹣BE|有最大值？如果存在，请求出点E坐标；若不存在，请说明理由．【点拨】（1）过点A作AD⊥x轴于点D，由点A，C的坐标结合tan∠ACO＝2可求出n的值，进而可得出点A的坐标，根据点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出m的值，进而可得出反比例函数解析式，再根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出一次函数的解析式；（2）联立一次函数及反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点B的坐标；（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点E，利用两边之差小于第三边可得出此时|AE ﹣BE|取得最大值，由点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A，B′的坐标，利用待定系数法可求出直线AB ′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当|AE ﹣BE |取得最大值时点E 的坐标．【解析】解：（1）过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，如图1所示．∵点A 的坐标为（n ，6），点C 的坐标为（﹣2，0），∴AD ＝6，CD ＝n +2．又∵tan ∠ACO ＝2，∴AD CD =6n+2=2，∴n ＝1，∴点A 的坐标为（1，6）．∵点A 在反比例函数y =m x (m ≠0)的图象上，∴m ＝1×6＝6，∴反比例函数的解析式为y =6x ．将A （1，6），C （﹣2，0）代入y ＝kx +b ，得：{k +b =6−2k +b =0，解得：{k =2b =4， ∴一次函数的解析式为y ＝2x +4．（2）联立一次函数及反比例函数解析式成方程组，得：{y =2x +4y =6x， 解得：{x 1=−3y 1=−2，{x 2=1y 2=6， ∴点B 的坐标为（﹣3，﹣2）．（3）作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接AB ′交x 轴于点E ，此时|AE ﹣BE |取得最大值，如图2所示． ∵点B 的坐标为（﹣3，﹣2），∴点B ′的坐标为（﹣3，2）．设直线AB ′的解析式为y ＝ax +c （a ≠0），将A （1，6），B ′（﹣3，2）代入y ＝ax +c ，得：{a +c =6−3a +c =2，解得：{a =1c =5， ∴直线AB ′的解析式为y ＝x +5．当y ＝0时，x +5＝0，解得：x ＝﹣5，∴在x 轴上存在点E （﹣5，0），使|AE ﹣BE |取最大值．【典例6】（2019•南岸区校级期末）如图，已知一次函数y 1＝k 1x +6与反比例函数y 2=k 2x相交于A 、B ，与x 轴交于点C ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，已知sin ∠DBC =√55，OC ：CD ＝3：1．（1）求y 1和y 2的解析式；（2）连接OA ，OB ，求△AOB 的面积．【点拨】（1）根据平行线的性质得到BD OE =CD OC =13，求出BD ，根据正弦的概念求出CD 、BC ，利用待定系数法求出函数解析式；（2）求出A 、B 的纵坐标，根据三角形的面积公式计算即可．【解析】解：（1）y 1＝k 1x +6与y 轴的交点E 的坐标为（0，6）， ∴OE ＝6，∵BD ⊥x 轴，∴OE ∥BD ，∴BD OE =CD OC =13，∴BD ＝2，∵sin ∠DBC =√55，∴设CD =√5x ，则BC ＝5x ，由勾股定理得，（5x ）2＝（√5x ）2+4，解得，x =√55，则CD =√5x ＝1，则BC ＝5x =√5，∴点B 的坐标为（4，﹣2），﹣2＝k 1×4+6， 解得，k 1＝﹣2，则y 1＝﹣2x +6，y 2=−8x ； （2）{y =−8xy =−2x +6，解得，{x 1=−1y 1=8，{x 2=4y 2=−2，则△AOB 的面积=12×3×8+12×3×2＝15．【典例7】（2019•长寿区模拟）已知直线y ＝kx +b 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数y =ax 交于一象限内的P （12，n ），Q （4，m ）两点，且tan ∠BOP =18．（1）求双曲线和直线AB 的函数表达式； （2）求△OPQ 的面积；（3）当kx +b ＞a x时，请根据图象直接写出x 的取值范围．【点拨】（1）过P 作PC ⊥y 轴于C ，由P （12，n ），得到OC ＝n ，PC =12，根据三角函数的定义得到P（12，4），于是得到反比例函数的解析式为y =2x ，Q （4，12），解方程组即可得到直线的函数表达式为y＝﹣x +92；（2）过Q 作OD ⊥y 轴于D ，于是得到S △POQ ＝S 四边形PCDQ =638； （3）观察图象可得结果．