十七章--高斯光束的物理特性
高斯光束的基本质及特征参数
e
2
2
2 2 H n Hm x
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• For distance well beyond the Rayleigh range f the radius then increases again as R(z)z, i.e., the gaussian beam becomes essentially like a spherical wave centered at the beam waist. What this means in physical terms is that the center of curvature of the wavefront starts out at – for a wavefront right at the beam waist, and then moves monotonically inward toward the waist, as the wavefront itself moves outward toward z .
，说明球心在共焦腔腔外 当 z f时, z R( z) f ，说明球心在共焦腔腔内
当 z f时, z R( z) f
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• The radius of curvature R(z) has a variation with distance given analytically by
1 1 1 i q0 q (0) R (0) 2 (0)
高斯光束瑞利长度
高斯光束瑞利长度高斯光束瑞利长度是一个涉及到激光物理和光学领域的概念。
它描述了高斯光束在传播过程中，其强度分布的横向变化情况。
这个概念对于理解激光的聚焦、传输和成像等过程具有重要的意义。
首先，让我们了解一下高斯光束的基本性质。
高斯光束是一种理想化的光束模型，它描述了光在波前上的强度分布。
高斯光束的强度分布呈现出一种以光束中心为对称轴的钟形曲线，越靠近中心，强度越高。
瑞利长度是高斯光束的一个重要参数。
它表示光束横截面上的光强分布曲线在某个特定点开始偏离高斯分布的长度。
这个特定点通常被定义为高斯分布的50%处，即光强为最大值一半的地方。
瑞利长度通常用zR表示，其中z是沿光束传播方向的距离，R是光束的半径。
高斯光束的瑞利长度与激光的波长和聚焦条件有关。
对于给定的激光波长，聚焦条件决定了光束的半径R。
而光束的半径R又会影响到瑞利长度的值。
一般来说，光束半径越小，瑞利长度越长。
这表明光束在传播过程中偏离高斯分布的程度较小。
在实际应用中，高斯光束的瑞利长度对于激光系统的设计和优化具有重要的指导意义。
例如，在激光加工和激光雷达等领域，需要精确控制激光的光强分布和聚焦位置。
了解高斯光束的瑞利长度可以帮助我们更好地预测和控制激光的传播特性，从而提高系统的性能和稳定性。
此外，高斯光束瑞利长度还在光学通信和光学成像等领域有着广泛的应用。
在光学通信中，瑞利长度可以用来描述光信号在光纤中的传播特性。
而在光学成像中，瑞利长度可以帮助我们理解图像的模糊程度以及如何通过改变光学系统的参数来提高成像质量。
总之，高斯光束瑞利长度是一个重要的光学概念，它描述了高斯光束在传播过程中强度分布的横向变化情况。
理解这个概念可以帮助我们更好地理解和应用激光物理和光学领域的相关知识，为实际应用提供重要的指导意义。
第5讲 高斯光束
p
'(
z)
i q(z)
r 0项系数
– 该式称为类透镜介质中的简化的波动方程。
5.0 （继续)类透镜介质中的波动方程
• 从麦克斯韦方程组出发，推导出各向同性、无电荷分布介质中的波动
方程为：
u 2E 2E
t 2
• 若假设其解为修正平面波，且将类透镜介质折射率表达式带入其中可
以得到： 2 2ik ' kk 2r2 0 • 其中 (x, y, z) 为修正因子，若假设其形式为：
20
将上述参数带入到光场的表达式， 整理可以得到光场的表达式： E(x, y, z)
