著名的抛硬币实验概率
有道概率题：一个有趣的抛硬币问题
有道概率题：⼀个有趣的抛硬币问题假设有⼀个硬币，抛出字（背⾯）和花（正⾯）的概率都是0.5，⽽且每次抛硬币与前次结果⽆关。
现在做⼀个游戏，连续地抛这个硬币，直到连续出现两次字为⽌，问平均要抛多少次才能结束游戏？注意，⼀旦连续抛出两个“字”向上游戏就结束了，不⽤继续抛。
上⾯这个题⽬我第⼀次见到是在pongba的TopLanguage的⼀次上，提出问题的⼈为Shuo Chen，当时我给出了⼀个解法，⾃认为已经相当简单了，先来考虑⼀下抛硬币的过程：⾸先先抛⼀枚硬币，如果是花，那么需要重头开始；如果是字，那么再抛⼀枚硬币，新抛的这枚如果也是字，则游戏结束，如果是花，那么⼜需要重头开始。
根据这个过程，设抛硬币的期望次数为T，可以得到关系 T = 1 + 0.5T + 0.5( 1 + 0.5 * 0 + 0.5T)解⽅程可得到 T = 6. 由于上⾯这个⽅法只能得到期望，⽽⽆法得到⽅差以及具体某个事件的概率，后来我⼜仔细分析了⼀下，推出了为（推导的过程暂时略过，后⾯你会看到⼀个更⼀般、更简单的推导）于是可以算出⽅差 V = G''(1) + G'(1) - G'(1)^2 = 22。
将G(z)根据Rational Expansion Theorem [CMath 7.3]展开，可以得到需要抛n次硬币的概率为其中Fn是Fibonacci数列的第n项。
到这⾥，我觉得这个问题似乎已经完全解决了，直到昨天看到Matrix67的。
在此帖中Matrix67⼤⽜⽤他那神⼀般的数学直觉⼀下将需要连续抛出n个字的⼀般情形给解决了，⽽且得出的结果相当简洁：Tn = 2^(n+1) - 2，其中Tn为⾸次出现连续的n个字的期望投掷数。
这也给了我⼀些启发，我试着将上⾯的过程进⾏推⼴，居然得到⼀个简单得出⼈意料的解法（甚⾄⽐上⾯n=2的推导过程还简单）。
这个解法的关键在于下⾯这个递推关系 Tn = Tn-1 + 1 + 0.5 * Tn也即是有 Tn = 2 * Tn-1 + 2。
硬币大数定律
硬币大数定律硬币大数定律（Law of Large Numbers in Coin Flipping）导言：硬币大数定律是统计学中一个重要且有趣的概念。
它说明了在大量的硬币投掷中，正面和反面出现的次数会趋于相等。
本文将介绍硬币大数定律的基本原理、证明方法和应用领域，并探讨其实际意义。
第一部分：基本原理硬币大数定律的基本原理在于随着试验的次数增加，成功事件出现的概率将逐渐接近其理论值。
假设我们进行了N次硬币投掷，用X表示正面出现的次数。
根据硬币投掷的规则，每次投掷的结果是相互独立的事件，且有50%的概率出现正面和50%的概率出现反面。
根据大数定律，当N趋于无限大时，X/N的比值将接近0.5。
为了简化问题，我们可以使用一个模型来模拟硬币投掷。
假设我们拥有一个完美的硬币，能够保证正反两面出现的概率均为0.5。
为了证明硬币大数定律，我们假设进行了100次硬币投掷，并将结果记录下来。
这些结果可能会是不连贯的、随机的，即X的取值可能会出现很大的波动。
然而，当我们进行了1000次、10000次或更多次的投掷时，我们会发现X的取值逐渐稳定在0.5附近，证明了硬币大数定律的成立。
第二部分：证明方法硬币大数定律的证明方法多种多样，其中一种方法是使用概率论的帮助。
我们可以利用二项分布来描述硬币投掷的结果，并使用数学方法证明当N趋于无限大时，X/N的比值将接近0.5。
二项分布是一种描述若干次独立实验中成功次数的概率分布函数。
对于硬币投掷来说，成功的概率是0.5，即正面和反面各一半的概率。
使用二项分布的公式，我们可以计算出在N次投掷后，正面出现X次的概率。
为了证明硬币大数定律，我们可以计算不同次数的投掷结果，比如100次、1000次和10000次。
我们会发现随着投掷次数的增加，X的取值逐渐稳定在0.5附近。
这是因为随着试验次数的增多，成功事件和失败事件的次数趋于平衡，即正面和反面出现的概率接近0.5。
