2011高考数学(理)随堂演练 双曲线
2011届高考数学 双曲线复习好题精选
双曲线1.(2010·汕头一模)一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝1B ．x 2－y 2＝2C ．x 2－y 2＝ 2D ．x 2－y 2＝12解析：由题意，设双曲线方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a >0)，则c ＝2a ，渐近线y ＝x ，∴|2a |2＝2，∴a 2＝2.∴双曲线方程为x 2－y 2＝2. 答案：B2．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足1MF ·2MF ＝0，|1MF |·|2MF |＝2，则该双曲线的方程是 ( ) A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1 C.x 23－y 27＝1 D.x 27－y 23＝1 解析：∵1MF ·2MF ＝0，∴1MF ⊥2MF ，∴MF 1⊥MF 2，∴|MF 1|2＋|MF 2|2＝40，∴(|MF 1|－|MF 2|)2＝|MF 1|2－2|MF 1|·|MF 2|＋|MF 2|2＝40－2×2＝36， ∴||MF 1|－|MF 2||＝6＝2a ，a ＝3， 又c ＝10，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线方程为x 29－y 2＝1.答案：A双曲线的几何性质3.(2009·宁夏、海南高考)双曲线x 4－y 12＝1的焦点到渐近线的距离为( )A ．23B ．2 C. 3 D ．1解析：双曲线x 24－y 212＝1的焦点为(4,0)或(－4,0)．渐近线方程为y ＝3x 或y ＝－3x .由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d ＝|43＋0|3＋1＝2 3.答案：A4．(2010·普宁模拟)已知离心率为e 的曲线x 2a 2－y 27＝1，其右焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点重合，则e的值为( )A.34B.42323C.43D.234 解析：抛物线焦点坐标为(4,0)，则a 2＋7＝16， ∴a 2＝9，∴e ＝c a ＝43.答案：C5．(2009·江西高考)设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，若F 1，F 2，P (0,2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为 ( ) A.32 B ．2 C.52 D ．3解析：|PO ||F 1O |＝tan60°，2b c ＝3⇒4b 2＝3c 2⇒4(c 2－a 2)＝3c 2⇒c 2＝4a 2⇒c 2a 2＝4⇒e ＝2:] 答案：B6．(2010·广州模拟)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 ( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,2) C ．(1,1＋2) D ．(2,1＋2) 解析：如图，要使△ABE 为锐角三角形，只需∠AEB 为锐角，由双曲线对称性知△ABE为等腰三角形，从而只需满足∠AEF <45°. 又当x ＝－c 时，y ＝b 2a ，∴tan ∠AEF ＝|AF ||EF |＝b 2a (a ＋c )<1，∴e 2－e －2<0， 又e >1，∴1<e <2. 答案：B7.(2010·西安调研)过点P (4,4)且与双曲线x 216－y 29＝1只有一个交点的直线有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 解析：如图所示，满足条件的直线共有3条．答案：C8．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________． 解析：由题意知，A (3,0)，F (5,0)，渐近线斜率k ＝±43，则直线方程为y ＝43(x －5)，代入x 29－y 216＝1，得x ＝175，∴y ＝－3215，即B (175，－3215)，∴S △AFB ＝12×2×3215＝3215.答案：32159.(2010·德州模拟)P 为双曲线x 2－y 15＝1右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为________．解析：双曲线的两个焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r 1＝2，r 2＝1，|PM |max ＝|PF 1|＋2，|PN |min ＝|PF 2|－1，故|PM |－|PN |的最大值为(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝5. 答案：510．(1)已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x 2＋y 2＝10相交于点P (3，－1)，若此圆过点P 的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程；(2)已知双曲线的离心率e ＝52，且与椭圆x 213＋y 23＝1有共同的焦点，求该双曲线的 方程．解：(1)切点为P (3，－1)的圆x 2＋y 2＝10的切线方程是3x －y ＝10.∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，∴两渐近线方程为3x ±y ＝0.设所求双曲线方程为9x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵点P (3，－1)在双曲线上，代入上式可得λ＝80， ∴所求的双曲线方程为x 2809－y 280＝1.(2)在椭圆中，焦点坐标为(±10，0)，∴c ＝10，又e ＝c a ＝10a ＝52，∴a 2＝8，b 2＝2.∴双曲线方程为x 28－y 22＝1.11．已知双曲线C ：x 24－y 2＝1，P 是C 上的任意点．(1)求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)设点A 的坐标为(3,0)，求|P A |的最小值． 解：(1)证明：设P (x 1，y 1)是双曲线上任意一点， 该双曲线的两条渐近线方程分别是 x －2y ＝0和x ＋2y ＝0，点P (x 1，y 1)到两条渐近线的距离分别是|x 1－2y 1|5和|x 1＋2y 1|5.它们的乘积是|x 1－2y 1|5·|x 1＋2y 1|5＝221145x y ＝45.∴点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数． (2)设P 的坐标为(x ，y )，则 |P A |2＝(x －3)2＋y 2＝(x －3)2＋x 24－1＝54(x －125)2＋45. ∵|x |≥2，∴当x ＝125时，|P A |2的最小值为45，即|P A |的最小值为255.12．(文)已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点． (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA ·OB＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围． 解：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4， 由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， 故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)＞0，∴k 2≠13且k 2＜1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA ·OB ＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2，∴3k 2＋73k 2－1＞2， 即－3k 2＋93k 2－1＞0，解得13＜k 2＜3，②由①②得13＜k 2＜1，故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)． (理)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围． 解：(1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2. 又a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 23－y 2＝1整理得 (1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0Δ＝12(m 2＋1－3k 2)＞0，可得m 2>3k 2－1且k 2≠13.①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为B (x 0，y 0)．则x 1＋x 2＝6km 1－3k 2，x 0＝x 1＋x 22＝3km 1－3k 2， y 0＝kx 0＋m ＝m1－3k 2. 由题意，AB ⊥MN ，∵k AB ＝m1－3k 2＋13km 1－3k2＝－1k(k ≠0，m ≠0)．整理得3k 2＝4m ＋1. ② 将②代入①，得m 2－4m >0，∴m <0或m >4.又3k 2＝4m ＋1>0(k ≠0)，即m >－14.∴m 的取值范围是(－14，0)∪(4，＋∞)．高二数学 上学期直线的斜率与倾斜角例题（三）［例1］求经过两点P 1（2，1）和P 2（m ，2）（m ∈R )的直线l 的斜率，并且求出l 的倾斜角α及其取值范围.选题意图：考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式.解：(1)当m =2时，x 1＝x 2＝2，∴直线l 垂直于x 轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角α=2π (2)当m ≠2时，直线l 的斜率k =21-m ∵m ＞2时，k ＞0. ∴α=arctan21-m ,α∈（0，2π）， ∵当m ＜2时，k ＜0 ∴α＝π＋arctan21-m ，α∈(2π,π). 说明：利用斜率公式时，应注意斜率公式的应用范围. ［例2］若三点A (－2，3），B （3，－2），C （21，m ）共线，求m 的值. 选题意图：考查利用斜率相等求点的坐标的方法. 解：∵A 、B 、C 三点共线，∴ｋAB ＝ｋAC ，.22132332+-=+--m 解得m =21. 说明：若三点共线，则任意两点的斜率都相等，此题也可用距离公式来解.［例3］已知两点A (－1,－5),B (3,－2),直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求直线l 的斜率.选题意图：强化斜率公式.解：设直线l 的倾斜角α，则由题得直线AB 的倾斜角为2α.∵tan2α=ｋAB =.43)1(3)5(2=-----43tan 1tan 22=-∴αα即3tan 2α+8tan α－3=0， 解得tan α＝31或tan α＝－3. ∵tan2α＝43＞0,∴0°＜2α＜90°, 0°＜α＜45°， ∴tan α＝31. 因此，直线l 的斜率是31 说明：由2α的正切值确定α的范围及由α的范围求α的正切值是本例解法中易忽略的地方.