(x, y, z)e ikz
E0
0 (z)
exp
i
kz
(z)
i
kr 2 2q(z)
E0
0 (z)
exp
i
kz
(z)
r
2
20
E(x, y, z)
E0
0 (z)
exp
r2
2( z)
exp
i
kz
(z)
kr2 2R( z)
•该式所表示的是均匀介质中波动方程的一个解，称为基本高斯光束解， 其横向依赖关系只包含r，而与方位角无关。那些与方位角相关的分布是 高阶高斯光束解。
波动方程 也称亥姆 霍兹方程
波动方程
2E0 k 2(r)E0 0
k 2(r) 2u (r)
波动方程 也称亥姆 霍兹方程
第5讲-高斯光束
20
lim(z) z z 0 z0
• 高斯光束在轴线附近可以看成一种非均匀高斯球面 波，在传播过程中曲率中心不断改变，其振幅在横 截面内为一高斯分布，强度集中在轴线及其附近， 且等相位面保持球面。
5.3 均匀介质中的高阶高斯光束
• 前面推导均匀介质中的基模高斯光束解时曾假设振幅横向分布与方位 角无关，如果考虑方位角的变化 0 ，则算符可以表示为：
53均匀介质中的高阶高斯光束0????22222211zrrrr?????????????????????????????2222222210222210dxdxxxdxdxdydxxyrdydy????????????????????????????????????????????????????????????????????????????022ikzxyexyze????????????????????????其解为厄米多项式?仍为基本高斯光束解所以总的解为?其中的mn为xy方向上的零点数此时高阶高斯光束分布为厄米高斯光束表示为temmn模式
ω/2
ω
3ω/2
2ω
功率透过比 39.3% 86.5% 98.89% 99.99%
在激光应用中，高斯光束总要通过各种光学元件，从上面推导可知，只要
光学元件的孔径大于3ω/2，即可保证高斯光束的绝大部分功率有效透过。
5.1 均匀介质中的高斯光束
• 远场发散角
– 从高斯光束的等相位面半径以及光束半径的分布规律可以知道，在瑞利
E
0
0 (z)
exp
i
kz
(z)
i
kr 2 2q(z)
E
0
0 (z)
exp
i
kz
第5讲 高斯光束
第5讲 高斯光束---激光器基本光束
重复5.4 波动方程=数学基础+物理概念
• 类透镜介质中的波动方程---博士生考试
– 在各向同性、无电荷分布的介质中，Maxwell方程组的微分形式为：
H
E t
(1)
对2式求旋度：
E u H u 2E
E0
exp
i
p(z)
k 2q(z)
r2
• 可得到简化的波动方程：
1 q(z)
2
1 q(z)
'
k2 k
0
p
'(
z)
i q(z)
5.1 均匀介质中的高斯光束
– 均匀介质可以认为是类透镜介质的一种特例，即k2=0时的类透镜介质，此时简化 波动方程为：
t
t 2
E E 2E 且由3式：
E
u
H t
(2)
E 0
(3)
E E E 0 E 1 E
在各向同性介质中有介电常数不随位置而发生变化，即
的瑞利长度，通常记作 f 。
在实际应用中，一般认为基模高斯光束在瑞利长度范围内是近似平行的，因此也
把瑞利距离长度称为准直距离。从瑞利长度表达式
z
0
2 0
/
可以得
出结论，高斯光束的束腰半径越大，其准直距离越长，准直性越好。
高斯光束的传播特性PPT课件
z1 , z2——等价稳定球面腔二镜至z原点
第18页/共41(页对称共焦腔中心)距离(含符号).
R1 L
R’
R2
L’
共焦腔与稳定球面腔的等价性
R1
R(z1) (z1
f 2) z1
R2
R(z2) (z2
R2
L
R1 R2 2L
0
L'并且L' 2 f 2
1
0
2
LR1
LR2 R1
LR1 R2 2L2
R2
L 4
第23页/共41页
(2)原球面腔镜面的基横模光束有效截面半径
f
LR1
LR2
LR1
R2
L
R1 R2 2L
z1
LR2 L
R1 R2 2L
z2
LR1 L
R1 R2 2L
等价于唯一的一个对称共焦腔f.