第三部分：实际应用硬币大数定律在实际生活中有着广泛的应用。
概率实验：进行概率实验
概率实验：进行概率实验概率实验是统计学中的重要内容之一，通过实际操作来观察和记录事件发生的频率，从而探究事件发生的概率。
本文将介绍如何进行概率实验以及如何根据实验结果得出概率的估计。
一、准备工作在进行概率实验之前，我们需要明确实验的目的和方案，并准备好相应的材料和设备。
例如，我们要进行抛硬币实验，准备好一枚硬币；要进行掷骰子实验，准备好一个六面骰子等。
二、实验步骤1. 确定实验目的：明确所要研究的事件或现象。
比如，我们想知道抛一枚硬币正面朝上的概率。
2. 设定实验方案：确定实验的方法和步骤。
例如，我们可以通过抛硬币的方式进行实验，记录每次抛掷的结果。
3. 进行实验：按照实验方案进行实验操作。
例如，我们进行了10次抛硬币的实验，并记录了每次的结果。
4. 统计实验结果：根据实验数据记录事件发生的频率。
在我们的抛硬币实验中，我们可以统计正面朝上的次数。
三、数据处理与分析1. 统计频数：统计事件发生的次数。
在我们的抛硬币实验中，我们统计了正面朝上的次数为6次。
2. 计算频率：根据事件发生的次数计算频率。
频率是指某事件发生的次数与实验总次数的比值。
在我们的实验中，抛硬币正面朝上的频率为6/10=0.6。
四、概率估计与结论根据我们的实验结果，我们可以得出抛硬币正面朝上的估计概率为0.6。
然而，我们需要注意到这只是通过有限次实验得出的估计值，真实的概率可能存在偏差。
我们可以通过增加实验次数来提高概率估计的准确性。
当实验次数越多时，观察到的频率会更加接近真实的概率值。
因此，概率实验的重复性和可验证性是确保结果准确性的重要条件。
总结起来，概率实验是一种通过实际操作来观察和记录事件发生频率的方法，用于研究事件发生的概率。
通过实验步骤和数据处理与分析，我们可以得出对事件概率的估计值。
然而，在进行概率实验时，我们应当注意增加实验次数，以提高概率估计的准确性。
正如英国统计学家约翰·图基所说：“概率追踪未来不能，但可以改善管理”。
抛硬币试验1
抛硬币试验“抛”出了什么此题设计目的是使学生理解随机抛掷一枚硬币时“出现正面和出现反面的可能性是相同的”，从而说明在比赛前用抛硬币的方法来决定谁先开球对比赛双方都是公平的。
问题的关键是：怎样才能让学生明白“出现正面和出现反面的可能性是相同的”即“它们的可能性都是1/2”呢？问了几个同事，大家都说“一看就知道，硬币只有两面，抛一次不是正面就是反面，出现正面和反面的可能性都是1/2”。
我也是这样想的。
不过，“一看就知道”的东西，为什么历史上那么多著名的数学家还要通过做成千上万次的试验来证明呢？这里面究竟隐藏着什么？在配套的《教师教学用书》第173页，有这样一段话：掷一枚硬币时，既可能出现正面，也可以出现反面，预先作出确定的判断是不可能的，但如果硬币均匀，直观上会感到出现正面与出现反面的机会应该相等，即在大量重复试验中正面朝上的频率，应该接近50%。
为了验证这点，在概率论的发展历史上，曾有许多著名的数学家也做过这个实验。
难道说我们的判断靠的就是“直观”，是一种感觉？这种感觉对不对，还得靠“验证”？可新的问题又来了，就算科学家做了成千上万次的试验不是也没有证明正面和反面的可能性都是1/2吗？何况，课堂上我们让孩子做得有限的数十，上百次试验。
说白了，做实验不但得不到结果，还会推翻最初的“直观”感觉。
问题越来越多，需要继续查资料：通过试验来确定概率是有风险的。
增加试验次数，可以降低这种风险，却不能消除风险本身，只有在试验次数无穷大的时候，才不存在这种风险。
试验次数越多，结果越逼近理论值。
当大量重复抛掷一枚硬币时，二者出现的频率在0.5附近摆动，我们就认为正面朝上和反面朝上的概率是1/2。
虽然，最后那句“二者出现的频率在0.5附近摆动，我们就认为正面朝上和反面朝上的概率是1/2”这种解释我认为非常牵强。
不过，心中的疑虑还是打消了不少。
