高考数学数列+导数精编精讲练习

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专题17 函数与导数压轴解答题常考套路归类(精讲精练)(原卷版)

专题17 函数与导数压轴解答题常考套路归类【命题规律】函数与导数是高中数学的重要考查内容，同时也是高等数学的基础，其试题的难度呈逐年上升趋势，通过对近十年的高考数学试题，分析并归纳出五大考点：（1）含参函数的单调性、极值与最值；（2）函数的零点问题；（3）不等式恒成立与存在性问题；（4）函数不等式的证明．（5）导数中含三角函数形式的问题其中，对于函数不等式证明中极值点偏移、隐零点问题、含三角函数形式的问题探究和不等式的放缩应用这四类问题是目前高考函数与导数压轴题的热点．【核心考点目录】核心考点一：含参数函数单调性讨论核心考点二：导数与数列不等式的综合问题核心考点三：双变量问题核心考点四：证明不等式核心考点五：极最值问题核心考点六：零点问题核心考点七：不等式恒成立问题核心考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题核心考点九：利用导数解决一类整数问题核心考点十：导数中的同构问题核心考点十一：洛必达法则核心考点十二：导数与三角函数结合问题【真题回归】1．（2022·天津·统考高考真题）已知a b ∈R ，，函数()()sin ,x f x e a x g x =-=(1)求函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程； (2)若()y f x =和()y g x =有公共点，（i ）当0a =时，求b 的取值范围；（ii ）求证：22e a b +>．2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数()e ln(1)x f x x =+． (1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性； (3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．3．（2022·浙江·统考高考真题）设函数e()ln (0)2f x x x x=+>． (1)求()f x 的单调区间；(2)已知,a b ∈R ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭；（ⅰ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e6e 6e a ax x a --+<+<-．（注：e 2.71828=是自然对数的底数）4．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()e e ax x f x x =-． (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围； (3)设n *∈N21ln(1)n n +>++．5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+． (1)当0a =时，求()f x 的最大值；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围．6．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()ln xf x x a xx e -=+-．(1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <．7．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值． (1)求a ；(2)证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【方法技巧与总结】1、对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：（1）定函数（极值点为0x ），即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x 0．（2）构造函数，即根据极值点构造对称函数0()()(2)F x f x f x x =--，若证2120x x x > ，则令2()()()x F x f x f x=-．（3）判断单调性，即利用导数讨论()F x 的单调性．（4）比较大小，即判断函数()F x 在某段区间上的正负，并得出()f x 与0(2)f x x -的大小关系．（5）转化，即利用函数()f x 的单调性，将()f x 与0(2)f x x -的大小关系转化为x 与02x x -之间的关系，进而得到所证或所求．【注意】若要证明122x x f +⎛⎫' ⎪⎝⎭的符号问题，还需进一步讨论122x x +与x 0的大小，得出122x x +所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效2121212ln ln 2x x x xx x -+<-证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数； ②将所得含对数的等式进行变形得到1212ln ln x x x x --；③利用对数平均不等式来证明相应的问题．3、比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可．【核心考点】核心考点一：含参数函数单调性讨论【规律方法】1、导函数为含参一次型的函数单调性导函数的形式为含参一次函数时，首先讨论一次项系数为0，导函数的符号易于判断，当一次项系数不为雩，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数图像判定导函数的符号，写出函数的单调区间．2、导函数为含参二次型函数的单调性当主导函数（决定导函数符号的函数）为二次函数时，确定原函数单调区间的问题转化为探究该二次函数在给定区间上根的判定问题．对于此二次函数根的判定有两种情况：（1）若该二次函数不容易因式分解，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域；（2）若该二次函数容易因式分解，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而判断原函数的单调性．3、导函数为含参二阶求导型的函数单调性当无法直接通过解不等式得到一阶导函数的符号时，可对“主导”函数再次求导，使解题思路清晰．“再构造、再求导”是破解函数综合问题的强大武器．在此我们首先要清楚()()()f x f x f x '''、、之间的联系是如何判断原函数单调性的．（1）二次求导目的：通过()f x ''的符号，来判断()f x '的单调性；（2）通过赋特殊值找到()f x '的零点，来判断()f x '正负区间，进而得出()f x 单调性．【典型例题】例1．（2023春·山东济南·高三统考期中）已知三次函数()()32111212322f x ax a x x =+---.(1)当3a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程， (2)讨论()y f x =的单调性.例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2122ex f x x a x a -⎡⎤=+-+-⎣⎦，R a ∈，讨论函数()f x 单调性；例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()212ln 212f x a x x a x =+-+，a ∈R ，求()f x 的单调区间.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()22ln 211f x x ax a x a =---+∈R .求函数()f x 的单调区间；核心考点二：导数与数列不等式的综合问题【规律方法】在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可以达到减少运算量的目的．【典型例题】例5．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知函数()1ln f x x a x x=--.(1)若不等式()0f x ≥在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； (2)证明：()()()22211ln 21ni n n i i n n =+-⎛⎫>⎪+⎝⎭∑.例6．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知函数()e (2)2,x f x x a ax a =-++∈R ． (1)当1a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； (2)若不等式()0f x ≥对0x ∀≥恒成立，求实数a 的范围； (3)证明：当111,1ln(21)23n n n*∈++++<+N ．例7．（2023春·福建宁德·高三校考阶段练习）已知函数()e ax f x x =-（12a ≥）. (1)(0,1)x ∈，求证：1sin ln 1x x x<<-；(2)证明：111sin sin sin()23f n n+++<.(ln20.693,ln3 1.099≈≈)核心考点三：双变量问题【规律方法】破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．【典型例题】例8．（2023春·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）已知函数()()ln 1R f x x ax a =-+∈. (1)若过原点的一条直线l 与曲线()y f x =相切，求切点的横坐标；(2)若()f x 有两个零点12x x ，，且212x x >，证明：①1228>e x x ； ②2212220+>e x x .例9．