导数在数列求和中的应用
数列的求和方法
数列的求和方法发表时间：2009-07-07T11:03:52.577Z 来源：《中学课程辅导·教学研究》2009年第11期供稿作者：吕二动[导读] 数列是高中数学中很重要的内容之一。
本文例举了数列求和的十种方法。
摘要：数列是高中数学中很重要的内容之一。
本文例举了数列求和的十种方法。
关键词：数列；求和；方法作者简介：吕二动，任教于陕西省咸阳师范学院附属中学。
数列是高中数学中很重要的内容之一，是高考的热点和重点。
数列中蕴含着丰富的数学思想，而对于等差数列和等比数列而言，我们采用倒序相加法和错位相减法来求他们的前项和，由此对于一般的数列，我们可以从求等差数列和等比数列的前项和的方法受到启发，得到下面的几种方法，这些方法是我们求一般数列的通法，只要大家能够理解这些方法的适应范围，并且根据这些方法对新出现的数列都可化为下面的形式，那么数列的求和问题就不会太难。
现将这些方法总结如下：一、公式法求和对这些比较简单常见的数列，我们可以记下他们的前项和，在题目里可以直接利用它们求某些数列的和。
二、分组结合法求和若数列的通项公式为，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般利用分组结合法。
三、倒序相加法求和如等差数列的前项和的求法就是采用这种办法，即一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把原数列和倒写后的数列对应项相加可以求得原数列的前项和，这一求和方法称为倒序相加法。
四、错位相减法求和若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，一个是等比数列求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。
这种方法叫错位相减法。
五、裂项相消法若一个数列的每一项都可以化为两项之差，并且前一项的减数恰与后一项的被减数相同，求和时中间项互相抵消，这种数列求和的方法就是裂项相消法。
一般地，当数列的通项往往可以将变成两项的差，采用裂项相消法求和六、转化法求和转化法就是把非特殊数列的求和问题转化为等差（比）数列求和问题，是一种行之有效的方法。
递增求和求导公式
递增求和求导公式递增求和是指根据一定规律进行求和的过程，而求导是对函数进行求导运算，两者是不同的概念和操作。
1.递增求和公式：递增求和可以使用数学公式来表示。
假设有一个数列a1,a2,a3,...,an，其中n表示数列的长度。
递增求和可以写成下面的形式：S=a1+a2+a3+...+an2.求导公式：求导是对函数进行求导运算，可以表示为对函数y=f(x)求导，常用的求导公式有以下几种：基本导数公式：常数函数：若f(x)=c，则导数为f'(x)=0；幂函数：若f(x)=x^n，则导数为f'(x)=n*x^(n1)；指数函数：若f(x)=a^x（a>0,a≠1），则导数为f'(x)=ln(a)*a^x；对数函数：若f(x)=log_a(x)（a>0,a≠1），则导数为f'(x)=1/(x*ln(a))；三角函数：sin、cos、tan等三角函数的导数可以通过求导公式得出。
3.结合递增求和和求导的例子：假设有一个数列a1,a2,a3,...,an，其中n表示数列的长度。
我们可以将数列的递增求和结果表示为函数S(n)，即S(n)=a1+a2+a3+...+an。
如果我们想求S(n)的导数，可以将其看作函数关于自变量n的导数。
通过应用求导公式，我们可以得到S(n)的导数。
例如，如果数列中的元素遵循某种规律，可以通过对该规律进行数学建模，然后根据建模结果得到S(n)的导数函数。
综上所述，递增求和和求导是不同的概念和操作。
递增求和是指对数列按照一定规律进行求和，而求导是对函数关于自变量进行求导运算。
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
第一章 导数及其应用
[解] ∵p0＝1，∴p(t)＝(1＋5%)t＝1.05t.
根据基本初等函数的导数公式表，有p′(t)＝(1.05t)′＝
1.05t·ln1.05. ∴p′(10)＝1.0510·ln1.05≈0.08(元/年)． 因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/ 年的速度上涨．
[点拨] 在第10个年头，商品的价格上涨的速度，即
(2)若f(x)＝xn，则f′(x)＝②________. (3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝③________. (4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝④________. (5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝⑤________.
(6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝⑥________.