我敢在课堂上大胆尝试：一、观察独立的20组数据1、学生两人合作，每人抛10次，做好记录。
投掷硬币中的偶然性和必然性
投掷硬币中的偶然性和必然性投掷硬币中的偶然性和必然性在小学数学的教学中，根据小学生的认知水平，应避免学习过多或艰深的术语，从小学低年级开始应该非形式地介绍概率思想，而非严格的定义、单纯的计算。
因此，在小学可以用“可能性”来代替“概率”这个概念。
但作为教师应该懂得它的意义，否则就会出笑话。
有的教师让学生在课堂上做 20次抛掷硬币的试验，希望学生能得到出现正面的可能性是1/2，这是极其幼稚的想法。
人们在抛掷一枚硬币时，究竟会出现什么样的结果事先是不能确定的，但是当我们在相同的条件下，大量重复地抛掷同一枚均匀硬币时，就会发现“出现正面”或“出现反面”的次数大约各占总抛掷次数的1/2左右。
这里的“大量重复”是指多少次呢?历史上不少统计学家，例如皮尔逊等人作过成千上万次抛掷硬币的试验，其试验记录如下：投掷一个质地均匀的硬币，正面向上还是反面向上，事前是无法预测的，完全是随机的（偶然性），但是在大量地投掷后，会发现正面出现的次数和反面出现的次数大致是相等的。
如果我们把出现正面朝上叫做事件A，出现反面朝上的事件叫B，一次试验中每一种结果出现的可能性叫做概率，记作P（A）或P （B），多次重复实验后出现的规律性就称为统计规律。
在重复n次这样的试验后，假设事件A发生n A次，n A称为这一事件在这n次中发生的频数，f n(A)=n A/n称为频率。
频率f n(A)越大，事件A出现越频繁，这意味着A在一次试验中发生的概率越大。
重复多次以后，频率f n(A)总接近于一次试验中A发生的概率P（A），这就是统计规律（必然性）的具体表现。
再回到投掷硬币，历史上有数学家做过这种试验，得到如下的数据：n为他们掷硬币的总次数，n A是正面朝上的次数，n(A)为频率即n A/n。
我们发现，在每一次随机的抛掷后面，隐藏着一种必然趋势，由于硬币质地是均匀的，因此抛掷次数越多，越能显示出正面出现的次数和反面出现的次数趋向接近。
可以看出，随着试验次数的增加，出现正面的频率波动越来越小，频率在1/2这个定值附近摆动的性质是出现正面这一现象的内在必然性规律的表现，1/2恰恰就是刻画出现正面可能性大小的数值，1/2就是抛掷硬币时出现正面的概率。
抛硬币时正反面向上的概率并非都是50%
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抛硬币时正反面向上的概率并非都是50%
作者：
来源：《大自然探索》2017年第11期
设想有人与你玩游戏。
他向空中抛一枚硬币，一共抛12次，或者抛100次。
如果硬币落地后正面向上的情况超过一半，他赢，反之，你赢。
这个游戏公开透明，你一定会认为自己赢的概率是50%。
再设想相似的游戏。
他把硬币立起来旋转，硬币由你提供，游戏中没有任何猫腻。
硬币共旋转50次，依然根据硬币停转倒下后正面向上或向下的总次数多少判定谁赢。
迪亚康尼斯是美国斯坦福大学数学和统计学教授，还曾做过专业魔术师。
他因确定一副牌要洗多少次才能达到数学上所说的随机而成名（答案是分情况，5次或7次），但他也对硬币游戏感兴趣。
他和同事们发现，大多数涉及硬币的随机性游戏都不是人们通常想的那样。
例如，抛美分硬币的结果并非是正反面向上各占一半，而是接近51/49，偏向于硬币抛向空中前是哪一面朝上。
更难以置信的是，在旋转美分硬币游戏中，结果是硬币背面（图像为林肯纪念碑）朝上的情况占大约80%。
原因是硬币正面（图像为林肯头像）比背面要重一点，导致硬币重心稍稍偏向正面。
旋转的硬币容易向更重的一侧倒下，因此硬币倒下后背朝向上的情况要多得多。
高中概率数学实验报告
高中概率数学实验报告实验目的通过进行概率实验，加深对概率理论的理解，探究概率实验和理论概率的关系。
实验器材- 骰子- 纸牌- 两个硬币实验步骤1. 首先，我们进行了一个简单的抛硬币实验。
通过抛两个硬币，我们观察到硬币的正反面朝上的情况，并记录下来。
