(完整)数学必修1专题1：抽象函数的单调性
专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明
抽象函数单调性与奇偶性1.已知,对一切实数、都成立，且,求证为偶函数。
证明：令=0, 则已知等式变为……①在①中令=0则2=2∵ ≠0∴=1∴∴∴为偶函数。
2.奇函数在定义域（-1，1）内递减，求满足的实数的取值范围。
解：由得，∵为函数，∴又∵在（-1，1）内递减，∴3.如果=(a>0)对任意的有,比较的大小解：对任意有∴=2为抛物线=的对称轴又∵其开口向上∴(2)最小，(1)=(3)∵在［2，＋∞)上，为增函数∴(3)<(4),∴(2)<(1)<(4)4. 已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x ＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。
分析：由题设可知，函数f（x）是的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。
解：设，∵当，∴，∵，∴，即，∴f（x）为增函数。
在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则f（0）＝（0），∴ f（0）＝0，故f （－x）＝f（x），f（x）为奇函数，∴f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝（－1）＝－4，∴ f（x）的值域为［－4，2］。
5. 已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。
分析：由题设条件可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。
解：设，∵当，∴，则，即，∴f（x）为单调增函数。
∵，又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。
∴，∴，即，解得不等式的解为－1 < a < 3。
6.设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。
求：（1）f（0）；（2）对任意值x，判断f（x）值的正负。
分析：由题设可猜测f（x）是指数函数的抽象函数，从而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。
抽象函数的单调性课件
03
波的传播
波动传播的速度和方向可以用抽象函数表示，通过分析这些函数的单调
性，可以了解波动的传播规律和变化趋势。
在其他领域的应用
生物种群数量变化
在生态学中，生物种群数量的变化可以用抽象函数表示，通过分析 这些函数的单调性，可以了解种群数量的增长或减少趋势。
详细描述
利用单调性解不等式的方法主要包括比较法和构造法。比较法是通过比较不等式两边的 函数值来判断不等式的真假，而构造法则是通过构造辅助函数并利用其单调性来解不等
式。
THANKS
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
几何意义
函数图像在区间$I$上从左到右上升。
举例
$f(x) = x^2$在$mathbf{R}$上单 调递增。
单调减函数
定义
如果对于任意$x_1 < x_2$，都 有$f(x_1) geq f(x_2)$，则称函 数$f(x)$在区间$I$上单调递减。
几何意义
函数图像在区间$I$上从左到右 下降。
单调性与函数图像的走势
单调性可以决定函数图像的走势。如果函数在某个区间内单调递增或递减，则该 区间内的函数图像会呈现出上升或下降的趋势。
单调性与不等式的关系
单调性与不等式的解法
单调性可以用来解决一些不等式问题。 例如，利用函数的单调性可以判断不 等式的解集范围。
单调性与不等式的性质
单调性可以用来推导不等式的性质。 例如，如果函数在某个区间内单调递 增，则对于该区间内的任意两个数x1 和x2，有f(x1) < f(x2)，即函数的值 随着自变量的增大而增大。
人教A版高中数学必修一第一章1函数的单调性PPT全文课件(61ppt)
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 减函数.
人教A版高中数学必修一第一章1函数 的单调 性PPT全 文课件 (61ppt )【完 美课件 】
x
y
y x2
f ( x1)
x
x1O
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增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 减函数.
f(x1) f(x2) x1＜x2
O x1 x2 x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y＝f(x)
f(x1) f(x2) x1＜x2 f(x1)＜f(x2)
O x1 x2 x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y＝f(x(x2)
O x1 x2 x
函数单调性的概念：
函数单调性的概念：
如果函数 y＝f(x)在某区间上是增函 数或减函数，那么就说函数 f(x)在这一 区间具有(严格的)单调性，这一区间叫 做 y＝f(x)的单调区间.
抽象函数单调性
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 x1 x1 ) f ( x2 x1 ) x2 x1 0, 当x 0时, f ( x) 0 f ( x2 x1 ) 0 即f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x)在R上为增函数.
（2）解： f (4) f (2)+f (2)-1，f (4)=5 5 2 f (2) 1，f (2)=3 f ( m 2 ) 3，又 f ( x)在R上为增函数. m2 2 即-2 m 2 2,解得： 0m4 m的范围为 0, 4 .
x1 1, 当0 x 1时, f ( x) 0 x2 x1 )0 x2
即f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x)在R上为减函数.
