数列及导数专题

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利用导数证明数列不等式(含解析)

利用导数证明数列不等式利用导数证明数列不等式，在高考题中能较好的考查学生灵活运用知识的能力，一方面以函数为背景让学生探寻函数的性质，另一方面体现数列是特殊的函数，进而利用恒成立的不等式将没有规律的数列放缩为为有具体特征的数列，可谓一题多考，巧妙地将函数、导数、数列、不等式结合在一起，也是近年来高考的热门题型. 1、常见类型：（1）利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题（2）利用递推公式处理通项公式中的不等问题 2、恒成立不等式的来源：（1）函数的最值：在前面的章节中我们提到过最值的一个作用就是提供恒成立的不等式.（2）恒成立问题的求解：此类题目往往会在前几问中进行铺垫，暗示数列放缩的方向.其中，有关恒成立问题的求解，参数范围内的值均可提供恒成立不等式. 3、常见恒成立不等式：（1）对数→多项式（2）指数→多项式4、关于前项和的放缩问题：求数列前项公式往往要通过数列的通项公式来解决，高中阶段求和的方法有以下几种：（1）倒序相加：通项公式具备第项与第项的和为常数的特点.（2）错位相减：通项公式为“等差等比”的形式（例如，求和可用错位相减）.（3）等比数列求和公式（4）裂项相消：通项公式可裂为两项作差的形式，且裂开的某项能够与后面项裂开的某项进行相消. 注：在放缩法处理数列求和不等式时，放缩为等比数列和能够裂项相消的数列的情况比较多见，故优先考虑.5、大体思路：对于数列求和不等式，要谨记“求和看通项”，从通项公式入手，结合不等号方向考虑放缩成可求和的通项公式.6、在放缩时要注意前几问的铺垫与提示，尤其是关于恒成立问题与最值问题所带来的恒成立不等式，往往提供了放缩数列的方向.7、放缩通项公式有可能会进行多次，要注意放缩的方向：朝着可求和的通项公式进行靠拢（等比数列，裂项相消等）.ln 1x x <-1x e x >+n n k 1n k -+⨯2nn a n =⋅n a8、数列不等式也可考虑利用数学归纳法进行证明（有时更容易发现所证不等式与题目条件的联系）.【经典例题】1．（2020·江苏省如皋中学高三三模）已知函数()ln f x kx x x =-，k ∈R ．（1）当2k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当01x <≤时，()f x k ≤恒成立，求k 的取值范围；（3）设n N *∈，求证：ln1ln 2ln (1)2314n n n n -+++≤+． 2．（2020·四川省内江市第六中学高三三模）已知函数2()ln(1)(0,0),()2x f x ax x a g x x -=+≥>=+. （1）讨论函数()()y f x g x =-的单调性；（2）若不等式()()1f x g x ≥+在[0,)x ∈+∞时恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当1a =时，证明：1111+35721n +++<+…*1()(N )2f n n ∈. 3．（2020·安徽合肥·三模）已知函数()x xf x e e ax -=--（e 为自然对数的底数），其中a ∈R.（1）试讨论函数f （x ）的单调性；（2）证明：22132ln 2(1)ni n n i i n n =-->+∑. 4．（2020·安徽相山·淮北一中高三三模）已知函数()||ln (0)f x x a x a =-->. （∈）讨论()f x 的单调性；（∈）比较222222ln 2ln 3ln 23n n++⋯+ 与(1)(21)2(1)n n n -++的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论.5．（2020·云南高三三模）已知函数()1ln f x x a x =-- （１）讨论()f x 的单调性；（2）证明：()*333ln 2ln3ln 1,222332n n N n n n +++<∈≥---．【精选精练】1．（2020·榆林市第二中学高三三模）已知(),()1(xf x eg x x e ==+为自然对数的底数).(1)求证()()f x g x ≥恒成立；(2)设m 是正整数，对任意正整数n ，2111(1)(1)(1)333n m ++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值. 2．（2020·广东广州高三三模·）已知函数()()()3214613x f x x ex x g x a x lnx -⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭，．（1）求函数()f x 在()0+∞，上的单调区间；（2）用{}max m n ，表示m n ，中的最大值，()f x '为()f x 的导函数，设函数()()(){}h x max f x g x '=，，若()0h x ≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：()*11111ln 312313n N n n n n n+++++>∈++-． 3．（2020·安徽蚌埠·高三三模）已知函数()()ln 1x f x x+=.（1）分析函数()f x 的单调性；（2）证明：2111ln 3ln 212n n n ⎛⎫+⎛⎫+++≤ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，2n ≥. 4．（2020·全国高三三模）已知函数2()2ln 1()f x ax x x a =--∈R . (1) 若1x e=时,函数()f x 取得极值,求函数()f x 的单调区间； (2) 证明：()*11111ln(21)3521221nn n n n +++⋯+>++∈-+N . 5．（2020·辽宁沙河口·辽师大附中高三三模）已知函数()()2ln 11f x p x p x =+-+．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1p =时，()f x kx ≤恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：()()*111ln 1123n n N n+<+++⋯+∈．6．（2020·浙江省宁波市鄞州中学高三三模）已知函数()()2f x ax a a R =+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()0f x ≤对任意的1x ≥-恒成立，求a 的取值范围；（32600⋅⋅⋅+<.7．（2020·广东广州·高三三模）已知函数()2ln f x a x x =+，其中a R ∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，证明:()21f x x x ≤+-；（3）试比较22222222ln2ln3ln4ln 234n n++++与()()()12121n n n -++ ()*2n N n ∈≥且的大小，并证明你的结论． 8．（2020·黑龙江南岗·哈师大附中三模）已知函数()()2ln 1f x ax bx x =+-+．（∈）当0a =时，函数()f x 存在极值，求实数b 的取值范围；（∈）当1b =时，函数()f x 在()0,∞+上单调递减，求实数a 的取值范围；（∈）求证：()()1*113ln 2122N 14nk n n k =-+<∈-∑． 9．（2020·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数()()()()ln 111f x x k x k R =---+∈ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≤恒成立，试确定实数k 的取值范围；（3）证明：()()*1ln 2ln 3ln ,13414n n n n n n -++⋅⋅⋅+<∈>+N . 10．（2020·浙江三模）已知数列{}n a ，112a =，1ln 1n n a a +=-. （1）求证：11n n a a +<<；（2）求证：123201912020a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅<.【经典例题】1．（2020·江苏省如皋中学高三三模）已知函数()ln f x kx x x =-，k ∈R ．（1）当2k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当01x <≤时，()f x k ≤恒成立，求k 的取值范围；（3）设n N *∈，求证：ln1ln 2ln (1)2314n n n n -+++≤+．【答案】（1）单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞；（2）[1,)+∞；（3）证明见解析.【解析】（1）当2k =时，()2ln f x x x x =-，'()1ln f x x =-，由'()0f x >，解得0x e <<；由'()0f x <，解得x e >，因此函数()f x 单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞．（2）()ln f x kx x x =-，故'()1ln f x k x --＝．当1k时，因为01x <≤，所以10ln k x -≥≥，因此'()0f x ≥恒成立，即()f x 在(]0,1上单调递增，所以()(1)f x f k ≤=恒成立．当1k <时，令'()0f x =，解得1(0,1)k x e -=∈．当1(0,)k x e -∈，'()0f x >，()f x 单调递增；当1(,1)k x e -∈，'()0f x <，()f x 单调递减；于是1(1))(k f ef k -=＞，与()f x k ≤恒成立相矛盾．综上，k 的取值范围为[1,)+∞．（3）由（2）知，当01x <≤时，ln 1x x x -≤．令x =21n *()n N ∈，则21n +22nln 1n ≤，即22ln 1n n -≤，因此ln 1n n +≤12n -．所以ln1ln 2ln 011(1) (2312224)n n n n n --+++≤+++=+. 2．（2020·四川省内江市第六中学高三三模）已知函数2()ln(1)(0,0),()2x f x ax x a g x x -=+≥>=+. （1）讨论函数()()y f x g x =-的单调性；（2）若不等式()()1f x g x ≥+在[0,)x ∈+∞时恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当1a =时，证明：1111+35721n +++<+…*1()(N )2f n n ∈.【答案】（1）见解析；（2）[1，＋∞)；（3）证明见解析. 【解析】（1）求导数可得2224441(2)(1)(2)a ax a y ax x ax x +-'=-=++++，当1a 时，0y '，∴函数()()y f x g x =-在[)0+∞，上单调递增；当01a <<时，由0y '>可得x > ∴函数在⎡⎫∞⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增，在0⎡⎢⎣上单调递减；（2）由（1）知当1a 时，函数()()y f x g x =-在[)0+∞，上单调递增， ()()(0)(0)1f x g x f g ∴--=，即不等式()()1f x g x +在[)0x ∈+∞，时恒成立，当01a <<时，函数在0⎡⎢⎣上单调递减，存在00x ⎡∈⎢⎣使得00()()(0)(0)1f x g x f g -<-=，即不等式00()()1f x g x +不成立，综上可知实数a 的取值范围为[1，)+∞；（3）由（2）得当1a 时，不等式()()1f x g x >+在(0,)x ∈+∞时恒成立，即2(1)2x ln x x +>+，12(1)12ln k k∴+>+，*()k N ∈．即11[(1)]122ln k lnk k <+-+， ∴11(21)32ln ln <-，11(32)52ln ln <-，11(43)72ln ln <-，11[(1)]212ln n lnn n ⋯<+-+，将上述式子相加可得11111111(1)(1)()357212222lnn ln lnn ln n f n n +++⋯+<-=<+=+ 原不等式得证．3．（2020·安徽合肥·三模）已知函数()x xf x e e ax -=--（e 为自然对数的底数），其中a ∈R.（1）试讨论函数f （x ）的单调性；（2）证明：22132ln 2(1)ni n n i i n n =-->+∑. 【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析.【解析】（1）因为()x xf x e ea -'=+-，且2x x e e -+≥，所以当2a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在R 上为增函数，当2a >时，由()0f x '>，得0x x e e a -+->，所以2()10x xe ae -+>，所以22()124x a a e ->-，所以2x ae ->或2xa e -<，所以2xa e +>2xa e -<，所以24ln2aa x 或24ln2aa x ，由()0f x '<，得0x x e e a -+-<，解得2244ln22aa aax ，所以()f x 在ln 22a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减，在,ln2a ⎛--∞ ⎪⎝⎭和ln 2a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上递增.