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知函数2()e ,2xmx f x m =-∈R . (1)讨论()f x 极值点的个数；(2)若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明:()()122e f x f x m +<-.例10．（2023·全国·高三专题练习）巳知函数()ln(3)f x x x =+-. (1)求函数f （x ）的最大值; (2)若关于x 的方程e ln3,(0)3x a a a x +=>+有两个不等实数根x x ₁，₂，证明: 122e e x xa+>.核心考点四：证明不等式【规律方法】利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．（4）对数单身狗，指数找基友（5）凹凸反转，转化为最值问题（6）同构变形【典型例题】例11．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数()()22ln ,f x x ax bx a b =-+∈R ．(1)当0b =时，讨论()f x 的单调性;(2)设12,x x 为()f x 的两个不同零点，证明：当()0,x ∈+∞时，()()12212124sin 2e x x f x x x x +-+<++．例12．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知2()(ln 1)f x x x =+． (1)求()f x 的单调递增区间； (2)若124()()ef x f x +=，且12x x <，证明12ln()ln 21x x +>-．例13．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数()ln m x nf x x+=在()()1,1f 处的切线方程为1y =. (1)求实数m 和n 的值；(2)已知()(),A a f a ，()(),B b f b 是函数()f x 的图象上两点，且()()f a f b =，求证：()()ln ln 1a b ab +<+.核心考点五：极最值问题【规律方法】利用导数求函数的极最值问题．解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得极最值．只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的极最值又需引入新函数，对新函数再用导数进行求值、证明等操作．【典型例题】例14．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数()31,R 3f x x ax a a =-+∈.(1)当1a =-时，求()f x 在[]22-,上的最值； (2)讨论()f x 的极值点的个数.例15．（2023·江西景德镇·高三统考阶段练习）已知函数21()(2)e e,()2x f x x g x a x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，其中a 为大于0的常数，若()()()F x f x g x =-． (1)讨论()F x 的单调区间；(2)若()F x 在()1x t t =≠取得极小值，求()g t 的最小值．例16．（2023·浙江温州·统考模拟预测）已知0a >，函数()()()F x f x g x =-的最小值为2，其中1()e x f x -=，()ln()g x ax =．(1)求实数a 的值；(2)(0,)∀∈+∞x ，有(1)1(e )f x m kx k g x +-≥+-≥，求2mk k -的最大值．核心考点六：零点问题【规律方法】函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围．求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与x 轴（或直线y k =）在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．【典型例题】例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2e 2x m f x x m =+∈R ． (1)若存在0x >，使得()0f x <成立，求m 的取值范围；(2)若函数()()2e e x F x x f x =+-有三个不同的零点，求m 的取值范围．例18．（2023·全国·高三专题练习）设0a >，已知函数()e 2xf x a x =--，和()()ln 22g x x a x =-++⎡⎤⎣⎦.(1)若()f x 与()g x 有相同的最小值，求a 的值；(2)设()()()2ln 2F x f x g x a =++-有两个零点，求a 的取值范围.例19．（2023春·广西·高三期末）已知函数()()ln e axxf xg x x ax ==-，. (1)当1a =时，求函数()f x 的最大值；(2)若关于x 的方()()f x g x +=1有两个不同的实根，求实数a 的取值范围.核心考点七：不等式恒成立问题【规律方法】1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥．3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()y f x =，[],x a b ∈，()y g x =，[],x c d ∈．（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12f xg x <成立，则()()maxmin f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f xg x <成立，则()()maxmax f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f xg x <成立，则()()minmax f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f xg x =成立，则()f x 的值域是()g x 的值域的子集．【典型例题】例20．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知函数()ln 1f x x =+.(1)若函数()()1g x mf x x =+-的图象在1x =处的切线与直线2y x =平行，求函数()g x 在1x =处的切线方程；(2)求证：当12a ≤时，不等式()1af x a +≤在[1,e]上恒成立.例21．（2023·上海·高三专题练习）已知函数()(1)e (R x f x x ax a =--∈且a 为常数）. (1)当0a =，求函数()f x 的最小值；(2)若函数()f x 有2个极值点，求a 的取值范围；(3)若()ln e 1x f x x ≥-+对任意的,()0x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.例22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()e 1ln ln 0x f x a x a x a =+--⋅>．(1)若e a =，求函数()f x 的单调区间； (2)若不等式()1f x <在区间()1,+∞上有解，求实数a 的取值范围．核心考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题【规律方法】1、极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数)(x f 在0x x =处取得极值，且函数)(x f y =与直线b y =交于),(),,(21b x B b x A 两点，则AB 的中点为),2(21b x x M +，而往往2210x x x +≠．如下图所示．图1 极值点不偏移图2 极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程)(x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若0212x x x ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移；（2）若0212x x x >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0x 左偏；（3）若0212x x x <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0x 右偏．【典型例题】例23．（2022•浙江期中）已知函数()f x x lnx a =--有两个不同的零点1x ，2x ．（1）求实数a 的取值范围；（2）证明：121x x a +>+．例24．（2021春•汕头校级月考）已知，函数()f x lnx ax =-，其中a R ∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点， ()i 求a 的取值范围；()ii 设()f x 的两个零点分别为1x ，2x ，证明：212x x e >．例25．（2022•浙江开学）已知a R ∈，()ax f x x e -=⋅（其中e 为自然对数的底数）．（ⅰ）求函数()y f x =的单调区间；（ⅰ）若0a >，函数()y f x a =-有两个零点x ，2x ，求证：22122x x e +>．核心考点九：利用导数解决一类整数问题【规律方法】分离参数、分离函数、半分离【典型例题】例26．已知函数()ln 2f x x x =--．（1）求函数在()()1,1f 处的切线方程（2）证明：()f x 在区间()3,4内存在唯一的零点；（3）若对于任意的()1,x ∈+∞，都有()ln 1x x x k x +>-，求整数k 的最大值．例27．已知函数211()ln 2f x x x x a a ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，(0)a ≠．