命题否定的典型错误及制作在教材的第一章安排了《常用逻辑用语》的内容．从课本内容安排上看，显得较容易，但是由于对逻辑联结词不能做到正确理解，在解决这部分内容涉及的问题时容易出错．下面仅对命题的否定中典型错误及常见制作方法加以叙述．一、典型错误剖析错误1——认为命题的否定就是否定原命题的结论在命题的否定中，有许多是把原命题中的结论加以否定．如命题：2是无理数，其否定是：2不是无理数．但据此就认为命题的否定就是否定原命题的结论就错了．例1 写出下列命题的否定：⑴对于任意实数x，使x2＝1；⑵存在一个实数x，使x2＝1．错解：它们的否定分别为⑴对于任意实数x，使x2≠1；⑵存在一个实数x，使x2≠1．剖析：对于⑴是全称命题，要否定它只要存在一个实数x，使x2≠1即可；对于⑵是存在命题，要否定它必须是对所有实数x，使x2≠1．正解：⑴存在一个实数x，使x2≠1；⑵对于任意实数x，使x2≠1．错误2——认为命题的否定就是原命题中的判断词改和其意义相反的判断词在命题的否定中，有许多是把原命题中的判断词改为相反意义的词，如“是”改为“不是”、“等”改为“不等”、“大于”改为“小于或等于”等．但对于联言命题及选言命题，还要把逻辑联结词“且”与“或”互换．例2写出下列命题的否定：⑴线段AB与CD平行且相等；⑵线段AB与CD平行或相等．错解：⑴线段AB与CD不平行且不相等；⑵线段AB与CD不平行或不相等．剖析：对于⑴是联言命题，其结论的含义为：“平行且相等”，所以对原命题结论的否定除“不平行且不相等”外，还应有“平行且不相等”、“不平行且相等”；而⑵是选言命题，其结论包含“平行但不相等”、“不平行但相等”、“平行且相等”三种情况，故否定就为“不平行且不相等”．正解：⑴线段AB与CD不平行或不相等；⑵线段AB与CD不平行且不相等．错误3——认为“都不是”是“都是”的否定例3写出下列命题的否定：⑴a，b都是零；⑵高一(一)班全体同学都是共青团员．错解：⑴a，b都不是零；⑵高一(一)班全体同学都不是共青团员．剖析：要注意“都是”、“不都是”、“都不是”三者的关系，其中“都是”的否定是“不都是”，“不都是”包含“都不是”；“至少有一个”的否定是“一个也没有”．正解：⑴a，b不都是零，即“a，b中至少有一个不是零”．⑵高一(一)班全体同学不都是共青团员，或写成：高一(一)班全体同学中至少有一人共青团员．错误4——认为“命题否定”就是“否命题”根据逻辑学知识，任一命题p都有它的否定(命题)非p(也叫负命题、反命题)；而否命题是就假言命题(若p则q)而言的．如果一个命题不是假言命题，就无所谓否命题，也就是说，我们就不研究它的否命题．我们应清醒地认识到：假言命题“若p则q”的否命题是“若非p则非q”，而“若p则q”的否定(命题)则是“p且非q”，而不是“若p则非q”．例4写出命题“满足条件C的点都在直线F上”的否定．错解：不满足条件C的点不都在直线F上．剖析：对于原命题可表示为“若A，则B”，其否命题是“若┐A，则┐B”，而其否定形式是“若A，则┐B”，即不需要否定命题的题设部分．正解：满足条件C的点不都在直线F上．二、几类命题否定的制作1．简单的简单命题命题的形如“A是B”，其否定为“A不是B”．只要把原命题中的判断词改为与其相反意义的判断词即可．例5写出下列命题的否定：⑴ 3＋4＞6；⑵ 2是偶数．解：所给命题的否定分别是：⑴ 3＋4≤6；⑵ 2不是偶数．2．含有全称量词和存在量词的简单命题全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等，形如“所有A是B”，其否定为“存在某个A不是B”；存在量词相当于“存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“至多有一个”等，形如“某一个A是B”，其否定是“对于所有的A都不是B”．全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题．例6写出下列命题的否定：⑴不论m取什么实数，x2＋x－m＝0必有实根．⑵存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0．⑶至少有一个整数是自然数．⑷至多有两个质数是奇数．解：⑴原命题相当于“对所有的实数m，x2＋x－m＝0必有实根”，其否定是“存在实数m，使x2＋x－m＝0没有实根”．⑵原命题的否定是“对所有的实数x，x2＋x＋1＞0”．⑶原命题的否定是“没有一个整数是自然数”．⑷原命题的否定是“至少有三个质数是奇数”．3．复合命题“p且q”，“p或q”的否定“p且q”是联言命题，其否定为“非p或非q”(也写成┐p或┐q“；“p或q”是选言命题，其否定为“非p且非q”(也写成┐p且┐q“；例7写出下列命题的否定：⑴他是数学家或物理学家．⑵他是数学家又是物理学家．⑶2123x x+-≥0．解：⑴原命题的否定是“他既不是数学家也不是物理学家”．⑵原命题的否定是“他不能同时是数学家和物理学家”，即“他不是数学家或他不是物理学家”．⑶若认为┐p：2123x x +-＜0，那就错了．┐p是对p的否定，包括2123x x+-＜0或2123x x+-＝0．或∵p：x＞1或x＜－3，∴┐p：－3≤x≤1．。
高考数学总复习 第八章第6课时 双曲线随堂检测(含解析)
（江苏专用）2013年高考数学总复习 第八章第6课时 双曲线随堂检测（含解析）1．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为________．解析：∵渐近线方程是y ＝3x ，∴ba＝3.①∵双曲线的一个焦点在y 2＝24x 的准线上， ∴c ＝6.②又c 2＝a 2＋b 2，③由①②③知，a 2＝9，b 2＝27，此双曲线方程为x 29－y 227＝1.答案：x29－y227＝12．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标是3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为______．解析：由双曲线第二定义知，M 到右焦点F 的距离与M 到右准线x ＝1的距离比为离心率e ＝2，∴MF3－1＝2，∴MF ＝4.答案：43．(2011·高考辽宁卷)已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析：∵2c ＝4，∴c ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝4－a 2， 故4a 2－94－a2＝1得a 2＝1，a ＝1， ∴e ＝c a＝2. 答案：24．(2010·高考浙江卷改编)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：过F 2作F 2A ⊥PF 1于A ，由题意知|F 2A |＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，则|AF 1|＝2b ， ∴|PF 1|＝4b ，而|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴4b －2c ＝2a ，c ＝2b －a ，c 2＝(2b －a )2，a 2＋b 2＝4b 2－4ab ＋a 2，解得b a ＝43，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .答案：y ＝±43x5．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则O P →·F P →的取值范围为________．解析：由F 为左焦点得a 2＝3，则双曲线方程为x 23－y 2＝1，设P (x 0，y 0)，则O P →·F P →＝(x 0，y 0)·(x 0＋2，y 0)＝x 2＋2x 0＋y 20＝x 20＋2x 0＋x 203－1＝43x 20＋2x 0－1＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋342－916－1.由P 在右支得x 0≥3，所以O P →·F P →≥3＋2 3.答案：[3＋23，＋∞)。
2011年高考数学一轮复习(共87节)12.2双曲线
12.2双曲线【知识网络】1．掌握双曲线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． 2．了解双曲线简单应用． 3．进一步体会数形结合思想． 【典型例题】[例1]（1）双曲线的两条准线间的距离等于半焦距，则其离心率为（ ） Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．２ Ｄ．３（2）已知方程11222=-+-k y k x 的图象是双曲线，那么k 的取值范围是（ ） Ａ．K ＜１ Ｂ．K ＞２ Ｃ．K ＜１或k ＞２ Ｄ．１＜k ＜２（3）已知双曲线 x 2a 2 － y 2b2 = 1 (a ＞0,b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且∣PF 1∣=4∣PF 2∣,则此双曲线的离心率e 的最大值为 （ ） A ．43B ．53C ．２D ．73（4）若双曲线离心率为2，则它的两条渐近线的夹角等于 ． （5）经过点)38,10(M ，渐近线方程为x y 31±=的双曲线的方程为 ． [例2] 在△ABC 中，BC 固定，顶点A 移动．设|BC|=m ，当三个角Ａ，Ｂ，Ｃ有满足条件|sinC －sinB|=12sinA 时，求顶点的轨迹方程．[例3] 已知双曲线C :12222=-b y a x (0,0)a b >>，B 是右顶点,F 是右焦点, 点A 在x 轴正半轴上，且满足 OA OB OF||、||、||成等比数列,过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ．（1）求证：⋅=⋅；（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D 、E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围．[例4]已知动点P 与双曲线x 2－y 2=1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－31。
（1）求动点P 的轨迹方程; （2）设M （0,－1），若斜率为k(k≠0)的直线与P 的轨迹交于不同的两点A 、B ，试求k 的取值范围，使|MA|=|MB|；（3）若直线l :y=x+m 与P 的轨迹交于不同的两点A 、B ，且3=AB ，M （0，－1），求M 到直线l 的距离。
高三数学复习随堂训练(理科)湖南专版 第49讲《双曲线》人教A版选修1-1
