判断抽象函数单调性的四种策略
专题10 抽象函数大题单调性奇偶性归类
专题10 抽象函数大题单调性奇偶性归类目录【题型一】保和函数：f （a+b ）=f （a ）+f （b ）单调性与奇偶性 ...................................................................... 2 【题型二】类对数积函数：形如f （axb ）=f （a ）+f （b ）单调性与奇偶性 ..................................................... 3 【题型三】类指数函数：形如f （a+b ）=f （a ）f （b ）单调性 ........................................................................... 4 【题型四】类对数商函数：形如f （a/b ）=f （a ）-f （b ）单调性 ..................................................................... 5 【题型五】类线性函数：f （a-b ）=f （a ）-f （b ）单调性与奇偶性 .................................................................. 6 【题型六】保积函数：f （a*b ）=f （a ）*f （b ）单调性与奇偶性 ...................................................................... 6 【题型七】恒“截距”线性函数：f （a+b ）=f （a ）+f （b ）-1单调性 ............................................................. 7 【题型八】形如f （a*b ）=f （a ）+f （b ）+t 单调性与奇偶性 ............................................................................ 8 【题型九】形如f （a+b ）+f （a-b ）=2f （a ）f （b ）奇偶性 ............................................................................... 8 【题型十】形如f （a ）+f （a ）=f （a b1ab++）单调性与奇偶性 ........................................................................... 9 【题型十一】形如f （a ）+f （a ）=f (a b)[1f (a)f (b)]+±单调性与奇偶性 ...................................................... 9 【题型十二】形如f （a-b ）=1f (a)f (bf (a)f (b)+-单调性与奇偶性 (10)【题型十三】其他形式的抽象函数汇总 (11)综述一、赋值思维：抽象函数求解或者证明奇偶性和单调性基础。
专题抽象函数的单调性和奇偶性应用
抽象函数的单调性和奇偶性应用抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。
它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型：一、判断单调性和奇偶性1. 判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。
例1．如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间[]--73，上是 A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。
例2．偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是增函数还是减函数，并证明你的结论。
分析：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下：任取x x x x 121200<<⇒->->因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以f x f x ()()-<-12。
又f x ()是偶函数，所以f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，，从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数。
2. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x ()与f x ()-的关系。
例3．若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，判断：函数 y f x =()是什么函数。