【解析】解：（1）过P 作PC ⊥y 轴于C ，∵P （12，n ），∴OC ＝n ，PC =12，∵tan ∠BOP =18，∴n ＝4，∴P （12，4），设反比例函数的解析式为y =ax，∴a ＝4，∴反比例函数的解析式为y =2x ，∴Q （4，12），把P （12，4），Q （4，12）代入y ＝kx +b 中得，{4=12k +b12=4k +b， ∴{k =−1b =92， ∴直线的函数表达式为y ＝﹣x +92； （2）过Q 作QD ⊥y 轴于D ，则S △POQ ＝S 四边形PCDQ =12×（12+4）×（4−12）=638；（3）由图象知，当﹣x +92＞2x 时，12＜x ＜4或x ＜0巩固练习1．（2019•永春县校级自主招生）如图，点A 、B 是反比例函数y =k x（k ≠0）图象上的两点，延长线段AB 交y 轴于点C ，且点B 为线段AC 中点，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，点E 为线段OD 的三等分点，且OE ＜DE ．连接AE 、BE ，若S △ABE ＝7，则k 的值为（ ）A ．﹣12B ．﹣10C ．﹣9D ．﹣6【点拨】设A （m ，km），C （0，n ），则D （m ，0），E （13m ，0），由AB ＝BC ，推出B （m 2，k m+n 2），根据点B 在y =kx 上，推出m 2•km +n 2=k ，可得mn ＝3k ，连接EC ，OA ．因为AB ＝BC ，推出S △AEC ＝2•S △AEB＝14，根据S △AEC ＝S △AEO +S △ACO ﹣S △ECO ，构建方程即可解决问题； 【解析】解：设A （m ，km），C （0，n ），则D （m ，0），E （13m ，0），∵AB ＝BC ，∴B （m 2，km+n 2），∵点B 在y =kx 上，∴m 2•km +n2=k ， ∴k +mn ＝4k ， ∴mn ＝3k ， 连接EC ，OA ． ∵AB ＝BC ，∴S △AEC ＝2•S △AEB ＝14， ∵S △AEC ＝S △AEO +S △ACO ﹣S △ECO ，∴14=12•（−13m）•km+12•n•（﹣m）−12•（−13m）•n，∴14=−16k−3k2+k2，∴k＝﹣12．故选：A．2．（2019•渭滨区期末）如图，已知点A，B分别是反比例函数y=kx（x＜0），y=1x（x＞0）的图象上的点，且∠AOB＝90°，tan∠BAO=12，则k的值为﹣4．【点拨】首先过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，易得△OBD∽△AOC，又由点A，B分别在反比例函数y=kx（x＜0），y=1x（x＞0）的图象上，即可得S△OBD=12，S△AOC=12|k|，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求出k的值．【解析】解：过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，∴∠ACO＝∠ODB＝90°，∴∠OBD +∠BOD ＝90°， ∵∠AOB ＝90°， ∴∠BOD +∠AOC ＝90°， ∴∠OBD ＝∠AOC ， ∴△OBD ∽△AOC ，又∵∠AOB ＝90°，tan ∠BAO =12， ∴OB AO=12，∴S △BOD S △OAC=14，即12×112|k|=14，解得k ＝±4， 又∵k ＜0， ∴k ＝﹣4， 故答案为﹣4．3．（2019•东城区校级期中）如图，反比例函数y =3x 的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第二象限内有一点C ，满足AC ＝BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数y =kx 的图象上运动，tan ∠CAB ＝2，则k ＝ ﹣12 ．【点拨】连接OC ，作CM ⊥x 轴于M ，AN ⊥x 轴于N ，如图，利用反比例函数的性质得OA ＝OB ，根据等腰三角形的性质得OC ⊥AB ，利用正切的定义得到COAO=2，再证明Rt △OCM ∽Rt △OAN ，利用相似的性质得S △COM S △OAN=4，然后根据k 的几何意义求k 的值．【解析】解：连接OC ，作CM ⊥x 轴于M ，AN ⊥x 轴于N ，如图， ∵A 、B 两点为反比例函数与正比例函数的两交点， ∴点A 、点B 关于原点对称， ∴OA ＝OB ， ∵CA ＝CB ， ∴OC ⊥AB ，在Rt △AOC 中，tan ∠CAO =COOA =2，∵∠COM +∠AON ＝90°，∠AON +∠OAN ＝90°， ∴∠COM ＝∠OAN ， ∴Rt △OCM ∽Rt △OAN ，∴S △COM S △OAN=（COAO）2＝4，而S △OAN =12×3=32，∴S △CMO ＝6，∵12|k |＝6， 而k ＜0， ∴k ＝﹣12． 