课时作业(四十九) [第49讲 双曲线][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．[2011·银川一中月考] 与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝12．[2011·山东省实验中学二模] 如图K49－1，已知点P 为双曲线x 216－y 29＝1右支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2成立，则λ的值为( )A.58B.45C.43D.343．[2010·辽宁卷] 设双曲线的—个焦点为F ，虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋124．[2011·佛山一检] 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为( )A ．x ±3y ＝0 B.3x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0 能力提升5．[2010·福建卷] 若点O 和点F (－2,0)分别是双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫－74，＋∞D.⎣⎡⎭⎫74，＋∞ 6．[2010·天津卷] 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1B.x 29－y 227＝1C.x 2108－y 236＝1D.x 227－y 29＝1 7．[2010·课标全国卷] 已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程式为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝18．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点F ，则该双曲线的离心率为( )A. 2 B ．1＋ 2 C. 3 D ．1＋ 39．点P 在双曲线上x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，F 1，F 2是这条双曲线的两个焦点，∠F 1PF 2＝90°，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )A ．2B ．3C ．4D ．510．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．11．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线的左支于A ，B 两点，且|AB |＝m ，则△ABF 2的周长为__________．12．[2011·全国卷] 已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 29－y 227＝1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为(2,0)，AM 为∠F 1AF 2的平分线，则|AF 2|＝________.13．[2011·辽宁卷] 已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．14．(10分)[2011·湖北八校一联] 如图K49－2，已知双曲线x 2－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，动直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．(1)求k 的取值范围，并求x 2－x 1的最小值；(2)记直线P 1A 1的斜率为k 1，直线P 2A 2的斜率为k 2，那么k 1k 2是定值吗？证明你的结论．15．(13分)已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，满足条件|PF 2|－|PF 1|＝2的点P 的轨迹是曲线E ，直线y ＝kx －1与曲线E 交于A ，B 两点．如果|AB |＝63，且曲线E 上存在点C ，使OA →＋OB →＝mOC →，求m 的值和△ABC 的面积S .难点突破16．(12分)[2011·黄石调研] 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，右焦点为F ，直线x ＝a 2c (c ＝a 2＋b 2)与x 轴交于点B ，且与一条渐近线交于点C ，点O 为坐标原点，又OA →＝2OB →，OA →·OC →＝2，过点F 的直线与双曲线右支交于点M 、N ，点P 为点M 关于x 轴的对称点．(1)求双曲线的方程；(2)证明：B 、P 、N 三点共线； (3)求△BMN 面积的最小值．课时作业(四十九)【基础热身】1．B [解析] 椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．因为点P (2,1)在双曲线上，所以4a 2－1b2＝1，a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求的双曲线方程是x22－y 2＝1.2．B [解析] 根据S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2，即|PF 1|＝|PF 2|＋λ|F 1F 2|，即2a ＝λ2c ，即λ＝a c ＝45.3．D [解析] 设F 为左焦点，结合图形可知k FB ＝bc ，而对应与之垂直的渐近线的斜率为k ＝－b a ，则有b c ⎝⎛⎭⎫－ba ＝－1，即b 2＝ac ＝c 2－a 2，整理得c 2－ac －a 2＝0，两边都除以a 2可得e 2－e －1＝0，解得e ＝1±52，由于e >1，故e ＝1＋52.4．B [解析] F (2,0)，即c ＝2，设P (x 0，y 0)，根据抛物线的定义x 0＋2＝5，得x 0＝3，代入抛物线方程得y 20＝24，代入双曲线方程得9a 2－24b2＝1，结合4＝a 2＋b 2，解得a ＝1，b ＝3，故双曲线的渐近线方程是3x ±y ＝0.【能力提升】5．B [解析] 因为F (－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1.设点P (x 0，y 0)，则有x 203－y 20＝1(x 0≥3)，解得y 20＝x 203－1(x 0≥3)．因为FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 203＋2x 0－1，此二次函数对应的抛物线的对称轴方程为x 0＝－34，因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)．6．B [解析] ∵抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，则在双曲线中有a 2＋b 2＝(－6)2＝36①，又∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝3x ，∴b a ＝3②，联立①②解得⎩⎨⎧a 2＝9，b 2＝27，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1.7．B [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.∵AB 过F ，N ，∴斜率k AB ＝1.∵x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，∴两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴4b 2＝5a 2，又∵a 2＋b 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5.8．B [解析] 设双曲线的一个焦点坐标为(c,0)，则p2＝c ，即p ＝2c ，抛物线方程为y 2＝4cx ，根据题意c 2a 2－y 2b 2＝1，y 2＝4c ·c ，消掉y 得c 2a 2－4c 2b 2＝1，即c 2(b 2－4a 2)＝a 2b 2，即c 2(c 2－5a 2)＝a 2(c 2－a 2)，即c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，即e 4－6e 2＋1＝0，解得e 2＝6＋322＝3＋22，故e ＝1＋ 2.9．D [解析] 不妨设|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|成等差数列，则4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，由2|PF 2|＝2c ＋|PF 1|，且|PF 2|－|PF 1|＝2a ，解得|PF 1|＝2c －4a ，|PF 2|＝2c －2a ，代入4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，得4c 2＝(2c －2a )2＋(2c －4a )2，化简整理得c 2－6ac ＋5a 2＝0，解得c ＝a (舍去)或者c ＝5a ，故e ＝ca＝5.10．y ＝±2x [解析] 根据已知|PF 1|＝2b 2a 且|PF 2|＝b 2a ，故2b 2a －b 2a ＝2a ，所以b 2a 2＝2，ba ＝ 2.11．4a ＋2m [解析] 由⎩⎨⎧|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a⇒|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝4a ，又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝m ，∴|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＋m .则△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＋2m .12．6 [解析] 根据角平分线的性质，||AF 2||AF 1＝||MF 2||MF 1＝12.又||AF 1－||AF 2＝6，故||AF 2＝6.13．2 [解析] 方法一：点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1上，则4a 2－9b2＝1.又由于2c ＝4，所以a 2＋b 2＝4.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1，a 2＋b 2＝4得a ＝1或a ＝4.由于a <c ，故a ＝1.所以离心率为e ＝ca ＝2.方法二：∵双曲线的焦距为4，∴双曲线的两焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2,0)，点(2,3)到两焦点的距离之差的绝对值为2，即2a ＝2，∴a ＝1，离心率e ＝ca ＝2.14．[解答] (1)∵l 与圆相切，∴1＝|m |1＋k 2，∴m 2＝1＋k 2，① 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2－2mkx －(m 2＋1)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4m 2k 2＋4(1－k 2)(m 2＋1)＝4(m 2＋1－k 2)＝8>0，x 1x 2＝m 2＋1k 2－1<0，∴k 2<1，∴－1<k <1，故k 的取值范围为(－1,1)．由于x 1＋x 2＝2mk1－k 2，∴x 2－x 1＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22|1－k 2|＝221－k 2， ∵0≤k 2<1∴当k 2＝0时，x 2－x 1取最小值为2 2. (2)由已知可得A 1，A 2的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，∴k 1＝y 1x 1＋1，k 2＝y 2x 2－1，∴k 1k 2＝y 1y 2(x 1＋1)(x 2－1)＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )(x 1＋1)(x 2－1)＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＋(x 2－x 1)－1＝k 2·m 2＋1k 2－1－mk ·2mk k 2－1＋m 2m 2＋1k 2－1－22k 2－1－1＝m 2k 2＋k 2－2m 2k 2＋m 2k 2－m 2m 2＋1－22－k 2＋1＝k 2－m 2m 2－k 2＋2－22，由①，得m 2－k 2＝1，∴k 1k 2＝－13－22＝－(3＋22)为定值．