反证法与放缩法

三 反证法与放缩法[学习目标] 1.理解反证法在证明不等式中的作用，掌握用反证法证明不等式的方法.2.掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．[知识链接]1．在阅读教材的基础上，想一想哪些命题或不等式适合用反证法证明？答案 存在性命题、否定性命题、唯一性命题或结论中出现“至少”、“至多”、“全都”等字词的命题或不等式．2．用放缩法证明不等式常用的放缩方法有哪些？答案 ①添加或舍去一些项；②将分子或分母放大(或缩小)；③真分数的性质：若0＜a ＜b ，m ＞0，则a b ＜a ＋m b ＋m； ④利用基本不等式；⑤利用函数的单调性；⑥绝对值不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.⑦利用函数的有界性：如：|sin x |≤1(x ∈R )；x 2－x ≥－14(x ∈R )；2x ＞0(x ∈R )． [预习导引]1．反证法 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质，明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．2．放缩法 将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)使它由繁化简，达到证明目的．如果所要证明的不等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值缩小，反之，把分母缩小，则分式的值放大.要点一 反证法证明不等式例1 已知：a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0.求证：a ＞0，b ＞0，c ＞0.证明 假设a 、b 、c 不全是正数，即至少有一个小于或等于0.又abc ＞0，不妨假设a ＜0，则bc ＜0.∵b ＋c ＞－a ＞0，∴－a (b ＋c )＞0.∴a (b ＋c )＜0，又∵bc ＜0，∴bc ＋a (b ＋c )＜0.即ab ＋bc ＋ca ＜0.这与已知ab ＋bc ＋ca ＞0矛盾．∴假设不成立．故a ＞0，b ＞0，c ＞0成立．规律方法 用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理相矛盾的结论，从而肯定原命题成立．跟踪演练1 已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＞2，求证1＋y x 与1＋x y中至少有一个小于2. 证明 假设1＋y x ≥2且1＋x y≥2. ∵x ＞0，y ＞0，∴1＋y ≥2x ①1＋x ≥2y ②①＋②得2＋(x ＋y )≥2(x ＋y )，即x ＋y ≤2，与x ＋y ＞2矛盾．∴假设不成立，故1＋y x 与1＋x y中至少有一个小于2. 要点二 放缩法证明不等式例2 设S n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)，求证：不等式n (n ＋1)2＜S n ＜(n ＋1)22对所有的正整数n 都成立． 证明 ∵S n ＞12＋22＋…＋n 2＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 且S n ＜1＋22＋2＋32＋…＋n ＋n ＋12＝32＋52＋…＋2n ＋12＜12＋32＋52＋…＋2n ＋12＝(n ＋1)22∴n (n ＋1)2＜S n ＜(n ＋1)22. 规律方法 用放缩法证明不等式的过程中，往往采用“添舍”放缩、分项放缩、函数的单调性放缩、重要不等式放缩等，放缩时要注意适度，否则不能同向传递．本例是利用n 2＜n (n ＋1)＜n ＋(n ＋1)2放缩，进而求证． 跟踪演练2 设f (x )＝x 2－x ＋14，且|x －a |＜1.求证：|f (x )－f (a )|＜2(|a |＋1)．证明 由|f (x )－f (a )|＝|x 2－a 2＋a －x |＝|(x －a )(x ＋a －1)|＝|x －a ||x ＋a －1|＜|x ＋a －1|＝|(x －a )＋2a －1|≤|x －a |＋|2a |＋1＜|2a |＋2＝2(|a |＋1).要点三 放缩法在数列中的综合应用例3 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项；(2)证明：n 2－13＜a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＜n 2(n ∈N ＋)． (1)解 ∵a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N ＋)，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．∴a n ＋1＝2n ，即a n ＝2n －1(n ∈N ＋)．(2)证明 ∵a n a n ＋1＝2n －12n ＋1－1＝1－12n 2－12n ＜12， ∴a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＜n 2. ∵a k a k ＋1＝2k －12k ＋1－1＝12－12(2k ＋1－1)＝12－13·2k ＋2k －2≥12－13⎝⎛⎭⎫12k ，k ＝1,2,3，…，n . ∴a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n a n ＋1≥n 2－13＋13⎝⎛⎭⎫12k ＞n 2－13. ∴n 2－13＜a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＜n 2(n ∈N ＋)． 规律方法 解数列不等式综合题要注意①数列不等式综合题难度大，内容丰富，是考查数学能力的良好载体；②数列问题重点在数列通项上，解决问题的方法也蕴含在其中，注意考察的方式； ③注意放缩的尺度，过大过小都不能解决问题．跟踪演练3 求证：12＋34＋58＋…＋2n －12n ＜3(n ∈N ＋)． 证明 设S ＝12＋34＋58＋…＋2n －12n ， 将等式两边乘以12得，12S ＝14＋38＋516＋…＋2n －12n ＋1. 将两式相减得，12S ＝12＋2⎝⎛⎫14＋18＋116＋…＋12n －2n －12n ＋1＝12＋1－2n ＋32n ＋1. ∴S ＝3－2n ＋32n ，又2n ＋32n ＞0， ∴S ＜3，即12＋34＋58＋…＋2n －12n ＜3(n ∈N ＋).1．实数a ，b ，c 不全为0等价于( )A ．a ，b ，c 均不为0B ．a ，b ，c 中至多有一个为0C ．a ，b ，c 中至少有一个为0D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0答案 D解析 a ，b ，c 不全为0，等价于“a ，b ，c 中至少有一个不为0”．2．已知a ，b ，c ，d 都是正数，S ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋d c ＋d ＋b，则有( ) A ．S ＜1 B ．S ＞1C ．S ＞2D ．以上都不对答案 B解析 S ＞a a ＋b ＋c ＋d ＋b a ＋b ＋c ＋d ＋c a ＋b ＋c ＋d ＋d a ＋b ＋c ＋d＝1. 3．否定“自然数a 、b 、c 中恰有一个为偶数”时正确的反设为( )A ．