故答案为﹣12．4．（2019•罗湖区期末）如图，在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝4，分别以OA 、OC 所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，D 是边CB 上的一个动点（不与C 、B 重合），反比例函数y =kx （k ＞0）的图象经过点D 且与边BA 交于点E ，作直线DE ．（1）当点D 运动到BC 中点时，求k 的值；（2）求BD BE的值；（3）连接DA ，当△DAE 的面积为43时，求k 值．【点拨】（1）由OA ，OC 的长度结合矩形的性质可得出BC 的长度及点B 的坐标，根据点D 为边BC 的中点可得出CD 的长度，进而可得出点D 的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k 值； （2）由OA ，OC 的长度利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点D ，E 的坐标，进而可得出BD ，BE 的长度，二者相比后即可得出BD BE的值；（3）由（2）可得出AE ，BD 的长度，由三角形的面积公式结合S △DAE =43即可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 值．【解析】解：（1）∵OA ＝3，OC ＝4，四边形OABC 为矩形， ∴BC ＝OA ＝3，点B 的坐标为（3，4）． ∵点D 为边BC 的中点，∴CD =12BC =32， ∴点D 的坐标为（32，4）．又∵点D 在反比例函数y =kx （k ＞0）的图象上， ∴k =32×4＝6． （2）∵点D ，E 在反比例函数y =kx （k ＞0）的图象上， ∴点D 的坐标为（k4，4），点E 的坐标为（3，k3）．又∵点B 的坐标为（3，4），∴BD ＝3−k4，BE ＝4−k3，∴BD BE=3−k 44−k 3=34．（3）由（2）可知：AE =k 3，BD ＝3−k4， ∴S △DAE =12AE •BD =12×k3×（3−k4）=43， 整理，得：k 2﹣12k +32＝0， 解得：k 1＝4，k 2＝8，∴当△DAE 的面积为43时，k 的值为4或8．5．（2019•郫都区模拟）如图，直线AB ：y ＝kx +b 与x 轴、y 轴分别相交于点A （1，0）和点B （0，2），以线段AB 为边在第一象限作正方形ABCD ． （1）求直线AB 的解析式； （2）求点D 的坐标；（3）若双曲线y =kx （k ＞0）与正方形的边CD 始终有一个交点，求k 的取值范围．【点拨】（1）根据点A ，B 的坐标，利用待定系数法可求出直线AB 的解析式；（2）作DF ⊥x 轴于F ，易证△ADF ≌△BAO （AAS ），利用全等三角形的性质可求出点D 的坐标；（3）同（2）可求出点C 的坐标，利用极限值法可求出k 的最大、最小值，此题得解．【解析】解：（1）将A （1，0），B （0，2）代入y ＝kx +b ，得：{k +b =0b =2，解得：{k =−2b =2， ∴直线AB 的解析式为y ＝﹣2x +2．（2）作DF ⊥x 轴于F ，则∠AFD ＝90°，∵正方形ABCD ，∴BA ＝AD ，∠BAD ＝90°，∠BAO +∠DAF ＝90°，∵∠BAO +∠ABO ＝90°，∴∠ABO ＝∠DAF ．在△ADF 和△BAO 中，{∠AFD =∠BOA =90°∠DAF =∠ABO AD =BA，∴△ADF ≌△BAO （AAS ），∴AF ＝BO ＝2，DF ＝AO ＝1，∴点D 的坐标为（3，1）．（3）同（2）可得出点C 的坐标为（2，3）．当双曲线过点D 时，k ＝3×1＝3；当双曲线过点C 时，k ＝2×3＝6，∴当双曲线y =k x （k ＞0）与正方形的边CD 始终有一个交点时，k 的取值范围为3≤k ≤6．6．（2019•沙坪坝区校级二模）如图，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2=kx（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点．已知：OA=√10，tan AOC=13，点B的坐标为（32，m）（1）求该反比例函数的解析式和点D的坐标；（2）点M在射线CA上，且MA＝2AC，求△MOB的面积．【点拨】（1）过A作AE⊥x轴于点E，在Rt△AOE中，可根据OA的长求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求反比例函数解析式，进一步可求得B点坐标，利用待定系数法可求得直线AB的解析式，则可求得D点坐标；（2）过M作MF⊥x轴于点F，可证得△MFC∽△AEC，可求得MF的长，代入直线AB解析式可求得M点坐标，进一步可求得△MOB的面积．