15．[解答] 由双曲线的定义可知，曲线E 是以F 1(－2，0)，F 2(2，0)为焦点的双曲线的左支，且c ＝2，a ＝1，易知b ＝1，故曲线E 的方程为x 2－y 2＝1(x <0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意建立方程组⎩⎨⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，消去y ，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，又已知直线与双曲线左支交于两点A ，B ，有⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝(2k )2＋8(1－k 2)>0，x 1＋x 2＝－2k 1－k 2<0，x 1x 2＝－21－k2>0，解得－2<k <－1.又∵|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22－4×－21－k 2 ＝2(1＋k 2)(2－k 2)(1－k 2)2，依题意得2(1＋k 2)(2－k 2)(1－k 2)2＝63，整理后得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54，又－2<k <－1，∴k ＝－52，故直线AB 的方程为52x ＋y ＋1＝0.设C (x c ，y c )，由已知OA →＋OB →＝mOC →， 得(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝(mx c ，my c )，∴(x c ，y c )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2m ，y 1＋y 2m (m ≠0)．又x 1＋x 2＝2k k 2－1＝－45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝2k 2k 2－1－2＝2k 2－1＝8，∴点C ⎝⎛⎭⎪⎫－45m，8m ，将点C 的坐标代入曲线E 的方程，得80m 2－64m 2＝1，得m ＝±4， 但当m ＝－4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，∴m ＝4，C 点的坐标为(－5，2)，C 到AB 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪52×(－5)＋2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋12＝13，∴△ABC 的面积S ＝12×63×13＝ 3. 【难点突破】16．[解答] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a 2c ，a 3＝2c ，解得⎩⎨⎧a 2＝4，c 2＝16，∴b 2＝c 2－a 2＝12，∴双曲线方程为x 24－y 212＝1.(2)证明：由(1)可知得点B (1,0)，设直线l 的方程为：x ＝ty ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24－y 212＝1，x ＝ty ＋4，可得(3t 2－1)y 2＋24ty ＋36＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则P (x 1，－y 1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－24t3t 2－1，y 1y 2＝363t 2－1，所以BP →＝(x 1－1，－y 1)，BN →＝(x 2－1，y 2)，因为(x 1－1)y 2＋y 1(x 2－1)＝x 1y 2＋y 1x 2－y 1－y 2 ＝2ty 1y 2＋3(y 1＋y 2)＝2t 363t 2－1＋3－24t 3t 2－1＝0，所以向量BP →，BN →共线．所以B ，P ，N 三点共线． (3)因为直线l 与双曲线右支相交于M ，N ，所以x 1x 2＝(ty 1＋4)(ty 2＋4)>0，所以t 2<13，S △BMN ＝12|BF ||y 1－y 2|＝181＋t 2|3t 2－1|＝633＋3t 21－3t 2，令u ＝1－3t 2，u ∈(0,1]，S △BMN ＝634－u u ＝634u 2－1u＝634⎝⎛⎭⎫1u －182－116，由u ∈(0,1]，所以1u ∈[1，＋∞)， 当1u ＝1，即t ＝0时，△BMN 面积的最小值为18.。
2011年高考数学一轮复习第7章圆锥曲线方程：双曲线
课时作业41 双曲线时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．下列曲线中离心率为62的是( )A.x 22－y 24＝1B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 解析：双曲线离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝62，知b 2a 2＝12，只有B 选项符合，故选B .答案：B2．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为 ( )A ．2 3B ．2 C. 3 D ．1解析：双曲线x 24－y 212＝1的焦点为(4,0)、(－4,0)．渐近线方程为y ＝±3x.由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等．d ＝|43＋0|3＋1＝2 3.答案：A3．设a>1，则双曲线x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围是 ( )A ．(2，2)B ．(2，5)C ．(2,5)D ．(2，5)解析：e ＝ca ＝b 2＋a 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋1a 2. ∵a>1，∴0<1a <1，∴1<1＋1a<2，∴2<e<5，故选B . 答案：B4．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3 B ．2 C. 5 D. 6解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，与抛物线方程联立得x 2±bax ＋1＝0，Δ＝⎝⎛⎭⎫±b a 2－4＝0⇒b 2＝4a 2，∴c 2－a 2＝4a 2，∴c 2＝5a 2，e ＝ 5.故选C . 答案：C5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y ＝kx(k>0)，离心率e ＝5k ，则双曲线方程为( )A.x 2a 2－y 24a 2＝1B.x 2a 2－y 25a2＝1C.x 24b 2－y 2b 2＝1D.x 25b 2－y2b2＝1 解析：由题意知，k ＝ba ，∵e ＝5k ＝5·b a ，即c a ＝5ba，∴c ＝5b ，c 2＝5b 2，∴a 2＝c 2－b 2＝4b 2. 故选C . 答案：C6．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为 ( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：∵|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ，而双曲线右支上到右焦点距离最近的点为右顶点，∴有c －a ≤2a ，∴1<e ≤3，故选B .答案：B二、填空题(每小题5分，共20分)7．已知双曲线的右焦点为(5,0)，一条渐近线方程为2x －y ＝0，则双曲线的标准方程为__________．解析：据题意由c ＝5，b a ＝2，a 2＋b 2＝c 2⇒a 2＝5，b 2＝20，故双曲线方程为x 25－y 220＝1.答案：x 25－y220＝18．已知P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －y ＝0.设F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF 2|＝3，则|PF 1|＝________.解析：∵双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为3x －y ＝0，∴a ＝1，又P 是双曲线的右支上一点，|PF 2|＝3，|PF 1|－|PF 2|＝2，|PF 1|＝5.答案：59．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________．图1解析：如图1，∵c>b ，∴∠B 1F 1B 2＝60°，∠B 1F 1O ＝30°，在△B 1OF 1中，b c ＝tan 30°，∴b c ＝33，∴c 2－a 2c 2＝13，∴1－a 2c 2＝13⇒a 2c 2＝23，∴e 2＝c 2a 2＝32，∴e ＝62.答案：6210．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率的取值范围是e ∈[233，2]，则两渐近线夹角的取值范围是__________．解析：e 2∈[43，4]，∴43≤c 2a 2≤4，∴33≤b a ≤3，设夹角为α，可得π6≤α2≤π3，∵α≤π2，∴π3≤α≤π2.答案：[π3，π2]三、解答题(共50分)11．(15分)已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144. (1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且 |PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．解：(1)由16x 2－9y 2＝144得x 29－y 216＝1，∴a ＝3，b ＝4，c ＝5.焦点坐标F 1(－5,0)，F 2(5,0)，离心率e ＝53，渐近线方程为y ＝±43x.(2)||PF 1|－|PF 2||＝6，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝36＋64－10064＝0.∴∠F 1PF 2＝90°.12．(15分)设x ，y ∈R ，i 、j 为直角坐标平面内x ，y 轴正方向上的单位向量，若向量a ＝x i ＋(y ＋2)j ，b ＝x i ＋(y －2)j ，且|a |－|b |＝2 2.(1)求点M (x ，y )的轨迹C 的方程；(2)已知直线l 过点A (2，0)，斜率为k (0<k <1)时，若轨迹C 上有且仅有一点B 到直线l 的距离为2，试求k 的值．解：(1)由|a |－|b |＝22以及a ＝x i ＋(y ＋2)j ，b ＝x i ＋(y －2)j 知M (x ，y )到点(0，－2)和(0,2)的距离之差为常数22，所以，M (x ，y )的轨迹为以(0，－2)和(0,2)为焦点，实轴长为22的双曲线的上支，其方程为y 22－x 22＝1(y >0)． (2)显然，直线l 的方程为y ＝k (x －2)，与直线l 平行且距离为2的直线为l ′：y ＝kx ＋d ，则由2＝d －(－2k )1＋k2可求得d ＝2k 2＋2－2k .