a 、b 、c 都是奇数B ．a 、b 、c 都是偶数C ．a 、b 、c 中至少有两个偶数D ．a 、b 、c 中至少有两个偶数或都是奇数答案 D解析 三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a 、b 、c 中恰有一个为偶数只包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D 项符合．4．求证：1＋122＋132＋…＋1n 2＜2(n ∈N ＋)． 证明 1＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋11·2＋12·3＋…＋1n (n －1)＝1＋⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝2－1n＜2.(1)当证明的结论中含有“不是”“不都”“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体．(2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式①与已知相矛盾，②与假设矛盾，③与显然成立的事实相矛盾．(3)放缩法常用结论有： ①1k ＝2k ＋k ＞2k ＋k ＋1＝2(k ＋1－k )， 1k ＝2k ＋k ＜2k ＋k －1＝2(k －k －1)(k ∈N ＋，k ＞1)； ②1k 2＜1k (k －1)＝1k －1－1k ；1k 2＞1k (k ＋1)＝1k －1k ＋1(程度大)； ③1k 2＜1k 2－1＝1(k －1)(k ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1k －1－1k ＋1(程度小)． 反证法与放缩法1．设a ，b ，c ∈R ＋，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 必要性是显然成立的；当PQR ＞0时，若P ，Q ，R 不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P ＞0，Q ＜0，R ＜0，则Q ＋R ＝2c ＜0，这与c ＞0矛盾，即充分性也成立．2．若|a －c |<h ，|b －c |<h ，则下列不等式一定成立的是( )A ．|a －b |<2hB ．|a －b |>2hC ．|a －b |<hD ．|a －b |>h解析：选A |a －b |＝|(a －c )－(b －c )|≤|a －c |＋|b －c |<2h .3．设x ，y 都是正实数，且xy －(x ＋y )＝1，则( )A ．x ＋y ≥2(2＋1)B ．xy ≤2＋1C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．xy ≥2(2＋1)解析：选A 由已知(x ＋y )＋1＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，∴(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0.∵x ，y 都是正实数，∴x >0，y >0，∴x ＋y ≥22＋2＝2(2＋1)．4．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b 与a <b 及a ≠c 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 若(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，则a ＝b ＝c ，与已知矛盾，故①对；当a >b 与a <b 及a ≠c 都不成立时，有a ＝b ＝c ，不符合题意，故②对；③显然不正确．5．若要证明“a ，b 至少有一个为正数”，用反证法证明时作的反设应为________． 答案：a ，b 中没有任何一个为正数(或a ≤0且b ≤0)6．lg9·lg11与1的大小关系是________．解析：∵lg 9＞0，lg 11＞0， ∴lg 9·lg 11＜lg 9＋lg 112＝lg 992＜lg 1002＝1， ∴lg 9·lg 11＜1.答案：lg 9·lg 11＜17．设x ＞0，y ＞0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y 1＋y ，则A ，B 的大小关系是________． 解析：A ＝x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y ＜x 1＋x ＋y 1＋y＝B . 答案：A ＜B8．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1.求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数．由a ＋b ＝c ＋d ＝1知a ，b ，c ，d ∈[0,1]．从而ac ≤ac ≤a ＋c 2，bd ≤bd ≤b ＋d 2， ∴ac ＋bd ≤a ＋c ＋b ＋d 2＝1， 即ac ＋bd ≤1，与已知ac ＋bd >1矛盾，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．9．已知a n ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)(n ∈N *)．求证：n (n ＋1)2<a n <n (n ＋2)2. 证明：∵n (n ＋1)＝n 2＋n ， ∴n (n ＋1)>n ，∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)>1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. ∵n (n ＋1)<n ＋(n ＋1)2， ∴a n <1＋22＋2＋32＋3＋42＋…＋n ＋(n ＋1)2＝n 2＋(1＋2＋3＋…＋n )＝n (n ＋2)2. 综上得n (n ＋1)2<a n <n (n ＋2)2.10．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若a ＋c ＝0，f (x )在[－1,1]上的最大值为2，最小值为－52. 求证：a ≠0且⎪⎪⎪⎪b a <2.证明：假设a ＝0或⎪⎪⎪⎪b a ≥2.①当a ＝0时，由a ＋c ＝0，得f (x )＝bx ，显然b ≠0.由题意得f (x )＝bx 在[－1,1]上是单调函数，所以f (x )的最大值为|b |，最小值为－|b |.由已知条件得|b |＋(－|b |)＝2－52＝－12， 这与|b |＋(－|b |)＝0相矛盾，所以a ≠0.②当⎪⎪⎪⎪b a ≥2时，由二次函数的对称轴为x ＝－b 2a， 知f (x )在[－1,1]上是单调函数，故其最值在区间的端点处取得 .所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a ＋b ＋c ＝2，f (－1)＝a －b ＋c ＝－52或⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a ＋b ＋c ＝－52，f (－1)＝a －b ＋c ＝2.又a ＋c ＝0，则此时b 无解，所以⎪⎪⎪⎪b a <2.由①②，得a ≠0且⎪⎪⎪⎪b a <2.。