解：设y f x =()图象上任意一点为P （x y 00，）y f x =()与y f x =-()的图象关于原点对称，∴P x y ()00，关于原点的对称点()--x y 00，在y f x =-()的图象上，∴-=--∴=-y f x y f x 0000()()又y f x 00=()∴-=f x f x ()()00即对于函数定义域上的任意x 都有f x f x ()()-=，所以y f x =()是偶函数。
抽象函数单调性的判断
抽象函数单调性的判断 例１ 已知函数()f x 对任意实数x ，y 均有)()()(y f x f y x f +=+．且当x ＞０时，)(x f ＞０，试判断)(x f 的单调性，并说明理由.解析：根据题目所给条件，原型函数为y ＝k x ，（k ＞０）．此为增函数．类比其证明方法可得：设12,x x ∈R ，且21x x <，则2x －1x ＞０，故 )(12x x f -＞０．∴ )(2x f －)(1x f ＝[]112)(x x x f +-－)(1x f＝)(12x x f -＋)(1x f －)(1x f＝)(12x x f -＞０．∴)(1x f ＜)(2x f ． 故)(x f 在（－∞，＋∞）上为增函数．例２ 已知函数()y f x =在R 上是奇函数，而且在(0)+∞，上为增函数，证明()y f x =在(0)-∞，上也是增函数．解析：此函数原型函数同样可以为(0)y kx k =>，而奇函数这个条件正是转化的媒介．设12(0)x x ∈-∞，，，且12x x <， ()f x 为奇函数，11()()f x f x ∴-=-，22()()f x f x -=-．由假设可知1200x x ->->，，即12(0)x x --∈+∞，，，且12x x ->-， 由于()f x 在(0)+∞，上是增函数，于是有12()()f x f x ->-，即12()()f x f x ->-，从而12()()f x f x <，()y f x ∴=在(0)-∞，上是增函数．例３ 已知函数)(x f 对于任意正数x ，y 都有)(xy f ＝)(x f ·)(y f ,且)(x f ≠0,当x ＞1时, )(x f ＜1．试判断)(x f 在（０，＋∞）上的单调性，并说明理由．解析：此函数的原型函数可以为x y 1=．显然此函数在（０，＋∞）上是减函数．对于x ∈（０，＋∞）有)(x f ＝[]0)()(2≥=⋅x f x x f又)(x f ≠０， ∴)(x f ＞０设1x ，2x ∈（０，＋∞），且1x ＜2x ．则 221121121111()()()()()()()()x x f x f f x f x x x x f f x f x f x x ===＜１， ∴ )(1x f ＞)(2x f ， 故)(x f 在（０，＋∞）上为减函数．一般形式为 y=f(x)且无法用数字和字母表示出来的函数，一般出现在题目中，或许有定义域、值域等。
判断单调性的5种方法
判断单调性的5种方法在数学中，判断函数的单调性是一个非常重要的问题，它涉及到函数图像的走势和变化规律。
下面将介绍判断单调性的5种方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
1. 导数法。
利用导数的正负性来判断函数的单调性是一种常用的方法。
当函数在某一区间内的导数大于0时，函数在该区间内是单调递增的；当函数在某一区间内的导数小于0时，函数在该区间内是单调递减的。
通过求导数并分析导数的正负性，可以比较容易地判断函数的单调性。
2. 一阶导数与二阶导数法。
除了利用导数的正负性外，还可以通过一阶导数和二阶导数的关系来判断函数的单调性。
当函数在某一区间内的一阶导数大于0且二阶导数大于等于0时，函数在该区间内是单调递增的；当函数在某一区间内的一阶导数小于0且二阶导数小于等于0时，函数在该区间内是单调递减的。
这种方法在一些特殊情况下比较有效。
3. 函数图像法。
通过观察函数的图像，可以直观地判断函数的单调性。
当函数的图像是严格上升或严格下降的时候，函数在相应的区间内是单调递增或单调递减的。
利用函数的图像可以更直观地理解函数的单调性。
4. 极值点法。
函数在极值点处可能发生单调性的变化。
当函数在某一区间内的极值点处，可以通过判断极值点的类型（极大值或极小值）来推断函数在该区间内的单调性。
这种方法需要注意极值点的存在和类型。
5. 线性规划法。
对于一些特定的函数，可以利用线性规划的方法来判断函数的单调性。
通过建立相应的线性规划模型，可以得到函数的单调性区间和趋势。
这种方法相对较为复杂，但在一些特殊情况下比较有效。
总结。
判断函数的单调性是数学中的一个重要问题，对于理解函数的性质和变化规律有着重要的意义。
通过以上介绍的5种方法，希望能够帮助大家更好地掌握判断单调性的技巧和方法。
当然，判断函数的单调性并不是一件容易的事情，需要通过大量的练习和实践来提高自己的能力。
希望大家能够在学习和实践中不断提高，掌握更多的数学知识。
高中数学解题方法系列：函数问题中抽象函数的4种策略