（1）当12a =时，求函数()fx 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）令2()()F x af x x =-，若()12F x ax <-在()1,x ∈+∞恒成立，求整数a 的最大值．（参考数据：4ln 33<，5ln 44<）．例28．已知函数()ln 2f x x x =--．（1）证明：()f x 在区间()3,4内存在唯一的零点；（2）若对于任意的()1,x ∈+∞，都有()ln 1x x x k x +>-，求整数k 的最大值．核心考点十：导数中的同构问题【规律方法】1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式2、同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程()0f a =和()0f b =呈现同构特征，则,a b 可视为方程()0f x =的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路>①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：()xf x x e =⋅，()xf x e x =±；寻找“亲戚函数”是关键；③信手拈来凑同构，凑常数、x 、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围．（3）在解析几何中的应用：如果()()1122,,,Ax y B x y 满足的方程为同构式，则,A B 为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线AB 的方程（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于(),n a n 与()1,1n a n --的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解【典型例题】例29．（2022·河北·高三阶段练习）已知函数()ln f x x x =．（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且b a a b =，证明：2111e a b<+<．例30．（2022·河南郑州·二模（文））已知函数()e 21e xf x x =⋅-+，()ln 2xg x x=+．（1）求函数()g x 的极值；（2）当x >0时，证明：()()f x g x ≥例31．（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））已知函数()()e x f x ax a =-∈R ．（1）讨论f （x ）的单调性．（2）若a ＝0，证明：对任意的x >1，都有()4333ln f x x x x x ≥-+．核心考点十一：洛必达法则【规律方法】法则1、若函数()f x 和()g x 满足下列条件：（1）()lim 0x af x →=及()lim 0x ag x →=；（2）在点a 的去心邻域()(),,a a a a εε-⋃+内，()f x 与()g x 可导且()0g x '≠；（3）()()limx af x lg x →'='，那么()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='．法则2、若函数()f x 和()g x 满足下列条件：（1）()lim 0x f x →∞=及()lim 0x g x →∞=；（2）0A ∃>，()f x 和()g x 在(),A -∞与(),A +∞上可导，且()0g x '≠；（3）()()limx f x l g x →∞'='，那么()()limx f x g x →∞=()()limx f x l g x →∞'='．法则3、若函数()f x 和()g x 满足下列条件：（1）()lim x af x →=∞及()lim x ag x →=∞；（2）在点a 的去心邻域()(),,a a a a εε-⋃+内，()f x 与()g x 可导且()0g x '≠；（3）()()limx af x lg x →'='，那么()()limx af xg x →=()()limx af x lg x →'='．注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：（1）将上面公式中的x a →，,x x →+∞→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则也成立．（2）洛必达法则可处理00，∞∞，0⋅∞，1∞，∞，，∞-∞型．（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞，0⋅∞，1∞，∞，，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限．（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．()()()()()()limlimlimx ax ax a f x f x f x g x g x g x →→→'''=='''，如满足条件，可继续使用洛必达法则．【典型例题】例32．已知函数()=ln (,)f x a x bx a b R +∈在12x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y -+=垂直．（1）求实数,a b 的值；（2）若[1,)x ∀∈+∞，不等式()(2)mf x m x x≤--恒成立，求实数m 的取值范围．例33．设函数()1x f x e -=-．（1）证明：当1x >-时，()1xf x x ≥+；（2）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求a 的取值范围．例34．设函数sin ()2cos xf x x=+．如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．22sin 2sin 2sin (sin )x x x x x x =-=-核心考点十二：导数与三角函数结合问题【规律方法】分段分析法【典型例题】例35．（2023·河南郑州·高三阶段练习）已知函数()1sin e xx f x x -=+，ππ,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦． (1)求证：()f x 在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；(2)当[]π,0x ∈-时，()sin e cos sin xf x x x k x --⎡⎤⎣⎦恒成立，求k 的取值范围．例36．（2023春·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）已知函数()sin ()cos f x x x a x =-+（a 为常数），函数3211()32g x x ax =+.(1)证明：（i ）当0x >时，sin x x >；（ii ）当0x <时，sin x x <；(2)证明：当0a ≥时，曲线()y f x =与曲线()y g x =有且只有一个公共点.例37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数π()e sin sin ,[0,π]4xf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.(1)若1a ≤，判断函数()f x 的单调性； (2)证明：e (π)1sin cos x x x x -+≥-.【新题速递】1．（2023·北京·高三专题练习）已知1x =是函数()()ln ln ln 21xf x x ax x=-+++的一个极值点． (1)求a 值；(2)判断()f x 的单调性；(3)是否存在实数m ，使得关于x 的不等式()f x m ≥的解集为()0,∞+?直接写出m 的取值范围．2．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知()214ln 2f x x x a x =-+． (1)若函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，证明：()()1210ln f x f x a +>-+．3．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知函数()()2e 21xf x x ax =+-，其中R a ∈，若()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程为210x by ++=． (1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在区间[]3,1-上的最值．4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()1f x x =-，()ln(1)g x m x =-，R m ∈. (1)若直线:20l x y -=与()y g x =在(0,(0))g 处的切线垂直，求m 的值；(2)若函数()()()h x g x f x =-存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()()1122x h x x h x >.5．（2023·北京·高三专题练习）已知函数()2e x f x =，直线:2l y x b =+与曲线()y f x =相切．(1)求实数b 的值；(2)若曲线()y af x =与直线l 有两个公共点，其横坐标分别为(,)m n m n <． ①求实数a 的取值范围； ②证明：()()1f m f n ⋅>．6．（2023春·陕西西安·高三统考期末）已知函数()()33ln af x x a x x=--+． (1)当0a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若[]1,e x ∀∈，()0f x <，求实数a 的取值范围．7．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数()31f x x ax =-+．