（2）由（1）知，当2a =时，()2xxf x e e x -=--在R 上为增函数，所以1()(ln )2ln g x f x x x x==--在(0,)+∞上为增函数，所以当*n N ∈且2n ≥时，13()(2)22ln 2ln 422g n g ≥=--=-=32ln 04e >，即12ln 0n n n-->，所以212211ln 1(1)(1)11n n n n n n n >==---+-+，所以211111ln 2ln 23ln 34ln 4ln ni i i n n==++++∑ 1111111121213131414111n n >-+-+-++--+-+-+-+ 111121n n =+--+2322(1)n n n n --=+，所以22132ln 2(1)ni n n i i n n =-->+∑.4．（2020·安徽相山·淮北一中高三三模）已知函数()||ln (0)f x x a x a =-->. （∈）讨论()f x 的单调性；（∈）比较222222ln 2ln 3ln 23n n++⋯+ 与(1)(21)2(1)n n n -++的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论.【答案】（I ）见解析；（II ）见解析【解析】（∈）函数()f x 可化为ln ,()ln ,0x x a x af x a x x x a --≥⎧=⎨--<<⎩，当0x a <<时，1()10f x x '=--<，从而()f x 在(0,)a 上总是递减的，当x a ≥时，11()1x f x x x'-=-=，此时要考虑a 与1的大小.若1a ≥，则()0f x '≥，故()f x 在[,)a +∞上递增，若01a <<，则当1a x ≤<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，故()f x 在[,1)a 上递减，在(1,)+∞上递增，而()f x 在x a =处连续，所以当1a ≥时，()f x 在(0,)a 上递减，在[,)a +∞上递增；当01a <<时，()f x 在(0,1)上递减，在[1,)+∞上递增.（∈）由（∈）可知当1a =，1x >时，1ln 0x x -->，即ln 1x x >-，所以ln 11x x x <-.所以 222222ln 2ln 3ln 23n n+++22211111123n <-+-+-222111123n n ⎛⎫=--+++⎪⎝⎭11112334(1)n n n ⎛⎫<--+++⎪⨯⨯+⎝⎭11121n n ⎛⎫=--- ⎪+⎝⎭1(1)2(1)n n n -=--+ 2221(1)(21)2(1)2(1)n n n n n n --+-+==++.5．（2020·云南高三三模）已知函数()1ln f x x a x =-- （１）讨论()f x 的单调性；（2）证明：()*333ln 2ln3ln 1,222332n n N n n n +++<∈≥---．【答案】（1）当0a 时，()f x 在(0,)+∞内单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 内单调递减，在(,)a +∞内单调递增．（2）证明见解析【解析】（1）解：()1ln (0)f x x a x x =-->，()1af x x'∴=-．∈若0a ，则()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞内单调递增；∈若0a >，则()f x '在(0,)+∞内单调递增，且()0f a '=，∴当(0,)x a ∈时，()0f x '<；当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)a 内单调递减，在(,)a +∞内单调递增．综上所述，当0a 时，()f x 在(0,)+∞内单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 内单调递减，在(,)a +∞内单调递增．（2）证明：当1a =时，()1ln =--f x x x ．由（1）知()(1)0f x f =，ln 1x x ∴-，当且仅当1x =时，等号成立，令()*,2x n n N n =∈，ln 1n n ∴<-，33ln 1111(1)1n n n n n n n n n n -∴<==---++．从而3ln 2112223<--， 3ln 3113334<-- …3ln 111n n n n n <--+，累加可得333ln 2ln3ln 11223321n n n n ++⋯+<----+， 111212n -<+， 333ln 2ln3ln 122332n n n ∴++⋯+<---，证毕．【精选精练】1．（2020·榆林市第二中学高三三模）已知(),()1(x f x e g x x e ==+为自然对数的底数).(1)求证()()f x g x ≥恒成立；(2)设m 是正整数，对任意正整数n ，2111(1)(1)(1)333n m ++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 2.【解析】（1）令()()()1xF x f x g x e x =-=--，则()1xF x e '=-∴当(),0x ∈-∞时，()0F x '<；当()0,x ∈+∞时，()0F x '>()F x ∴在(),0-∞上单调递减；在()0,∞+上单调递增()()0min 0010F x F e ∴==--=，即()()()0F x f x g x =-≥恒成立 ()()f x g x ∴≥恒成立（2）由（1）知：13113n n e +≤221111113333332111111333n n n e e e e++⋅⋅⋅+⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++⋅⋅⋅+≤⋅⋅⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又211111111133********13nn n⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭++⋅⋅⋅+==⨯-<⎪⎝⎭- 11112322111111333n n e e ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++⋅⋅⋅+≤< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又2111111333n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭恒成立 12m e ∴≥ m 为正整数 m ∴的最小值为：22．（2020·广东广州高三三模·）已知函数()()()3214613x f x x ex x g x a x lnx -⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭，．（1）求函数()f x 在()0+∞，上的单调区间；（2）用{}max m n ，表示m n ，中的最大值，()f x '为()f x 的导函数，设函数()()(){}h x max f x g x '=，，若()0h x ≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：()*11111ln 312313n N n n n n n+++++>∈++-．【答案】（1）()f x 单调递增区间为()3+∞，;() f x 单调递减区间为()03，；（2）43a ≥；（3）详见解析．【解析】（1）因为()()3246x f x x ex x -=-+-，所以()()()()3332632x x f x x ex x e --=-+-='-+，令()0f x '=得3x =，当3x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当03x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；所以函数()f x 在()0+∞，上的单调递增区间为()3+∞，，单调递减区间为()03，；（2）由（1）知()()()332x f x x e-'=-+，当3x ≥时，()0f x '≥恒成立，故()0h x ≥恒成立；当3x <时，()0f x '<，又因为()()(){}0h x max f x g x '=≥，恒成立，所以()0g x ≥在()03，上恒成立，所以11ln 03a x x ⎛⎫---≥ ⎪⎝⎭，即11ln 3xa x+-≥在()03，上恒成立，令()()1ln 03x F x x x +=<<，则()13max a F x -≥，由()()221ln 1ln x xF x x x-+-'==，令()0F x '=得1x =，易得()F x 在()01，上单调递增，在[)13，上单调递减，所以()()11max F x F ==，所以113a -≥，即43a ≥，综上可得43a ≥.（3）证明：设()()10xm x e x x =-->，则()10xm x e '=->，所以()m x 在()0+∞，上单调递增，所以()()00m x m >=，即1x e x >+，所以1111111111312312333112313n n n nn n n nn n n n n ee eeen n n n n++++++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++- 123331231n n n nn n n n +++>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++-，所以11111ln 312313n n n n n+++++>++-. 3．（2020·安徽蚌埠·高三三模）已知函数()()ln 1x f x x+=.（1）分析函数()f x 的单调性；（2）证明：2111ln 3ln 212n n n ⎛⎫+⎛⎫+++≤ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，2n ≥. 【答案】（1）()f x 在区间()–1,0和()0,∞+上单调递减；（2）证明见解析. 【解析】（1）由题意得：()f x 的定义域为()()–1,00,+∞，且()()2ln 11xx x f x x -++'=，令()()ln 11x g x x x=-++则()()21x g x x -'=+，()–1,0x ∈时，()0g x '>； ()0,x ∈+∞时，()0g x '<.即()g x 在()–1,0上单调递增，在()0,∞+上单调递减.因为()00g =，则在()–1,0和()0,∞+上()0g x <. 因为20x >，所以在()–1,0和()0,∞+上()0f x '<，即函数()f x 在区间()–1,0和()0,∞+上单调递减. （2）由（1）可知，当02x <≤时，()()ln 322x f f =≥，即()ln 3ln 12x x +≥，当2n ≥时，2021n <≤-，则2ln 3ln 111n n ⎛⎫+≥⎪--⎝⎭，即()()2ln 3ln 1ln 1ln 111n n n n ⎛⎫+=+--≥ ⎪--⎝⎭，所以()()()ln 1ln 1ln ln 2ln 4ln 2ln3ln1n n n n +--+--++-+-111ln 31122n n ⎛⎫≥++++ ⎪--⎝⎭整理得：()111ln 1ln ln 2ln1ln 31122n n n n ⎛⎫++--≥++++⎪--⎝⎭，即2111ln 3ln 212n n n ⎛⎫+⎛⎫+++≤ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，2n ≥，不等式得证.4．（2020·全国高三三模）已知函数2()2ln 1()f x ax x x a =--∈R . (1) 若1x e=时,函数()f x 取得极值,求函数()f x 的单调区间； (2) 证明：()*11111ln(21)3521221nn n n n +++⋯+>++∈-+N . 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）由题意可得，()'222(0,)f x ax lnx x a R =-->∈，由1x e =时，函数()f x 取得极值知12'220af e e ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，所以0a =．所以()()21,'22(0)f x xlnx f x lnx x =--=-->，所以10x e <<时，()'0f x >；1x e>时，()'0f x <；所以()f x 的单调增区间10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，单调减区间为1e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，. （2）当1a =时，()221f x x xlnx =--，所以()()'22221f x x lnx x lnx =--=--，令()ln 1g x x x =--，则()11'1x g x x x-=-=，当01x <<时，()'0g x <；当1x >时，()'0g x >，()g x 的单调减区间为()01，，单调增区间为()1+∞，，所以()()10g x g ≥=，所以()'0f x ≥，()f x 是增函数，所以1x >时，()()22ln 110f x x x x f =-->=，所以1x >时，12ln x x x->，令*211,21n x n N n +=>∈-，得2121212ln 212121n n n n n n +-+->-+- 即2221112ln 212121n n n n +⎛⎫+--> ⎪-+-⎝⎭ 所以1121111ln 2122122121n n n n n +⎛⎫>+- ⎪---+⎝⎭上式中123n =，，，…，n ，然后n 个不等式相加，得到()11111...ln 213521221nn n n ++++>++-+ 5．（2020·辽宁沙河口·辽师大附中高三三模）已知函数()()2ln 11f x p x p x =+-+．（2）当1p =时，()f x kx ≤恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：()()*111ln 1123n n N n+<+++⋯+∈．【答案】(1) 见详解；(2)1k；(3)证明见解析．