【解析】解：（1）如图1，过A作AE⊥x轴于E，在Rt △AOE 中，tan ∠AOC =AE OE =13，设AE ＝a ，则OE ＝3a ，∴OA =√AE 2+OE 2=√10a ，∵OA =√10，∴a ＝1，∴AE ＝1，OE ＝3，∴A 点坐标为（﹣3，1），∵反比例函数y 2=k x （k ≠0）的图象过A 点，∴k ＝﹣3，∴反比例函数解析式为y 2=−3x ，∵反比例函数y 2=−3x 的图象过B （32，m ）， ∴32m ＝﹣3，解得m ＝﹣2， ∴B 点坐标为（32，﹣2），设直线AB解析式为y＝nx+b，把A、B两点坐标代入可得{−3n+b=132n+b=−2，解得{n=−23b=−1，∴直线AB的解析式为y=−23x﹣1，令x＝1，可得y＝﹣1，∴D点坐标为（0，﹣1）；（2）由（1）可得AE＝1，∵MA＝2AC，∴CACM =1 3，如图2，过M作MF⊥x轴于点F，则△CAE∽△CMF，∴CACM =AEMF=13，∴MF＝3，即M点的纵坐标为3，代入直线AB解析式可得3=−23x﹣1，解得x＝﹣6，∴M点坐标为（﹣6，3），∴S△MOB=12OD•（x B﹣x M）=12×1×（32+6）=154，即△MOB 的面积为154．7．（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝ax +b （a ≠0）的图象与反比例函数y =k x （k ≠0）的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，过点A 作AH ⊥x 轴于点H ，点O 是线段CH 的中点，AC ＝4√5，cos ∠ACH =√55，点B 的坐标为（4，n ）．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△BCH 的面积．【点拨】（1）首先利用锐角三角函数关系得出HC 的长，再利用勾股定理得出AH 的长，即可得出A 点坐标，进而求出反比例函数解析式，再求出B 点坐标，即可得出一次函数解析式；（2）利用B 点坐标的纵坐标再利用HC 的长即可得出△BCH 的面积．【解析】解：（1）∵AH ⊥x 轴于点H ，AC ＝4√5，cos ∠ACH =√55， ∴HC AC =√55=4√5， 解得：HC ＝4，∵点O 是线段CH 的中点，∴HO ＝CO ＝2，∴AH =√AC 2−HC 2=8，∴A （﹣2，8），∴反比例函数解析式为：y =−16x ，∴B （4，﹣4），∴设一次函数解析式为：y ＝kx +b ， 则{−2k +b =84k +b =−4， 解得：{k =−2b =4， ∴一次函数解析式为：y ＝﹣2x +4；（2）由（1）得：△BCH 的面积为：12×4×4＝8．。
三角函数的图像与变化规律
三角函数的图像与变化规律三角函数是数学中的重要概念，它们在几何、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
而三角函数的图像与变化规律是我们理解和应用三角函数的关键。
本文将从正弦函数、余弦函数和正切函数三个方面来探讨三角函数的图像与变化规律。
一、正弦函数的图像与变化规律正弦函数是最常见的三角函数之一，它的图像呈现出周期性的波动。
我们先来看一下正弦函数的图像。
在坐标系中，将x轴分成等分的小段，然后计算每个小段上的正弦函数值，再将这些值在坐标系中表示出来，就得到了正弦函数的图像。
正弦函数的图像是一条连续的波浪线，它在x轴上的取值范围是无穷大，而在y轴上的取值范围是[-1,1]。
正弦函数的图像以原点为对称中心，左右两侧的波浪形状完全相同。
当x=0时，正弦函数的值为0，这是正弦函数的一个特殊点，称为零点。
正弦函数的周期是2π，即在一个周期内，正弦函数的图像会重复出现。
正弦函数的变化规律可以总结为以下几点：1. 周期性：正弦函数的图像在一个周期内重复出现，即在x轴上每增加2π，y轴上的值会再次回到原来的位置。
2. 对称性：正弦函数的图像以原点为对称中心，左右两侧的波浪形状完全相同。
3. 最大值和最小值：正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
4. 零点：正弦函数在x=0时取得零值，这是正弦函数的一个特殊点。
二、余弦函数的图像与变化规律余弦函数也是一种常见的三角函数，它与正弦函数在图像上非常相似，但有一些细微的差别。
我们来看一下余弦函数的图像。
余弦函数的图像同样是一条连续的波浪线，它在x轴上的取值范围是无穷大，而在y轴上的取值范围也是[-1,1]。
余弦函数的图像以原点为对称中心，左右两侧的波浪形状完全相同。
当x=0时，余弦函数的值为1，这也是余弦函数的一个特殊点。
余弦函数的变化规律与正弦函数非常相似，但也有一些不同之处：1. 周期性：余弦函数的图像在一个周期内重复出现，即在x轴上每增加2π，y轴上的值会再次回到原来的位置。
新人教部编版初中九年级数学专题4：相似与三角函数
长冲中学-“四学一测”活力课堂
长冲中学“四学一测”活力课堂
∵△BFG∽△FEG，
∴∠BFG＝∠FEG＝∠G.