第一章 导数及其应用
[分析] 求函数的导数主要有直接求导和先变形然后 再求导两种方法，要注意正确区分．
[解]
(1)y′＝(tanx)′＝(
sinx cosx
)′＝
(sinx)′cosx－sinx(cosx)′ cos2x＋sin2x 1 ＝ (cosx)2 ＝cos2x. (cosx)2 (2)y′＝(3x2＋x· cosx)′＝(3x2)′＋(x· cosx)′＝6x＋ x′· cosx＋x· (cosx)′＝6x＋cosx－xsinx. x x 1 2 (3)y′＝[( x－2) －sin 2 · 2 ]′＝[( x－2) ]′－( 2 cos
关于数项级数求和的几种特殊方法
关于数项级数求和的几种特殊方法数项级数是指由一系列数相加所得的无穷级数。
求解数项级数的和是数学中的一个基本问题，涉及到许多特殊的求和方法。
以下将介绍几种常见的数项级数求和方法。
1.等差数列求和法：如果数项级数的通项形式是等差数列(an = a0 + nd)，其中a0为首项，d为公差，n为项数，则可以用等差数列的求和公式来求和。
求和公式为Sn = (n/2)(a0 + an)。
2. 几何级数求和法：如果数项级数的通项形式是几何级数(an =ar^n)，其中a为首项，r为公比，n为项数，则可以用几何级数的求和公式来求和。
当，r，<1时，求和公式为Sn = a(1 - r^n) / (1 - r)；当，r，>1时，数项级数的和为无穷，即Sn = ∞。
3. 收敛数项级数的逐项求和法：如果数项级数的每一项都是收敛的，即lim(n→∞) an = 0，则可以使用逐项求和法来求和。
逐项求和法是将级数中的每一项逐项相加，得到一个新的数列，然后求这个数列的极限，得到数项级数的和。
4. 绝对收敛数项级数的重排法：如果数项级数的每一项都是绝对收敛的，即级数Σ，an，是收敛的，则可以使用重排法来改变数项级数的次序，从而得到新的数项级数的和。
重排法的基本思想是将原数项级数中的正项和负项分别移到前面，并保持它们的相对位置不变，然后将分别得到的两个数项级数分别求和，再将两个数项级数的和相加。
应注意的是，只有在级数绝对收敛的情况下，可以使用重排法。
5. 幂级数求和法：如果数项级数的通项形式是幂级数(an = cnx^n)，其中c为常数，x为自变量，n为项数，则可以使用幂级数的求和公式来求和。
幂级数的求和公式是一个特殊的函数，称为幂函数。
通过幂函数的特性，可以将幂级数转化为一个已知的函数，并求出幂级数的和。
6.泰勒级数求和法：如果数项级数的通项形式是一个函数的泰勒级数展开，即级数的每一项都是函数在其中一点的导数值除以相应阶乘的结果，则可以使用泰勒级数的求和公式来求和。
高二数学数列求和试题答案及解析
高二数学数列求和试题答案及解析1.已知数列的前项和为，且，；数列中，点在直线上．（1）求数列和的通项公式；（2）设数列的前和为，求；【答案】（1），（2）【解析】（1）求数列的通项公式用公式法即可推导数列为等比数列，根据等比数列通项公式可求。
求的通项公式也用公式法，根据已知条件可知数列为等差数列，根据等差数列的通项公式可直接求得。
（2）用列项相消法求和。
试题解析：解：（1）∵，∴当时，…2分所以，即∴数列是等比数列．∵，∴∴． 5分∵点在直线上，∴，即数列是等差数列，又，∴．…7分（2）由题意可得，∴， 9分∴，…10分∴． 14分【考点】1求数列的通向公式；2数列求和。
2.数列的通项公式，则该数列的前（）项之和等于.A．B．C．D．【答案】B【解析】，令，解得.故选B.【考点】数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）3.设数列中，，则通项 ___________．【答案】．【解析】由已知得，即数列后项与前项的差，求它的通项公式的方法是的累加法，，＝．【考点】数列的求和．4.已知数列的前n项和，则（）A．20B．19C．18D．17【答案】C【解析】当时，有【考点】数列求通项点评：由数列前n项和求通项5.观察下列三角形数表：第一行第二行第三行第四行第五行………………………………………….假设第行的第二个数为.（1）依次写出第八行的所有8个数字；（2）归纳出的关系式，并求出的通项公式.【答案】（1）根据已知条件可知每一个数字等于肩上两个数之和，那么可知第八行中的8个数字为8,29,63,91,91,63,29,8（2）【解析】(1)8,29,63,91,91,63,29,8(规律：每行除首末数字外，每个数等于其肩上两数字之和)（2）由已知：，所以有：，, ,……,,将以上各式相加的：所以的通项公式为：。
【考点】累加法求解数列的通项公式点评：主要是考查了递推关系式的运用，结合累加法来求解数列的通项公式，属于基础题。
运用导数巧求数列和
运用导数巧求数列和数列是数学中的基础概念，是一系列按特定顺序排列的数的集合。
数列求和是指对数列中的所有数进行求和运算。
在数学中，比较常见的数列有等差数列和等比数列。
在一些情况下，为了方便计算数列的和，可以运用导数的巧妙方法，通过对数列进行求导和积分等运算，将求和问题转化为其他数学运算问题。
一、等差数列求和等差数列是指数列中相邻两项之间的差值是一个常数的数列。