【解析】（1）()f x 的定义域为()0 +∞，，()()()221'21p x p p f x p x x x-+=+-=，当1p >时，()'0f x >，故()f x 在()0,∞+单调递增；当0p ≤时，()'0f x <，故()f x 在()0,∞+单调递减；当10p -<<时，令()'0f x =，解得x =则当x ⎛∈ ⎝时，()'0f x >； x ⎫∈+∞⎪⎪⎭，时，()'0f x <．故()f x 在⎛ ⎝单调递增，在 ⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减．（2）因为0x >，所以：当1p =时，()f x kx ≤恒成立11ln ln kx xx k x+⇔+≤⇔≥，令()1ln xh x x +=，则()max k x h ≥，因为()2ln 'xh x x-=，由()'0h x =得x =1，且当()0,1x ∈时，()'0h x >；当()1,x ∈+∞时，()'0h x <．所以()h x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，所以()()max 11h x h ==，故1k ．(3)取,则代入由题设可得,取,并将上述各不等式两边加起来可得()()*111ln 1123n n N n+<+++⋯+∈．6．（2020·浙江省宁波市鄞州中学高三三模）已知函数()()2f x ax a a R =+∈.（2）若()0f x ≤对任意的1x ≥-恒成立，求a 的取值范围；（32600⋅⋅⋅+<. 【答案】（1）()f x 在211,14a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单增；在211,4a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单减；（2）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；（3）证明见解析. 【解析】()'f x a =+.（1）当0a ≥时，()'0f x ≥，所以()f x 在()1,-+∞上单调递增；当0a <时，由()'0f x >解得21114x a -<<-，所以()f x 在211,14a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增；在211,4a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）当0a ≥时，()()2000f x a x =+≥+=，故不合题意；当0a <时，由（∈）知()max 21104x f f a ⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭，211(21)(21)20141244a a f a a a a a a +-⎛⎫=-+- ⎪⎝-+=≤⎭102a a <∴≤-，综上，a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.（3）由（2）知，取12a =-112x ≤+成立.当()1,2,3,,20482020kx k ==时，1111220204040k k =≤⨯+=⨯+，⋅⋅⋅+()11234204820484040++++++<20491024204826004040⨯=+<.7．（2020·广东广州·高三三模）已知函数()2ln f x a x x =+，其中a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，证明:()21f x x x ≤+-；（3）试比较22222222ln2ln3ln4ln 234n n++++与()()()12121n n n -++ ()*2n N n ∈≥且的大小，并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）函数()f x 的定义域为：()0,∞+，()'f x = 222a a x x x x++=∈当0a ≥时，()'0f x >，所以()f x 在()0,∞+上单调递增∈当0a <时，令()'0f x =，解得x =当0x <<时，220a x +<，所以()'0f x <，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减；当x >220a x +>，所以()'0f x >，所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．综上，当0a ≥时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a <时，函数()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增. （2）当a 1=时，()2ln f x x x =+，要证明()21f x x x ≤+-，即证ln 1x x ≤-，即证：ln 10x x -+≤. 设()g ln 1x x x =-+，则()g'x =1xx-，令()0g x '=得，1x =. 当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1,x ∈+∞时，()0g x '<. 所以1x =为极大值点，且()g x 在1x =处取得最大值．所以()()10g x g ≤=，即ln 10x x -+≤．故()21f x x x ≤+-.（3）证明：ln 1x x ≤-（当且仅当1x =时等号成立），即11lnx x x≤-, 则有2222ln +22222222223111111111n 132323ln lnn n n n ⎛⎫+⋯+<-+-+⋯+-=--++⋯+ ⎪⎝⎭()111n 123341n n ⎛⎫<--++⋯+ ⎪ ⎪⨯⨯+⎝⎭ ()()()12111111111n 1n 1233412121n n n n n n -+⎛⎫⎛⎫=---+-+⋯+-=---=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭, 故：2222ln +()()()22221213321n n ln lnn n n -++⋯+<+ 8．（2020·黑龙江南岗·哈师大附中三模）已知函数()()2ln 1f x ax bx x =+-+．（∈）当0a =时，函数()f x 存在极值，求实数b 的取值范围；（∈）当1b =时，函数()f x 在()0,∞+上单调递减，求实数a 的取值范围；（∈）求证：()()1*113ln 2122N 14nk n n k =-+<∈-∑．【答案】（∈）0b >；（∈）12a ≤-；（∈）证明见解析．【解析】（∈）当0a =时，()()()ln 11f x bx x x =-+>-，()()1111bx b f x b x x --'=-=++， ∈当0b ≤时，()0f x '<，则()f x 在()1,-+∞递减，无极值； ∈当0b >时，令()1'0,11f x x b==->-， 1()0,(1,1),()f x x f x b '<∈--单调递减，1()0,(1,),()f x x f x b '>∈-+∞单调递增，所以11,()x f x b=-取得极小值.综上可知：0b >．（∈）当1b =时，()()()2ln 10f x ax x x x =+-+>，()1212011x f x ax ax x x '=+-=+≤++恒成立 121a x ⇔-≥+对一切()0,x ∈+∞恒成立， ∈11x +>，∈1011x <<+，∈21a -≥，∈12a ≤-．（∈）由（∈）知：当12a =-时，()()21ln 12f x x x x =-+-+在()0,∞+递减，∈()()00f x f ≤=，即：()2ln 12x x x -+<，令221x n =-，则()22212ln 212121n n n n +-<---，当2n ≥时，()2222122ln 212144121n n n n n n +-<=---+- ()21114121n n n n ⎛⎫<=- ⎪--⎝⎭，∈23ln 2ln 311-=- 2511ln 13322⎛⎫-<- ⎪⎝⎭ 27111ln 55223⎛⎫-<- ⎪⎝⎭……221111ln 212121n n n n n +⎛⎫-<- ⎪---⎝⎭累加得，()11112ln 212ln 31212nk n k n =⎛⎫⋅-+<-+- ⎪-⎝⎭∑ 5153ln3ln32222n =--<-<，当1n =时，131ln 324-<，即：1ln 32>，综上，()1113ln 212124nk n k =-+<-∑． 9．（2020·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数()()()()ln 111f x x k x k R =---+∈ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≤恒成立，试确定实数k 的取值范围；（3）证明：()()*1ln 2ln 3ln ,13414n n n n n n -++⋅⋅⋅+<∈>+N . 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）[)1,+∞；（3）证明见解析. 【解析】（1）函数()()()ln 111f x x k x =---+的定义域为()1,+∞，且()11f x k x '=--. ∈当0k ≤时，()0f x '>恒成立，故函数()y f x =在()1,+∞上为增函数； ∈当0k >时，令()0f x '<，得1k x k +>时，即函数()y f x =在1,k k +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，令()0f x '>，得11k x k +<<时，即函数()y f x =在11,k k +⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.综上：当0k ≤时，函数()y f x =在()1,+∞上为增函数；当0k >时，函数()y f x =在11,k k +⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在1,k k +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上为减函数；（2）当0k ≤时，()211f k =-+≥，显然()0f x ≤不恒成立；当0k >时，()max 11ln 0k f x f k k +⎛⎫==≤⎪⎝⎭，即1k .综上：实数k 的取值范围是[)1,+∞；（3）由（2）可知，当1k =时()0f x ≤恒成立，即()ln 12x x -<-，()ln 121x x x-∴<-， ()()22ln ln 11121212n n n n n n n --=<=+++，可得出ln 2132<，ln 3242<，，ln 112n n n -<+， ()()*1ln 2ln 3ln 121,23412224n n n n n N n n --∴+++<+++=∈≥+. 10．（2020·浙江三模）已知数列{}n a ，112a =，1ln 1n n a a +=-. （1）求证：11n n a a +<<；（2）求证：123201912020a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅<. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）∈先利用数学归纳法证明1n a <. （∈）当1n =时，1112a =<成立；（∈）假设n k =时1k a <成立，则1ln 10k k a a +=-<，11k a +∴<. 综上所述，对任意的n *∈N ，1n a <； ∈利用导数证明1x e x -≥，设()1x f x ex -=-，则()1e 1x f x -'=-，当1x <时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减；当1x >时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.所以，()()0110f x f e ≥=-=，即1x e x -≥，当且仅当1x =时，等号成立.1n a <，()()10n f a f ∴>=，即1n a n e a ->，1ln 1n n a a +=-，11n a n n a e a -+∴=>，综合∈∈可知11n n a a +<<；（2）利用数学归纳法证明1n n a n ≤+. ∈当1n =时，112a =满足1n n a n ≤+；∈假设n k =时成立，即1k ka k ≤+，则由1ln 1n n a a +=-，得111111k k a k k k a eee---+++==≤，要证1112k k ek -++<+，令11,012t k ⎛⎫-=∈- ⎪+⎝⎭，则要证11012t e t t ⎛⎫<-<< ⎪-⎝⎭，21 / 21 构造()11x f x e x =+-，1,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()()()()22211111x x e x f x e x x --'=-=--，令()()211x h x e x =--，1,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()()()()2212110x x x h x e x e x e x '=-+⋅-=-<，所以，函数()y f x '=在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()()00f x f ''∴>=，所以，函数()y f x =在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()()00f x f ∴<=，即11x e x <-成立，即1112k k e k -++<+，112k k a k ++∴<+，综上1n na n ≤+，当且仅当1n =时等号成立，由于1ln 1n n a a +=-，可知0n a >，所以，1102a <≤，2203a <<，，2019201902020a <<，1220191232019123420202020a a a ⋅⋅⋅⋅<⨯⨯⨯⋅⋅⨯=.。