∴BF＝BG＝3BC＝3.
11
∴sin ∠F B四学一测”活力课堂
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2．(2020·金华中考)如图，在△ABC 中，AB＝ 4 2，∠B＝45°，∠C＝60°.
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解：∵AM⊥MN，CN⊥MN， ∴∠M＝∠N＝90°. ∴∠MAB＋∠ABM＝90°. ∵∠ABC＝90°， ∴∠NBC＋∠ABM＝90°.
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∴∠MAB＝∠NBC.∴△AMB∽△BNC. ∴ABMN ＝BACB＝tan∠BAC＝12. ∵点 B 是线段 MN 的中点，∴BM＝BN. ∴在 Rt△AMB 中， tan∠BAM＝ABMM＝12.
∵tan∠BAC＝12， ∠APB＝∠BAC，
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∴tan∠BAC＝BC＝1，tan∠APB＝AB＝1.
AB 2
BP 2
设 BC＝x，则 AB＝2x，BP＝4x，
CP＝BP－BC＝4x－x＝3x.
同理，由(1)可得
∠BAC＝∠ECD，
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∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB.
∴AABF ＝AACE ，即4AF2＝28
2 3
.
3
∴AF＝2 3.
在 Rt△AFP，AF＝FP，
∴AP＝ 2AF＝2 6.
三角函数图像与性质知识点
三角函数图像与性质知识点三角函数是数学中的重要概念，它们的图像与性质对于理解和解决各种数学问题具有重要的作用。
本文将介绍三角函数的图像与性质的知识点，希望能帮助读者更好地掌握这一概念。
一、正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像可以用来描述周期性变化的现象。
它的定义域为实数集，值域为[-1,1]。
正弦函数的图像为连续的波浪线，称为正弦曲线。
正弦函数的图像具有以下性质：1. 周期性：正弦函数的最小正周期为2π，在一个周期内，正弦函数的图像重复出现。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。
3. 对称性：正弦函数的图像关于y轴对称。
二、余弦函数的图像与性质余弦函数是与正弦函数相似的三角函数，它也可以用来描述周期性变化的现象。
它的定义域为实数集，值域为[-1,1]。
余弦函数的图像为连续的波浪线，称为余弦曲线。
余弦函数的图像具有以下性质：1. 周期性：余弦函数的最小正周期为2π，在一个周期内，余弦函数的图像重复出现。
2. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即满足f(-x)=f(x)。
3. 对称性：余弦函数的图像关于y轴对称。
三、正切函数的图像与性质正切函数是另一个重要的三角函数，它描述的是角度的比值。
它的定义域为实数集，值域为全体实数。
正切函数的图像为由正无穷连续延伸到负无穷的曲线，称为正切曲线。
正切函数的图像具有以下性质：1. 周期性：正切函数的最小正周期为π，在一个周期内，正切函数的图像重复出现。
2. 奇偶性：正切函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。
3. 垂直渐近线：正切函数的图像有两条垂直渐近线，分别为x=π/2+kπ（k为整数）和x=-π/2+kπ（k为整数）。
四、割函数与余割函数的图像与性质割函数和余割函数是与正切函数和余弦函数相对应的两个三角函数。
割函数的定义域为实数集减去所有使得余切函数为0的点，即R\{kπ}（k为整数），值域为全体实数。
余割函数的定义域为实数集减去所有使得正弦函数为0的点，即R\{kπ}（k为整数），值域为全体实数。
相似与三角函数(09)
2012—2013学年九年级数学（下）周末复习资料（09）理想文化教育培训中心 学生姓名： 得分:一、知识点梳理：1、等腰三角形：（1）性质：等边对等角；三线合一。
（2）判定：等角对等边。
2、相似三角形：（1）判定：①两角对应相等，两三角形相似；②两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似；③三边对应成比例，两三角形相似；④直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．（2）性质：①对应边成比例，对应角相等； ②对应中线的比，角平分线的比，高的比都等于相似比；③周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.3、直角三角形：（1）勾股定理及逆定理：a 2＋b 2＝c 2（2）锐角三角函数：sinA=c a cosA=c b tanA=b a 特殊角的三角函数值。
（3）解直角三角形：俯角（仰角） ；坡角（坡度、坡比）；方位角。