f =2L
(2)由稳定球面腔的( R1 , R)2, , L
R1
R2
L
求出 ( z1 ,)z及2 等价对称共焦腔参数
( f )为
R1
z1
[1 ( f )2] z1
R2
z2
[1
(
f z2
)2
]
z1 z2 L
z1
LR2 L
R1 R2 2L
z2
LR1 L
R1 R2 2L
(z) s
2
1 2 s
2
1
4z2 L2
第2页/共41页
(z) s 1 2 s
2
5 高斯光束和超短脉冲光束基本性质-Lu revised
1.高斯光束的束宽
2 w( z )=w0 1 z 2 / Z R
高斯光束在z=常数的面内，场振幅以高斯函数的形式从 中心向外平滑的减小。束宽随坐标z按双曲线 w2 ( z ) z 2 2 1 2 w0 ZR
规律向外扩展，
z 0时，w( z) w0取最小值。
x2 y 2 x2 y 2 w0 A( x, y, z ) exp 2 exp i k ( z) w( z ) w ( z) 2 R( z )
x
y
y ) dxdy (5)
综上，由
A(0)
求
A(z)
的过程可分为三步：
A( x, y,0) A(kx , k y ,0) A(kx , k y , z) A(x, y, z )
F 乘以相位因子 逆FT
以下按此步骤求高斯光束解
x2 y 2 设初始光场为高斯分布：A( x, y, 0) exp 2 w0
高斯光束的基本性质
x2 y 2 x2 y 2 w0 A( x, y, z ) exp 2 exp i k ( z) w( z ) w ( z) 2 R( z )
F 高斯脉冲光束可以看作是不同频率脉冲的叠加， ( 0 ) 为频谱分布函数。
E ( x, y, z , t ) F ( 0 ) A( x, y, z ) exp(it ' )d r 2 iZ R ' F ( 0 ) exp i exp(it )d q( z ) 2cq( z ) ( 0 )r 2 i0 r 2 iZ R F ( 0 ) exp i ) exp i ( 0 )t ' exp(i0t ' )d exp( q( z ) 2cq( z ) 2cq( z ) ( 0 )r 2 i0 r 2 iZ R ' ' exp( ) exp(i0t ) F ( 0 ) exp i exp i ( 0 )t d (8) q( z ) 2cq( z ) 2cq( z ) i0 r 2 iZ R r2 ' ' exp( ) exp(i0t ) F (t ) q( z ) 2cq( z ) 2cq( z )
第讲高斯光束
也称亥姆 霍兹方程
波动方程
波动方程
2E0k2(r)E0 0
k2(r)2u(r)
也称亥姆 霍兹方程
– 当考虑到介质中存在增益和损耗的情况时，上
k2(r) 式2u最(r后)1一i项(r可)以当表 示0为： 代表吸 收0 介质，
上式表示复数波数代. 表增益介质
波动方程
我们考虑波数表k2(示r) 形k2 式0k 为0k2r2的情 其中k0、k2都可以是复数，况这个表达式可
• 若假(设x, y其, z)解为修正平面波，且将类透镜介 • 质其式折为中E0e射：xp率 i表p(达z)式2qk带(为z)入r修2 其正中因p可子q'((1zz以))， 2得若q(到iqz假)(1z：)设 '其kk2 形 0
5.1 均匀介质中的高斯光束
– 均匀介质可以认为是类透镜介质的一种特例，即 k2=0时的pq'(类(1zz)) 2透q(iqz镜)(1z)q(1'介zk)k2 质 0SS，'((zz))此q12 时 简1q 化' 波0 动SS'方2程S"为SS：2(S')2 0
(z)
r
2
1 2(
z)
ik 2R(z)
E
0
0 (z)
exp
r2 2(z)
exp
i
kz
(z)
kr 2 2R(z)
经典公式---永远有用
2( z )
2 0
1
z
2 0
2
2 0
1
z2
z
2 0
R(z)
z
1
2 0
z
2
z
1
z
3[1].3高斯光束的传播特性(新)
厄米-高斯光束 一、方形镜对称共焦腔的行波场 － 厄米 高斯光束 1、推导方法 、 镜面上的场 菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式 菲涅耳 基尔霍夫衍射积分公式 腔内、 腔内、外任一点的场
2、腔中的场分布——是由腔的一个镜面M1上的场产生，并沿 腔中的场分布——是由腔的一个镜面 上的场产生， —— 着腔的轴线而传播的行波场。 着腔的轴线而传播的行波场。
当 z0 = 0 时， R (z 0 ) → ∞ 当 z0 → ∞ 时， R (z 0 ) → ∞ 当 z 0 = ± f 时，R( z ) = L
0
共焦腔的反射镜面是 两个等相位面， 两个等相位面，与场 的两个等相位面重合 且曲率半径最小。 ，且曲率半径最小。
