数学建模微积分模型例题
数学建模-微积分模型
需要对烧毁森林的损失费、救火费及火势蔓延程度的形式做出假设。
(1)损失费与森林烧毁面
积 成正比，比例系数为 ， 即烧毁单位面积森林的损失费，取决于森林的疏密程度和珍贵程度。
对于 ，火势蔓延程度 与时间t成正比，比例系数 称为火势蔓延速度。（注：对这个假设我们作一些说明，火势以着火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，所以蔓延的半径与时间成正比，因为烧毁森林的面积与过火区域的半径平方成正比，从而火势蔓延速度与时间成正比）。
从起跳到落地的时间为 ，人在雨中奔跑的总距离为 ，不妨假设 为 的整倍数。由物理学的抛体运动定律可得 。
模型建立
计算人在每个方向上的淋雨量：
对于垂直方向上，每一个小段的淋雨量为 。利用相对坐标系得到
时的垂直方向的速度为 ，这期间扫过的雨水体积
据此计算得到在垂直方向总的淋雨量为
（4.13）
从（4.13）式中可以看出， 关于水平方向的速度是单调减少的，但与垂直方向速度 无关。
(2)效用函数为
根据（4.10）式可以求得最优比例为
结果表明均衡状态下购买两种商品所用的资金的比例与价格无关，只与消费者对这两种商品的偏爱程度有关。
(3)效用函数为
根据（4.10）式可以求得最优比例为
。
结果表明均衡状态下购买两种商品所用的资金的比例，与商品价格比成反比，与消费者对这两种商品偏爱程度之比的平方成正比。
实际应用这个模型时， 都是已知常数， 由森林类型、消防人员素质等因素确定。
4.4消费者的选择
本节利用无差别曲线的概念讨论消费者的选择问题。如果一个消费者用一定数量的资金去购买两种商品，他应该怎样分配资金才会最满意呢？
记购买甲乙两种商品的数量分别为 ，当消费者占有它们时的满意程度，或者说给消费者带来的效用是 的函数，记作 ，经济学中称之为效用函数。 的图形就是无差别曲线族，如图4.4所示。类似于第二章中无差别曲线的作法，可以作出效用函数族，它们是一族单调下降、下凸、不相交的曲线。在每一条曲线上，对于不同的点，效用函数值不变，即满意程度不变。而随着曲线向右上方移动， 的值增加。曲线下凸的具体形状则反映了消费者对甲乙两种商品的偏爱情况。这里假设消费者的效用函数 ，即无差别曲线族已经完全确定了。
微积分方法建模1飞机的降落曲线--数学建模案例分析
第二章 微积分方法建模现实对象涉及的变量多是连续的，所以建立连续模型是很自然的，而连续模型一般可以用微积分为工具求解，得到的解析解便于进行理论分析，于是有些离散对象，如人口的演变过程，也可以构造连续模型。
当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立对象的动态模型。
建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其它对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析或预测了。
§1 飞机的降落曲线根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条三次抛物线（如图）。
在整个降落过程中，飞机的水平速度保持为常数u ，出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过10/g （这里g 是重力加速度）。
已知飞机飞行高度h （飞临机场上空时），要在跑道上O 点着陆，应找出开始下降点0x 所能允许的最小值。
一、 确定飞机降落曲线的方程设飞机的降落曲线为d cx bx ax y +++=23由题设有 h x y y ==)(,0)0(0。
由于曲线是光滑的，所以y(x)还要满足0)(,0)0(0='='x y y 。