高中数学解题方法系列：函数问题中抽象函数的4种策略抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数问题。
对考查学生的创新精神、实践能力和运用数学的能力，有着十分重要的作用。
化抽象为具体,联想类比思维都有助于问题的思考和解决。
一、数形结合使抽象函数具体一般地讲，抽象函数的图象为示意图居多，有的示意图可能只能根据题意作出n 个孤立的点，但通过示意图却使抽象变形象化，有利于观察、对比、减少推理、减小计算量等好处。
例1、设奇函数()f x 的定义域为[5,5]-，若当x (]5,0∈时，()f x 是增函数且f(2)=o 求不等式x ()0f x <的解。
分析：f(x)的图像如图所示x>0时2<x 5≤x<0时-2<x 0≤例2、已知函数f （x ）对一切实数x 都有f （2+x ）=f （2-x ），如果方程f （x ）=0恰好有4个不同的实根，求这些实根之和。
分析：由f （2+x ）=f （2-x ）知直线x=2是函数图象的对称轴，又f （x ）=0有四根，现从大到小依次设为x 1、x 2、x 3、x 4，则x 1与x 4，x 2与x 3均关于x=2对称，∴x 1+x 4=x 2+x 3=2×2=4，∴x 1+x 2+x 3+x 4=8。
评注：一般地，若函数f （x ）满足f （a+x ）=f （a-x ），则直线x=a 是函数图象的对称轴，利用对称性，数形结合，可使抽象函数问题迎刃而解。
二、利用单调性定义使问题具体加上函数符号f 即为“穿”，去掉函数符号f 即为“脱”。
对于有些抽象函数，可根据函数的单调性，实现对函数符号的“穿脱”，以达到简化的目的。
例3已知f(x)是定义在（0，）上的增函数，且f(y x )=f(x)-f(y)，若f(6)=1，解不等式。
f(x+5)-f(x1)<2分析：由f(6)=1，f(yx )=f(x)-f(y)得：f(636)=f(36)-f(6)，所以f(36)=2。
判断抽象函数单调性的几种策略
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维普资讯
《 中学 数学杂志》 高中 ） ２ ０ （ ０ ２年第 ２期
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15.抽象函数单调性的判断
专题15、抽象函数单调性问题处理策略判断()f x 的单调性，并说明理由.【分析】根据题目所给条件，原型函数为,0y kx k =>，此为单调递增函数．【证明】设12,x x ∈R ，且12x x <，则210x x ->，故21()0f x x ->，[]21211121112112()()()()()()()()0,()()f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x f x f x ∴-=-+-=-+-=->∴<故()f x 在R 上为单调递增函数．【例2】设()f x 定义于实数集上，当0x >时，()1f x >，且对于任意实数,x y 有()()()f x y f x f y +=，求证：()f x 在R 上为增函数。
()0f x ∴≠，即而()f x x -)()x f x =⑴求证：函数()f x 在R 上是单调递增函数；⑵若(4)5f =，解不等式2(32)3f m m --<。
()1f x <，试判断()f x 在(0,)+∞上的单调性，并说明理由．【例5】已知定义在区间(0,)+∞上的函数()f x 满足1122()()()x f f x f x x =-，且当1x >时，()0f x <。
⑴求(1)f 的值；⑵证明：()f x 为单调递减函数；⑶若(3)1f =-，求()f x 在[]2,9上的最小值。
⑶()f x 在(0,得，()3f =【例6】已知函数()f x 满足x R ∀∈，2()()f x f x x +-=，并且当(],0x ∈-∞时，()f x 为增函数，若(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围是 .⑶在(0,)+∞上是增函数。
如果(2)(3)2f f x +-≤，则实数x 的取值范围为【答案】35x <≤【解析】由题可知，()()()f xy f x f y =+，(2)(3)2f f x +-≤，(3)1f x -≤，()f x 在(0,)+∞上是增函数，且(2)1f =，3032x x ->⎧∴⎨-≤⎩，解得35x <≤。
判断抽象函数单调性的四种策略
龙源期刊网
判断抽象函数单调性的四种策略
作者：李清翠
来源：《甘肃教育》2008年第12期
〔关键词〕抽象函数；单调性；增量；添项；放缩
〔中图分类号〕 G633.62〔文献标识码〕 C
〔文章编号〕 1004—0463（2008）06（B）—0053—01
函数的单调性是函数的重要性质之一，而判断抽象函数的单调性问题，既是教学的一个难点，又是近几年高考的一个热点.下面结合实例，介绍几种常见的抽象函数的单调性的判断策略.
凑差策略
以上介绍了抽象函数单调性的几种判断策略，在实际解题过程中，学生应根据具体问题的条件、特征选择恰当的方法快速、简捷地判断出抽象函数的单调性，从而真正提高分析问题和解决问题的能力.