所以，l ′的方程为y ＝kx ＋2k 2＋2－2k . 由于l ′与C 的渐近线不平行，因此，根据题设可知，直线l ′与双曲线C 相切．将直线l ′的方程代入双曲线C 的方程y 22－x 22＝1，有(kx ＋2k 2＋2－2k )2－x 2＝2，即(k 2－1)x 2＋2(2k 2＋2－2k )kx ＋(2k 2＋2－2k )2－2＝0.由⎩⎨⎧k 2－1≠0Δ＝4(2k 2＋2－2k )2k 2－4(k 2－1)[(2k 2＋2,－2k )2－2]＝0可以解得k ＝255.图213．(20分)已知M (－2,0)，N (2,0)两点，动点P 在y 轴上的射影为H ，且使PH →·PH →与PM →·PN →分别是公比为2的等比数列的第三、四项．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知过点N 的直线l 交曲线C 于x 轴下方．．．两个不同的点A 、B ，设R 为AB 的中点，若过点R 与定点Q (0，－2)的直线交x 轴于点D (x 0,0)，求x 0的取值范围．解：(1)M (－2,0)，N (2,0)，设动点P 的坐标为(x ，y )，所以H (0，y )，所以PH →＝(－x,0)，PM →＝(－2－x ，－y )，PN →＝(2－x ，y )，PH →·PH →＝x 2，PM →·PN →＝－(4－x )2＋y 2由条件得y 2－x 2＝4，又因为是等比，所以x 2≠0，所求动点的轨迹方程y 2－x 2＝4(x ≠0)．(2)设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2－x 2＝4，∴⎝⎛⎭⎫1－1k 2y 2－4ky －8＝0. ∴y 1＋y 2＝4k k 2－1，y 1·y 2＝－8k 2k 2－1.∴⎩⎨⎧4kk 2－1<0，－8k2k 2－1>0，解得：22<k <1， R ⎝⎛⎭⎫2k 2k 2－1，2k k 2－1，k RQ ＝k 2＋k －1k 2.直线RQ 的方程为y ＋2＝k 2＋k －1k 2x ，∴x 0＝2k 2k 2＋k －1＝2－⎝⎛⎭⎫1k －122＋54，∴2<x 0<2＋2 2.图3。
##2011年高考试题数学(理科)圆锥曲线
2011年高考试题数学（理科）圆锥曲线一、选择题:1. (2011年高考山东卷理科8)已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为(A)22154x y -= (B) 22145x y -= (C) 22136x y -= (D) 22163x y -= 2. (2011年高考辽宁卷理科3)已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为A ．34 B ．1 C ．54 D ．743. (2011年高考全国新课标卷理科7)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A （B （C ）2 （D ）34.(2011年高考浙江卷理科8)已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=＞＞与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（A ）2132a =（B ）213a = （C ）212b = （D ）22b = 5.(2011年高考安徽卷理科2)双曲线x y 222-=8的实轴长是（A ）2 (B)6. (2011年高考湖南卷理科5)设双曲线()019222>=-a y ax 的渐近线方程为023=±y x ，则a 的值为A.4B. 3C. 2D. 17.(2011年高考湖北卷理科4)将两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n ，则A. 0=nB. 1=nC. 2=nD. 3≥n8.(2011年高考陕西卷理科2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（A ）28y x =- （B ）28y x = （C ）24y x =- （D ）24y x = 9. (2011年高考四川卷理科10)在抛物线25(0)y x ax a ==-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为( ) （A ）(2,9)-- （B ）(0,5)- （C ）(2,9)- （D ）(1,6)- 10. (2011年高考全国卷理科10)已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=(A)45 (B)35 (C)35- (D)45-11．(2011年高考福建卷理科7)设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于A ．1322或B ．23或2C ．12或2 D ．2332或二、填空题:1.(2011年高考辽宁卷理科13)已知点（2,3）在双曲线C ：1by -a x 2222=（a ＞0，b＞0）上，C 的焦距为4，则它的离心率为_____________.2.(2011年高考浙江卷理科17)设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =;则点A 的坐标是 .3. (2011年高考江西卷理科14)若椭圆22221x y a b+=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是5.(2011年高考重庆卷理科15)设圆C 位于抛物线22y x =与直线3x =所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半径能取到的最大值为6. (2011年高考四川卷理科14)双曲22x y =1P 46436-上一点到双曲线右焦点的距离是，那么点P 到左准线的距离是 . 7. (2011年高考全国卷理科15)已知F 1、F 2分别为双曲线C : 29x - 227y =1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为(2，0)，AM 为∠F 1AF 2∠的平分线．则|AF 2| = .8．(2011年高考北京卷理科14)曲线C 是平面内与两个定点F1（-1，0）和 F2（1，0）的距离的积等于常数)1(2>a a 的点的轨迹.给出下列三个结论： ① 曲线C 过坐标原点；② 曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积大于21a 2。
2011高考数学真题考点分类新编：考点26双曲线(大纲版地区)
2011高考数学真题考点分类新编：考点26双曲线（大纲版地区）考点26 双曲线一、填空题22xy- =1的左、1、(2011?全国高考理科?,15)已知FF分别为双曲线C: 1、2927右焦点，点A?C，点M的坐标为(2，0)，AM为?FAF的平分线(则|AF| 122= .【思路点拨】本题用内角平分线定理及双曲线的定义即可求解. 【精讲精析】6.||||AFMF122由角平分线定理得:,所以,又因为||2||AFAF,,,12||||2AFMF11 ,故. ||||26AFAFa,,,||6AF,12222xy2、(2011?全国高考文科?,16)已知FF分别为双曲线C: - =1的左、1、2927右焦点，点A?C，点M的坐标为(2，0)，AM为?FAF的平分线(则|AF| 122= .【思路点拨】本题用内角平分线定理及双曲线的定义即可求解. 【精讲精析】6.||||AFMF122由角平分线定理得:,所以,又因为||2||AFAF,,,12||||2AFMF11 ,故. ||||26AFAFa,,,||6AF,12222yx3、(2011?上海高考理科?T3)设是常数，若点(0,5)是双曲线的mF,,1m9一个焦点，则 m= .【思路点拨】本题考查圆锥曲线中的双曲线知识，注意到此题的隐含条件m>0, 222再结合双曲线中的就可很容易求出答案。
abc，,222222【精讲精析】由已知条件 ambcabm,,,，,，,,,9,9525则解得m,16.22xy上一点到双曲线右焦点的距4、(2011?四川高考理科?,14)双曲线P,,16436离是4，那么点到左准线的距离是 . P【思路点拨】双曲线的第一定义和第二定义的应用. 【精讲精析】16 由双曲线的方程可知，设左右焦点分别为 ac,,8,10,FF,12由到双曲线右焦点的距离是4，可知点在双曲线的右支上， PP点到左焦点的距离，设点到左准线的距离为， PPFa,，,2420Pd1PFc51由双曲线的第二定义可知， ? d,16.,,da4。
2011年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)§9.6--双曲线--学生用
§9.6 双曲线 ★知识梳理★ 1. 双曲线的定义 （1）第一定义：当21212||F F a PF PF >=-时, P 的轨迹为 ;当21212||F F a PF PF <=-时, P 的轨迹 ;当21212||F F a PF PF ==-时, P 的轨迹为 .（2）双曲线的第二义: 平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (1>e )的点的轨迹为双曲线;（双曲线上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.2. 双曲线的标准方程与几何性质标准方程 )0,(12222>=-b a b y a x )0,(12222>=-b a bx a y 性 质焦点焦距 范围 顶点 对称性离心率准线渐近线与双曲线12222=-by a x 共渐近线的双曲线系方程为： . 与双曲线12222=-by a x 共轭的双曲线为 . 等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为 ，离心率为 ；★重难点突破★重点:了解双曲线的定义、标准方程，会运用定义和会求双曲线的标准方程，能通过方程研究双曲线的几何性质难点: 双曲线的几何元素与参数c b a ,,之间的转换重难点:运用数形结合，围绕“焦点三角形”，用代数方法研究双曲线的性质，把握几何元素转换成参数c b a ,,的关系★自主学习★基础自测1.已知双曲线的离心率为2，焦点是（－4，0），（4，0），则双曲线方程为 .2.过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ|＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是 .3.已知椭圆2222b y a x +＝1（a ＞b ＞0）与双曲线2222n y m x -＝1（m ＞0,n ＞0）有相同的焦点（－c ，0）和（c ，0）.若c 是a 与m 的等比中项，n 2是m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率等于 .4.设F 1、F 2分别是双曲线2222b y a x -＝1的左、右焦点.若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°且|AF 1|＝3|AF 2|,则双曲线的离心率为 .5.（2008·上海）已知P 是双曲线9222y a x -＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －y ＝0,设F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点.若|PF 2|＝3，则|PF 1|＝ .