将上述的四个条件代入y 的 表达式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++='=+++==='==023)()(0)0(0)0(020*******c bx ax x y hd cx bx ax x y c y d y 得 ,0,0,3,22030===-=d c x h b x ha飞机的降落曲线为 )32(23020x x x x h y --= 二、 找出最佳着陆点飞机的垂直速度是y 关于时间t 的导数，故dt dx x x x x h dt dy )66(2020--= 其中dtdx 是飞机的水平速度，,u dt dx = 因此 )(60220x x x x hu dt dy --= 垂直加速度为)12(6)12(6020202022--=--=x x x hu dt dx x x x hu dt y d 记 ,)(22dt y d x a =则126)(0202-=x x x hu x a ，[]0,0x x ∈ 因此，垂直加速度的最大绝对值为 2026)(max x hu x a = []0,0x x ∈设计要求 106202g x hu ≤，所以gh u x 600⋅≥ （允许的最小值） 例如：小时/540km u =，m h 1000=，则0x 应满足：)(117378.9100060360010005400m x =⨯⨯≥ 即飞机所需的降落距离不得小于11737米。
微积分与数学建模
建模实例
（三）模型的建立
在数理统计中，将A类或B类这样的群体称为统计总体， 把描述总体的每一个体特征的所有变量均视为随机变量。
如果不同总体中诸变量所遵循的分布有明显的差异时，则
可将此差异作为分类依据，这就是多元统计分析处理问题 的一般想法。区分一个DNA序列属于A类还是B类的问题属
于两总体间的判别问题，这里我们利用微积分中的向量代
1*1=1 11*11=121 111*111=12321 1111*1111=1234321 11111*11111=123454321 111111*111111=12345654321
前 言
• • • • • 1*8+1=9 12*8+2=98 123*8+3=987 1234*8+4=9876 12345*8+5=98765
分析建模
建模实例
节水洗衣机模型
（一）问题的提出
我国淡水资源有限，节约用水颇为重要。洗衣机在我国Biblioteka 相当普及，为节约洗衣机用水，要求设
计一洗衣机程序，在满足一定洗涤效果的前提下，
使得总用水量最少。 已知洗涤过程为：首先加入衣物和洗涤剂，然 后重复加水——漂洗——脱水过程。
建模实例
（二）模型假设
（1）洗涤剂一次加满，漂洗过程中不再添加；
的驻点。 又若 f " ( x0 ) 存在，且 f ' ( x) 0, f "' ( x) 0 ，则有下列结论：
若 f ( x0 ) 0 ，则 f ( x0 ) 为极大值。 若 f ( x0 ) 0 ，则 f ( x0 )为极小值。
内容回顾
但在实际问题中，上述简单的极值问题很少能出现，而是 有某些条件的限制，这就需要利用求条件极值的方法--Lagrange算法来解决。
微积分方法建模2经济增长模型--数学建模案例分析
§2 经济增长模型发展经济、增加生产有两个重要因素，一是增加投资（扩大厂房、购买设备、技术革新等），二是增加劳动力。
恰当调节投资增长和劳动力增长的关系，使增加的产量不致被劳动力的增长抵消，劳动生产率才能不断提高，从而真正起到发展经济的作用。
为此，需要分析产量、劳动力和投资之间变化规律，从而保证经济正常发展。
记 )(t Q —某地区、部门或企业在t 时刻的产量)(t L —某地区、部门或企业在t 时刻的劳动力)(t K −某地区、部门或企业在t 时刻的资金)(t Z —每个劳动力在t 时刻占有的产量（劳动生产率）一、道格拉斯（Douglas ）生产函数由于现在关心的是产量、劳动力、投资的相对增长量，不是绝对量，所以定义,)0()()(Q t Q t i Q =)0()()(L t L t i L = ，)0()()(K t K t i K = （1）分别称为产量指数、劳动力指数和投资指数。
在正常的经济发展过程中这三个指数都是随时间增长的，但它们之间的关系难以从机理分析得到，只能求助统计资料.Douglas 从大量统计数据中发现下面的规律：如果令 )()(ln )(t i t i t K L =ξ，)()(ln )(t i t i t K Q =ψ （2）则散点),(ψξ在ψξ~平面直角坐标系上的图象大致如下即大多数点靠近一条过原点的直线,这提示ξ和ψ的关系为)10(<<=γγξψ （3） 上式代入得)()()(1t i t i t i K L Q γγ-= （4） 记)0()0()0(1--=γγK L Q a ，则由（1）、（4），可得)0,10(),()()(1><<=-a t K t aL t Q γγγ （5）这就是经济学中著名的Douglas 生产函数，它表明产量与劳动力、投资之间的关系。