共进行了100次抛硬币实验。
2. 接着，我们进行了掷骰子实验。
我们使用一个六面骰子，进行了300次掷骰子实验。
记录下了每次出现的骰子点数。
3. 最后，我们进行了一次纸牌实验。
我们使用了一副标准的扑克牌，包括52张牌，不计大小王。
我们从中抽取了30张牌，记录下了每张牌的花色和点数。
结果分析抛硬币实验我们进行了100次抛硬币实验，记录下了每次抛硬币的结果。
通过统计，我们发现正面朝上的次数为56次，反面朝上的次数为44次。
根据统计学原理，我们得出正面和反面朝上的概率分别为0.56和0.44。
实验结果与理论概率相差较小，这说明我们的实验结果与理论概率一致，加深了我们对硬币抛掷的概率理解。
掷骰子实验我们进行了300次掷骰子实验，记录下了每次点数的结果。
通过统计，我们得出每个点数出现的频次分别如下：- 点数1出现了48次- 点数2出现了54次- 点数3出现了52次- 点数4出现了50次- 点数5出现了49次- 点数6出现了47次通过进一步计算，我们得到了每个点数出现的频率如下：- 点数1的频率为0.16- 点数2的频率为0.18- 点数3的频率为0.17- 点数4的频率为0.16- 点数5的频率为0.16- 点数6的频率为0.15与理论概率进行对比发现，实验结果与理论概率也符合得较好，加深了我们对骰子点数的概率理解。
纸牌实验我们从一副标准扑克牌中抽取了30张牌，记录下了每张牌的花色和点数。
通过统计，我们得出了每个花色和点数出现的频次。
花色频次- -黑桃8红桃 6方块9梅花7点数频次- -A 32 43 24 55 66 37 18 29 1J 1Q 2K 0根据实验结果，我们可以进一步计算出每个花色和点数出现的频率。
如何计算概率
计算概率你能遇到的最简单的概率计算问题就是抛硬币问题。
众所周知，在这个过程中（不作弊的情况下），我们得到正面和反面的可能性是相同的。
我们总说正反面出现的情况是五五开，但在数学中通常说，正面和反面出现的概率各为。
如果你将正反面出现的可能性相加，结果就是+=1。
在概率理论中，整数1意味着“必然”——你抛出一枚硬币后一定会得到正面或反面，除非它滚到沙发底下，毫无痕迹地消失了。
假如你连续抛出两枚硬币，或者同时抛两枚硬币——这两种做法其实是同样的意思，那么你很容易就知道，会出现图83中显示的四种可能情况。
第一种情况是得到两次正面，最后一种是两次反面，中间的两种得到的结果一样，因为你无须考虑正面或反面出现的先后顺序（或具体是哪一枚）。
因此你会说，得到两次正面的可能性是四种之一，或，两次反面的可能性也是，而出现一正一反的可能性是四种中的两种，也就是。
此时又是++=1，这意味着你能得到的可能的组合只有这3种。
现在我们来看看抛三次的情况，下表总结了可能出现的8种情况：第一次抛掷正正正正反反反反第二次抛掷正正反反正正反反第三次抛掷正反正反正反正反I IIIIIIIIIIIIIIIIV从这张表中可以看出，抛三次硬币得到全部是正面或全部是反面的概率都是。
其余的可能性包括二正一反和一正二反，概率都是。
随着投掷次数的增加，这张表中可能出现的情况也在快速增加，此时四次全部是正面或全部是反面的概率是，一正三反或三正一反的概率都是或，而二正二反的概率是或。
如果继续投掷更多次硬币，你会得到很多种可能性，多到超出你所用的纸面的范围。
例如，投掷十次硬币，你就会得到 1 024种不同的可能性（即2×2×2×2×2×2×2×2×2×2）。
但你大可不必构建如此长的可能性表，因为你可以通过观察我们已经列出的简单例子，找出概率的简便定律，并且将其直接应用于更复杂的情形中。
政法干警行测指导：概率问题中的抛硬币问题
政法干警行测指导：概率问题中的抛硬币问题
抛一次硬币只出现正反朝上的情况。
一般都可以用枚举法把所抛得情况列举出来，但碰到抛得次数较多时，想把所有的情况数完整的列出来比较麻烦且很费时。
其实可以把其转化为排列组合问题，下面我们看一个例子：
例：把一个硬币抛三次，恰好有一次正面朝上且有两次反面朝上的概率是多少?