五、课堂演练，反馈提升
练习 1、函数f ( x)对任意的a, b R，都有f (a b) f (a) f (b) 1， 并且当x 0时，f ( x) 1. （ 1）求证：f ( x)在R上是增函数； （2）若f (4) 5，解不等式f ( m 2 ) 3.
练习2、已知函数f ( x)的定义域是（ 0， ），且f ( x y ) f ( x) f ( y )， 当x 1时，f ( x) 0. （ 1）求f (1)； （2）证明f ( x)在（0， ）上是增：任取x1 , x2 R，且x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 x1 x1 ) f ( x2 x1 )+1 x2 x1 0, 当x 0时, f ( x) 1 f ( x2 x1 )+1 0 即f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x)在R上为增函数. f ( x1 ) f ( x2 x1 ) f ( x1 )-1
数学必修一单调性
目录
• 单调性的定义 • 单调性的判定 • 单调性的应用 • 单调性的性质 • 单调性的扩展知识
01
单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增，那么对于该区间内的任意两个数$x_1$和$x_2$， 当$x_1 < x_2$时，都有$f(x_1) leq f(x_2)$；反之，如果函数在某个区间内单调递减，那么对于该区间内的任意两个数$x_1$和 $x_2$，当$x_1 < x_2$时，都有$f(x_1) geq f(x_2)$。
导数法
利用导数与函数单调性的关系，通过判断导数的正负来判断函数的单调 性。
03
图像法
通过观察函数的图像来判断函数的单调性。如果图像在某区间内从左到
右逐渐上升，则函数在该区间内单调递增；如果图像在某区间内从左到
右逐渐下降，则函数在该区间内单调递减。
单调性判定例题解析
0102Βιβλιοθήκη 0304例题1
判断函数f(x) = x^3在区间(-∞, +∞)上的单调性。
例子
对于函数 (f(x) = x^3)，在 (x = 0) 处函数由递减变为递增，因此 (x = 0) 是该函数的极小值点。
单调性在实际问题中的应用
总结词
单调性在实际问题中有着广泛的应用，通过单调性可以分析各种实际问题的变化趋势，从而做出合理的决策。
详细描述
单调性可以用于分析各种实际问题，如经济问题、物理问题等。例如，在经济学中，通过分析需求函数和供给函数的 单调性，可以预测市场的价格变化趋势；在物理学中，通过分析受力函数的单调性，可以判断物体的运动状态。
单调函数在定义域内是单调的
必修一函数的单调性精品PPT课件
x2 x
从左至右，图象下降
y随x的增大而减小
在区间I内
y
y=f(x)
f(x2)
图 象 f(x1)
·
在区间I内
y
· f(x1)
y=f(x)
·
f(x2)
·
0
x1
x2 x
0
x1
x2 x
图象 特征
从左至右，图象上升
数量 y随x的增大而增大 特征 当x1＜x2时， f(x1) < f(x2)
从左至右，图象下降
y=x
f(x1)
1·
O 1· x1 x
此函数在区间（-∞, +∞ ）内y随x的增大而增
大，在区间
y随x的增大而减小；
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y
y = x2
1·
O 1· x
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y
y = x2
1·
y = x2
x
此函数在区间 大，在区间
内y随x的增大而增 内y随x的增大而减小。
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y
y = x2
f(x1) 1·
x1 O 1· x
此函数在区间 大，在区间
内y随x的增大而增 内y随x的增大而减小。
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y
y = x2
说明气温在哪些时间段内是逐渐升高的或下降的？
引例2：画出下列函数的图象
（1）y = x
引例2：画出下列函数的图象
y （1）y = x
苏教版高中数学必修第一册《函数的单调性---抽象函数、复合函数单调性》名师课件
2
在
−1
2
在[
−1
, = 6 时取得最小值，
典例讲解
例2.求 = − − 的单调递增区间.
解析
的定义域为{| ≥ ，或 ≤ −}，令 = − − ，
则原函数可化为() = ( ≥ 0).
∙ ()具有相反的单调性.
(3)若()恒为正值或恒为负值,则当 > 0时,()与
具有相反的单调
性；当 <
0时,()与
具有相同的单调性.