由（5）有K K L L Q Q )1(γγ-+= （6）（6）表明年相对增长量Q Q 、L L 、KK 之间呈线性关系。
微积分方法建模飞机的降落曲线数学建模案例分析
第二章 微积分方法建模现实对象涉及的变量多是连续的，所以建立连续模型是很自然的，而连续模型一般可以用微积分为工具求解，得到的解析解便于进行理论分析，于是有些离散对象，如人口的演变过程，也可以构造连续模型.当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立对象的动态模型.建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其它对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析或预测了.§1 飞机的降落曲线根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条三次抛物线（如图）.在整个降落过程中，飞机的水平速度保持为常数u ，出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过10/g （这里g 是重力加速度）.已知飞机飞行高度h （飞临机场上空时），要在跑道上O 点着陆，应找出开始下降点0x 所能允许的最小值.一、由题设有 .将上述的四个条件代入y 的 表达式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++='=+++==='==023)()(0)0(0)0(020*******c bx ax x y hd cx bx ax x y c y d y 得 ,0,0,3,22030===-=d c x h b x ha飞机的降落曲线为 )32(23020x x x x hy --= 二、 找出最佳着陆点飞机的垂直速度是y 关于时间t 的导数，故dt dx x x x x h dt dy )66(2020--= 其中dtdx 是飞机的水平速度，,u dt dx = 因此 )(60220x x x x hu dt dy --= 垂直加速度为)12(6)12(6020202022--=--=x x x hu dt dx x x x hu dt y d 记 ,)(22dt y d x a =则126)(0202-=x x x hu x a ，[]0,0x x ∈ 因此，垂直加速度的最大绝对值为 2026)(max x hu x a = []0,0x x ∈设计要求 106202g x hu ≤，所以gh u x 600⋅≥ （允许的最小值） 例如：小时/540km u =，m h 1000=，则0x 应满足：)(117378.9100060360010005400m x =⨯⨯≥ 即飞机所需的降落距离不得小于11737米.。
数学建模(微积分)三
2 L R ( x1 x2 ) 15 14 x1 32 x2 8x1 x2 2 x12 10 x2 ( x1 x2 ) 2 15 13x1 31x2 8 x1 x2 2 x12 10 x2
L 4 x1 8 x2 13 x1 L 8 x1 20 x2 31 x2
2 2 x12 10 x2 ( x1 x2 1.5)
dL dx 4 x1 8 x2 13 0 1 dL 8 x1 20x2 31 0 dx2 dL x x 1.5 0 1 2 d
L Lmax
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(2)若提供的广告费用为1.5万元，则问题化为在条件
x1 x2 1.5 下求利润函数 L 的极大值.
2 L 15 13x1 31x2 8x1x2 2x12 10x2 构造拉格朗日函数
L( x1 , x2 , ) 15 13x1 31x2 8x1 x2
x1 0 x2 1.5
L Lmax
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可口可乐罐头为什么是这种样子?