(1)当1a =时，过点()1,0作曲线()y f x =的切线l ，求l 的方程； (2)当0a ≤时，对于任意0x >，证明：()cos f x x >．8．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数()22e xx f x ax +=++． (1)若()f x 单调递增，求a 的取值范围；(2)若()f x 有两个极值点12,x x ，其中12x x <，求证：2133x x a ->-．9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()43,R,04a f x x ax bx ab a =--∈≠ (1)若0b =，求函数()f x 的单调区间；(2)若存在0R x ∈，使得()()00f x x f x x =+-，设函数()y f x =的图像与x 轴的交点从左到右分别为A ，B ，C ，D ，证明：点B ，C 分别是线段AC 和线段BD 的黄金分割点.（注：若线段上的点将线段分割成两部分，且其中较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，则称此点为该线段的黄金分割点）10．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数()()2e e xf x x =-+，()()2112g x a x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()()ln 1ln h x x x a =-+，其中a 为常数，若()()()()F x f x g x h x =-+.(1)讨论()F x 的单调区间；(2)若()F x 在()1x t t =≠取得极小值，且()()f t mh t ≥恒成立，求实数m 的取值范围.11．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点P (2，0)作直线l 交抛物线于A ，B 两点．(1)若l 的倾斜角为π4，求△F AB 的面积；(2)过点A ，B 分别作抛物线C 的两条切线1l ，2l 且直线1l 与直线2l 相交于点M ，问：点M 是否在某定直线上？若在，求该定直线的方程，若不在，请说明理由．12．（2023春·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知函数()21ln 2f x x ax =-，()()21e 112x g x x ax a x =--+-，(1)求函数()y f x =的单调区间；(2)若对于定义域内任意x ，()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．。

2023年高考数学一轮复习精讲精练(新高考专用)专题25：导数的运算(含详解)

专题25:导数的运算精讲温故知新（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式： ①'0()C C =为常数；②1()'nn x nx-=；11()'()'n n n x nx x---==-；1()'()'m mn n n m m x x x n -== ③(sin )'cos x x=； ④(cos )'sin x x=-⑤()'x xe e = ⑥()'ln (0,1)x x a a a a a =>≠且；⑦1(ln )'x x =； ⑧1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠且法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号) 法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x ⋅-⋅=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)（2）复合函数(())y f g x =的导数求法：①换元，令()u g x =，则()y f u =②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =⋅③回代()u g x = 题型一：基本初等函数的导数例1：（2022·北京·人大附中模拟考试）已知函数()ln f x x =，则()f x '=（） A ．14xB ．12x C ．2xD ．1x举一反三1.（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高二期中）下列求导运算正确的是（）A ．cos sin 33ππ'⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()1e ln e ln x x x x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭C ．()1ln x x'=D ．()33x x '=2.（2022·全国·模拟预测（文））若直线l 与曲线2y x 和2249x y +=都相切，则l 的斜率为______．题型二：导数的加减运算例2：（2011·江西·高考真题（理））若,则的解集为A ．(0,)B ．(-1,0)(2,)C ．(2,)D ．(-1,0)举一反三1.（2022·贵州遵义·三模（文））已知函数()ln f x x x =+，()f x '为()f x 的导函数，则()e f '=_________．2.（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知函数()()()()20e 01x f x f x f x '=+--，则函数()f x =___________. 题型三：导数的乘除运算例3：（2018·天津·高考真题（文））已知函数f (x )=exlnx ，()'f x 为f (x )的导函数，则()'1f 的值为__________．举一反三1（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））函数cos ()e xxf x =的图象在0x =处切线的倾斜角为______．题型四：简单复合函数的导数例4：（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））若函数()f x 过点(0,2)，其导函数()cos(2)0,02f x A x A πϕϕ⎛⎫'=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f π=（）A ．0B ．12C 2D 2 举一反三1．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知函数2()3(ln )=-+f x x ax ，若21,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，()f x 在1x =处取得最大值，则实数a 的取值范围是（）A ．26,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,0]-∞C ．260,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．266,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭2．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知函数()cos2(0,πf x x x =∈，）在0x x =处的切线斜率为85，则00co sin s x x -=（）A ．35B ．35C ．D 题型六：求某点处的导数值例6：（2022·全国·高考真题（理））当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（） A ．1- B ．12-C ．12D ．1举一反三1.（2015·天津·高考真题（文））已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞，其中a 为实数，()f x '为()f x 的导函数，若()13f '=，则a 的值为_________．2．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知函数2()(0)e e x x f x f -'=-，则(0)f =__________.精练巩固提升一、单选题1．（2022·四川内江·模拟预测（理））若()cos f x x x =，则π2f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（）A ．π2B ．1C ．π2-D ．1-2．（2022·北京·北师大实验中学高二阶段练习）函数πsin 34y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的导数为（）A ．πcos 34x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B ．π3cos 34x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．πcos 34x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．π3sin 34x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3．（2022·全国·模拟预测（理））曲线12sin()2x y e x π-=-在点(1,1)-处的切线方程为（）A ．0x y -=B ．10ex y e --+=4．（2022·河南平顶山·一模（文））若2()24f x x x lnx =--，则()0f x '>的解集为( )A ．(0,)+∞B ．()()1,02,-⋃+∞C ．(2,)+∞D ．(1,0)-5．（2008·福建·高考真题（理））函数f (x )=cos x (x ∈R )的图象按向量(m ,0)平移后，得到函数()y f x '=-的图象，则m 的值可以为（）A ．