()
()
(4)若() ≥0，则()与 ()具有相同的单调性.
(5)当() ，()都是增(减)函数时，若两者都恒大于零，则() ∙ ()
2 − 1 = 2 − 1 − 2 + 2 ；
若给出的是积型 () = ⋯ 抽象函数，判定符号时的
2
变形为 2 − 1 = 1 ⋅
− 1 ,
2 − 1 = 2 −
1
1
2 ⋅
2
.
变式训练
2.已知函数 对任意的, ∈ ，总有( + ) = , () ≠ ,且当 > 时，
∴ 1 − 2 =
1
2
⋅ 2 − 2 =
1
2
+ 2 − 2 =
∵ 1 , 2 ∈ (0， + ∞) ，且1 < 2 ，
∴0 <
1
2
< .
∴
1
2
>0
∴ 1 − 2 > 0,即 1 < 2
∴ 在(0， + ∞)上单调递减.
因为 = − − 在 −∞, − 上单调递减，在 3, +∞
必修一数学抽象函数习题精选含答案
抽象函数单调性和奇偶性1.抽象函数的图像判断单调性例1.如果奇函数f(x)在区间［3, 7］上是增函数且有最小值为5,那么f (x)在区间［7，3］上是()A.增函数且最小值为5B.增函数且最大值为5C.减函数且最小值为 5D.减函数且最大值为5分析：画出满足题意的示意图，易知选Bo2、抽象函数的图像求不等式的解集例2、已知定义在R上的偶函数f (x)满足f(2) 0，并且f (x)在(，0)上为增函数。
若(a 1)f(a) 0 ,则实数a的取值范围二、抽象函数的单调性和奇偶性1.证明单调性例3.已知函数f(x)= ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0,g(x) 1g(1) =2,g(x) 是增函数.g(m)g(n) g(m n)(m,n R)求证：f(x)是R上的增函数.解:设X1>X2因为，g(x)是R上的增函数,且g(x)>0。
故g(x 1) > g(x 2) >0 o g(X1)+1 > g(x 2)+1 >0 ,2 22> 2>0g(X2)1 g(xj 1g(x2) 1 g(xj 1>0 o增函数。
2.证明奇偶性例5.已知f(x)的定义域为R,且对任意实数x,y 满足f(xy) f(x) 求证：f(x)是偶函数。
分析：在 f(xy) f (x) f(y)中，令 x y 1，得 f(1) f (1) f (1) f (1) 0 令 x y 1,得 f (1) f( 1) f( 1) f( 1) 0于是 f( x) f( 1 x) f( 1) f (x) f (x)，故 f (x)是偶函数。
三、求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中， 关键是利用函数的奇 偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ f ”符号，转化为代数不等式 组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
f(x 1)- f(x 2)=皿Jg(xj 1gg) 1 g%) 122=1——2——(1-2)g(xj 1 gg) 1>0 g(xj 1可以推出: f(x 1)>f(x 2)，所以 f(x)是 R 上的上为减函数。
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数学必修1专题1：抽象函数的单调性
1. 三类抽象函数的类型及其单调性分析
(1） 已知定义在R 上的函数)(x f 对任意实数y x 、都满足)()()(y f x f y x f +=+,且当0>x 时，0)(>x f ．判断)(x f 的单调性并证明．
证明：令0==y x ，则)0()0()00(f f f +=+ ∴0)0(=f
令x y -=，则0)()()0()(=-+==-x f x f f x x f ∴)()(x f x f =-
在R 上任取21x x ，
,且使21x x < 0)()()()()(121212<-=-+=-x x f x f x f x f x f 即)()(12x f x f <
由定义可知)(x f 在R 上为单调递减函数
（2） 已知函数)(x f 的定义域是()∞+，0，满足)()()(y f x f xy f +=，且当1>x 时，0)(>x f ．判断)(x f 的单调性并证明．
证明:令1==y x ，则)1()1()1(f f f += ∴0)1(=f 令x y 1=,则0)1()()1()1·(=+==x f x f f x x f ∴)()1(x f x
f -= 任取()∞+∈，，021x x ，且使21x x <
0)()1()()()(1