竞赛题目 论文一 论文二
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药物在体内的分布与排除
• 药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量) • 血药浓度需保持在一定范围内——给药方案设计 • 药物在体内吸收、分布和排除过程 ——药物动力学 • 建立房室模型——药物动力学的基本步骤 • 房室——机体的一部分，药物在一个房室内均匀 分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移 • 本节讨论二室模型——中心室(心、肺、肾等)和 周边室(四肢、肌肉等)
问题分析
数学建模(微积分)二
，不难求得 （4）
2c1 r c2
T
2c1 rc 2
再根据（1）有，
Q
（5）
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Q
2c1 r c2
（5）
这就是经济理论中著名的经济订货批量公式（EOQ公式） 货物本身的价格可不考虑，这是因为若记每吨货 的价格为k，则一周期的总费用 C 中应添加kQ，由于
Q rT
（1）
订货后贮存量由Q均匀地下降，记任意时刻t的贮 存量为q，则q(t)的变化规律可以用图1表示
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数学建模讲座 q
Q A r T 图1 t
0
考察一个订货周期的总费用：订货费为c1;贮存费是
c2 q(t )dt 其中积分恰等于图中三角形的面积为A，显然
0 T
1 A QT 2
实例十一、森林救火数学模型
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贮存模型 背景 不允许缺货的贮存数学模型 知识 工厂要定期地订购各种原料，在仓库里供生产
之用。商店要成批地购进各种商品，放在货柜中以 备零售。水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和航运。 无论是原料、商品还是水的贮存，都有贮存多少的 问题。原料、商品贮存得太多，贮存费用高；贮存 得太少，则无法满足需求。水库雨季蓄水过量，更 可能危及安全。当影响贮存量的因素包含随机性时， 如顾客对商品的需求，天气对蓄水的影响，需要建 立贮存模型。
Q rT 所以公式（3）中增加一常数项kr，对求解结果
式（4）、（5）没有影响。 （5）式表明，订货费c1越高，需求量越大，订货批量 Q应越大；贮存费c2越高，订货批量Q应越小，这些关系 当然是符合常识的，不过公式在定量上表明的平方关系 却是凭常识方法得到的
数学建模(微积分)一
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(1) 机理分析法
常用的建模方法有机理分析法、测试分析法等。 机理分析法是立足于事物内在规律的一种常见建 模方法，主要是依对现实对象的特性有较为清楚 的了解与认识，通过分析其因果关系，找出反映 其内部机理的规律性而建立其模型的一种方法.
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四、模型建立
我们以1天为时间单位，那么每天基础代谢的能量消 耗为B=24b（焦耳/日）。由于人的活动不可能是全天 进行的，所以假设每天人体活动h小时，则一天消耗的 能量应为R=rh（焦耳/日） ； 按照假设3，我们可以在任何一个时间段内考虑由 于能量的摄入与消耗引起人的体重的变化。 按照能量平衡原理，任何时间段内由于体重的改变 所引起的人体内能量变化应等于这段时间内摄入的能 量与消耗的能量之差。
从以上两个方面来看，咳嗽时气管收缩（在一定范围内） 有助于咳嗽，它促进气管内空气的流动，从而使气管中 的脏物能尽快地被清除掉
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减肥模型
一、问题的提出 随着社会的进步和发展，人们的生活水平在不断 提高，由于饮食营养摄入量的不断改善和提高，“肥 胖”已经成为社会关注的一个重要问题，无论从健康 的角度还是从审美的角度，人们越来越重视自己的形 体的健美。从面就导致目前社会上出现了各种各样的 减肥食品（或营养素）和名目繁多的健美中心。 如何对待减肥的问题，我们也可以通过组建模型， 从数学的角度对有关规律作进一步的探讨和分析
实例十一、群体遗传模型
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一、数学建模的总体介绍
1．数学建模中常用的书籍
2．数学建模基本过程
高等数学模型—微积分模型(数学建模课件)
2、假设易拉罐是一个正圆柱体，什么是它的最优设计？其结果是
否可以合理地说明你们所测量地易拉罐地形状和尺寸。
二、数据测量
罐直径、罐高、罐壁厚、顶盖厚、圆台高、
顶盖直径、圆柱体高、罐底厚、罐内体积等。