2π B ．π C ．－πD ．－2π 6．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））曲线22x ay x +=+在点()1,b 处的切线方程为60kx y -+=，则k 的值为（）A ．1-B ．23-C ．12D ．17．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()21ln f x xf x '=+，则()1f '=（）A ．1B ．12-C ．-1D ．e8．（2022·全国·模拟预测）若存在函数()229f x x x =++，想求解出()f x 的图象与直线2x =，3x =和x 轴围成的面积，我们可以将()f x 转化为“()32193F x x x x a =+++”（其中a 为任意常数），用“()()32F F -”表示“()f x 的图象与直线2x =，3x =和x 轴围成的面积”.不难发现“()()F x f x '=”，我们称()F x 为()f x 的“面积函数”.那么函数()()2e 3104x g x x x =++的图象与直线2x =，3x =和x 轴围成的面积是（） A ．3239e 20e -B ．3261e 36e -C ．3257e 32e -D ．219e9．（2022·新疆·一模（理））若函数()f x 的导函数是奇函数，则()f x 的解析式可以是（） A ．()sin f x x x =+ B ．()32f x x x =+ C ．()1cos f x x =+D ．()2ln f x x x =+10．（2022·浙江·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对任意,()0x ∈+∞，都有()2()log 20f f x x -=．现已知()()17f a f a +'=，那么（）A ．(1,1.5)a ∈B ．(1.5,2)a ∈C ．(2,2.5)a ∈D ．(2.5,3)a ∈二、多选题11．（2022·辽宁·高二期中）下列函数中，求导正确的是（） A ．()1f x x =，()21f x x'=- B ．()ln f x x x =，()1ln f x x x'=+C ．()1=+x f x x ，()()211f x x '=+ D ．()()22e x f x x x =+，()()242e xf x x x '=++12．（2022·湖北·安陆第一高中高二期中）设函数()y f x =在区间(),a b 上的导函数为()f x ，()f x 在区间(),a b 上的导函数为()f x ''，若区间(),a b 上()0f x ''<，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凸函数”．已知()5421122012f x x mx x =--在()1,2上为“凸函数”则实数m 的取值范围的一个必要不充分条件为（） A ．1m >- B ．m 1≥ C ．1m D ．0m >三、填空题13．（2021·全国·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x _______． ①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()'f x 是奇函数． 14．（2020·全国·高考真题（文））设函数e ()xf x x a=+．若(1)4e f '=，则a =_________．15．（2022·全国·高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．16．（2014·安徽·高考真题（文））若直线与曲线满足下列两个条件：直线在点处与曲线相切；曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) ①直线在点处“切过”曲线：3y x =②直线在点处“切过”曲线：③直线在点处“切过”曲线： ④直线在点处“切过”曲线：⑤直线在点处“切过”曲线：专题25:导数的运算精讲温故知新（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：①'0()C C =为常数；②1()'nn x nx-=；11()'()'n n n x nx x---==-1()'m mn n m x x n -== ③(sin )'cos x x=； ④(cos )'sin x x=-⑤()'x xe e = ⑥()'ln (0,1)x x a a a a a =>≠且；⑦1(ln )'x x =； ⑧1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠且法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号) 法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x ⋅-⋅=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)（2）复合函数(())y f g x =的导数求法：①换元，令()u g x =，则()y f u =②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =⋅③回代()u g x = 题型一：基本初等函数的导数例1：（2022·北京·人大附中模拟考试）已知函数()ln f x x =，则()f x '=（） A ．14xB ．12x C ．2xD ．1x【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用求导公式直接计算作答. 【详解】因函数()ln f x x =，所以()1f x x'=. 故选：D 举一反三1.（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高二期中）下列求导运算正确的是（）A ．cos sin 33ππ'⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()1e ln e ln x x x x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭C ．()1ln x x'=D ．()33x x '=【答案】C 【解析】【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得；【详解】解：对于A ：cos 03π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B ：()()()1e ln e ln +e ln e ln x x x x x x x x x ⎛⎫'''==+ ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C ：()1ln x x'=，故C 正确；对于D ：()33ln 3x x '=，故D 错误；故选：C2.（2022·全国·模拟预测（文））若直线l 与曲线2y x 和2249x y +=都相切，则l 的斜率为______．【答案】±【解析】【分析】设出2yx 的切点坐标()2,m m ，求导，利用导数几何意义表达出切线斜率，写出切线方程，根据圆心到半径距离为半径列出方程，求出m =. 【详解】设2yx 的切点为()2,m m ，()2f x x '=，故()2f m m '=，则切线方程为：()22y m m x m -=-，即220mx y m --=圆心到圆的距离为2323=，解得：22m =或29-（舍去）所以m =l 的斜率为2m =±故答案为：22± 题型二：导数的加减运算例2：（2011·江西·高考真题（理））若,则的解集为A ．(0,)B ．(-1,0)(2,)C ．(2,)D ．(-1,0)【答案】C 【解析】【详解】()242'220,0,x x f x x x x--=-->>()()0,210,2x x x x >∴-+>∴>举一反三1.（2022·贵州遵义·三模（文））已知函数()ln f x x x =+，()f x '为()f x 的导函数，则()e f '=_________．【答案】11e+【解析】【分析】先求()f x '，再代入x =e 即可计算．【详解】∵()ln f x x x =+，∴()11f x x '=+，∴()1e 1ef '=+．故答案为：11e+．2.（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知函数()()()()20e 01x f x f x f x '=+--，则函数()f x =___________. 【答案】2e x x + 【解析】【分析】由导数的运算法则与赋值法求解【详解】由题意得()()00f f '=，且()()()()0e 201xf x f x f ''=+--，令0x =，得(0)1f =，故()2e xf x x =+故答案为：2e x x + 题型三：导数的乘除运算例3：（2018·天津·高考真题（文））已知函数f (x )=exlnx ，()'f x 为f (x )的导函数，则()'1f 的值为__________．【答案】e 【解析】【分析】首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由函数的解析式可得：11()ln ln x x x f x e x e e x x x '⎛⎫=⨯+⨯=+ ⎪⎝⎭，则11(1)ln11f e e '⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，即()'1f 的值为e ，故答案为e .点睛：本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 举一反三1（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））函数cos ()e xxf x =的图象在0x =处切线的倾斜角为______．【答案】34π 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义，结合倾斜角的定义求解作答. 