三角函数、数列、导数试题及详解

三角函数、数列导数测试题及详解一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知点A （-1，1），点B （2，y ），向量a=（l ，2），若//AB a ，则实数y 的值为 A ．5B ．6C ．7D ．82．已知等比数列123456{},40,20,n a a a a a a a ++=++=中则前9项之和等于 A ．50B ．70C ．80D ．903．2(sin cos )1y x x =+-是A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数 4．在右图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+z 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量*1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈，下列命题中真命题是A ．若*,//n n n N c b ∀∈总有成立，则数列{}n a 是等差数列 B ．若*,//n n n N c b ∀∈总有成立，则数列{}n a 是等比数列 C ．若*,n n n N c b ∀∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等差数列 D ．若*,n n n N c b ∀∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等比数列6．若sin2x 、sinx 分别是sin θ与cos θ的等差中项和等比中项，则cos2x 的值为 A ．1338+ B ．1338C ．1338± D ．124-7．如图是函数sin()y x ωϕ=+的图象的一部分，A ，B 是图象上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值为 A ．12π B ．2119π+C ．2119π-D ．2113π-8．已知函数()cos ((0,2))f x x x π=∈有两个不同的零点x 1，x 2，且方程()f x m =有两个不同的实根x3，x4．若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为A ．12B．12-C．32D．—329．设函数f（x）=e x（sinx—cosx），若0≤x≤2012π，则函数f（x）的各极大值之和为A．1006(1)1e eeπππ--B．20122(1)1e eeπππ--C．10062(1)1e eeπππ--D．2012(1)1e eeπππ--10．设函数11()(),21xf x x Ax=++为坐标原点，A为函数()y f x=图象上横坐标为*()n n N∈的点，向量11,(1,0),nn k k n nka A A i a iθ-===∑向量设为向量与向量的夹角，满足15tan3nkkθ=<∑的最大整数n是A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，题两空的题，其答案按先后次序填写，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．设1(sin cos)sin2,()3f fααα+=则的值为．12．已知曲线1*()()nf x x n N+=∈与直线1x=交于点P，若设曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为201212012220122011,log log lognx x x x+++则的值为____．13．已知22sin sin,cos cos,33x y x y-=--=且x，y为锐角，则tan（x -y）= ．14．如图放置的正方形ABCD，AB =1．A，D分别在x轴、y轴的正半轴（含原点）上滑动，则OC OB⋅的最大值是____．15．由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项，按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n可得到“n边形数列”，记它的第r项为P（n，r），则（1）使得P（3，r）>36的最小r的取值是；（2）试推导P（n，r）关于，n、r的解析式是____．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知2(2sin ,),(1,23sin cos 1)OA a x a OB x x ==-+，O 为坐标原点，0,a ≠设(),.f x OA OB b b a =⋅+>（I ）若0a >，写出函数()y f x =的单调速增区间；（Ⅱ）若函数y=f （x ）的定义域为[,2ππ]，值域为[2，5]，求实数a 与b 的值，17．（本小题满分12分）如图，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D,从D 点可以观察到点A ，C ；到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：∠ACD=90°,∠ADC= 60°,∠ACB =15°，∠BCE =105°，∠CEB =45°，DC=CE =1（百米）．（I ）求△CDE 的面积；（Ⅱ）求A ，B 之间的距离．18．（本小题满分12分）国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费．每一年度申请总额不超过6000元．某大学2010届毕业生李顺在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清．签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元．李顺同学计划前12个月每个月还款额为500元，第13个月开始，每月还款额比前一月多x 元．（I ）若李顺恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x 的值；（II ）当x=50时，李顺同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他还清贷款的那一个月的工资余额是多少？（参考数据：1.0518 =2.406,1.0519=2.526，1.0520 =2.653，1.0521=2.786） 19．（本小题满分12分）已知函数()sin .f x x x =+ （I ）当[0,],()x f x π∈时求的值域；（II ）设2()()1,()1[0,)g x f x g x ax '=-≥++∞若在恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分13分）已知211()(1),()10(1),{}2,()()()0,n n n n n f x x g x x a a a a g a f a +=-=-=-+=数列满足9(2)(1).10n n b n a =+- （I ）求证：数列{a n ，-1）是等比数列；（Ⅱ）当n 取何值时，b n 取最大值，并求出最大值；（Ⅲ）若1*1m m m m t t m N b b ++<∈对任意恒成立，求实数t 的取值范围．21．（本小题满分14分）设曲线C ：()ln ( 2.71828),()()f x x ex e f x f x '=-=表示导函数．（I ）求函数f （x ）的极值；（Ⅱ）数列{a n }满足111,2(3)n na e a f e a +'==+．求证：数列{a n }中不存在成等差数列的三项；（Ⅲ）对于曲线C 上的不同两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1<x 2，求证：存在唯一的012(,)x x x ∈，使直线AB 的斜率等于0().f x '参考答案一、选择题： 1．【考点分析】本题主要考查平面向量的运算和向量平行充要条件的基本运用．【参考答案】 C 【解题思路】AB →＝（3，y －1），∵AB →∥a ，∴31＝y －12，∴y ＝7．2．【考点分析】本题主要考查等比数列的基本运算性质．【参考答案】 B ．【解题思路】3321654)(q a a a a a a ++=++，∴213=q ，3654987)(q a a a a a a ++=++=10，即9s =70．3．【考点分析】本题考查三角函数的性质和同角三角函数的基本关系式的运用，考查基本运算能力．【参考答案】D【解题思路】2(sin cos )12sin cos sin 2y x x x x x =+-==，所以函数2(sin cos )1y x x =+-是最小正周期为π的奇函数。

第19讲导数中的同构系列(学生版)2023年高考数学重难突破之导数、数列(全国通用)