该如何测量？
二、数据测量
1、直接测量
①用软皮尺环绕易拉罐相关部位一圈
（罐桶直径、罐
测得周长。
高、圆台高、顶
速度、出手角度和出手高度)
作定性和定量研究并得到明
确结论。
森林救火问题
微积分模型
知识点
一、问题的提出
二、模型分析与假设
三、模型建立与求解
四、模型应用
一、问题的提出
一、问题的提出
森林失火了！消防站接到火警后，立即决定派消防队员前去救火。队
员多，火被扑灭的快，森林损失小，但救援费用大；队员少，救援费用小，
118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0];
y1=[44 45 47 50 50 38 30 30 34 36 34 41 45 46 43 37 33 28 32 65 55 54 52 50 66 66 68];
y2=[44 59 70 72 93 100 110 110 110 117 118 116 118 118 121 124 121 121 121 122 116 83 81 82 86
四、模型建立与求解
一、问题的提出
运动员单手托住铅球，在投掷圆内将铅球掷出并使铅
球落入有效区内，以铅球投掷的远度评定运动员的成绩。
问题：
建模分析如何使铅球投掷的最远？
二、问题分析
• 铅球投掷中，影响投掷距离的因素有哪些？
微积分方法建模--数学建模案例分析13习题二
习题二1、由实验知，细菌繁殖的速度在培养基充足等条件满足时与当时已有的数量0A 成正比，即0kA V =（0>k 为比例常数），问经过时间t 以后细菌的数量是多少？ 2、一盘标有180分钟的录像带，实际上能走5.183分钟。
现已走完大半，计数器从0000走到4580，问剩下的带子还能录下一小时的节目吗？3、一张正方形椅子，它的四条腿一样长，四脚呈正方形，放在连续变化的地面上时，在任何位置都至少有三只脚同时着地。
是否可以经过稍挪动几下，就能四只脚同时着地？4、微型计算机把数据存储在磁盘上。
磁盘使用前由操作系统将其格式化成磁道和扇区。
磁道是指不同半径构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心角分隔所成的扇形区域。
磁道上的定长弧段作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据“0”或“1”，这个基本单元称为bit 。
为保障磁盘的分辨率，磁道宽t ρ>，每bit 占用的磁道长b ρ>。
为数据检索的便利，格式化时要求所有磁道具有相同的bit 数。
现有一张半径为R 的磁盘，它的存储区是半径介于r 和R 之间的环形区域，试确定r ，使磁盘具有最大的存储量。
5、有一机械挂钟，钟摆的周期为1秒，在冬季，摆长缩短了0.01厘米，这只钟每天大约快多少？ 6、在离水面高度为)(m h 的岸上，用绳子拉船靠岸。
绳子长)(m l ， 船位于离岸壁)(m s 处，当收绳速度为)/(0s m v 时，船的速度和加速度怎么变化呢？7、肺部压力的增加可以引起咳嗽，而肺部压力的增加伴随着气管半径的缩小，实验证明：当压力压轮差p 增加，且在⎥⎦⎤⎢⎣⎡a r 2,00范围内，半径r 按照方程ap r r -=0减少，其中0r 为无压力时的管半径，a 为正常数。
那末较小半径是促进了还是阻碍了空气在气管里的流动？提示：我们把气管理想化为一个圆柱形的管子，半径为r ，管长为l ，两端压力差为p ,流体的粘滞度为η 。
由物理学知识，单位时间内流过管子的气体的体积为lpr V ηπ84=。
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数学建模微积分模型例题
以下是一个简单的数学建模微积分例题：
题目：有一根细棒，其长度为10米，质量为1千克。
我们需要计算这根细棒的弯曲程度。
首先，我们需要理解什么是弯曲程度。
弯曲程度可以理解为细棒弯曲的弧长与其原长的比值。
因此，我们可以用以下数学模型表示细棒的弯曲程度：设细棒的原长为L 米，弯曲的弧长为s 米，则弯曲程度y = s / L。
接下来，我们需要考虑如何计算弯曲的弧长s。
由于细棒弯曲时形成的是一个圆弧，因此我们可以使用微积分的知识来求解。
设细棒在弯曲过程中形成的圆弧的半径为r 米，圆心角为θ度，则弧长s = r ×θ。
由于细棒的质量分布均匀，因此我们可以认为细棒在弯曲过程中形成的圆弧的半径r 是恒定的。
同时，我们知道细棒的总质量M = 1 千克，因此我们可以计算出细棒在弯曲过程中形成的圆心角θ。
设细棒在弯曲过程中形成的圆心角为θ度，则θ= M ×g / (r ×g)。
其中g 是重力加速度，g = 9.8 m/s^2。
将以上模型整合，我们可以得到以下微积分方程：
y = s / L = r ×θ/ L = (M ×g / (r ×g)) ×90°/ L
其中，y 是弯曲程度，s 是弯曲的弧长，L 是细棒的原长，r 是圆弧的半径，θ是圆心角。
这是一个简单的数学建模微积分例题，通过这个例题我们可以理解数学建模的基本思路和方法。