【详解】由cos ()e x x f x =求导得：sin cos ()e xx xf x --'=，则(0)1f '=-，所以函数cos ()e x x f x =的图象在0x =处切线斜率为-1，倾斜角为34π. 故答案为：34π 题型四：简单复合函数的导数例4：（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））若函数()f x 过点，其导函数()cos(2)0,02f x A x A πϕϕ⎛⎫'=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f π=（）A ．0B ．12C 2D 2 【答案】D 【解析】【分析】由导函数过点,08π⎛⎫⎪⎝⎭和2)可以求出导函数解析式()2cos(2)4f x x π'=+，设()sin 24f x x h π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据函数()f x 过点2)，求出h ，再分析求解即可.【详解】因为导函数过点,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以cos 04A πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭220ϕϕ=，即tan 1ϕ=，又02πϕ<<，所以4πϕ=，所以()cos(2)4f x A x π'=+，根据图像易知()f x '过点2)，代入得2A =，所以()2cos(2)4f x x π'=+，所以设()sin 24f x x h π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 过点2)，所以sin 24h π+=所以22h =，所以2()sin 242f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以2()sin 242f ππ=+= D.举一反三1．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知函数2()3(ln )=-+f x x ax ，若21,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，()f x 在1x =处取得最大值，则实数a 的取值范围是（）A ．26,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,0]-∞C ．260,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．266,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据题意()(1)f x f ≤当21,e x ⎡⎤∈⎣⎦时恒成立，整理得()213(ln )a x x -≤，当21,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，()1y a x =-在()23(ln )g x x =图像的下方，结合图像分析处理．【详解】根据题意得()(1)f x f ≤当21,e x ⎡⎤∈⎣⎦时恒成立则23(ln )x ax a -+≤，即()213(ln )a x x -≤∴当21,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，()1y a x =-在()23(ln )g x x =图像的下方()6ln xg x x'=，则()10g '=，则0a ≤ 故选：B ．2．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知函数()cos2(0,πf x x x =∈，）在0x x =处的切线斜率为85，则00co sin s x x -=（）A ．35B ．35C ．35D 35【答案】D 【解析】【分析】由导数的几何意义与三角恒等变换公式求解【详解】由题意得()2sin 2(0,πf x x x '=-∈，），则082sin 25x -=，04sin 25x =-0205()49cos 1si )n (5x x -=--=，而0(0,π)x ∈，故00sin 0,cos 0x x ><，0035cos sin x x -=故选：D题型六：求某点处的导数值例6：（2022·全国·高考真题（理））当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（） A ．1- B ．12-C ．12D ．1【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知12f ，()10f '=即可解得,a b ，再根据()f x '即可解出．【详解】因为函数()f x 定义域为()0,∞+，所以依题可知，12f ，()10f '=，而()2a b f x x x '=-，所以2,0b a b =--=，即2,2a b =-=-，所以()222f x x x'=-+，因此函数()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，1x =时取最大值，满足题意，即有()112122f '=-+=-．故选：B. 举一反三1.（2015·天津·高考真题（文））已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞，其中a 为实数，()f x '为()f x 的导函数，若()13f '=，则a 的值为_________．【答案】3【解析】【详解】试题分析：'()ln f x a x a =+，所以'(1)3f a ==．考点：导数的运算．【名师点睛】(1)在解答过程中常见的错误有： ①商的求导中，符号判定错误． ②不能正确运用求导公式和求导法则． (2)求函数的导数应注意：①求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量． ②根式形式，先化为分数指数幂，再求导．③复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．2．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知函数2()(0)e e x x f x f -'=-，则(0)f =__________. 【答案】-2 【解析】【分析】利用复合函数求导法则求导，求出函数()f x ，再求函数值作答. 【详解】由函数2()(0)e e x x f x f -'=-求导得：2()2(0)e e x x f x f -''=+，当0x =时，(0)2(0)1f f ''=+，解得(0)1f '=-，因此，2()e e x x f x -=--，所以(0)2f =-. 故答案为：-2精练巩固提升一、单选题1．（2022·四川内江·模拟预测（理））若()cos f x x x =，则π2f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（）A ．π2B ．1C ．π2-D ．1-【答案】C【解析】利用导数公式直接计算求值. 【详解】因为()cos sin f x x x x '=-，所以ππ22f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭.故选：C2．（2022·北京·北师大实验中学高二阶段练习）函数πsin 34y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的导数为（）A ．πcos 34x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B ．π3cos 34x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．πcos 34x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．π3sin 34x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据复合函数求导链式法则x x y y μμ'''=，代入运算．【详解】令π34x μ=+，则()πsin 3cos 34y x μμ⎛⎫'''==+ ⎪⎝⎭故选：B ．3．（2022·全国·模拟预测（理））曲线12sin()2x y e x π-=-在点(1,1)-处的切线方程为（）A ．0x y -=B ．10ex y e --+=C ．10ex y e ---=D ．20x y --=【答案】D 【解析】【分析】根据切点和斜率求得切线方程. 【详解】因为12sin()2x y ex π-=-，所以1cos()2x y e x ππ-'=-，当1x =时，1y '=，所以曲线12sin()2x y e x π-=-在点(1,1)-处的切线的斜率1k =，所以所求切线方程为11y x +=-，即20x y --=.故选：D4．（2022·河南平顶山·一模（文））若2()24f x x x lnx =--，则()0f x '>的解集为( ) A ．(0,)+∞ B ．()()1,02,-⋃+∞ C ．(2,)+∞ D ．(1,0)-【答案】C 【解析】【分析】由题意，可先求出函数的定义域及函数的导数，再解出不等式()0f x '>的解集与函数的定义域取交集，即可选出正确选项．【详解】解：由题，()f x 的定义域为(0,)+∞，4()22f x x x'=--，令4220x x-->，整理得220x x -->，解得2x >或1x <-，结合函数的定义域知，()0f x '>的解集为(2,)+∞．故选：C ．5．（2008·福建·高考真题（理））函数f (x )=cos x (x ∈R )的图象按向量(m ,0)平移后，得到函数()y f x '=-的图象，则m 的值可以为（） A ．2πB ．πC ．－πD ．－2π 【答案】A 【解析】【分析】根据求导公式求出()'f x ，由三角函数图象的平移变换可得cos()y x m =-，结合诱导公式即可得出结果. 