第19讲导数中同构与放缩的应用思维导图-----知识梳理同构法是将不同的代数式(或不等式、方程)通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题．当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力，对代数式的变形能力的要求也是比较高的，脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶考法一部分同构携手放缩法（同构放缩需有方，切放同构一起上）思维导图-----方法梳理在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：(1)当a ＞0且a ≠1时，有log a x x a =，(2)当a ＞0且a ≠1时，有log xa x a =再结合指数与对数运算法则，可以得到下述结论(其中x ＞0)(“e x ”三兄弟与“ln x ”三姐妹)(3)ln x x x x +=ｅｅ，ln ln()x x x x +=ｅ(4)ln x x x x -=ｅｅ，ln ln x x x x-=ｅ(5)ln x x x x -=ｅｅ，ln ln x x x x -=ｅ再结合常用的切线不等式：1x x ≥+ｅ，e x x ≥ｅ，ln 1x x ≤+，ln x x ≤ｅ等，可以得到更多的结论(6)ln ln 1x x xx x x +=≥++ｅｅ，ln ln()e 1x x x x x x +=≤-ｅ．ln (ln )x x xx x x +=≥+ｅｅｅ，1e ln ln()x x x x x x x x -+=≤ｅ＝ｅｅ．(7)ln ln 1x x x x x x-=≥-+ｅｅ，ln ln x x x x x x -=≤ｅｅ－１,ln (ln )x x x x x x -=≥-ｅｅｅ，1ln ln x x x x x x --=≤ｅｅ(8)ln ln 1x x x x x x -=≥-+ｅｅ，ln ln x x x x x x -=≤－１ｅｅ,ln (ln )x x x x x x -=≥-ｅｅｅ，1ln ln x x x x x x +-=≤ｅｅ围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1.已知1()ln x f x x x x +=+-ｅ，则函数()f x 的最大值为________．例2.函数ln 1()x x f x x+=-ｅ的最小值是________．例3.函数22ln ()1x x x f x x -=+ｅ的最小值是________．例4.不等式ln 10x xax x ---≥ｅ恒成立，则实数a 的最大值是________．例5.不等式(ln 1)0x x a x x -++≥ｅ恒成立，则正数a 的取值范围是________．例6.已知函数()ln 1(1)b x f x x a x x x =--->ｅ，其中b ＞0，若()0f x ≥恒成立，则实数a 与b 的大小关系是________．例7.已知函数()ln 1x f x a x =--ｅ，若()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．例8.已知不等式1ln x kx x -≥+ｅ，对任意的正数x 恒成立，则实数k 的取值范围是________．例9.已知不等式ln 10ax ax xx -+--≥ｅ，对任意的正数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．例10.已知函数()(ln )x f x x a x x =-+ｅ有两个零点，则实数a 的取值范围是________．例11.(2020届太原二模)已知函数()ln 1f x x ax =++.(1)若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围；(2)若()e x f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．函数()ln x f x x x x =--ｅ的最小值为________．2．函数ln ()1x x x f x x -=+ｅ的最小值为________．3．函数()(ln 1)x f x x x x -=++-ｅ的最大值是________．4．已知不等式(1)ln x x a x x -+≥ｅ，对任意正数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．5．已知函数()(ln 1)x f x x a x x =+-++ｅｅ，若()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．6．已知函数2()ln 1x f x a x =--ｅ，若()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．7．已知a ，b 分别满足23e e , (ln 1)e a a b b =-=，则ab ＝________．8．已知x 0是函数22()e ln 2x f x x x -=+-的零点，则020e ln x x -+=________．考点二整体同构携手脱衣法在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一个函数），无疑大大加快解决问题的速度，找到这个函数模型的方法，我们就称为整体同构法．如，若F (x )≥0能等价变形为f [g (x )]≥f [h (x )]，然后利用f (x )的单调性，如递增，再转化为g (x )≥h (x )，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法．1．地位同等同构（主要针对双变量，合二为一泰山移）(1)f x 1－f x 2x 1－x 2>k (x 1<x 2)⇔f (x 1)－f (x 2)<kx 1－kx 2⇔f (x 1)－kx 1<f (x 2)－kx 2⇔y ＝f (x )－kx 为增函数；(2)f x 1－f x 2x 1－x 2<k x 1x 2(x 1<x 2)⇔f (x 1)－f (x 2)>k (x 1－x 2)x 1x 2＝k x 2－k x 1⇔f (x 1)＋k x 1>f (x 2)＋k x 2⇔y ＝f (x )＋k x 为减函数；含有地位同等的两个变x 1，x 2或p ，q 等的不等式，进行“尘化尘，土化土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）2．指对跨阶同构（主要针对单变量，左同右同取对数）(1)积型：ln e (ln )e ()e e ln e ln e ln ()ln ln ln ln(ln )()ln a b x a a a a b f x x a b b b b f x x x a a b b f x x x ⎧≤−−−−→=⎪⎪≤−−−−−→≤−−−−→=⎨⎪+≤+−−−−→=+⎪⎩构造函数三种同构方式构造函数构造函数同左同右取对如，322222ln ln e ln ln mm m m xx x x m x x me x x x x e x ≥⇔≥⇔≥ｅ，后面的转化同(1)说明；在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知．(2)商型：ln e e e () ln e e ()ln ln e ln ln ln ln ln(ln )()ln a b x a a a f x a b x b b x f x a b b x a a b b f x x x ⎧<−−−−→=⎪⎪⎪<−−−−−→<−−−−→=⎨⎪⎪-<-−−−−→=-⎪⎩构造函数三种同构方式构造函数构造函数同左同右取对 (3)和差：ln e e ln ()e e ln e ln e ln ()ln a b x a a a a b f x x a b b b b f x x x ⎧±>±−−−−→=±⎪±>±−−−−−→⎨±>±−−−−→=±⎪⎩构造函数两种同构方式构造函数同左同右如；ln(1)ln(1)1ln(1)ln(1)ax ax x ax x x ax x ax x ++>+++⇔+>++⇔>+ｅｅｅ．3．无中生有同构（主要针对非上型，凑好形式是关键）(1)e ln e ln 21ax x ax a x ax x x >−−−−−→>同乘(无中生有) ，后面的转化同()；(2)ln ln 1e ln()e ln (1)1e ln ln(1)1e +ln x x x a x x a a ax a a a x a x x a a-->--⇔>--⇔->--−−−−−→->同加(无中生有) ln(1)ln(1)1ln(1)ln ln(1)x x x x x a x --+-=-⇔->-ｅ＋；(3)>l ⇔l >l l ⇔(l )l >l ，后面的转化同2(1)．围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1.若1201x x <<<，则()A ．2121e e ln ln x x x x ->-B ．2121e e ln ln x x x x -<-C ．1221e e x x x x >D ．1221e e x x x x <例2.若120x x a <<<，都有l −l ≤−成立，则a 的最大值为()A ．2１B ．1C ．eD ．2e例3.已知op =l (+p −，在区间(1, 2)内任取两实数p ，q ，且p ≠q ，不等式(1)(1)1f p f q p q+-+<-恒成立，则实数a 的取值范围为________．例4.对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的一个同构函数(1)l −⋅B ≥(2)l −ｅ≥(3)1(1)2()ln ax a x x x+≥+ｅ(4)+l +ｅ−≥(>p(5)ｅ+l =例5.已知不等式>l (>0,≠1)，对任意正数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．例6.已知函数()ln(1)33f x m x x =+--，若不等式()3e x f x mx >-在(0, )+∞上恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．≤≤B ．≥C ．≤D ．≤例7.对任意0x >，不等式22e ln ln 0x a x a -+≥恒成立，则实数a 的最小值为________．例8.已知函数()ln()(0)x f x a ax a a a =--->ｅ，若关于x 的不等式()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围是()A ．2(0, e ]B ．2(0, e )C ．2[1, e ]D ．2(1, e ]例9.对任意0x >，不等式1(e 1)2()ln ax a x x x+≥+恒成立，则实数a 的最小值为________．例10.已知不等式1ln e a x x a x x ++≥对任意的(1, )x ∈+∞恒成立，则实数a 的最小值为()A ．e -B ．e 2-C ．e -D ．2e -例11.已知函数ln(1)()x f x x+=.(1)判断()f x 在(0, )+∞上的单调性；(2)若0x >，证明：2(e 1)ln(1)x x x -+>．例12.(2020·新高考Ⅰ)已知函数f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a ．(1)当a ＝e 时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f (x )≥1，求a 的取值范围．套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．已知函数()ln ()x f x m x m =+∈R ｅ，若对任意正数x 1，x 2，当x 1＞x 2时，都有1212()()f x f x x x ->-成立，则实数m 的取值范围是________．2．已知函数()x f x ax x=-ｅ，(0, )x ∈+∞，当x 2＞x 1时，不等式1221()()0f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围是()A ．(, e]-∞B ．(, e)-∞C ．e (, )2-∞D ．e (, ]2-∞3．对不等式21ln 0x x λλ-≥ｅ进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．4．对方程2ln 0x x x ---=ｅ进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．5．对不等式ln(1)2(1)2x a x x ax -+-≥+ｅ进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．6．设实数0λ>，若对任意的(0, )x ∈+∞，不等式ln 0x x λλ-≥ｅ恒成立，则λ的最小值为________．7．已知函数1()ln (0)x f x a ax a a +=-+>ｅ，若关于x 的不等式()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围是________．8．已知对任意0x >，不等式1(e 1)(1)ln 0kx k x x+-+>恒成立，则实数k 的取值范围为________．9．已知0a <，不等式1ln 0a x x a x ++≥ｅ，对任意的实数1x >恒成立，则实数a 的最小值是()A ．12e -B ．1e -C ．e -D ．2e-10．已知函数13()2ln ()m x f x x x m x -=--ｅ，当e x ≥时，()0f x ≥恒成立，则实数m 的取值范围为()A ．(, 4e]-∞B ．(, 3e]-∞C ．(, 2e]-∞D ．3e (, ]2-∞考点三分离含参式同构思维导图-----方法梳理参变分离法是将不等式变形成一个一端是f (a )，另一端是变量表达式g (x )的不等式后，若f (a )≥g (x )在x ∈D 上恒成立，则f (a )≥g (x )max ；若f (a )≤g (x )在x ∈D 上恒成立，则f (a )≤g (x )min ．特别地，经常将不等式变形成一个一端是参数a ，另一端是变量表达式g (x )的不等式后，若a ≥g (x )在x ∈D 上恒成立，则a ≥g (x )max ；若a ≤g (x )在x ∈D 上恒成立，则a ≤g (x )min ．利用分离参数法来确定不等式f (x ，a )≥0(x ∈D ，a 为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：(1)将参数与变量分离，化为f 1(a )≥f 2(x )或f 1(a )≤f 2(x )的形式．(2)求f 2(x )在x ∈D 时的最大值或最小值．(3)解不等式f 1(a )≥f 2(x )max 或f 1(a )≤f 2(x )min ，得到a 的取值范围．围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1.(2020·新高考Ⅰ)已知函数f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a ．(1)当a ＝e 时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f (x )≥1，求a 的取值范围．例2.已知函数f (x )＝x －a ln x ．(1)若曲线y ＝f (x )＋b (a ，b ∈R )在x ＝1处的切线方程为x ＋y －3＝0，求a ，b 的值；(2)求函数g (x )＝f (x )＋a ＋1x(a ∈R )的极值点；(3)设h (x )＝1a f (x )＋a e x －x a＋ln a (a >0)，若当x >a 时，不等式h (x )≥0恒成立，求a 的最小值．例3.已知实数a∈R，设函数f(x)＝ln x－ax＋1．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)≥a(x＋1－x2)x＋1恒成立，求实数a的取值范围．套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．已知函数f(x)＝e ax－x．(1)若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处切线的斜率为1，求f(x)的单调区间；(2)若不等式f(x)≥e ax ln x－ax2对x∈(0，e]恒成立，求a的取值范围．2．已知函数f(x)＝1＋a e x ln x．(1)当a＝1时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若不等式f(x)≥e x(x a－x)(a<0)，对x∈(1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．3．已知函数f (x )＝e －x －ax ，g (x )＝ln(x ＋m )＋ax ＋1．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意的x ∈(－m ，＋∞)，恒有f (－x )≥g (x )成立，求实数m 的取值范围．考点四双变量问题之转化同构思维导图-----方法梳理若问题的不等式或等式中含有1x ，2x 两个变量，我们称这类题型为双变量问题，双变量问题有若干细分题型，本节先分析其中一种：若对任意的1x ，2x 在区间D 上，某关于1x 和2x 的具有轮换对称性的不等式恒成立，求参数取值范围.这类问题一般将原不等式等价转化为()()12f x f x <这种同构形式，根据函数()f x 的单调性来研究参数的取值范围.围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1.已知函数()12ln f x x x=-.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若对任意的()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121211f x f x mx x -≥-恒成立，求实数m 的取值范围.例2.已知函数()x f x e =，其中 2.71828e = 为自然对数的底数.（1）设函数()()()223g x x ax a f x =+--，a ∈R ，试讨论函数()g x 的单调性；（2）设函数()()2h x f x mx x =--，m ∈R ，若121,,22x x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦且12x x >，都有()()()21121221x h x x h x x x x x ->-成立，求实数m 的取值范围.套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1.（多选）若正实数a 、b 满足ln ln sin sin b a b a b a ->->-，则下列不等式可能成立的有（）A.01a b<<< B.1b a >> C.01b a <<< D.01a b <<<2．已知函数()sin f x x a x =-，若对任意12,x x ∈R 且12x x ≠，不等式()()1212f x f x a x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围为（）A.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．已知函数()ln f x mx a x m =--，()1x x g x e -=，其中m 、a 均为实数.（1）求()g x 的极值；（2）设1m =，0a <，若对任意的[]12,3,4x x ∈()12x x ≠，都有()()()()212111f x f xg x g x -<-恒成立，求a 的最小值.4．已知函数()()1x f x a x e =-()0a ≠，()cos g x x =-.（1）讨论函数()f x 的单调性;（2）设0a >，若1x ∀、20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且12x x ≠，都有()()()()1212f x f x g x g x ->-，求a 的取值范围.。