本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
判断抽象函数单调性的四种策略
判断抽象函数单调性的四种策略抽象函数问题是指没有明确给出具体函数表达式的问题。
这类问题对发展学生思维能力，进行数学思想方法的渗透有较好的作用。
本文准备就四种常见的抽象函数单调性的判断策略做一小结，供大家解题时参考。
1 凑差策略紧扣单调函数的定义，利用赋值，设法从题设中“凑出”“f(x 1)-f(x 2)”，然后判断符号。
例1 已知函数f(x)对任意实数x 、y 均有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)>0，试判断函数f(x)的单调性。
解：由f(x+y)=f(x)+f(y)得，f(x+y)-f(x)=f(y)令x+y=x 2，x=x 1，且x 1<x 2，则有f(x 2)-f(x 1)=f(y)∵y=x 2-x 1>0，∴f(y)=f(x 2-x 1)>0，即f(x 1)<f(x 2)，因此f(x)为增函数。
例2 设函数f(x)的定义域为（0，+∞），对任意正实数x 、y 均有f(xy)=f(x)+f(y)，且当x>1时f(x)>0，判断函数f(x)的单调性并说明理由。
解：由f(xy)=f(x)+f(y)得，f(xy)-f(x)=f(y)令x+y=x 1，x=x 2，且x 1>x 2>0，则有f(x 1)-f(x 2)=f(y)，∵121>=x x y ，∴0)()(21>=x x f y f 即f(x 1)>f(x 2)，因此f(x)为增函数。
2 添项策略瞄准题设中的结构特点，采用加减添项或乘除添项，以达到确定“f(x 1)-f(x 2)”的符号的目的。
例3（题同例1）解：设x 1<x 2，则x 2-x 1>0，∵当x>0时，f(x)>0，∴f(x 2-x 1)>0∴f(x 2)-f(x 1)=f[(x 2-x 1)+x 1]-f(x 1)=f(x 2-x 1)+f(x 1)-f(x 1)=f(x 2-x 1)>0 即f(x 1)<f(x 2)，因此f(x)为增函数。
抽象函数单调性、奇偶性的判断及其综合运用.doc
抽象函数单调性.奇偶性的判断及其综合运用抽象函数奇偶性、单调性的判断1.对于抽象函数奇偶性的判断，通常用定义法（方法）O要充分利用所给条件想方设法寻找f X与f -X之间的关系。
此类题hl常用到f 0 ，可通过对式子中的变量进行特殊赋值（技巧），构造出0,把f 0求出来。
利用特殊法求解，取特殊值时，要注意取值的合理性，有时取一组值不能得到合适的答案，还需尝试再取另一组。
做题时，注意体会领悟。
2.对于抽彖函数单调性的判断，也是利用定义法，就是耍注意作差（或作商）公式的变形应用(1) f xl f x2 f xl x2 x2 f x2(2) f x2 f xl f x2 xl xl f xlX (3) f xl f x2 f 1 x2 f x2 x2X (4) f x2 f xl f 2 xl f xl xlX f 1 x2 f xl X (5) 2fx2fx2 x 1 “ 2 x2 f x2 X (6) 2fxlfxl3.用定义法证明抽象函数单-调性的步骤与技巧（1）取值取值技巧：取值时，要有方向性、H标性①若题干中出现暗示单调性的条件为“当x 0时，f x 0”时，一般我们会按照“任取xl,x2 A, Kxl x2,则xl x2 0 （A为题设所给定义域，下同）”的模式來操作。
②若题干中出现暗示单调性的条件为“当x 0时，f x 『时，我们可以按照“任取xl,x2 A, Kxl x2,则xl x2 0”的模式來操作。
③若题干中出现暗示单调性的条件为“当x 0时，f x 『时,按照“任取xl,x2 A,且xl x2,则x2 xl 0”的模式来取值，那么在变形时就耍选择第二个变形公式了。
④若题干中出现暗示单调性的条件为“当x 0时，f x0”时，按照“任取xl,x2 A,且xl x2,则x2 xl 0”的模式来取值时，在变形时也要耍选择第二个变形公式。
注：不管怎么取值都可以，但是在选择变形公式时，必须要保证跟题干所给的暗示单调性的条件方向统一，否则将函数值作差后无法判断其符号，从而也就无法判断函数的单调性。
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判断抽象函数单调性的四种策略抽象函数问题是指没有明确给出具体函数表达式的问题。