【详解】()sin y f x x ='=-，而f (x )=cos x (x ∈R )的图象按向量(m ,0)平移后得到cos()y x m =-，所以cos()sin x m x -=，故m 可以为2π．故选：A 6．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））曲线22x ay x +=+在点()1,b 处的切线方程为60kx y -+=，则k 的值为（）A ．1-B ．23-C ．12D ．1【答案】A 【解析】【分析】依据题意列出关于a b k 、、的方程组，即可求得k 的值【详解】由切点()1,b 在曲线上，得23ab +=①；由切点()1,b 在切线上，得60k b -+=②；对曲线求导得()242ay x -'=+，∴2143x ay k ='-==，即49a k -=③，联立①②③236049a b k b a k+⎧=⎪⎪-+=⎨⎪-=⎪⎩，解之得1351a b k =⎧⎪=⎨⎪=-⎩故选：A.7．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()21ln f x xf x '=+，则()1f '=（）A ．1B ．12-C ．-1D ．e【答案】C 【解析】【分析】求得()f x '，令1x =，即可求得结果. 【详解】因为()()21ln f x xf x '=+，所以()()121f x f x''=+，所以()()1211f f ''=+，解得()11f '=-．故选：C .8．（2022·全国·模拟预测）若存在函数()229f x x x =++，想求解出()f x 的图象与直线2x =，3x =和x 轴围成的面积，我们可以将()f x 转化为“()32193F x x x x a =+++”（其中a 为任意常数），用“()()32F F -”表示“()f x 的图象与直线2x =，3x =和x 轴围成的面积”.不难发现“()()F x f x '=”，我们称()F x 为()f x 的“面积函数”.那么函数()()2e 3104x g x x x =++的图象与直线2x =，3x =和x 轴围成的面积是（） A ．3239e 20e - B ．3261e 36e - C ．3257e 32e - D ．219e【答案】A 【解析】【分析】由导数的运算法则及新定义下的面积计算公式即可求解. 【详解】解：由题意，不妨设()()2e x G x ax bx c =++，其中()()()2e 3104x G x g x x x '==++，则()()2e 2x G x ax b a x c b '⎡⎤=++++⎣⎦，∴32104a b a c b =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得340a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴()()2e 34x G x x x =+，∴()()323239e 20e G G -=-，即函数()()2e 3104x g x x x =++的图象与直线2x =，3x =和x轴围成的面积是3239e 20e -，故选：A.9．（2022·新疆·一模（理））若函数()f x 的导函数是奇函数，则()f x 的解析式可以是（） A ．()sin f x x x =+ B ．()32f x x x =+C ．()1cos f x x =+D ．()2ln f x x x =+【答案】C 【解析】【分析】分别对四个选项中的函数求导，再利用函数奇偶性的定义判断即可得正确选项. 【详解】对于A ：由()sin f x x x =+，得()1cos f x x '=+定义域为R 关于原点对称，()()1cos f x x f x ''-=+=，所以()1cos f x x '=+是偶函数，故选项A 不正确；对于B ：由()32f x x x =+，得()232f x x x '=+，定义域为R 关于原点对称，()232f x x x '-=-，()()11f f '-≠'，()()11f f -≠'-'，所以()232f x x x '=+既不是奇函数也不是偶函数，故选项B 不正确；对于C ：由()1cos f x x =+，得()sin f x x '=-是奇函数，故选项C 正确；对于D ：由()2ln f x x x =+，得()12f x x x'=+，定义域为{}0x x >不关于原点对称，()12f x x x '=+既不是奇函数也不是偶函数，故选项D 不正确；故选：C.10．（2022·浙江·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对任意,()0x ∈+∞，都有()2()log 20f f x x -=．现已知()()17f a f a +'=，那么（）A ．(1,1.5)a ∈B ．(1.5,2)a ∈C ．(2,2.5)a ∈D ．(2.5,3)a ∈【答案】D 【解析】【分析】先由()2()log 20f f x x -=求出2()16log f x x =+，再由()()17f a f a +'=得到21log 10ln 2a a --=，结合单调性和零点存在定理进行判断即可. 【详解】不妨设2()log f x x m -=，则()20f m =，所以2log 2016m m m +=⇒=，得2()16log f x x =+，1()ln 2f x x '=，因为()()17f a f a +'=，所以21log 10ln 2a a --=．令21()log 1ln 2g a a a =--，易得()g a 在(0,)+∞上单调递增，因为227ln118(3)log 3103ln 23ln 2g -=--=>，52531255ln 2ln 25ln 21ln 42410244(2.5)log 2.5102.5ln 25ln 25ln 25ln 25ln 2g ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭=--===<<，由零点存在定理知：(2.5,3)a ∈. 故选：D ．二、多选题11．（2022·辽宁·高二期中）下列函数中，求导正确的是（） A ．()1f x x =，()21f x x'=- B ．()ln f x x x =，()1ln f x x x'=+C ．()1=+x f x x ，()()211f x x '=+ D ．()()22e x f x x x =+，()()242e xf x x x '=++【答案】ACD【解析】【分析】根据基本初等函数的求导公式及运算法则即可求解. 【详解】解：对于A ，()1f x x =，()21f x x'=-，则A 正确；对于B ，()ln f x x x =，()1ln ln 1f x x x x x'=+⋅=+，则B 错误；对于C ，()1=+x f x x ，()()()221111x x f x x x +-'==++，则C 正确；对于D ，()()22e x f x x x =+，()()()()2222e 2e 42e x x xf x x x x x x '=+++++=，则D 正确．故选：ACD.12．（2022·湖北·安陆第一高中高二期中）设函数()y f x =在区间(),a b 上的导函数为()f x ，()f x 在区间(),a b 上的导函数为()f x ''，若区间(),a b 上()0f x ''<，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凸函数”．已知()5421122012f x x mx x =--在()1,2上为“凸函数”则实数m 的取值范围的一个必要不充分条件为（） A ．1m >- B ．m 1≥ C ．1m D ．0m >【答案】AD 【解析】【分析】先求出函数()f x 的二阶导函数，由“凸函数”的定义可得()0f x ''<在()1,2上成立，整理不等式，可将问题转化为2max 4m x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭在()1,2上成立，再构造函数()24g x x x=-，利用导函数判断()g x 在()1,2x ∈的取值范围，即可得到充要条件，进而根据必要不充分条件与充要条件的关系得到答案. 【详解】由题，()4311443f x x mx x '=--，()324f x x mx ''=--，若()f x 在()1,2上为“凸函数”，则()3240f x x mx ''=--<在()1,2上成立，即2max 4m x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，()1,2x ∈，令()24g x x x =-，()1,2x ∈，则()381g x x '=+>0，所以()g x 在()1,2上单调递增，所以()()21g x g <=，所以m 1≥，为充要条件，由选项可知，必要不充分条件可以是：1m >-或0m >，故选：AD. 三、填空题13．（2021·全国·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x _______．①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()'f x 是奇函数．【答案】()4f x x =（答案不唯一，()()2*n x N f n x =∈均满足）【解析】【分析】根据幂函数的性质可得所求的()f x . 【详解】取()4f x x =，则()()()()44421121122x f x f x x x x f x x ===，满足①， ()34f x x '=，0x >时有()0f x '>，满足②， ()34f x x '=的定义域为R ，又()()34f x x f x ''-=-=-，故()f x '是奇函数，满足③.故答案为：()4f x x =（答案不唯一，()()2*n x N f n x =∈均满足）14．（2020·全国·高考真题（文））设函数e ()xf x x a=+．若(1)4e f '=，则a =_________．【答案】1 【解析】【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a 的方程，解方程即可确定实数a 的值【详解】由函数的解析式可得：()()()()()221x xx e x a e e x a f x x a x a +-+-'==++，则：()()()()12211111e a aef a a ⨯+-'==++，据此可得：()241aee a =+，整理可得：2210a a -+=，解得：1a =. 