★典例剖析★例1 已知动圆M 与圆C 1：（x ＋4）2＋y 2＝2外切，与圆C 2：（x －4）2＋y 2＝2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程.例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）与双曲线16922y x -＝1有共同的渐近线，且过点（－3，23）； （2）与双曲线41622y x -＝1有公共焦点，且过点（32，2）.例3 双曲线C ：2222b y a x -＝1 (a ＞0,b ＞0)的右顶点为A ，x 轴上有一点Q （2a ，0），若C 上存在一点P ，使AP ·PQ ＝0，求此双曲线离心率的取值范围.例4 (14分)已知双曲线C ：λ-12x －λ2y ＝1（0＜λ＜1）的右焦点为B ，过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点，试确定λ的范围，使OM ·ON ＝0，其中点O 为坐标原点.★知能迁移★1.由双曲线4922y x ＝1上的一点P 与左、右两焦点F 1、F 2构成△PF 1F 2，求△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点坐标.2.已知双曲线的渐近线的方程为2x±3y＝0,（1）若双曲线经过P（6，2），求双曲线方程；（2）若双曲线的焦距是213，求双曲线方程；（3）若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程.3.已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2,且过点P（4，－10）.（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：1MF·2MF＝0；（3）求△F1MF2的面积.4.（2008·天津）已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是F 1(－3,0),一条渐近线的方程是5x －2y ＝0. (1)求双曲线C 的方程;(2)若以k(k ≠0)为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M,N 且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为281,求k 的取值范围.★活页作业★一、填空题1.双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝ .2.双曲线2222b y a x -＝1和椭圆2222b y m x +＝1 (a ＞0,m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a,b,m 为边长的三角形是 三角形.3.（2008·重庆）已知双曲线2222b y a x -＝1（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y ＝kx （k ＞0）,离心率e ＝5k ，则双曲线方程为 .4.已知双曲线41222y x -＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是 .5.如图，F 1和F 2分别是双曲线2222b y a x -＝1(a ＞0,b ＞0)的两个焦点，A 和B 是以O为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为 .6.设F 1、F 2分别是双曲线x 2－92y ＝1的左、右焦点.若点P 在双曲线上，且1PF ·2PF ＝0,则|1PF ＋2PF |＝ .7.若双曲线x 2－y 2＝1右支上一点P （a ，b ）到直线y ＝x 的距离为2，则a ＋b 的值是 .8.（2008·安徽文）已知双曲线ny n x --1222＝1的离心率为3,则n ＝ . 二、解答题9.求与双曲线91622y x -＝1共渐近线，且过点A （23，－3）的双曲线方程.10.已知定点A（0，7）、B（0，－7）、C（12，2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程.11.已知点N(1，2)，过点N 的直线交双曲线x 2－22y ＝1于A 、B 两点，且ON ＝21(OA ＋OB ).（1）求直线AB 的方程；（2）若过N 的直线交双曲线于C 、D 两点，且CD ·AB ＝0，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？12.直线l:y ＝kx ＋1与双曲线C:2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B.（1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k,使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.。
高考数学 8.2 双曲线课时闯关(含解析)
8.2 双曲线 课时闯关（含答案解析）一、选择题1．(2011·高考湖南卷)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 解析：选C.渐近线方程可化为y ＝±32x .∵双曲线的焦点在x 轴上， ∴9a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫±322，解得a ＝±2.由题意知a >0，∴a ＝2. 2．(2011·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5 解析：选B.双曲线左顶点为A 1(－a,0)，渐近线为y ＝±b ax ，抛物线y 2＝2px (p >0)焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，准线为直线x ＝－p2.由题意知－p2＝－2，∴p ＝4，由题意知2＋a ＝4，∴a ＝2.∴双曲线渐近线y ＝±b 2x 中与准线x ＝－p 2交于(－2，－1)的渐近线为y ＝b 2x ，∴－1＝b2×(－2)，∴b ＝1.∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∴c ＝5，∴2c ＝2 5.3．设双曲线的左准线与两条渐近线交于A 、B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(0，2)B ．(1，2)C ．(22，1) D ．(2，＋∞)解析：选B.法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a 2c，y ＝－ba x ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，ab c . 同理可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2c，－ab c .又左焦点F (－c,0)，∴FA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2c ，ab c ，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b2c ，－ab c .∵点F 在以AB 为直径的圆内，∴FA →·FB →<0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ab c 2<0，∴b 4<a 2b 2，∴b 2<a 2，即c 2－a 2<a 2，∴c 2<2a 2，即e 2<2，∴e < 2.又∵e >1，∴1<e < 2.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a 2c，y ＝－ba x ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，ab c . 同理可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2c，－ab c .∵点F (－c,0)在以AB 为直径的圆内，∴左焦点F 到圆心的距离小于半径长，即c －a 2c <abc，∴a >b .∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝ 1＋b 2a2< 2.又∵e >1，∴1<e < 2.4．(2012·高考大纲全国卷)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45解析：选C.由x 2－y 2＝2知，a 2＝2，b 2＝2，c 2＝a 2＋b 2＝4， ∴a ＝2，c ＝2.又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2.又∵|F 1F 2|＝2c ＝4，∴由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.5．(2011·高考山东卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 解析：选A.∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心为C (3,0)．又渐近线方程与圆C 相切，即直线bx －ay ＝0与圆C 相切，∴3ba 2＋b2＝2，∴5b 2＝4a 2.①又∵x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)，∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1.二、填空题6．(2011·高考四川卷)双曲线x 264－y 236＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是4，那么点P 到左准线的距离是__________．解析：由x 264－y 236＝1可知a ＝8，b ＝6，则c ＝10，设双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，由|PF 2|＝4及双曲线的第一定义得|PF 1|＝16＋4＝20.设点P 到左准线的距离为d ，由双曲线的第二定义有20d ＝108，即d ＝16.答案：167．(2012·高考重庆卷)设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________.解析：∵直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1相交，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b3a x ，x 2a 2－y 2b 2＝1消去y 得x ＝32a4，又PF 1垂直于x 轴，∴32a 4＝c ，即e ＝c a ＝324.答案：3248．已知双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则b ＝________.解析：∵双曲线的焦点在x 轴上，∴b a ＝2，∴b 2a2＝4.∵a 2＝1，∴b 2＝4. 又∵b >0，∴b ＝2.答案：2 三、解答题9．由双曲线x29－y24＝1上的一点P 与左、右两焦点F 1、F 2构成△PF 1F 2，求△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点坐标N .