二、巩固练习：1、（2012江苏徐州）如果等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为【 】A ．9B ．7C ．12D ．9或122、（2012湖北荆门）如图1，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ．若BF =2，则PE 的长为【 】A ． 2B ． 2C ．D ． 33、（2012浙江湖州）如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，CD 是AB 边上的中线，则CD 的长是【 】A ．20B ．10C ．5D ．52图（1） 图（2） 图（3） 图（4）4、（2012四川绵阳）已知，如图3，△ABC 中，∠C =90°，tanA =12，D 是AC 上一点，∠CBD =∠A ，则sin ∠ABD =【 】。
A ．35 B ．105 C ．310D ．310105、（2012辽宁本溪）如图 4， 在直角△ABC 中，∠BAC =90°，AB =8，AC =6，DE 是AB 边的垂直平分线，垂足为D ，交边BC 于点E ，连接AE ，则△ACE 的周长为【 】A 、16B 、15C 、14D 、136、（2012浙江杭州）如图5，在Rt △ABO 中，斜边AB =1．若OC ∥BA ，∠AOC =36°，则【 】A ．点B 到AO 的距离为sin 54° B ．点B 到AO 的距离为tan 36°C ．点A 到OC 的距离为sin 36°sin 54°D ．点A 到OC 的距离为cos 36°sin 54°7、（2012四川内江）如图6所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为【 】A .12B .55C .1010D .255 8、（2012湖北咸宁）如图7，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为1∶2， 点A 的坐标为(1，0)，则E 点的坐标为【 】．A ．(2，0)B ．(23，23)C ．(2，2)D ．(2，2)9、（2012贵州安顺）某一时刻，身髙1.6m 的小明在阳光下的影长是0.4m ，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5m ，则该旗杆的高度是【 】A ． 1.25mB ． 10mC ． 20mD ． 8m10、（2012福建福州）如图8，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热 气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点煌距离是【 】A ．200米B ．2003米C ．2203米D ．100(3＋1)米图（5） 图（6） 图（7） 图（8）11、（2012辽宁铁岭）如图，在东西方向的海岸线上有A 、B 两个港口，甲货船从A 港沿北偏东60°的方向以4海里／小时的速度出发，同时乙货船从B 港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P 处，问乙货船每小时航行 海里.12、（2012山东滨州）如图，在△ABC 中，AB =AD =DC ，∠BAD =20°，则∠C = °．13、（2012上海市）在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，∠AED=∠B，如果AE=2，△ADE 的面积为4，四边形BCDE 的面积为5，那么AB 的长为 ．14、（2012甘肃白银）如图，已知△ABC 是等边三角形，点D 、F 分别在线段BC 、AB 上，∠EFB =60°，DC =EF ．（1）求证：四边形EFCD 是平行四边形；（2）若BF =EF ，求证：AE =AD ．15、（2012江苏泰州）如图，一居民楼底部B 与山脚P 位于同一水平线上，小李在P 处测得居民楼顶A 的仰角为60°，然后他从P 处沿坡角为45°的山坡向上走到C 处，这时，PC =30 m ，点C 与点A 恰好在同一水平线上，点A 、B 、P 、C 在同一平面内．（1）求居民楼AB 的高度；（2）求C 、A 之间的距离．（精确到0.1m ，参考数据：41.12≈,73.13≈,45.26≈）16、（2012江苏徐州）如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB 的高度，小亮在操场上点C 处直立高3m 的竹竿CD ，然后退到点E 处，此时恰好看到竹竿顶端D 与电线杆顶端B 重合；小亮又在点C 1处直立高3m 的竹竿C 1D 1，然后退到点E 1处，此时恰好看到竹竿顶端D 1与电线杆顶端B 重合。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是数学中的重要概念，它们的图像和性质对于初中数学学习者来说是必须掌握的内容。
在本文中，我将详细介绍三角函数的图像与性质，并给出一些例子和说明，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这些知识。
一、正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像是一条连续的曲线，呈现出周期性变化。
正弦函数的性质包括：1. 周期性：正弦函数的周期是2π，即在每个2π的区间内，正弦函数的图像重复出现。
2. 幅度：正弦函数的幅度表示波峰和波谷的最大差值，通常记为A。
幅度越大，波峰和波谷的差值越大。
3. 对称性：正弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = -f(-x)。
4. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即f(x) = -f(x)。
举例说明：假设有一条正弦函数的图像，周期为2π，幅度为1。
在区间[0, 2π]内，正弦函数的图像先从0逐渐上升到1，然后下降到0，再下降到-1，最后又上升到0。