导数与数列不等式结合解题技巧

导数与数列不等式结合是数学中一个重要的解题技巧，它涉及到函数的单调性、极值、最值等概念，以及数列的单调性、不等式性质等知识。

下面是一些导数与数列不等式结合解题的技巧：
1. 构造函数：根据题目条件，通过构造适当的函数，将问题转化为求函数的极值或最值问题。

2. 求导数：对构造的函数求导数，利用导数的性质判断函数的单调性。

3. 利用单调性：根据函数的单调性，结合数列不等式的性质，推导出不等式的结论。

4. 寻找临界点：在求解过程中，寻找函数的临界点，这些点可能是极值点或拐点，对于解决问题至关重要。

5. 转化问题：在解决问题时，有时需要将问题转化为其他形式，例如将不等式问题转化为函数问题，以便更好地利用已知条件和解题技巧。

6. 综合分析：在解题过程中，需要综合运用数学知识，如函数、导数、数列、不等式等，进行全面的分析和推理。

7. 检验结论：在得出结论后，需要进行检验，以确保结论的正确性和合理性。

总之，导数与数列不等式结合解题需要灵活运用各种数学知识和技巧，通过构造函数、求导数、利用单调性等方法，逐步推导出问题的结论。

同时需要注意检验结论的正确性和合理性。

数列和函数的导数

数列和函数的导数导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。

在数学中，我们经常使用导数来研究数列和函数的性质。

本文将深入探讨数列和函数的导数，并介绍一些相关的概念和方法。

一、数列的导数数列是由一系列有序的数按照规律排列而成的序列。

对于数列中的每一个元素，我们可以计算其相邻两项之差，称为差分。

差分表示了数列的递推关系和变化趋势。

对于数列{an}，如果其相邻两项之差始终趋近于一个常数，即存在一个常数k，使得an+1 - an = k，那么我们称数列{an}是等差数列。

等差数列的导数为常数k。

同样地，如果数列{an}的差分an+1 - an 的极限存在，那么我们称这个极限为数列{an}的导数，并用an'表示。

数列的导数表示了数列的变化率和变化趋势。

二、函数的导数函数是一种将自变量映射到因变量的关系。

对于函数f(x)，我们可以通过求取其导数来描述函数在某一点的变化率。

函数的导数可以用以下两种方式表示：一阶导数和高阶导数。

一阶导数表示了函数在某一点的切线斜率，表示为f'(x)或df/dx。

高阶导数表示了函数的变化率变化率，表示为f''(x)、f'''(x)等。

使用导数的定义来计算函数的导数是一种常见的方法。

根据导数的定义，函数f(x)在点x处的导数可以表示为极限lim(x->a)[f(x) - f(a)]/(x- a)，其中a为x的一个邻近点。

另一个常用的方法是使用导数的性质和求导法则来计算函数的导数。

一些常见的求导法则包括：常数规则、幂函数规则、和差规则、乘积规则和商规则等。

通过运用这些规则，我们可以更便捷地计算函数的导数。

函数的导数在数学中具有广泛的应用。

它可以用来求解函数的极值、判断函数的增减性、研究函数的曲线形状等。

导数在物理学、经济学等领域也有着重要的应用价值。

三、数列和函数的关系数列和函数之间存在着密切的联系。

实际上，数列可以看作是一种特殊的函数，即定义域为自然数集的函数。

专题1.14 导数-恒成立问题(解析版)

恒成立： a >
f
(x) ⇔
a
>
f
(
x
) max
；
a
<
f
(x) ⇔ a <
f
(
x
) min
；
1．已知函数 f (x) = aex + sin x + x, x ∈[0,π ], a < 0 ．
（1）证明：当 a = −1 时，函数 f ( x) 有唯一的极大值；（2）当 f ( x) < 2x −1恒成立，求实数 a 的取值范围．
（2）求证： e−x ＋x＋ln x－1≥0； x
（3）已知 k( e−x ＋x2)≥x－xln x 恒成立，求 k 的取值范围．
【试题来源】2021 年高考二轮复习讲练测（浙江专用）
【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）[1，＋∞)．
ln x +1
【解析】（1）f(x)≥0 等价于 a≥
．
x
令 g(x)＝ ln x +1 x
a ln 1 + a ． a
综上，当 a„ 1 时，函数 f (x) 在区间[1, 2] 上的最小值为 f= (2) a ln 2 + 1 ；当 1 < a < 1时，
2
22
函数 f (x) 在区间[1, 2] 上的最小值为 f = 1a
a ln 1 + a ；当 a…1时，函数 f (x) 在区间[1, 2] a
函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要
证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明．
5．已知函数 f ( x) = 1 ln x − mx (m ∈ R) ， g ( x) =x − a (a > 0) ．