2 z0 x2 + y 2 x2 + y 2 L ≈− =− 2 L L 2 2 z0 1+ 2 z0 1 + L 2 z0
R0 = z 0 [1 + (
L 2 ) ] 2 z0
腔中点或距腔中点无限 远处， 远处，等相面为平面
定义
ζ = 2z L
y⋅
共焦腔内或腔外的一点的行波场的解析式： 得共焦腔内或腔外的一点的行波场的解析式：
2 2 2 2 ⋅ ⋅ umn ( x, y , z ) = Cmn H m x H n 1+ ζ 2 w 1+ ζ 2 w s s 2 x2 + y2 exp − 1 + ζ 2 ⋅ w 2 exp (− iφ (x, y , z )) s
2 2 u mn ( x, y , z ) = C mn H m ⋅ 1+ ζ 2 w s
高斯光束测定实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 加深对高斯光束物理图像的理解；2. 学会对描述高斯光束传播特性的主要参数，即光斑尺寸、远场发散角的测量方法进行掌握；3. 学习体会运用微机控制物理实验的方法。
二、实验原理1. 高斯光束的传播特性高斯光束的振幅在传播平面上呈高斯分布，近场时近似为平面波，远场时近似为球面波。
高斯光束的振幅分布公式为：\[ I(r, z) = I_0 \exp\left(-\frac{2r^2}{w_0^2(z)}\right) \]其中，\( I(r, z) \) 为距离光轴距离为 \( r \) 处，距离光束传播方向为 \( z \) 处的光强；\( I_0 \) 为光束中心处的光强；\( w_0 \) 为光束中心处的光斑尺寸。
光斑尺寸 \( w(z) \) 与光束中心处的光斑尺寸 \( w_0 \) 的关系为：\[ w(z) = w_0 \sqrt{1 + \left(\frac{z}{z_r}\right)^2} \]其中，\( z_r \) 为光束的瑞利长度。
2. 发散角的定义及测量光束的全发散角定义为光束中光强下降到中心光强的 \( 1/e \) 位置时，光束边缘与光轴所成的角度。
在远场情况下，光束的全发散角近似为：\[ \theta = \frac{1.22 \lambda}{w(z)} \]其中，\( \lambda \) 为光束的波长。
三、实验仪器与设备1. 激光器：输出波长为 \( \lambda = 632.8 \) nm 的红光激光；2. 凹面镜：曲率半径为 \( R = 50 \) cm；3. 平面镜：用于反射激光；4. 光电探测器：用于测量光强；5. 数据采集卡：用于采集光电探测器数据；6. 计算机：用于处理实验数据。
四、实验步骤1. 将激光器输出光束照射到凹面镜上，使光束经凹面镜反射后形成高斯光束；2. 将光电探测器放置在凹面镜后的某个位置，调整探测器位置，使探测器接收到的光强最大；3. 记录探测器接收到的光强 \( I \)；4. 根据公式 \( I = I_0 \exp\left(-\frac{2r^2}{w_0^2(z)}\right) \) 求解光斑尺寸 \( w_0 \)；5. 根据公式 \( \theta = \frac{1.22 \lambda}{w(z)} \) 求解发散角\( \theta \)；6. 重复步骤 3-5，改变探测器位置，记录不同位置的光强 \( I \) 和发散角\( \theta \)。
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. . 17章--高斯光束的物理特性
之前的章节建立了计算在真空中的光束特性的分析工具，然而，我们也需要对真实光束特性的物理的，直观的理解--下两节将尝试建立一个了解。 特别地，我们以前章节介绍的哈密顿-高斯和拉格拉日-高斯模型都是数学方面的，而且也为拥有有限直径反射镜的、稳定的、激光共振器的传输模型提供了好的近似。因此高斯或者类高斯光束在分析激光问题和有关光学系统的问题得到广泛的应用。高斯光束特性的物理和数学理解是特别重要的。在这章里我们回顾在真空中的理想高斯光束的大多数重要的物理特性。
17.1 高斯光束特性 在本节中我们首先观察低阶高斯光束物理的性质，包含光圈传输，平行光距离，远场角光束传播和高斯光束传播的其他的实际方面。
解析表达式 让我们总结低阶高斯光束的特点在一斑点尺寸ω0和在横向尺寸的平面波前R0=∞情况下，在一个简化的参考平面，我们令z=0.从今以后，这个平面将被显而易见的原因证明为束腰。 如图17.1所示： .
. 在另外平面z的高斯光束的归一场方向图将有以下方程 复合的曲率半径与光斑的尺寸和曲率半径在任意z平面都有以下定义关系： 在真空中参数遵守传输定理： 有初始值 .