这样的周期性变化会一直重复下去。
根据正弦函数的性质，可以得出该图像关于y轴对称，且是奇函数。
二、余弦函数的图像与性质余弦函数也是一种常见的三角函数，它的图像和正弦函数有些相似，但也有一些不同之处。
余弦函数的性质包括：1. 周期性：余弦函数的周期也是2π，与正弦函数相同。
2. 幅度：余弦函数的幅度也表示波峰和波谷的最大差值，通常记为A。
与正弦函数不同的是，余弦函数的幅度表示波峰和波谷的绝对值最大差值。
3. 对称性：余弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = f(-x)。
4. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即f(x) = f(x)。
举例说明：假设有一条余弦函数的图像，周期为2π，幅度为1。
在区间[0, 2π]内，余弦函数的图像先从1逐渐下降到0，然后下降到-1，再上升到0，最后又上升到1。
这样的周期性变化会一直重复下去。
根据余弦函数的性质，可以得出该图像关于y轴对称，且是偶函数。
三、正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一种重要函数，它的图像与正弦函数和余弦函数有很大的不同。
初中数学：9年级数学求三角函数值,角边转化,相似,勾股定理.doc
初中数学：9年级数学求三角函数值，角边转化，相似，勾股定理
如图，在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD 上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM=．很显然，题目中的核心问题是如何利用∠NMB=∠MBC 这个条件。
要求tan∠ABM，就是求AM：AB的值。
也就是求的数值的比值，所以我们想到把角相等的条件转化为边相等。
怎么转化呢？这两个角好像是三角形或者梯形的两个底角，所以我们可以添加辅助线将这两个角放入三角形或者梯形中，这样的话，角相等就变成了边相等。
再利用正方形和N为中点这一系列的条件加以求解。
过N点作NP平行于MB交BC于P点，则MNPB为等腰梯形，MN=PB
设正方形的边长为2a，pc=x
我们设立了两个未知数，但是我们所要求的是tan∠ABM，就是求AM：AB的值。
所以我们只需要建立一个方程就可以了。
（两个方程才能解两个未知数，一个方程可以求两个未知数的比值）。
易得：△BAM∽△NCP，所以BA:NC=AM:CP，即2a:a=AM:x，所以AM=2x
MD=2a-2x，下面我们就利用MN=BP这个条件来建立方
程：
这个题目从利用辅助线将角与边的转化，到利用相似三角形，勾股定理建立方程。
是一道综合性较强的题目，但是每一步都是我们常用的解题思路，大家在学习的过程中要注意积累。
专题14 三角函数选填题-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
()
A． 表高B． 表高
A．346B．373C．446D．473
11．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第9题)已知 ，且 ，则 ()
A． B． C． D．
12．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第7题)设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为()
()
A． B． C． D．
13．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第2题)若α为第四象限角，则()
C． D．
34．(2014高考数学课标2理科·第4题)钝角三角形ABC的面积是 ，AB=1，BC= ，则AC=()
A．5B． C．2D．1
35．(2014高考数学课标1理科·第8题)设 , ,且 ,则()
A． B． C． D．
二、多选题
36．(2022新高考全国II卷·第9题)已知函数 的图像关于点 中心对称，则()
B．把 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线
C．把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线
D．把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线
25．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题)设函数 ，则下列结论错误的是()
A． 的一个周期为 B． 的图像关于直线 对称
C． 的一个零点为 D． 在 单调递减
相似三角形、三角函数、反比例函数知识点总结(导学案)
相似三角形知识点总结 1. 比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c da b c d a d b c a c ==()a 、d 叫 ，b 、c 叫 ，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的 。
把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使 ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。