构造函数法在高考解导数和数列问题

用构造函数法给出两个结论的证明．（1）构造函数()sin f x x x =-，则()1cos 0f x x '=-≥，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0f x f >=．所以sin 0x x ->，即sin x x <．（2）构造函数()ln(1)f x x x =-+，则1()1011x f x x x'=-=>++．所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0f x f >=，所以ln(1)x x >+，即ln(1)x x +<．要证111,n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭两边取对数，即证11ln 1,1n n ⎛⎫+>⎪+⎝⎭ 事实上：设11,t n +=则1(1),1n t t =>- 因此得不等式1ln 1(1)t t t >->构造函数1()ln 1(1),g t t t t=+->下面证明()g t 在(1,)+∞上恒大于0．211()0,g t t t'=->∴()g t 在(1,)+∞上单调递增，()(1)0,g t g >= 即1ln 1,t t>-∴ 11ln 1,1n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭ ∴111,n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭以上两个重要结论在高考中解答与导数有关的命题有着广泛的应用．例如：2009年广东21，2008年山东理科21，2007年山东理科22．1．【09天津·文】10．设函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，且22()()f x xf x x '+>，下面的不等式在R 上恒成立的是A ．0)(>x fB ．0)(<x fC ．x x f >)(D ．x x f <)( 【答案】A【解析】由已知，首先令0=x 得0)(>x f ，排除B ，D ．令2()()g x x f x =，则[]()2()()g x x f x xf x ''=+，① 当0x >时，有2()2()()()0g x f x xf x x g x x'''+=>⇒>，所以函数()g x 单调递增，所以当0x >时， ()(0)0g x g >=，从而0)(>x f ．② 当0x <时，有2()2()()()0g x f x xf x x g x x'''+=>⇒<，所以函数()g x 单调递减，所以当0x <时， ()(0)0g x g >=，从而0)(>x f ．综上0)(>x f ．故选A ．【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用．通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力． 2．【09辽宁·理】21．（本小题满分12分）已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-，1a >．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）证明：若5a <，则对任意12,(0,)x x ∈+∞，12x x ≠，有1212()()1f x f x x x ->--．解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞．211(1)(1)()a x ax a x x a f x x a x x x --+--+-'=-+== …………………2分（i ）若11a -=即2a =，则2(1)()x f x x-'=，故()f x 在(0,)+∞单调增加．（ii ）若11a -<，而1a >，故12a <<，则当(1,1)x a ∈-时，'()0f x <；当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，'()0f x >．故()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加．（iii ）若11a ->，即2a >，同理可得()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加．（II ）考虑函数()()g x f x x =+21(1)ln 2x ax a x x =-+-+．则21()(1)(1)11)a g x x a a x -'=--+≥-=-．由于15,a <<故()0g x '>，即()g x 在(0,)+∞单调增加，从而当120x x >>时有 12()()0g x g x ->，即1212()()0f x f x x x -+->，故1212()()1f x f x x x ->--，当120x x <<时，有12211221()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>---． ………………………………12分 3．【09全国Ⅱ·理】22．（本小题满分12分）设函数()()21f x x aln x =++有两个极值点12x x ，，且12x x <．（I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性；（II ）证明：()21224ln f x ->．【解】（I ）由题设知，函数()f x 的定义域是1,x >-()222,1x x af x x++'=+且()0f x '=有两个不同的根12x x 、，故2220x x a ++=的判别式480a ∆=->，即 1,2a <且 12x x == …………………………………①又11,x >-故0a >．因此a 的取值范围是1(0,)2．当x 变化时，()f x 与()f x '的变化情况如下表：因此()f x 在区间1(1,)x -和2(,)x +∞是增函数，在区间12(,)x x 是减函数．（II ）由题设和①知22210,2(1),2x a x x -<<=-+ 于是 ()()2222222(1)1f x x x x ln x =-++．设函数 ()()22(1)1,g t t t t ln t =-++则 ()()2(12)1g t t t ln t '=-++当12t =-时，()0g t '=；当1(,0)2t ∈-时，()0,g t '>故()g t 在区间1[,0)2-是增函数．于是，当1(,0)2t ∈-时，()1122().24ln g t g ->-=因此 ()22122()4ln f x g x -=>．5．2009届山东省德州市高三第一次练兵（理数）21．（本小题满分12分）已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在（0,1）为减函数．（1）求)(x f 、)(x g 的表达式；（2）求证：当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解；（3）当1->b 时,若212)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围．解：（1）,2)(xax x f -='依题意]2,1(,0)(∈>'x x f ,即22x a <,]2,1(∈x ． ∵上式恒成立,∴2≤a ① …………………………1分又x ax g 21)(-=',依题意)1,0(,0)(∈<'x x g ,即x a 2>,)1,0(∈x ．∵上式恒成立,∴.2≥a ② …………………………2分由①②得2=a ．…………………………3分∴.2)(,ln 2)(2x x x g x x x f -=-= …………………………4分（2）由（1）可知,方程2)()(+=x g x f ,.022ln 22=-+--x x x x 即设22ln 2)(2-+--=x x x x x h ,,1122)(xx x x h +--='则令0)(>'x h ,并由,0>x 得,0)222)(1(>+++-x x x x x 解知.1>x ………5分令,0)(<'x h 由.10,0<<>x x 解得 …………………………6分列表分析：可知)(x h 在1=x 处有一个最小值0, …………………………7分当10≠>x x 且时,)(x h ＞0,∴0)(=x h 在（0,+∞）上只有一个解．即当x ＞0时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解． …………………………8分（3）设2'23122()2ln 2()220x x x bx x x b x x xϕϕ=--+=---<则, …………9分 ()x ϕ∴在(0,1]为减函数min ()(1)1210x b ϕϕ∴==-+≥ 又1b >-………11分所以：11≤<-b 为所求范围． …………………………12分 7．山东省滨州市2009年5月高考模拟试题（理数）20．（本题满分12）已知函数2()ln .f x ax x =+ （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a =时，设斜率为k 的直线与函数()y f x =相交于两点1122(,)(,)A x y B x y 、 21()x x >，求证：121x x k<<．解：（Ⅰ）略（Ⅱ）当0a =时，()ln .f x x =以下先证11x k>， 21212121ln ln 0,y y x x k x x x x --==>--所以只需证21211ln ln 1x x x x x -<-，即2212111ln1.x x x x x x x -<=- 设()ln 1(1)t t t t ϕ=-+ >，则1()10(1)t t tϕ'=-< >．所以在(1,)t ∈+∞时，()t ϕ为减函数， ()(1)0(1t t ϕϕ<= >．即ln 1(1)t t t <- >．又211x x >， ∴2211ln1x x x x <-成立，即11x k >．同理可证21x k<． ∴121x x k<<． 9．山东省安丘、五莲、诸城、兰山四地2009届高三5月联考22．（本题满分14分）已知函数1()ln sin g x x xθ=+⋅在[)1,+∞上为增函数，且(0,)θπ∈，1()ln m f x mx x x-=--，m R ∈．（1）求θ的取值范围；（2）若()()f x g x -在[)1,∞上为单调函数，求m 的取值范围；（3）设2()eh x x=，若在[]1,e 上至少存在一个0x ，使得000()()()f x g x h x ->成立，求m 的取值范围．解：（1）由题意，211()0sin g x x x θ'=-+≥⋅在[)1,+∞上恒成立，即2sin 10sin x xθθ⋅-≥⋅(0,),s i n θπθ∈ ∴>．故sin 10x θ⋅-≥在[)1,+∞上恒成立， ……………2分只须sin 110θ⋅-≥，即sin 1θ≥，只有sin 1θ=．结合(0,),θπ∈得2πθ=．…4分（2）由（1），得()()2ln .m f x g x mx x x -=--()222()().mx x m f x g x x -+'∴-=()()f x g x -在[)1,∞上为单调函数，220mx x m ∴-+≥或者220mx x m ∴-+≤在[)1,∞恒成立． ……………．． 6分220mx x m -+≥等价于2(1)2,m x x +≥即22,1xm x ≥+ 而2222,max 11111x m x x x x x ⎧⎫⎪⎪== ∴≥⎨⎬+⎪⎪++⎩⎭． …………………………………8分 220mx x m ∴-+≤等价于2(1)2,m x x +≤即221xm x ≤+在[)1,∞恒成立，而(]220,1,01xm x∈≤+．综上，m 的取值范围是(][),01,-∞+∞． ………………………………………10分（3）构造函数2()()()(),()2ln .m e F x f x g x h x F x mx x x x=--=--- 当0m ≤时，[]1,,0m x e mx x ∈-≤，22ln 0ex x--<，所以在[]1,e 上不存在一个0x ，使得000()()()f x g x h x ->成立．当0m >时，22222222().m e mx x m eF x m x x x x-++'=+-+= …………12分因为[]1,,x e ∈所以220e x -≥，20mx m +>，所以()0F x '>在[]1,e 恒成立．故()F x 在[]1,e 上单调递增，max 4()4F x me e =--，只要440me e-->，解得24.1em e >-故m 的取值范围是24,.1e e ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭……………………………………………14分。

教你如何做出高考数学导数大题1：证明三个交点的横坐标成等差数列

教你如何做出高考数学导数大题1：证明横坐标成等差数列已知函数f(x)=e x−ax和g(x)=ax−lnx有相同的最小值.(1)求a；(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.第(1)问的解题思路很明确：先分别求出函数f(x)和函数g(x)的最小值，再令两个最小值相等，解方程即可求出a的值。

解：(1)先求f(x)的最小值：f(x)的定义域为(－∞,＋∞)f′(x)=e x−a （提示：这是一个增函数）①a≤0时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞,＋∞)上单调递增，则f(x)没有最值；不合题意，舍去。

②a＞0时令f′(x)=e x−a＝0，解得x＝lna在(－∞, lna)上f′(x)＜0，则f(x)单调递减在(lna, ＋∞)上f′(x)＞0，则f(x)单调递增则f(x)的最小值为f(lna)＝a－alna说明1：为什么要分a≤0和a＞0两种情况进行讨论。

因为令导函数f′(x)=0，得到方程e x =a ，指数函数e x 是恒大于0的，所以当a ≤0时，方程无解，当a ＞0时，方程有一个解x=lna ，由此可知当a ≤0时和a ＞0时函数f(x)的单调性不同，所以要分这两种情况进行讨论。

说明2：f ′(x)的符号是如何判断出来的。

当x ＝lna 时，f ′(x)是等于0的，又f ′(x)明显是一个增函数，所以当x ＜lna 时，f ′(x)＜0；当x ＞lna 时，f ′(x)＞0说明3：f(x)的最小值为什么是f(lna)。

因为在开区间(－∞,＋∞)上，f(x)只有一个极值f(lna)，并且是个极小值，所以这个极小值f(lna)就是f(x)的最小值。

再求g(x)的最小值：g(x)的定义域为(0, ＋∞)g ′(x)=a −1x （提示：这是一个增函数）令g ′(x)=a −1x ＝0，解得x ＝1a 在(0, 1a )上g ′(x)＜0，则g(x)单调递减在(1a , ＋∞)上g ′(x)＞0，则g(x)单调递增则g(x)的最小值为g(1a )＝1＋lna接下来令两个最小值相等，建立一个关于a 的方程，通过解方程求出a 的值。

高二数学知识点总结数列和导数

高二数学知识点总结数列和导数高二数学知识点总结 - 数列和导数数学是一门重要而广泛应用的学科，数学中有许多重要的概念和知识点需要我们掌握和理解。

在高二数学中，数列和导数是我们需要重点掌握的知识点之一。

本文将对高二数学中的数列和导数进行总结和归纳。

一、数列数列是指按照一定规律排列的一串数字组成的序列。

在高二数学中，我们主要学习了等差数列和等比数列。

1. 等差数列等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与其前一项之间的差都相等的数列。

我们可以通过以下公式来表示等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d其中，an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

