导数数列结合
导数中的数列问题
高考数学押题系列——数列与导数最值的完美结合
领军教育高三数学 朱腾飞老师
导数解题题目，有一种题型是和数列相结合进行考查的，这类题目在求解时，往往要利用导数研究函数的最值，在根据自变量与通项公式之间的关系进行转化，这类题目的难点在于如何寻找函数中的自变量和数列通项公式的关系，这个考点在近些年的考题中略有体现，所以今天我们（微信公众号：高中数学题型研究）针对这个考点进行了整理，将我们相关的题目进行分析和整理，对考点和难点进行归纳，方便大家参考学习！
【题目一】（2017年新课标卷3理科21题）已知函数()1f x x alnx =−−．
（1）若()0f x ，求a 的值；
（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222
n m ++⋯+<，求m 的最小值．
【题目二】（2021年宝鸡市高考数学三模文科21题）已知函数2()2ln 1f x x x =−+.
（1）求函数()f x 的最大值；
（2）证明：*222572132ln(1),(23n n n N n
+++++>+∈）.
【题目三】（2021年宝鸡市高考数学三模理科20题）已知函数1()2ln .f x x x x
=−
− 求证：
（1）函数()f x 有且仅有一个零点； （2）
*35212ln(1),().1223(1)
n n n N n n ++++>+∈⋅⋅+ 【题目四】（2021年安徽宣城市高考数学模拟最后一卷文科21题）
已知函数f （x ）＝ae x ﹣x ﹣1．
（1）若f （x ）≥0对于任意的x 恒成立，求a 的取值范围；
（2）证明：1111ln(1)23n n
++++≥+对任意的*n N ∈恒成立．。
导数与数列结合题目
导数与数列结合题目一、背景介绍数列是数学中一个重要的概念，它由一系列按特定规则排列的数构成。
数列的性质和规律对于数学的发展和应用有着重要的影响。
而导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的计算和性质对于函数的研究和应用有着重要的意义。
在数学学习中，我们常常会遇到一些题目涉及到导数和数列的结合。
这些题目既考察了对导数和数列的理解，也考察了学生的解题能力和思维灵活性。
本文将介绍一些常见的导数与数列结合题目，并通过具体的例子进行说明和解答。
二、题目示例题目1：数列的导数已知数列 {an} 满足 an = 2n + 1，求数列的导数{a’n}。
解答：首先，我们需要知道数列的导数的定义。
对于数列 {an}，其导数{a’n} 的定义为：a’n = limh→0 (an+h - an) / h代入题目给定的数列 {an} = 2n + 1，得到：a’n = limh→0 ((2(n+h)+1) - (2n+1)) / h化简上式得：a’n = limh→0 (2h) / h由此可知，数列的导数{a’n} = 2。
题目2：数列的极限与导数已知数列 {an} 满足 a1 = 2，an+1 = an + 3 / an，求数列的极限。
解答：首先，我们先对数列 {an} 进行求导。
令 f(x) = x + 3 / x，根据导数的定义，有：f’(x) = limh→0 (f(x+h) - f(x)) / h代入 f(x) = x + 3 / x，得到：f’(x) = limh→0 ((x+h + 3 / (x+h)) - (x + 3 / x)) / h化简上式得：f’(x) = limh→0 (3h / (x(x+h))) / h通过化简，得到f’(x) = 3 / x^2。
接下来，我们考察数列 {an} 的极限。
根据题目中给定的递推关系式，我们可以得到数列 {an} 的通项公式：an = an-1 + 3 / an-1化简上式得：an^2 = an-1^2 + 3进一步推导，可得：an^2 - an-1^2 = 3再次化简，可得：(an + an-1) * (an - an-1) = 3由此可知，数列 {an} 是一个有界数列，其极限存在。
概率与数列、导数、函数和方程等知识交汇的创新题型