在等差数列中，如果已知首项a1、末项aN和项数n，我们需要求解的就是数列的和Sn，即1+2+3+…+n的和。
对于等差数列，我们可以运用导数的巧妙方法进行求和。
步骤：1. 首先，假设原等差数列的首项为a1，公差为d，那么原数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
2. 对于数列的和Sn = a1+a2+a3+…+an，我们将其视为n的函数Sn，即Sn = Sn(n)。
3.接下来，我们对数列的和Sn进行求导，得到导数Sn’(n)。
4.然后，我们对Sn’(n)进行积分，得到Sn(n)，即数列的和。
举例：以等差数列1 + 2 + 3 + … + n为例，首项a1为1，公差d为1，通项公式为an = 1 + (n-1)1 = n。
1.对数列的和Sn进行求导，得到导数Sn’(n)：Sn’(n) = d/dn(1 + 2 + 3 + … + n) = d/dn(n(n+1)/2) = (2n +1)/22.对Sn’(n)进行积分，得到Sn(n)：Sn(n) = ∫[(2n + 1)/2]dn = (n^2 + n)/2所以，数列1+2+3+…+n的和为Sn(n)=(n^2+n)/2、通过运用导数的巧妙方法，我们成功地求解了等差数列1+2+3+…+n的和。
二、等比数列求和等比数列是指数列中相邻两项之间的比值是一个常数的数列。
在等比数列中，如果已知首项a1、末项aN和公比q，我们需要求解的就是数列的和Sn，即a1 + a2 + a3 + … + an的和。
导数在初等数学中的应用-毕业论
江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文导数在初等数学中的应用Application of Derivative inThe Elementary Mathematics姓名：胡磊学号：200907010052学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学指导老师：陈冬香（教授）完成时间：2013年4月25号导数在初等数学中的应用胡磊【摘要】导数是高中数学所接触的一个概念，它广泛地应用于众多数学模块中，如在函数的研究中，导数能更直观的形象的反应函数的部分性质，还有在判断方程的根；不等式的证明、恒等式的证明、数列求和、解析几何中都有广泛的应用。
在部分数学模块中，导数的引入给许多常规问题的解决提供了新的方法，突出导数在解决问题的优越性；并且归纳总结导数在应用时应注意的部分问题。
【关键词】导数初等数学解题方法应用Application of Derivative in the Elementary MathematicsHu Lei【Abstract】Derivative is a concept which is studied in high school mathematics. It is widely used in numerous math modules such as the research of the Function, in which Derivative can reflect Function’s partial properties more directly and magically. What’s more, Derivative also apply to the judgment of the Function Root, the certification of the Inequity and Identity, the summation of Number Sequence and the Analytic Geometry. In some math modules, the introduction of the Derivative provides new ways for many conventional problems which highlights its superiority in problem-solving. In addition, the essay also sums up and summarizes some problems in the application of the Derivative.【Key words】Derivative Mathematic Problem solving method Application目录1 引言 (1)2 研究导数在函数中的应用 (1)2.1 导数在研究函数的单调性中的作用 (1)2.2 导数在求函数的极值中的作用 (3)2.3利用导数求函数的值域 (4)3 研究导数在判别方程根中的应用 (4)4 研究导数在不等式中的应用 (6)5 研究导数在恒等式的证明中的应用 (8)6 导数在数列方面的应用 (10)7 研究导数的几何应用 (11)8 导数解决实际生活中的问题 (12)8.1 成本问题 (12)8.2 制作容器 (13)9 导数在应用时注意的部分问题 (14)总结 (15)参考文献 (16)致谢 (16)1 引言导数的思想最初是由法国数学家费马为研究极值问题而引入的，但是于导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线。