这类问题对开展学生思维能力，进展数学思想方法的渗透有较好的作用。
本文准备就四种常见的抽象函数单调性的判断策略做一小结，供大家解题时参考。
1 凑差策略
紧扣单调函数的定义，利用赋值，设法从题设中“凑出〞“f(x1)-f(x2)〞，然后判断符号。
例1函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)>0，试判断函数f(x)的单调性。
解：由f(x+y)=f(x)+f(y)得，f(x+y)-f(x)=f(y)
令x+y=x2，x=x1，且x1<x2，
如此有f(x2)-f(x1)=f(y)
∵y=x2-x1>0，∴f(y)=f(x2-x1)>0，
即f(x1)<f(x2)，因此f(x)为增函数。
例2设函数f(x)的定义域为〔0，+∞〕，对任意正实数x、y均有f(xy)=f(x)+f(y)，且当x>1时f(x)>0，判断函数f(x)的单调性并说明理由。
解：由f(xy)=f(x)+f(y)得，f(xy)-f(x)=f(y)
令x+y=x1，x=x2，且x1>x2>0，
如此有f(x1)-f(x2)=f(y)，
∵，∴
即f(x1)>f(x2)，因此f(x)为增函数。
2 添项策略
瞄准题设中的结构特点，采用加减添项或乘除添项，以到达确定“f(x1)-f(x2)〞的符号的目的。
例3〔题同例1〕
解：设x1<x2，如此x2-x1>0，
∵当x>0时，f(x)>0，∴f(x2-x1)>0
∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)>0
即f(x1)<f(x2)，因此f(x)为增函数。
例4〔题同例2〕
解：设0<x1<x2<+∞，如此
∵当x>1时f(x)>0，∴
∴
即f(x2)>f(x1)，因此f(x)为增函数。
3 增量策略
由单调性的定义出发，假设x1<x2，设x2=x1+δ〔δ>0〕,从而与题设联系起来。
例5〔题同例1〕
解：对任意的x1、x2，设x1<x2，且x2=x1+δ〔δ>0〕，
由题设f(x+y)=f(x)+f(y)得
f(x 2)-f(x 1)=f 〔x 1+δ〕-f(x 1)=f(x 1)+f(δ)-f(x 1)=f(δ)
∵δ>0,∴f(δ)>0，
即f(x 2)>f(x 1)，因此f(x)为增函数。
例 6 设函数f(x)的定义域为R ，当x>0时，f(x)>1，且对任意的x 、y
，均有f(x+y)=f(x)f(y)成立。
试判断函数f(x)的单调性并说明理由。
解：对任意的x 1、x 2，设x 1<x 2，且x 2=x 1+δ〔δ>0〕，
如此f(x 2)-f(x 1)=f 〔x 1+δ〕-f(x 1)=f(x 1)f(δ)-f(x 1)=[f(δ)-1]f(x 1) ∵当x>0时，f(x)>1，∴f(δ)-1>0
下面判断f(x 1)的符号： ∵∴ 假如存在使f(x 0)=0,如此对任意的x ，f(x)=f[(x-x 0)+x 0]=f(x-
x 0)f(x 0)=0，这与题设条件矛盾。
因此，即 这样，f(x 2)-f(x 1) >0，所以f(x)为增函数。
4 放缩策略
结合添项策略，利用放缩法，判断f(x 1)与f(x 2)的大小关系，从而得f(x)的单调性。
例7〔题同例6〕
解：设x 1<x 2，如此x 2-x 1>0，
∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x 2-x 1)>0，
∴f(x 2)=f[(x 2-x 1)+x 1]=f(x 2-x 1)f(x 1)>f(x 1)〔由上题知f(x 1)>0〕
即f(x)为增函数。
例8 函数f(x)的定义域为〔0，+∞〕，对任意正实数x 、y 均有f(xy)=f(x)f(y)，且当x>1时0<f(x)<1，判断函数f(x)的单调性并说明理由。
解：设0<x 1<x 2，如此112
x x
∵当x>1时0<f(x)<1，∴
又由f(xy)=f(x)f(y)中令x>1，y=1得f(1)=1
当0<x<1时，，由易知此时f(x)>1，
这样，f(x)>0恒成立。
∴
即f(x)在〔0，+∞〕上单调递减函数。
内容总结
（1）判断抽象函数单调性的四种策略
抽象函数问题是指没有明确给出具体函数表达式的问题
（2）判断抽象函数单调性的四种策略
抽象函数问题是指没有明确给出具体函数表达式的问题（3）∴
即f(x)在〔0，+∞〕上单调递减函数。