黄金比（黄金数）是 .例:线段AB=10m,点Ｐ是线段AB 的黄金分割点，则ＡＰ＝ .2. 比例性质：（１）基本性质 （２）合比性质 （３）等比性质3、相似比:相似多边形对应边长度的比叫做相似比(比例系数)．4、 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF ===5、平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
BC DE AC AE AB AD ==( A 字型 ) (X 字型)6、 相似三角形的判定：① 对应相等，两个三角形相似 ② 对应成比例且 相等，两三角形相似 ③ 对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的 和 与另一个直角三角形的和 对应成比例，那么这两个直角形相似。
⑤ 三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。
【注：三角形相似是证明乘积式、比例式的有效工具，同时也是三角形中求线段长的重要手段】7、相似三角形的性质:①相似三角形的 相等 ②相似三角形的 成比例③相似三角形 的比、 的比和 的比都等于相似比E B D (3)B CA E④相似三角形比等于相似比，比等于相似比的平方8、位似：如果两个图形不仅是图形，而且每组都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.【注：位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，位似图形是相似图形，但相似图形是位似图形. 位似图形的对应边互相平行或共线位似图形上任意一对对应点到的距离之比等于相似比.】9、画位似图形的一般步骤：（1）确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）（2）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.（3）根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.（4）顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形.10、在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k（k>0）,原图形上点的坐标为（x,y）,那么对应点的坐标为(,) 【同向位似图形】或 (,) 【反向位似图形】,锐角三角函数1、锐角∠A的三角函数（按右图Rt△ABC填空）∠A的正弦：sin A = ,∠A的余弦：cos A = ,∠A的正切：tan A = ,∠A的余切：cot A =2、锐角三角函数值，都是实数（正、负或者0）；3、正弦、余弦值的大小范围：＜sin A＜；＜cos A＜4、tan A•cot A = ； tan B•cot B = ；5、sin A =cos（90°- ）；cos A = sin（ -）6、填表7、在Rt △ABC 中，∠C ＝90゜，AB ＝c ,BC ＝a ，AC ＝b ,1）、三边关系（勾股定理）：2）、锐角间的关系：∠ +∠ = 90°3）、边角间的关系：sin A = ； sin B = ；cos A = ； cos B = ； tan A = ； tan B = ；4）、倒数关系： ；5）、商的关系： ；6）、平方和的关系： ；8、图中角 可以看作是点A 的 角也可看作是点B 的 角； 9、（1）坡度（或坡比）是坡面的 高度（h ）和 长度（l ）的比。
三角函数的关系与应用
三角函数的关系与应用三角函数是数学中的重要概念，它们在几何学、物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
本文将探讨三角函数之间的关系以及它们在实际问题中的应用。
一、三角函数的定义与关系1. 正弦函数（sine function）是一个周期函数，它的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
正弦函数的图像是一条连续的曲线，它在每个周期内都有一段上升和一段下降。
2. 余弦函数（cosine function）也是一个周期函数，它的定义域和值域与正弦函数相同。
余弦函数的图像与正弦函数的图像非常相似，只是相位有所不同。
3. 正切函数（tangent function）是一个无穷函数，它的定义域是实数集，值域是整个实数集。
正切函数的图像是一条连续的曲线，它在每个周期内都有一个渐近线。
这三个函数之间有一些重要的关系。
首先，正弦函数和余弦函数是互补的，即sin(x) = cos(π/2 - x)，cos(x) = sin(π/2 - x)。
其次，正切函数可以用正弦函数和余弦函数表示，即tan(x) = sin(x) / cos(x)。
二、三角函数的应用1. 几何学中的应用三角函数在几何学中有广泛的应用。
例如，我们可以利用正弦定理和余弦定理来计算三角形的边长和角度。
正弦定理表明，在一个三角形中，三条边的比值与对应的正弦值成比例。
余弦定理则可以用来计算三角形的边长，它表明一个三角形的边长与对应的余弦值的平方成反比。
2. 物理学中的应用三角函数在物理学中也有重要的应用。
例如，我们可以利用正弦函数来描述波动的性质。
正弦函数可以用来表示周期性的波动，例如声波和光波。
正弦函数的振幅可以表示波的强度，而频率则表示波的周期。
另外，三角函数还可以用来描述旋转运动的性质，例如物体绕轴旋转的角速度。
3. 工程学中的应用在工程学中，三角函数也有广泛的应用。
例如，我们可以利用正弦函数来描述交流电的变化。
交流电的电压和电流都是周期性变化的，它们可以用正弦函数来表示。