概率与数列、导数、函数和方程等知识交汇的创新题型ʏ河南省固始县信合外国语高级中学 胡云兵2019年高考全国Ⅰ卷首次把概率题作为压轴题出现,当时引起一片哗然,这是在传递什么信号?概率统计题何去何从?我们要如何备考带着这些问题,我们从近几年全国卷和部分省份的概率高考题,发现概率题增加难度,不是概率知识本身增加难度,而是难在概率与其他数学知识交汇处命题㊂下面通过几道高考题来说明概率与其他数学知识交汇的创新题型㊂一㊁概率与数列的交汇例1 (2019全国Ⅰ卷理数第21题)为治疗某种疾病,研制了甲㊁乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验㊂试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验㊂对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药㊂一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验㊂当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效㊂为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈,则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈,则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈,则两种药均得0分㊂甲㊁乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X ㊂(1)求X 的分布列㊂(2)若甲药㊁乙药在试验开始时都赋予4分,p i (i =0,1, ,8)表示 甲药的累计得分为i 时,最终认为甲药比乙药更有效 的概率,则p 0=0,p 8=1,p i =a p i -1+b p i +c p i +1(i =1,2, ,7),其中a =P (X =-1),b =P (X =0),c =P (X =1)㊂假设α=0.5,β=0.8㊂(i )证明:{p i +1-p i }(i =0,1,2, ,7)为等比数列;(i i)求p 4,并根据p 4的值解释这种试验方案的合理性㊂解析:(1)X 的所有可能取值为-1,0,1㊂P (X =-1)=(1-α)β,P (X =0)=αβ+(1-α)(1-β),P (X =1)=α(1-β)㊂故X 的分布列如表1㊂表1X -101P(1-α)βαβ+(1-α)(1-β)α(1-β)(2)(i )已知α=0.5,β=0.8,故由(1)得,a =0.4,b =0.5,c =0.1㊂因此,p i =0.4p i -1+0.5p i +0.1p i +1(i =1,2, ,7)㊂整理得0.1(p i +1-p i )=0.4(p i -p i -1),即p i +1-p i =4(p i -p i -1)㊂又p 1-p 0=p 1ʂ0,故{p i +1-p i }(i =0,1,2, ,7)为公比为4,首项为p 1的等比数列㊂(i i )由(i)可得:p 8=(p 8-p 7)+(p 7-p 6)+ +(p 1-p 0)+p 0=p 1(1-48)1-4=48-13p 1㊂因p 8=1,故p 1=348-1㊂因此,p 4=(p 4-p 3)+(p 3-p 2)+(p 2-p 1)+(p 1-p 0)+p 0=44-13p 1=1257㊂p 4表示最终认为甲药更有效的概率㊂由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p 4=1257ʈ0.0039,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理㊂点评:本题是函数与数列的综合题,主要考查数列和函数的应用,考查离散型随机变量的分布列㊂根据条件推出数列的递推关系是解决本题的关键㊂其本质仍然是常规的概率与统计问题,只是其中涉及了数列问题的应用,一般转化为等差㊁等比数列的定义㊁通项公式或者数列求和问题㊂二㊁概率与函数㊁方程和导数的交汇例2 (2021新高考Ⅱ卷第21题)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下63 解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代, ,该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=p i(i =0,1,2,3)㊂(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3 =0.1,求E(X)㊂(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程:p0+ p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根㊂求证:当E(X)ɤ1时,p=1;当E(X)>1时,p<1㊂(3)根据你的理解,请说明(2)问结论的实际含义㊂解析:(1)E(X)=0ˑ0.4+1ˑ0.3+2ˑ0.2+3ˑ0.1=1㊂(2)设f(x)=p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0㊂因为p3+p2+p1+p0=1,所以f(x)= p3x3+p2x2-(p2+p0+p3)x+p0㊂①若E(X)ɤ1,则p1+2p2+3p3ɤ1,故p2+2p3ɤp0㊂f'(x)=3p3x2+2p2x-(p2+p0+p3)㊂因为f'(0)=-(p2+p0+p3)<0, f'(1)=p2+2p3-p0ɤ0,所以f'(x)有两个不同零点x1,x2,且x1<0<1ɤx2㊂当xɪ(-ɕ,x1)ɣ(x2,+ɕ)时, f'(x)>0;当xɪ(x1,x2)时,f'(x)<0㊂故f(x)在(-ɕ,x1)上为增函数,在(x1,x2)上为减函数,在(x2,+ɕ)上为增函数㊂若x2=1,f(x)在(x2,+ɕ)为增函数且f(1)=0㊂而当xɪ(0,x2)时,因为f(x)在(x1,x2)上为减函数,所以f(x)>f(x2)= f(1)=0,故1为p0+p1x+p2x2+p3x3=x 的一个最小正实根㊂若x2>1,因为f(1)=0且在(0,x2)上为减函数,所以1为p0+p1x+p2x2+p3x3 =x的一个最小正实根㊂综上,若E(X)ɤ1,则p=1㊂②若E(X)>1,则p1+2p2+3p3>1,故p2+2p3>p0㊂此时f'(0)=-(p2+p0+p3)<0, f'(1)=p2+2p3-p0>0,故f'(x)有两个不同零点x3,x4,且x3<0<x4<1㊂当xɪ(-ɕ,x3)ɣ(x4,+ɕ)时, f'(x)>0;当xɪ(x3,x4)时,f'(x)<0㊂故f(x)在(-ɕ,x3)上为增函数,在(x3,x4)上为减函数,在(x4,+ɕ)上为增函数㊂而f(1)=0,故f(x4)<0㊂又f(0)=p0>0,故f(x)在(0,x4)存在一个零点p,且p<1㊂所以p为p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,此时p<1㊂故当E(X)>1时,p<1㊂(3)结论的实际含义:每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代必然灭绝;若繁殖后代的平均数超过1,则若干代后被灭绝的概率小于1㊂点评:在概率与统计的问题中,决策的工具是样本的数字特征或有关概率㊂决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案,这往往借助于函数㊁不等式或数列的有关性质去实现㊂例3(2018年全国Ⅰ卷理数第20题)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品进行检验,如检验出不合格品,则更换为合格品㊂检验时,先从这箱产品中任取20件进行检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品检验㊂设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是否为不合格品相互独立㊂(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0㊂(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p 的值㊂已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用㊂①若不对该箱余下的产品进行检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求E(X);73解题篇创新题追根溯源高二数学2023年4月Copyright©博看网. All Rights Reserved.②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验解析:(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C220p2㊃(1-p)18(0< p<1)㊂因此,f'(p)=C220[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2C220p(1-p)17(1-10p),0<p<1㊂令f'(p)=0,得p=0.1㊂当pɪ(0,0.1)时,f'(p)>0;当pɪ(0.1,1)时,f'(p)<0㊂所以f(p)的最大值点为p0=0.1㊂(2)由(1)知,p=0.1㊂①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X= 