21212>=+=-x x f x f x f x f x f 即)()(12x f x f > 由定义可知)(x f 在()∞+，0上为单调递增函数
(3) 已知函数)(x f 的定义域是()∞+，0，且对一切00>>y x ，都有)()()(y f x f y
x f -=，当1>x 时，有0)(>x f ．判断)(x f 的单调性并证明．
证明：令1==y x ，则)1()1()1(f f f += ∴0)1(=f
任取()∞+∈，，021x x ，且使21x x < 则0)(
)()(1212>=-x x f x f x f 即)()(12x f x f > 由定义可知)(x f 在()∞+，0上为单调递增函数
2. 简短评价
(1) 注意三类函数的定义域不同的区别；
（2） 其实我们可以看出解题的思路大致一样:求出)0(f 或)1(f ;令x y -=或x
y 1=
针对练习：
1。
已知函数)(x f 的定义域是()∞+，0，满足1)2(=f ，且对于定义域内任意x 、y 都有)()()(y f x f xy f +=成立，那么=+)4()1(f f _______
2。
定义在R 上的函数)(x f 满足xy y f x f y x f 2)()()(++=+ )(R y x ∈，,2)1(=f ，则=-)3(f _______
3。
已知函数)(x f 在定义域()∞+，0上为增函数，且满足)()()3(y f x f xy f +=，1)3(=f
（1) 求)27()9(f f ，的值;
(2) 解不等式2)8()(<-+x f x f
4. 设函数)(x f 对任意的R b a ∈，，都有1)()()(-+=+b f a f b a f ，且当0>x 时，1)(>x f
（1） 求证:)(x f 是R 上的增函数
(2） 若5)4(=f ，解不等式3)23(2<--m m f
5. 设函数)(x f 是定义域为R,并满足)()()(y f x f y x f +=+，1)3
1(=f ，且当0>x 时，0)(>x f （1） 求)0(f 的值；
（2） 判断函数的奇偶性;
(3） 如果2)2()(<++x f x f ,求x 的取值范围
6。
已知函数)(x f 对一切R y x ∈，，都有)()()(y f x f y x f +=+，若a f =-)3(，则是否可以用a 表示)12(f
7. 已知函数)(x f 的定义域是()∞+，0，当1>x 时，0)(>x f ，且)()()(y f x f xy f +=
（1) 求)1(f
(2) 证明:)(x f 在定义域上是增函数
(3) 如果1)3
1(-=f ，求满足不等式2)21()(≥--x f x f 的x 的取值范围 8。
(河南省许昌市四校高一（上)期中联考）已知定义域为（0，+∞）的函数)(x f 满足:①x＞1时，0)(<x f ；②1)2
1(=f ③对任意的正实数x ，y ，都有)()()(y f x f xy f +=
（1) 求证：0)1(=f ，)()1(x f x f -=；
（2） 求证：)(x f 在定义域内为减函数；
(3) 求不等式2)5()2(-≥-+x f f 的解集．
9.（湖南永州市祁阳四中高一（上)期中数学试卷)已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()()(y x f y f x f +=+,当x ＜0时2)1(0)(=<f x f ，;
(1) 求证:)(x f 为奇函数；
（2） 求)(x f 在[﹣3，3]的最值；
（3） 当t ＞2时，0)2log (log )log (2222<--+t f t k f 恒成立，求实数k 的取值范围．
10。
已知函数)(x f 定义域为[﹣1，1］，若对任意的]11[，，-∈y x ，
都有)()()(y f x f y x f +=+，且0>x 时，有0)(>x f （1) 证明:)(x f 为奇函数；
（2） 证明：)(x f 在[﹣1，1]上为单调递增函数；
（3） 设1)(=x f ，若12)(2+-<am m x f ，对所有]11[，，-∈y x ，]11[，
-∈a 恒成立，求实数m 的取值范围。
11. 已知)(x f 的定义域为()∞+，0,且满足)()()(1)2(y f x f xy f f +==，
，又当y x >时,)()(y f x f > （1) 求)4()1(f f 、的值;
（2） 如果2)3()(≤-+x f x f ，求x 的范围
12. 设)(x f 是定义在()∞+，0上的增函数，且对任意()∞+∈，、0y x 都有)()()(y f x f y
x f -= （1) 求)1(f
(2） 若1)4(=f ，解不等式2)1()6(>-+x f x f。