在解题中，我们可以通过已知的条件求解等差数列的某一项或者整个数列的和。

2. 等比数列等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与其前一项之间的比都相等的数列。

我们可以通过以下公式来表示等比数列的通项公式：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。

在解题中，我们可以利用已知的条件求解等比数列的任意一项或者整个数列的和。

二、导数导数是微积分的重要概念之一，它描述了函数在一点处的变化率。

在高二数学中，我们主要学习了一元函数的导数和导数的应用。

1. 一元函数的导数对于一元函数y = f(x)，在某一点x处的导数可以通过以下公式来计算：f'(x) = lim(h->0) (f(x + h) - f(x))/h导数可以理解为函数图像在某一点处的切线斜率。

求导可以帮助我们进一步了解函数的性质以及相关变化趋势。

2. 导数的应用导数在数学中有广泛的应用，特别是在物理、经济学等领域中。

在高二数学中，我们主要学习了导数的几何和物理应用。

几何应用方面，我们可以通过导数求解函数的最值、切线和法线方程等问题。

物理应用方面，我们可以通过导数来描述物体的速度、加速度等运动特性。

例如，我们可以通过对位移函数求导得到速度函数，再对速度函数求导得到加速度函数。

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1 高三数列及导数专题数列专题等差数列 [重点] 等差数列的概念、等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式。 1．定义：数列{an}若满足an+1-an=d(d为常数)称为等差数列，d为公差。它刻划了“等差”的特点。 2．通项公式：an=a1+(n-1)d=nd+(a1-d)。若d0，表示an是n的一次函数；若d=0，表示此数列为常数列。

3．前n项和公式：Sn=2)(1naan =na1+ndanddnn)2(22)1(12。若d0,表示Sn

是n的二次函数，且常数项为零；若d=0，表示Sn=na1. 4．性质：①an=am+(n-m)d。② 若m+n=s+t,则am+an=as+at 。特别地；若m+n=2p,则am+an=2ap。 5.方程思想：等差数列的五个元素a1、、d、n、an、sn中最基本的元素为a1和d，数列中的其它元素都可以用这两个元素来表示。函数思想：等差数列的通项和前n项和都可以认为是关于n的函数，因此数列问题可以借助于函数知识来解决。 [难点] 等差数列前n项和公式的推导，通项和前n项和的关系，能够化归为等差数列问题的数列的转化。

如：an与sn关系：an=11nnsss 21nn 此公式适用于任何数列。化归思想：把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数字思想。

等比数列

[重点] 等比数列的概念，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式。

1．定义：数列{an}若满足nnaa1=q(qq,0为常数)称为等比数列。q为公比。 2．通项公式：an=a1qn-1(a10、q0)。 3.前n项和公式：Sn=qqaaqqanann11)1(111 （q1） 2

4.性质：（1）an=amqn-m。（2）若 m+n=s+t，则aman=asat,特别地，若m+n=2p，则aman=a2p，（3）记A=a1+a2+„+an,B=an+1+an+2+„a2n,C=a2n+1+a2n+2„+a3n,则A、B、C成等比数列。 5．方程思想：等比数列中的五个元素a1、q、n 、an 、Sn中，最基本的元素是a1和q，数列中的其它元素都可以用这两个元素来表示。函数思想：等比数列的通项和前n次和都可以认为是关于n的函数。 [难点] 等比数列前n项和公式的推导，化归思想的应用。

一、填空题 1．在等比数列{an}中，a1-a5=-215,S4=-5,则a4= 。 2．三个正数a,b,c成等比数列，且a+b+c=62,,lga+lgb+lgc=3,则这三个正数为 3．已知a>0,b>0,a,b在a与b之间插入n个正数x1,x2,„,xn，使a,x1,x2„,xn,b成等比

数列，则nnxxx21= 4．在正数项列{an}中，a2n+3=an+1,an+5,且a3=2,a11=8,则a7= 5．已知首项为21，公比为q(q>0)的等比数列的第m,n,k项顺次为M，N，K，则(n-k)log21M+(k-m)log21N+(m-n)log21K= 6．若数列{an}为等比数列，其中a3,a9是方程3x2+kx+7=0的两根，且(a3+a9)2=3a5a7+2,则实数k=

7．若2，a,b,c,d,183六个数成等比数列，则log92222dcba= 8.2+(2+22)+(2+22+23)+„+（2+22+23+„+210）= 9．数列{an}的前n项和Sn满足loga(Sn+a)=n+1(a>0,a1),则此数列的通项公式为

10．某工厂在某年度之初借款A元，从该年度末开始，每年度偿还一定的金额，恰在n年内还清，年利率为r,则每次偿还的金额为元。

二、解答题 1．已知数列{an}为等差数列，前30项的和为50，前50项的和为30，求前80项的和。

2．已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+C(C为常数)，求数列{a0}的通项公式，并判断{an}是不是等差数列。 3

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn,bn=nS1，且a3b3=21，S5+S3=21,求bn。 4．已知数列{an}为首项a10，公差为d0的等差数列，求Sn=13221111nnaaaaaa。 5．求从1到100中所有不被3及5整除的整数之和。填空题答案 1． 1 2． 50，10，2或2,10,50

3． ab

4.4 5.0 6.9 a3+a9=-,3ka3a9=a5a7=-,37∴ (-3k)2=3×37+2 k=9

7.-161 8.212-24 9.an=(a-1)an 10.1)1()1(nnrrAr

解答题答案 1． S50-S30=a31+a32

+„+a50=)(10)(102)(2080150315031aaaaaa=30-50=-20。

∴a1+a80=-2 ∴S80=802)(80801aa。 2．当n=1时，a1=S1=1+c 当n2时，an=Sn-Sn-1=(n2+c)-[(n2+c)]-[(n-1)2+C]=2n-1。

∴an=121nc 21nn 若C=0，an=2n-1,此时an-an-1=2(n2){an}为等差数列。若C0,C+11,{an}不为等差数列。 4

3．21223324552122331)2(1111dadadada ②① 由①，得a1=d。由②，得8a1+13d=1。故a1=d=1。 ∴Sn=nnbnnn222,2

4.)11(1111nnnnaadaa ∴Sn=111111132211)11(1)]11()11()11[(1nnnnnaaaadaadaaaaaad =)(11ndaan。 5.设S表示从1到100的所有整数之和。S1表示从1到100中所在能被3整除的整数的和。 S2表示从1到100中所有能被5整除的整数的和。 S3表示从1到100中所有既能被3整除，又能被5整除的整数的和。

则S=50502)1001(100。

由99=3+（n-1）×3,得n=33。 16832)993(331S。由100=5+(n-1) ×5,得n=20。 10502)1005(202S S3表示15，30，45，„，90之和 S3=3152)9015(6 从1到100中所有不被3及5整除的整数之和为S-S1-S2+S3=2632。 6.购买时付了150元，欠款1000元。每月付50元，分20次付完，设每月付款数顺次组成数列{an},则 a1=50+1000×0.01=60 a2=50+(1000-50) ×0.01=60-0.5 a3=50+(1000-50×2) ×0.01=60-0.5×2 类推,得 a10=60-0.5×9=55.5 an=60-0.5(n-1)(1n20)。 ∴ 付款数{an}组成等差数列，公差d=-0.5,全部贷款付清后，付款总数为

S20+150=125515010)192(1502)(201201daaa（元）。 7．由S20=S10得2a1+29d=0d=-2,an=a1+(n-1)d=-2n+31 5

Sn=2)(1naan=-n2+30n=-(n-15)2+225 ∴当n=15时，Sn最大，最大值为225。 8．（1）f(x)=[x-(n+1)2]+3n-8 ∴an=3n-8,∵ an+1-an=3 , ∴{an}为等差数列。（2）b0=83n

当12n时，bn=8-3n,b1=5。Sn=23132)385(2nnnn 当n3时。bn=3n-8 Sn=5+2+1+4+„（3n-8） =7+2281332)831)(2(2nnnn

∴Sn=228133231322nnnn 321nn

导数高考大题专题（理科）例题2011高考：（21）（本小题满分12分）已知函数ln()1axbfxxx，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为230xy。（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当0x，且1x时，ln()1xkfxxx，求k的取值范围。

（21）解：（Ⅰ）221(ln)'()(1)xxbxfxxx 由于直线230xy的斜率为12，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2ff即 6

1,1,22bab





解得1a，1b。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln11xxx，所以 22ln1(1)(1)()()(2ln)11xkkxfxxxxxx



。

考虑函数()2lnhxx2(1)(1)kxx(0)x，则22(1)(1)2'()kxxhxx。 (i)设0k，由222(1)(1)'()kxxhxx知，当1x时，'()0hx。而(1)0h，故当(0,1)x时，()0hx，可得21()01hxx；当x（1，+）时，h（x）<0，可得211x h（x）>0 从而当x>0,且x1时，f（x）-（1lnxx+xk）>0，即f（x）>1lnxx+xk. （ii）设00,故h’ （x）>0,而h（1）=0，故当x（1，k11）时，h（x）>0，可得211xh（x）<0,与题设矛盾。（iii）设k1.此时h’ （x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得211x h（x）<0,与题设矛盾。综合得，k的取值范围为（-，0]

1.已知函数3()31,0fxxaxa。求()fx的单调区间； 

若()fx在1x处取得极值，直线y=m与()yfx的图象有三个不同的交点，求m的

取值范围。