20ˑ2+25Y,即X=40+25Y㊂所以E(X)=E(40+25Y)=40+ 25E(Y)=40+25ˑ180ˑ0.1=490㊂②若对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费用为400元㊂由于E(X)>400,故应该对余下的产品作检验㊂点评:解决概率和函数㊁导数的综合问题,关键是读懂题意,将与概率有关的问题(尤其是最值问题)转化为函数问题,再利用函数或导数知识解决,在转化过程中,对已知条件进行适当变形㊁整理,使之与求解的结论建立联系,从而解决问题㊂三、概率与不等式的交汇例4(2017年江苏卷第23题)已知一个口袋有m个白球,n个黑球(m,nɪN*, nȡ2),这些球除颜色外完全相同㊂现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如表2所示的编号为1,2,3, ,m+n的抽屉内,其中第k次取球放入编号为k的抽屉(k=1,2, 3, ,m+n)㊂表2123 m+n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明:E(X)<n(m+n)(n-1)㊂解析:(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p=C n-1m+n-1C n m+n=nm+n㊂(2)随机变量X的概率分布如表3㊂表3X1n1n+11n+2 1k 1n+m PC n-1n-1C n m+nC n-1nC n m+nC n-1n+1C n m+nC n-1k-1C n m+nC n-1n+m-1C n m+n随机变量X的期望为:E(X)=ðm+n k=n1k㊃C n-1k-1C n m+n=1C n m+nðm+n k=n1k㊃(k-1)!(n-1)!(k-n)!㊂所以E(X)<1C n m+nðm+n k=n(k-2)!(n-1)!(k-n)!=1(n-1)C n m+nðm+n k=n(k-2)!(n-2)!(k-n)!=1(n-1)C n m+n(1+C n-2n-1+C n-2n+ + C n-2m+n-2)=1(n-1)C n m+n(C n-1n-1+C n-2n-1+C n-2n+ + C n-2m+n-2)=1(n-1)C n m+n(C n-1n+C n-2n+ + C n-2m+n-2)=1(n-1)C n m+n(C n-1m+n-2+C n-2m+n-2)=C n-1m+n-1(n-1)C n m+n=n(m+n)(n-1)㊂故E(X)<n(m+n)(n-1)㊂点评:本题表面看起来是概率问题,但是它重点恰在不等式,所以对于概率统计问题,我们要有意关注与其他数学知识的整合㊂同时也提醒我们要跳出固定思维模式,学会灵活处理问题的能力㊂(责任编辑徐利杰)8 3解题篇创新题追根溯源高二数学2023年4月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
导数在数列极限中的应用
导数在数列极限中的应用数列极限是数学中一种重要的概念，它可以帮助我们理解数学关系的本质，以及不同类型的数量间的联系。
导数在数列极限中也扮演着重要的角色。
其主要作用是描述数列中变化量的大小，从而使我们能够更好地分析数列的特征。
一般而言，导数可以是正数、负数或零。
当导数为正数时，数列的变化量是增大的，而当导数为负数时，数列的变化量是减小的。
此外，当导数为零时，数列的变化量是不变的。
这就是导数在数列极限中的应用函数的变化率可以用它来表示。
在数学分析中，导数还可以用来分析数列的特征。
例如，给定一个数列，当其第一项的导数大于零时，该数列一定是单调递增的；反之，当其第一项的导数小于等于零时，该数列一定是单调递减的。
此外，当一个数列的第二项的导数大于零时，该数列的变化量会越来越快，而当其第二项的导数小于零时，该数列的变化量会越来越慢。
这种性质很重要，因为它可以帮助我们更好地理解数列特征，从而使我们能够对特定数列进行更有效的分析。
此外，在研究极限和连续函数时，导数也可以发挥重要作用。
我们知道，连续函数在极限中是无穷小量，如果我们知道连续函数的导数值，那么就可以算出该函数的递增量，从而更好地理解其变化特征。
另外，导数在应用极限的概念时也有重要的作用。
在某些情况下，我们可以用导数来计算一个函数的极限。
这一点非常重要，因为极限有助于我们确定数列的构成以及数量的变化趋势。
总之，导数在数列极限中发挥着重要的作用。