等比数列中知识点总结
等比数列中知识点总结一、等比数列的概念等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
具体而言，如果一个数列满足an=ar^(n-1)，其中a是首项，r是公比，n是项数，那么这个数列就是等比数列。
公比r是等比数列中相邻两项的比值，它代表着数列中每一项与前一项的比例关系。
二、等比数列的通项公式对于等比数列an=a1*r^(n-1)，我们可以通过求出前n项和来求解其通项公式。
等比数列的前n项和Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)。
通过这两个公式，我们可以方便地求解等比数列的通项公式，从而推导出数列中任意一项的值。
三、等比数列的性质1. 等比数列的前n项和公式在等比数列中，前n项和Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中a1是首项，r是公比，n是项数。
这个公式可以帮助我们快速计算出数列的前n项和，从而对数列进行更深入的分析和应用。
2. 等比数列的性质等比数列具有许多重要的性质，例如任意一项与它的前一项的比值都是相等的，序列中相邻两项的比值等于公比r等。
这些性质使得等比数列可以在实际问题中被广泛地应用，例如在金融、生物、工程等领域中。
3. 等比数列的图像等比数列的图像是一条直线，其斜率等于公比r。
通过绘制等比数列的图像，我们可以更直观地理解数列中项与项之间的比例关系，从而更深入地理解等比数列的性质和应用。
四、等比数列的应用等比数列在实际问题中有许多重要的应用，下面我们就来介绍一些常见的应用领域。
1. 财务投资在财务投资中，等比数列可以用来描述利息的增长规律。
例如，如果某个投资方案的收益率是一个固定的百分比，那么这个投资方案的收益可以用等比数列来描述。
通过等比数列的通项公式，我们可以轻松地计算出不同时间段内的收益总额。
2. 生物学在生物学研究中，等比数列可以用来描述生物种群的增长规律。
例如，如果某种动植物的数量每一代都以相同的比例增长，那么这个生物种群的数量可以用等比数列来描述。
通过等比数列的通项公式，我们可以预测未来某一时刻该种群的数量。
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导数在数列求和中的应用
导数进入中学数学教材，给传统的中学数学内容注入了新的生机与活力，怎样利用导数这个
工具重新认识原中学课程中求函数的极值和判断函数的单调性的问题，并为其研究提供新的
途径和方法，是当今中学数学中的新的课题之一，纵观目前各类刊物，对导数的研究多数停
留在函数，解析几何等内容上，而对其他方面关注较少，本文则从一个侧面介绍导数在一类
数列求和问题中的应用，以开阔学生视野，拓宽解决这类问题的方法。
高中数学教材必修5有一个习题：
求1+2x+3x2+…+nx(n-1)的和Sn。
编者的本意是分三种情况进行求和：
①x=0；②x=1；③x≠0且x≠1。
其中第③种情况要用错位相减的方法求。
现在就用导数的方法进行求解。
因为,(xn)’=nxn-1,而且x+x2+x3+…+xn=x(1-xn)/1-x (1)
对（1）式两边进行求导数运算，就有：
Sn=1+2x+3x2+…+nx(n-1)=(x+x2+x3+…+xn)’=[x(1-xn)/1-x]’
=1/(1-x)2[1-(n+1)xn+nxn+1]所以，用上面的方法就可以求通项为(xn+y)qn-1(x、y、q、为常数，其中q≠0且q≠1，x≠0，y≠0)的数列的前n项的和Sn。
因为,(xn+y)qn-1=xnqn-1+yqn-1；所以只需分别求数列{xnqn-1}与{yqn-1}的和，再相加就可以得Sn。
而数列{yq(n-1)}为等比数列，用公式求即可。
设数列{xnqn-1}与{yqn-1}的前n项的和分别为Tn和Dn，则Sn=Tn+Dn，其中Dn=y(1-qn)/1-q。
现在就形如{xnqn-1}的数列用导数运算的方法求其前项的n和Tn。
Tn=x(q0+2q1+3q2+4q3+…nqn-1)=x(q1+q2+q3+…qn)’=x[q(1-qn)/1-q]’
=x/(1-q)2[1-(n+1)qn+nqn+1]。
所以Sn=x/(1-q)2[1-(n+1)qn+nqn+1]+y(1-qn)/1-q （2）
下面就三个具体的数列进行求和运用。
1、an=2(3n-1)×1/3n；
2、bn=n×2(n+1)；
3、cn=(1-3n)×2n-2。
1、把数列{an}的通项变为an=(2n-2/3)×1/3n-1，取x=2,y=-2/3,q=1/3代入（2）式得：Sn=7/2-
1/2(6n+7)×1/3n。
2、把数列{bn}的通项变为bn=4n×2n-1取x=4,y=0,q=2代入（2）式得Sn=4[1+(n-1)×2n]。
3、把数列{cn}的通项变为cn=(-3/2n+1/2)×2n-1取x=3/2，y=1/2，q=2代入（2）式得Sn=-
2+(3n+4)×2n-1-3n×2n。
由上面的求法得出，求和的关键是通项的形式中q的指数必须是(n-1)，这样就避免了用错位
相减的方法的复杂计算。