解：由双曲线方程知a ＝3，b ＝2，c ＝13. 当点P 在双曲线的右支上时，如右图，根据从圆外一点引圆的两条切线长相等及双曲线定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a .由于|NF 1|－|NF 2|＝|PF 1|－|PF 2|＝2a .① |NF 1|＋|NF 2|＝2c .②由①②得|NF 1|＝2a ＋2c2＝a ＋c ，∴|ON |＝|NF 1|－|OF 1|＝a ＋c －c ＝a ＝3. 故切点N 的坐标为(3,0)．根据对称性，当P 在双曲线左支上时，切点N 的坐标为(－3,0)．10．(2012·高考四川卷)如图，动点M 与两定点A (－1,0)、B (1,0)构成△MAB ，且直线MA 、MB 的斜率之积为4.设动点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝x ＋m (m >0)与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且|PQ |＜|PR |，求|PR ||PQ |的取值范围． 解：(1)设M 的坐标为(x ，y )，当x ＝－1时，直线MA 的斜率不存在；当x ＝1时，直线MB 的斜率不存在．于是x ≠1且x ≠－1.此时，MA 的斜率为y x ＋1，MB 的斜率为yx －1. 由题意，有y x ＋1·yx －1＝4.化简可得，4x 2－y 2－4＝0.故动点M 的轨迹C 的方程为4x 2－y 2－4＝0(x ≠1且x ≠－1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m 4x 2－y 2－4＝0，消去y ，可得3x 2－2mx －m 2－4＝0.(*) 对于方程(*)，其判别式Δ＝(－2m )2－4×3(－m 2－4)＝16m 2＋48>0，而当1或－1为方程(*)的根时，m 的值为－1或1. 结合题设(m >0)可知，m >0且m ≠1.设Q 、R 的坐标分别为(x Q ，y Q )，(x R ，y R )，则x Q ，x R 为方程(*)的两根． 因为|PQ |<|PR |，所以|x Q |<|x R |，x Q ＝m －2m 2＋33，x R ＝m ＋2m 2＋33.所以|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q ＝2 1＋3m2＋12 1＋3m 2－1＝1＋221＋3m2－1.此时1＋3m2>1，且1＋3m2≠2，所以1<1＋22 1＋3m 2－1<3，且1＋221＋3m2－1≠53， 所以1<|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q <3，且|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q ≠53.综上所述，|PR ||PQ |的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3. 11．(探究选做)已知双曲线C ：x 24－y 2＝1，P 为C 上的任意一点．(1)求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)设点A 的坐标为(3,0)，求|PA |的最小值．解：(1)证明：设P (x 1，y 1)是双曲线C 上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是x －2y ＝0和x ＋2y ＝0，点P (x 1，y 1)到两条渐近线的距离分别是 |x 1－2y 1|5和|x 1＋2y 1|5， ∴|x 1－2y 1|5·|x 1＋2y 1|5＝|x 21－4y 21|5＝45.故点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数．(2)设点P 的坐标为(x ，y )(|x |≥2)，则|PA |2＝(x －3)2＋y 2＝(x －3)2＋x 24－1＝54(x －125)2＋45， ∵|x |≥2，∴当x ＝125时，|PA |2取到最小值45，即|PA |的最小值为255.。
创新设计2011届高考数学理一轮复习随堂演练87双曲线
二m + 5n = 1②、选择题i. 如果双曲线x3-12=i 上一点P 到右焦点的距离等于,13，那么点P 到右准线的距离是（13 12 B . 13由話-告=1 得 a = V i3，b = 2质，c = 5,设P 到右准线的距离为 d ,根据双曲线的定义IP y = e ,即d = |PF ^ = ¥•d e 5 答案：A2. 已知点 F 1（ — 2, 0）、F 2（ .2, 0），动点P 满足|PF 2|-|PF 1| = 2,当点 P 的纵坐标是*时，点P 到坐标原点的距离是（ ）,63 A 込B.qC. ,3D . 2解析：由已知条件知P 点轨迹是以F 1（—•, 2, 0）, F 2f,2, 0）为焦点实轴长为 2的双曲线的左支， 方程为x 2- y 2= 1（x < - 1），令y = *可求得x =-弓5因此尸0|=寸（—^^^乎二当. 答案：A3. “方程ax 2 + by 2= c 表示双曲线”是“ ab v 0”的（ ）A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案：A4.某圆锥曲线 C 是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点 A （-2,2 3）,B （3，- .5），则（）A •曲线C 可为椭圆也可为双曲线B •曲线C 一定是双曲线 C .曲线C 一定是椭圆D .这样的曲线 C 不存在解析：设所求圆锥曲线的方程为 mx 2+ ny 2= 1, 根据已知条件: 4m + 12n = 18.7 双曲线A 13解析:答案：9①一②整理得m =— 4n ,「・mn v 0或由①②解得〔答案：B 二、填空题x 2 y 25.双曲线-—16=1的两个焦点为F l 、F 2,点P 在双曲线上，若 PF 1丄PF 2,则点P 到x 轴的距 离为 .x 2—y= 1x 2 y 29 16 1 解析：由§—16=1，知c = 5,解方程组 X 2 + y 2= 252 162 16 ，得 y 2=亦，即iyi ="5".16 答案：¥56.设圆过双曲线2 2>9-—話=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到双曲线中心的距离为 ________c + a 5+ 3解析：设圆心 P(X 0, y °)，则 |X 0|= 2 = _2~ = 4， x 2 y 2 /口2 16X 7厂 2 16代入 9 —16 = 1,得 y 0= 厂，•••|OP|= x 0+ ^=3答案：普7.已知F 为双曲线4小值为 ___________ .2 2X—器=1的左焦点，A(1,4), P 是双曲线右支点上的动点，贝U |PF|+ |PA|的最解析：如图，设F ' 为双曲线的右焦点， F ' (4,0)，则|PF|= |PF ' | + 4, 当P 点在直线AF ' 上时，|PF|+ |PA|= |PF ' |+ |PA| + 4> |AF ' |+ 4=9.三、解答题&双曲线X 2— y 2= a 2的两个焦点分别为 F l 、F 2, P 为双曲线上任意一点，求证 |PF 1|、|P0|、|PF 2|成等比数列. 证明：双曲线x 2— y 2= a 2的焦点分别为 F i (— 2a,0), F 2( 2a,0) 设双曲线上任意一点 P(x o , y o ),贝U x 0 — y 0 = a 2 ••• |PF i ||PF 2|= (X O + ,2a)2+ y 0 . (x o —、2a)2+ y 2 =x 2+ y 2 + 2a 2+ 2 ：2ax ox o + y 2 + 2a 2— 2「2ax o = (x 2+ y 2+ 2a 2)2— 8a 2x 2=.(2x 0+ a 2)2— 8a 2x 0= ,(2x 0— a 2)2= (x 0+ y 2)2= x 0+ y 0= |PO|2. 即|PF i |、|PO|、|PF 2|成等比数列.9.已知双曲线b 2x 2— a 2y 2= a 2b 2上有一点P ,其焦点分别为F i 、F 2,且/ F i PF 2= a 求证：S A F 1PF 2 .2 a ="cog.则 |PF i |2+ |PF 2|2 — 2|PF i ||PF 2| = 4a 2.①根据余弦定理 |PF i |2+ |PF 2|2 — 2|PF i ||PF 2|cos a= 4c 2 ②②—①整理得：|PF 1||PF 2| = 1 2b ,(1)求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；⑵设点A 的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值.解答：(1)证明：设P(x 1, y 1)是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是 x — 2y = 0和 x + 2y = 0.点P(x 1, y 1)到两条渐近线的距离分别是 区—创和凶扌尹，它们的乘积是 |x 2— 4y 1| 45 = 5•二点P 到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.⑵设 P 的坐标为(x , y),则 |PA|2= (x — 3)2+ y 2= (x — 3)2 + 丁 — 1= : x —乎 2+ * •••时2，•当x =甲时，|PA |2的最小值为5,即|PA |的最小值为竽 ★选做题2 2 2 2 1.椭圆x+ y = 1(m > n > 0)与双曲线——y= 1(a > 0, b > 0)有相同的焦点 m n a b 一个交点，则|PF j | |PF 2|的值为( ) A . m — aB.@(m — a)C . m 2— a 2D. m — a解析：根据已知条件：|PF i |+ |PF 2| = 2 m ①21 — cos a2证明：由 b 2x 2— a 2y 2= a 2b 2 得：琴=1.「. |F i F 2|= 2c ,且 ||PF i | — |PF 2||= 2a ,10.已知双曲线 x 2C : xr -y 2=1, P 为C 上的任意点. |x 1 — 2y 1| |x 1+ 2y 1|.'5：5 =F 1、F 2, P 是两曲线的||PF i|—|PF2||= 2 .a②①2—②2得4|PF I||PF2|= 4m —4a，即|PF I||PF2|= m — a.答案：A2 22. 抛物线顶点在原点，准线过双曲线拿一治=1(a>0, b> 0)的一个焦点，且与双曲线的实轴垂直, 已知抛物线与双曲线交点为M 3 -6 ,求抛物线与双曲线方程.解答：根据已知条件可设抛物线方程为y2= 2px(p>0),••• M 2 6是抛物线与双曲线的交点，则3p = 6,即p= 2,所求抛物线方程为y2= 4x.由所求抛物线方程可知双曲线的两个焦点分别为F i(—1,0), F2(1,0)，即c= 1,又|MF1|= " : |—(—1) 2+ 6= £ |MF2|= : 3—1 2+ 6 = |,因此|MF 1|—|MF 2|= 2a, 即卩a= |, b2= c2—a2= 4，所求双曲线方程为4x2—乎=1.1 2 sin a 2 a--S A F i PF2= |PF i||PF2|sin a= b2= b2cot：.。
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8.7 双曲线
一、选择题
1．如果双曲线x 213－y 2
121上一点P 到右焦点的距离等于13，那么点P 到右准线的距离是( )
A.