它不仅可以帮助我们了解数列的特性，还可以用来计算连续函数的极限。
对于数学家而言，导数就像一个分析数学关系的桥梁，使我们能够理解更多的数学知识。
综上所述，导数是一种重要的数学概念，它在数列极限中的应用十分广泛。
要想更好地了解数列特征，必须熟练掌握导数的概念和计算方法，以及对导数的运用等方面的知识。
高中数学《导数和数列综合证明 (1)》导学案
高中数学《导数和数列综合证明（一）》导学案例2：已知：x x <+)1ln(2，（1）求证：）*2222()21...(81)41)(21(N n e n ∈<+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++（2）求证：*2()311)...(8111)(911(N n e n ∈<+++）（3）求证：（1+421）（1+431）…（1+41n）＜e )211ln(......)411ln()211ln()]211)...(411)(211ln[()1ln(12222222n n x x ++++++=+++∴<+ ）（e n n n n <+++∴<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++<)211)...(411)(211(12112112112121 (814121222),)311)...(8111)(911(21311213113113131......3131)311ln(......)8111ln()911()]311)...(8111)(911ln[(2212222e e n n n n n n =<+++∴<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++<++++++=+++∴）（ （3）ln[（1+421）（1+431）……(1+41n )]=ln[（1+421）（1+431）+…ln （1+41n ）＜221+231+…+21n＜)1(1321211-+⨯+⨯n n =1-21+21-31+…+n n 111--=1-n 1＜1∴（1+421）（1+431）……(1+41n )＜e 例3：设曲线y = f (x ) =cx bx x a ++23213在点x 处的切线斜率为k (x )，且k (-1) = 0.对一切实数x ，不等式).0()1(21)(2≠+≤≤a x x k x 恒成立（1）求f (1)的值；（2）求函数k (x )的表达式；（3）设数列)(1n k 的前n 项和为S n ，求证22+>n nS n解：（1）04)1(,0,00)(222≤--≤∆>∴≥-++++=ac b a x c bx ax c bx ax x k ①0)21)(21(4,0,021,02121222≤---≤∆<-∴≤--++c a b a x c bx ax ②又,4)1(1)1(),11(21)1(12a cb a k k k =++==∴+≤≤ 又1270)1(41=∴=∴f a（2）)0()(2≠++='=a c bx ax y x k ，由0)1(,1)1(=-=k k 得⎩⎨⎧=+-=++01c b a c b a 得⎪⎩⎪⎨⎧==+2121b c a 又)1(21)(2+≤≤x x k x 恒成立，则由)0(0212≠≥+-a c x ax 恒成立得410402141==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+≤-=∆>c a c a ac a 同理由02121)21(2≥-++-c x x a 恒成立得41==c a 综上，21,41===b c a 412141)(2++=∴x x k（3）∑=+++⨯+⨯>+++=ni n n n i k 122])2)(1(1431321[41])1(121[41)(1 22]2121[41+=+-=n n n 法二：和式代换，要证22+>n n S n ，即也证()1121+->-n n S n ，只需证：()()()21411222++=+--+>n n n n n n a n ，只需()()()21414)(12++>+=n n n n k ，且()322121114211=+>=+==S a ，故22+>n n S n。
导数与数列不等式结合解题技巧
导数与数列不等式结合是数学中一个重要的解题技巧，它涉及到函数的单调性、极值、最值等概念，以及数列的单调性、不等式性质等知识。
下面是一些导数与数列不等式结合解题的技巧：
1. 构造函数：根据题目条件，通过构造适当的函数，将问题转化为求函数的极值或最值问题。