A1/2 B1/4 C5/8 D3/8
枚举法：抛三次的所有情况数：(正、正、正)、( 正、正、反)、(正、反、正) 、( 正、反、反) 、( 反、正、正) 、( 反、正、反) 、(反、反、正) 、( 反、反、反)共8种。
一次正面朝上且有两次反面有三种。
概率为3/8.这样做时间会花很多，而且容易出错。
我们根据单独概率=满足条件的情况数/总情况数;来研究：抛N次，总情况数为2N，现在来研究满足条件的情况：一正两反的情况数用组合做就显得比较简单C13*C22=3,概率为3/8
利用这种这种做题方法我们来做更加复杂的题目
例：把一个硬币抛五次，恰好有三次正面朝上且有两次反面朝上的概率是多少?
A1/3 B3/8 C5/16 D9/32
解：总情况数为2N=25=32，三次正面朝上且有两次反面的情况数=C35*C22=10,概率=10/32=5/16。
伯努利概型推导
伯努利概型推导
伯努利概型是一种由瑞士数学家雅各布·伯努利提出的概率计算方法。
它适用于实验结果
只有两种可能性的情况，比如抛硬币、掷骰子等。
推导伯努利概型的步骤如下：
1. 确定实验的目标和可能的结果。
假设我们想知道在一次抛硬币实验中，出现正面和反面的概率分别是多少。
2. 将实验的目标转化为数学问题。
令事件A表示出现正面的结果，事件B表示出现反面的结果。
我们的目标是求解事件A和事件B发生的概率。
3. 假设事件A发生的概率为p。
根据伯努利概型，事件B发生的概率就是1 - p（因为只有两种可能性）。
4. 列出伯努利概型的公式。
根据伯努利概型，事件A和事件B的概率之和应为1。
即p + (1 - p) = 1。
5. 解方程。
将方程重写为p = 1 - p，然后解方程得到p = 1/2。
因此，事件A和事件B发生的概率均为1/2。
通过伯努利概型的推导，我们可以得到在一次抛硬币实验中，正面和反面出现的概率均为1/2。
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著名的抛硬币实验概率
这是由概率决定的，抛硬币，如果硬币质地均匀，正面向上概率0.5，0.5的10次方等于1/1024。
而且实验次数足够多，发生结果和概率一致。
所以2.25亿人抛硬币，最后概率就导致了有215人左右会20次连续正面
向上，区别只是不同的人得到了这个结果。
有专家认为应该把猜硬币这个经典案例从统计学中剔除。
如果在日常
生活中，因为某件事情在拿不定主意的时候，还是想想其他的方法来决定吧，用猜硬币的方法实在是不靠谱，它的不确定性和公正性容易被人为的
影响，进而影响你内心真正的决策。
所以靠猜硬币来决定某件事情本来就不公平也不科学，当我们真的要
决定是否做某件事的时候，还是要静下心，多想下这件事做与不做，会给
我带来哪些影响，会对以后的生活、工作带来哪里好处或者坏处，需要投
入的成本有多少，得到的回报有多少，确定好自己的方向，坚定信念，下
定决心坚持下去，只要坚持努力，总会得到你想要的成果。