2017-2018学年高中数学人教A版选修4-5优化课件 11

(3)k12<k2－1 1＝k－11k＋1＝12k－1 1－k＋1 1(程度小)．
2．对于任意 n∈N＋，求证：1＋212＋312＋412＋…＋n12<74. 证明：∵n12＝n1·n<nn1－1＝n－1 1－n1(n≥2)， ∴1＋212＋312＋412＋…＋n12 <1＋212＋3×1 2＋4×1 3＋…＋nn1－1 ＝1＋14＋12－13＋13－14＋…＋n－1 1－n1 ＝54＋12－n1＝74－n1<74.
三 反证法与放缩法
考纲定位
重难突破
1.理解反证法在证明不等式中的作 重点：1.理解反证法在证明不等式中的应用．
用，掌握用反证法证明不等式的方 2.掌握反证法证明不等式的方法．
法． 难点：掌握放缩法证明不等式的原理，并会用
2.掌握放缩法证明不等式的原理， 其证明不等式.
并会用其证明不等式.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，π)上单调递减． 又 fπ2＝0，故 x1＝π2. 当 n∈N*时，因为 f(nπ)f((n＋1)π)＝[(－1)nnπ＋1]·[(－1)n＋1(n＋1)π＋1]<0，且函数 f(x)的图象是连续不断的，所以 f(x)在区间(nπ，(n＋1)π)内至少存在一个零点．又 f(x)在区间(nπ，(n＋1)π)上是单调的，故 nπ<xn＋1<(n＋1)π. ∴xn1＋1<n1π，x2n1＋1<π12·n12.……………………………………………………8 分 因此，当 n＝1 时，x121＝π42<23；
利用反证法证明不等式的方法步骤 (1)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否 定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法． (2)当证明的结论中含有“不是”“不都”“不存在”等词语时，适于应用反证 法，因为此类问题的反面比较具体． (3)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式：①与已知矛盾；②与假 设矛盾；③与显然成立的事实相矛盾．
1证．明已：知假x设>01，＋x yy>≥0，2 且且1x＋y＋xy≥>22.，求证：1＋x y与1＋y x中至少有一个小于 2.
∵x>0，y>0，
∴，
②
①＋②得 2＋(x＋y)≥2(x＋y)，
即 x＋y≤2 与 x＋y>2 矛盾．
∴假设不成立，故1＋x y与1＋y x中至少有一个小于 2.
解析：由反证法的证明过程知正确顺序为③①②. 答案：③①②
3．A＝1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1与 n
n(n∈N＋)的大小关系是________．
解析：A＝
1＋ 1
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1≥ n
n＝ n
n.
答案： 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 ≥
123
n
n
探究一 反证法的应用 [例 1] 已知 f(x)＝x2＋px＋q， 求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2； (2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于12.
探究二 利用放缩法证明不等式
[例 2] 设 Sn＝ 1×2＋ 2×3＋…＋ nn＋1， 求证：不等式nn2＋1<Sn<n＋2 12对所有的正整数 n 都成立． [证明] ∵Sn> 12＋ 22＋…＋ n2＝1＋2＋…＋n＝nn2＋1. 且 Sn<1＋2 2＋2＋2 3＋…＋n＋n2＋1 ＝32＋52＋…＋2n2＋1 <12＋32＋52＋…＋2n2＋1＝n＋2 12 ∴nn2＋1<Sn<n＋2 12.
课时作业
[自主梳理] 一、反证法 先 假设要证的命题不成立 ，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、 定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、 明显成立的事实等) 矛盾 的结论，以说明 假设 不正确，从而证明原命题成立， 我们称这种证明问题的方法为反证法． 二、放缩法 证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值 放大 或 缩小 ，简化不等式， 从而达到证明的目的．我们把这种方法称为放缩法．
[双基自测]
1．否定“自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”时，正确的假设为( ) A．a，b，c 都是奇数 B．a，b，c 都是偶数 C．a，b，c 中至少有两个偶数 D．a，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数 解析：恰有一个的否定是至少有两个或都是，故选 D. 答案：D
2．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为 180°矛盾，故假 设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角． ③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序 为________．
放缩法在综合问题中的应用 [典例] (本小题满分 13 分)已知函数 f(x)＝xcos x－sin x＋1(x>0)． (1)求 f(x)的单调区间； (2)记 xi 为 f(x)的从小到大的第 i(i∈N*)个零点， 证明：对一切 n∈N*，有x121＋x122＋…＋x12n<23.
[解析] (1)f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x．令 f′(x)＝0， 得 x＝kπ(k∈N*).………………………………………………………………1 分 当 x∈(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)时，sin x>0，此时 f′(x)<0； 当 x∈((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)时，sin x<0，此时 f′(x)>0. 故 f(x)的单调递减区间为(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)，单调递增区间为((2k＋1)π， (2k＋2)π)(k∈N).…………………………………………………………………4 分
[证明] (1)f(1)＋f(3)－2f(2) ＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2. (2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于12. 则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2， 而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2 矛盾， ∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于12.
1．用放缩法证明不等式的过程中，往往采用添项“添舍”放缩、分项放缩、函
数的单调性放缩、重要不等式收缩等，放缩时要注意适度，否则不能同向传递．
2．利用常用结论：
(1)
1＝ k
2 k＋
k>
2 k＋
k＋1＝2(
k＋1－
k)，
1＝ k
2 k＋
k<
2 k＋
k－1＝2(
k－
k－1)(k∈N＋，k>1)；
(2)k12<kk1－1＝k－1 1－1k；k12>kk1＋1＝1k－k＋1 1(程度大)；