2. 求导数：对构造的函数求导数，利用导数的性质判断函数的单调性。
3. 利用单调性：根据函数的单调性，结合数列不等式的性质，推导出不等式的结论。
4. 寻找临界点：在求解过程中，寻找函数的临界点，这些点可能是极值点或拐点，对于解决问题至关重要。
5. 转化问题：在解决问题时，有时需要将问题转化为其他形式，例如将不等式问题转化为函数问题，以便更好地利用已知条件和解题技巧。
6. 综合分析：在解题过程中，需要综合运用数学知识，如函数、导数、数列、不等式等，进行全面的分析和推理。
7. 检验结论：在得出结论后，需要进行检验，以确保结论的正确性和合理性。
总之，导数与数列不等式结合解题需要灵活运用各种数学知识和技巧，通过构造函数、求导数、利用单调性等方法，逐步推导出问题的结论。
同时需要注意检验结论的正确性和合理性。
运用导数巧求数列和
运用导数巧求数列和数列是数学中的基础概念，是一系列按特定顺序排列的数的集合。
数列求和是指对数列中的所有数进行求和运算。
在数学中，比较常见的数列有等差数列和等比数列。
在一些情况下，为了方便计算数列的和，可以运用导数的巧妙方法，通过对数列进行求导和积分等运算，将求和问题转化为其他数学运算问题。
一、等差数列求和等差数列是指数列中相邻两项之间的差值是一个常数的数列。
在等差数列中，如果已知首项a1、末项aN和项数n，我们需要求解的就是数列的和Sn，即1+2+3+…+n的和。
对于等差数列，我们可以运用导数的巧妙方法进行求和。
步骤：1. 首先，假设原等差数列的首项为a1，公差为d，那么原数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
2. 对于数列的和Sn = a1+a2+a3+…+an，我们将其视为n的函数Sn，即Sn = Sn(n)。
3.接下来，我们对数列的和Sn进行求导，得到导数Sn’(n)。
4.然后，我们对Sn’(n)进行积分，得到Sn(n)，即数列的和。
举例：以等差数列1 + 2 + 3 + … + n为例，首项a1为1，公差d为1，通项公式为an = 1 + (n-1)1 = n。
1.对数列的和Sn进行求导，得到导数Sn’(n)：Sn’(n) = d/dn(1 + 2 + 3 + … + n) = d/dn(n(n+1)/2) = (2n +1)/22.对Sn’(n)进行积分，得到Sn(n)：Sn(n) = ∫[(2n + 1)/2]dn = (n^2 + n)/2所以，数列1+2+3+…+n的和为Sn(n)=(n^2+n)/2、通过运用导数的巧妙方法，我们成功地求解了等差数列1+2+3+…+n的和。
二、等比数列求和等比数列是指数列中相邻两项之间的比值是一个常数的数列。
在等比数列中，如果已知首项a1、末项aN和公比q，我们需要求解的就是数列的和Sn，即a1 + a2 + a3 + … + an的和。
导数在数列中的应用
令 ｂｎ＝ａ′ｎ，则 ｂｎ＋１＝２ｂｎ＋１．
两边再对 ｎ求导，得 ｂ′ｎ＋１＝２ｂ′ｎ．
从而数列｛ｂ′ｎ｝是以 ｂ′１ 为首项，２为公比的等
比数列．
由等比数列的通项公式，ｂ′ｎ＝ｂ′１·２ｎ－１．
两边对
ｎ积分，得
ｂｎ
＝ｂ′１·２ｎ－１ ｌｎ２
＋Ｃ１．
从而 ａ′ｎ＝ｌｂｎ′２１·２ｎ－１＋Ｃ１． 两边再对 ｎ积分， 得 ａｎ＝（ｌｂｎ′２１）２·２ｎ－１＋Ｃ１ｎ＋Ｃ２． 令（ｌｂｎ′２１）２＝Ｃ，得 ａｎ＝Ｃ·２ｎ－１＋Ｃ１ｎ＋Ｃ２． 由 ａ１＝１，ａｎ＋１＝２ａｎ＋ｎ，ｎ∈Ｎ ， 可知 ａ１＝１，ａ２＝３，ａ３＝８．
２ 求数列的通项公式
例 ２ 已知数列｛ａｎ｝，首项 ａ１ ＝１，ａｎ＋１ ＝２ａｎ ＋ ｎ，ｎ∈Ｎ ，求数列｛ａｎ｝的通项公式．
如果此题用传统方式构造新数列来求数列通
项，构造过程难度较大，并且不容易计算，可以试着
用导数求解．
解：对 ａｎ＋１＝２ａｎ＋ｎ两边关于 ｎ求导，
得 ａ′ｎ＋１＝２ａ′ｎ＋１．
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（上接第 ７０页） ③把做错的原题在错题本上原原本本地抄一
遍，把原来错误的解法清晰地摘要在错本上，并在 下面留有一块空白；
④纠正错误．在明确错误的原因之后，还要一步 一步规范地在留下的空白处把原题再做一遍，以便 加深印象和逐步形成能力．
解题探索导数在数列中的应用许荣好江苏省苏州市吴中区江苏省外国语学校215100导数是高中数学的一个重要知识点是解决函数问题的一种重要方法为数学的发展起到了极大的推动作用
《数学之友》 ２０１８年第 ８期
解题探索
例 １ 已知数列｛ａｎ｝的通项 ａｎ ＝－３ｎ２ ＋１８ｎ， ｎ∈Ｎ，求使数列｛ａｎ｝取最大值时 ｎ的值．