135
B ．13
C ．5
D.513
解析：由x 213－y 212＝1得a ＝13，b ＝23，c ＝5，e ＝5
13
.
设P 到右准线的距离为d ，根据双曲线的定义|PF 2|d ＝e ，即d ＝|PF 2|e ＝13
5.
答案：A
2．已知点F 1(－2，0)、F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2，当点P 的纵坐标是1
2
时，点P 到
坐标原点的距离是( ) A.
62
B.32
C. 3
D ．2
解析：由已知条件知P 点轨迹是以F 1(－2，0)，F 2(2，0)为焦点实轴长为2的双曲线的左支，方程为x 2－y 2＝1(x ≤－1)，令y ＝12可求得x ＝－5
2，因此|PO |＝
(－
52)2＋(12)2＝62
. 答案：A
3．“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”是“ab ＜0”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案：A
4．某圆锥曲线C 是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A (－2,23)，
B (3
2，－5)，则( ) A ．曲线C 可为椭圆也可为双曲线 B ．曲线C 一定是双曲线 C ．曲线C 一定是椭圆
D ．这样的曲线C 不存在
解析：设所求圆锥曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1，
根据已知条件：
⎩
⎪⎨⎪⎧
4m ＋12n ＝1 ①
9
4m ＋5n ＝1 ②
①－②整理得m ＝－4n ，∴m ·n ＜0或由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝1，n ＝－14
.
答案：B 二、填空题
5．双曲线x 29－y 2
16
＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离
为________． 解析：由x 29－y 216＝1，知c ＝5，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
9－y 2
16＝1x 2＋y 2＝25，得y 2＝16225，即|y |＝165
.
答案：
16
5
6．设圆过双曲线x 29－y 2
16
＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到双曲线中心
的距离为________． 解析：设圆心P (x 0，y 0)，则|x 0|＝c ＋a 2＝5＋3
2＝4，
代入x 29－y 216＝1，得y 20＝16×79，∴|OP |＝x 20＋y 2
0＝
163. 答案：
16
3
7．已知F 为双曲线x 2
4－y
2
12
＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支点上的动点，则|PF |＋|P A |的最小
值为________． 解析：如图，设F ′为双曲线的右焦点，F ′(4,0)，则|PF |＝|PF ′|＋4， 当P 点在直线AF ′上时，|PF |＋|P A |＝|PF ′|＋|PA |＋4≥|AF ′|＋4＝9.
答案：9 三、解答题
8．双曲线x 2
－y 2
＝a 2
的两个焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线上任意一点，求证|PF 1|、|PO |、|PF 2|成等比数列． 证明：双曲线x 2－y 2＝a 2的焦点分别为F 1(－2a,0)，F 2(2a,0)
设双曲线上任意一点P (x 0，y 0)，则x 20－y 20＝a 2
∴|PF 1||PF 2|＝(x 0＋2a )2＋y 20(x 0－2a )2＋y 20 ＝
x 20＋y 20＋2a 2
＋22ax 0 x 20＋y 20＋2a 2－22ax 0＝(x 20＋y 20＋2a 2)2－8a 2x 2
0 ＝(2x 2
0＋a 2)2
－8a 2x 2
0＝(2x 2
0－a 2)2
＝(x 2
0＋y 20)2
＝x 2
0＋y 2
0＝|PO |2
. 即|PF 1|、|PO |、|PF 2|成等比数列．
9．已知双曲线b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2上有一点P ，其焦点分别为F 1、F 2，且∠F 1PF 2＝α，求证：S △F 1PF 2
＝b 2cot α
2.
证明：由b 2x 2
－a 2y 2
＝a 2b 2
得：x 2
a 2－y
2
b
2＝1.∴|F 1F 2|＝2c ，且||PF 1|－|PF 2||＝2a ，
则|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4a 2.①
根据余弦定理|PF 1|2
＋|PF 2|2
－2|PF 1||PF 2|cos α＝4c 2
.② ②－①整理得：|PF 1||PF 2|＝2b 2
1－cos α
，
∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin α＝b 2sin α1－cos α＝b 2cot α
2.
10．已知双曲线C ：x 24
－y 2
＝1，P 为C 上的任意点．
(1)求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)设点A 的坐标为(3,0)，求|PA |的最小值．
解答：(1)证明：设P (x 1，y 1)是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是x －2y ＝0和x ＋2y ＝0. 点P (x 1，y 1)到两条渐近线的距离分别是
|x 1－2y 1|5和|x 1＋2y 1|5，它们的乘积是|x 1－2y 1|5·|x 1＋2y 1|
5
＝|x 21－4y 2
1|5＝4
5
∴点P 到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数． (2)设P 的坐标为(x ，y )，则|PA |2
＝(x －3)2
＋y 2
＝(x －3)2
＋x 24－1＝54⎝⎛⎭⎫x －1252＋45.
∵|x |≥2，∴当x ＝125时，|PA |2
的最小值为45，即|PA |的最小值为255
. ★选做题
1．椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞n ＞0)与双曲线x 2a －y 2
b ＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一
个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( ) A ．m －a B.12(m －a ) C ．m 2－a 2
D.m －a
解析：根据已知条件：|PF 1|＋|PF 2|＝2m ① ||PF 1|－|PF 2||＝2a ②
①2－②2得4|PF 1||PF 2|＝4m －4a ，即|PF 1||PF 2|＝m －a . 答案：A
2．抛物线顶点在原点，准线过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，且与双曲线的实轴垂直，
已知抛物线与双曲线交点为M ⎝⎛⎭⎫3
2，6，求抛物线与双曲线方程．
解答：根据已知条件可设抛物线方程为y 2
＝2px (p ＞0)，
∵M ⎝⎛⎭⎫3
2，6是抛物线与双曲线的交点，则3p ＝6，即p ＝2，所求抛物线方程为y 2＝4x .
由所求抛物线方程可知双曲线的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，即c ＝1， 又|MF 1|＝
⎣⎡⎦⎤32－(－1)2＋6＝72，|MF 2|＝
⎝⎛⎭⎫32－12＋6＝52
，
因此|MF 1|－|MF 2|＝2a ，即a ＝12，b 2＝c 2－a 2＝34，所求双曲线方程为4x 2
－4y 23
＝1.。