. 记在这些方程里的λ的值为光束在这些介质中传输的放射波长。 高斯光束所有重要的性质都能用束腰尺寸ω0和zzR⁄比值用以下方程联系：
换句话说，沿场方向的整个高斯光束以在束腰上的单一的因素ω0（或者q0̃，或
者zR）为特点，还有在介质传输的波长λ。
光圈传输 在分析真空中理想高斯光束传播特性前,我们可以简要的了解在任何真正的光学系统存在的有限尺寸光孔的渐晕效应. 光斑尺寸半径ω之后，高斯光束的强度减弱是非常迅速的。 一个实际的光孔必须是多大才能使高斯光束上的截断效应之前能被忽略。 猜想我们定义一束光的总功率为P=∬|ũ|2dA ，其中dA表示横截面的面积，在孔尺寸ω中高斯光束的辐射强度变化如下：
有效直径和均匀的拥有相同峰值强度和相同总功率的柱状光束的面积作为一束柱状高斯光束将是： . . 如图17.2所示。
孔明显比所需的要大，然而，要穿过一个真正的光斑尺寸为ω的，没有减掉外沿的高斯光束。例如，光斑尺寸为ω的高斯光束通过集中在直径为2a的圆孔时有极小的的能量会转让掉，，如图17.3所示：
图中标出了圆孔半径a的圆孔对于光斑尺寸ω光的传输比值。半径a=ω的孔可以传输高斯光束86％的总功率。我们定义光衰减到86％或者1e⁄ 时为孔尺寸。 然而过去记录里我们有更有用的归纳总结，当圆孔半径为a=（π2⁄）ω或者直径为πω时，孔将通过高斯光束超过99％的总功率。我们经常运用这作为实际的设计准则来设计高斯光束的孔面积，趋向于取“d=πω”或者是99％准则。（当d=3ω时，我们可以很好的观察到光孔将传输98.9％的功率.）图17.4展示. . 一些高斯光束重要的直径落在高斯光束轮廓上。
光圈衍射效应 然而，光学设计中应该注意到，与圆孔不一样的是方形边缘的孔，即使他们之削弱了一束光总功率中很小的一部分，也会产生光圈衍射效应如图17.5，这将致使传输光束在近场（fresnel）和远场（Fraunhofer）辐射图形产生剧烈的变形。 我们将在接下来的章节里介绍，例如，理想高斯光束在通过光斑尺寸为d=πω且有锐利边缘的圆孔时产生的衍射效应导致强度变化ΔI/I≈±17％的近场衍射涟漪，同样在远场轴向的峰强度大约17%的衰减。我们必须放大有锐利边缘的孔的尺寸d≈4.6ω来减少1%的衍射涟漪效应的影响。 . . 光束的准直：瑞利半径和共焦参数 另外一个重要的问题是理想高斯光束从束腰区域传播出来时衍射分散扩大的速度有多少，后者，实际上，我们要知道一束准直的高斯光束开始很大的分散之前的距离是多少？ 光斑尺寸ω随距离的变化由方程17.5给出，图17.6展示了两个不同的束腰. . 半径ω01 和ω02 > ω01 ，随着传输的距离剧烈的扩大。主要点是当入射光斑在束腰的尺寸ω0 越小，光束由于衍射分散得越迅速；再近场内保持准直一段比较短的距离；在远场分散一个大的束角。 实际上，在光束直径增加到束腰时的√2倍，或者是光斑面积加倍时，光束从束腰传播出来的距离由以下参数简单给定
术语瑞利半径有时候用于天线原理，描述准直的光束通过直径为d（假设d》λ）天线孔后开始剧烈的分散时的距离z≈d2/λ。因此我们采用相同的术语命名zR≡πω0
2/λ。高斯光束从束腰传播出时，瑞利范围标记了在‘近场’（fresnel）和‘远
场’（fraunhofer）区域的分解线。 换一种说法来讲，假如一束高斯光束从一个孔聚焦到束腰然后再扩散，在斑尺寸为√2ω0面之间的全部距离b可以表示为
b=2zR= 2πω02λ=confocal parameter (10) 共焦参数广泛用于描述高斯光束。，如图17.7所示，瑞利范围zR≡b/2在运用于大多数高斯光束有关的公式里。 .
. 准直高斯光束传播 在实际情况下，一束光的准直束腰区域在超过多少距离后扩大？为对这个问题得到更深的了解，我们可以设计高斯光束从一个直径为D的有微小汇聚的初始光圈传播出来，入图17.8所示，结果是光束在离开瑞利范围后缓慢的聚焦到束腰上，其尺寸为ω0，然后又从新扩散到另一边的相同直径D（或者说相同聚焦界限）的瑞利范围上。例如，我们选择孔直径为πω或者是穿过总功率为99%原则，所以我们在每一个结尾选定D=π×√2ω0。 然后准直光束距离和传输孔尺寸之间的关系用公式表达为
Collimated range=2zR=2πω02λ≈D2πλ. (11) 图17.8和表17.1展示了两束不同波长激光准直范围的典型的数据。一束可见光通过1cm的光孔能投射出有几毫米的有效直径的光束，它在传播50米后者更远距离后没有严重的衍射。 .
. 这样的光束能用于例如在建设项目中做准直的‘无重力的弦’。在光电池列阵的辅助下，能很容易的发现这样一束光的中心，而且在整个传输距离里准确性好于ω/20，或者一毫米的小部分。
远场光束角：“礼帽”准则 接下来我们设想在远场情况下，当光束尺寸随距离变化线性变化时，如图17.9.在z>>zR的远场下光束传播的角度是多少？ . . 由高斯光束方程（17.1~17.5），在远场中从尺寸为ω0的束腰通过的高斯光束，它的1/e强度斑尺寸如下 ω（z）=ω0zzR=λzπω0 （z>>zR） （12）
化简为 ω0×ω（z）≈λzπ （13） 将束腰的光斑尺寸和远场联系起来。高斯光束在远场中呈角度传播能用几种方法联系近场光束尺寸后者孔面积，这基于我们的要求。 例如，远场沿轴向的光束强度如下
因此，在轴向与总功率相同的光束强度分散到面积πω2（2）/2=λ2z2/2πω02。在远场中相等的‘礼帽’分散的立体角ΩTH(z)，由下给出
与此同时，由17.7给出的方程ATH=πω02/2为‘相同大礼帽’的柱状光束面积。这两个参数的乘积为 . . 源光圈尺寸（在束腰）和远场立体角传播的叉乘为为λ平方，尽管精确的数字基于我们选择的面积和立体角，在将来我们将看到更多细节。
远场光束角：1/e准则 另一个也是可能更合理的远场束角的定义用到光束直径的1/e或者86%准则，这样通过 在电场中巨大距离z里相应1/e强度的点的宽度定义的远场半角。 由以上定义得，在远场中，光束通过1/e强度的点组成半角θ1e⁄，如图17.9所示：
两倍的半角给出全角： 对于高斯光束，可以用更精确的公式化的表述，我们在第一章给出近似的关系Δθ≈λ/d。我们可以利用由有角的传输来定义圆锥相同的基础来定义高斯光束的立体角Ω1e⁄，或者
如之前记录一样，在远场中，这圆锥发散将包含光束总功率的86%。 猜想我们相同的1/e准则来定义在光束束腰的入射光束有效半径（忽略在束腰位置一个半径a=ω0的孔实际上在远场部分将产生大量的衍射效应）。在1/e定义下，有效圆孔面积A1/2≡πω02/2与有效远场立体角πθ1e⁄2的乘积为 . . 对于有普遍天线理论的高斯光束来说，这是一个十分精确的公式，表述如下 在物理学方面，这个定理说明， 假如我们测量平面波辐射从一个矢量角Ω=（θ，φ）方向到达 有效孔面积为A（Ω）的一个天线， 然后对所有可能角度dΩ的测量面积进行积分，，结果（任何形式的无损天线）大多数时候用于衡量波长λ。结果是固定的，不管是对于任何天线，不管是任何的无线电波，微波或者是光学波长。
远场光束角：守恒准则 最后，一个更为保守的方法来表示所有的点，我们可以用d=πω或者99%原则代替1/e原则来定义有效来源光圈尺寸和有效远场立体角。然后我们可以知道初始的斑尺寸ω0 从直径d=πω0源孔传输将产生含能量99%的远场光束，其锥形的分散角2θπ=πω（z）/z。在此基础之上，我们来源光圈面积Aπ为πd2/4和光束远场立体角Ωπ=πθπ2；这些可以用更保守的方式联系起来
我们介绍的准则中没有一个可以定义有效孔尺寸和极其精确的有效立体角，以上准则中我们选择哪一个取决于针对什么样的目标。
曲率半径 我们接下来来看高斯光束曲率半径随距离的变化。高斯光束曲率半径R（z）随距离变化规律如下：