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题. 15．（2022·全国·高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．【答案】()(),40,∞∞--⋃+ 【解析】【分析】设出切点横坐标0x ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于0x 的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a 的取值范围. 【详解】∵()e x y x a =+，∴(1)e x y x a '=++，设切点为()00,x y ,则()000e x y x a =+,切线斜率()001e x k x a =++, 切线方程为：()()()00000e 1e x xy x a x a x x -+=++-, ∵切线过原点，∴()()()00000e 1e x xx a x a x -+=++-,整理得：2000x ax a +-=,∵切线有两条，∴240a a ∆=+>,解得4a 或0a >,∴a 的取值范围是()(),40,-∞-+∞,故答案为：()(),40,-∞-+∞16．（2014·安徽·高考真题（文））若直线与曲线满足下列两个条件：直线在点处与曲线相切；曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) ①直线在点处“切过”曲线：3y x = ②直线在点处“切过”曲线：③直线在点处“切过”曲线： ④直线在点处“切过”曲线： ⑤直线在点处“切过”曲线：【答案】①③④【解析】【详解】试题分析：由题意，①3y x =上在处的切线方程为0x =，曲线在附近位于切线的两侧，满足条件；②上在()1,0P -处的切线方程为0x =，曲线在附近位于切线的同侧，不满足条件；③上在处的切线方程为y x =，曲线在附近位于切线的两侧，满足条件；④上在处的切线方程为y x =，曲线在附近位于切线的两侧，满足条件；⑤上在1,0P 处的切线方程为1y x =-，曲线在附近位于切线的同侧，不满足条件.故选①③④.如下图：考点：1.函数的切线方程；2.对定义的理解.。

高中数学专题练习《数列、导数知识点》含详细解析

数列、导数知识点一、等差数列1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,即a n+1-a n=d(n∈N*,d为常数).2.等差中项:由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项,且2A=a+b.3.通项公式:等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,则其通项公式为a n=a1+(n-1)d.4.前n项和公式:S n=n(a1+a n)2=na1+n(n-1)2d(n∈N*).5.性质:(1)通项公式的推广:a n=a m+(n-m)d(m,n∈N*).(2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则有a m+a n=a p+a q.(3)数列S m,S2m-S m,S3m-S2m,…也是等差数列.(4)数列{a n}是等差数列⇔S n=An2+Bn(A,B为常数).(5)在等差数列{a n}中,若a1>0,d<0,则S n存在最大值;若a1<0,d>0,则S n存在最小值.二、等比数列 1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,即a na n-1=q(n≥2,n∈N*,q为非零常数).2.等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.此时,G2=ab.3.通项公式:等比数列{a n}的首项为a1,公比为q,则其通项公式为a n=a1q n-1.4.前n项和公式:S n ,=a1-a n q1-q,q≠1.5.性质:(1)通项公式的推广:a n=a m q n-m(m,n∈N*).(2)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则有a k·a l=a m·a n.(3)当q≠-1或q=-1且n为奇数时,S n,S2n-S n,S3n-S2n,…仍成等比数列,其公比为q n.三、求一元函数的导数1.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=c(c为常数)f'(x)=0f(x)=xα(α∈Q,且α≠0)f'(x)=αxα-1f(x)=sin x f'(x)=cos xf(x)=cos x f'(x)=-sin xf(x)=a x(a>0,且a≠1)f'(x)=a x ln af(x)=e x f'(x)=e xf(x)=log a x(a>0,且a≠1)f'(x)=1x ln af(x)=ln x f'(x)=1x 2.导数的四则运算法则已知两个函数f(x),g(x)的导数分别为f'(x),g'(x).若f'(x),g'(x)存在,则有:(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);(2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);(g(x)≠0).'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]23.简单复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x.四、导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数一般地,函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系:在某个区间(a,b)上,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增;在某个区间(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.2.函数的极值与导数f'(x0)=0条件x0附近的左侧f'(x)>0,右侧x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0 f'(x)<0图象极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值x0为极大值点x0为极小值点点 3.函数的最大(小)值与导数(1)如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值, f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值, f(b)为函数的最小值.(3)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.。

5.2 导数的运算(精讲)(原卷版)人教版高中数学精讲精练选择性必修二

【例 2】（2023 秋·高二课时练习）求下列函数 y f x 的导数：
(1) f x 2xe e2 ；(2) f x ex cos x ；(3) f x x 1 ；(4) f x ln x ．
x2
sin x
【一隅三反】
1．（2023 春·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考阶段练习）求下列函数的导数．
(1) f x 2x 12 ； (2) f x ln 4x 1 ； (3) f x 23x2 (4) f x 5x 4 ；
考点四切线方程
【例 4】（2023·云南）已知函数 f x x3 x 16 ． (1)求曲线 y f x 在点 2, 6 处的切线方程； (2)直线 l 为曲线 y f x 的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标．
5.2 导数的运算（精讲）
考点一导数公式求函数的导数
【例 1】（2023 春·高二课时练习）求下列函数的导数.
(1)
y
x12
；(2)
y
1 x4
；(3)
y
3x
；(4)
y
ln
x
；(5)
y
cos
x.
【一隅三反】
1．（2023·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)
f
x
5
x4
；(2)
f
x
lg
x
；(3)
(1) y ln x 1 ；(2) y x
2x2
1
3x 1 ；(3)
y
x
1 sin x ；(4) 2
y
cos x ex
．
2．（2023 秋·陕西西安·高二统考期末）求下列函数的导数． (1) y sin x 2x 2 ； (2) y cos x ln x ； (3) y ex ．

高考数学(精讲+精练+精析)专题3_1 导数以及运算试题文(含解析)

专题3.1 导数以及运算试题文【三年高考】1. 【2016高考四川文科】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( ) (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 【答案】A2．[2016高考新课标Ⅲ文数]已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在(1,2)处的切线方程式_____________________________. 【答案】2y x =【解析】当0x >时，0x -<，则1()x f x e x --=+．又因为()f x 为偶函数，所以1()()x f x f x e x -=-=+，所以1()1x f x e-'=+，则切线斜率为(1)2f '=，所以切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．3．【2016高考新课标2文数】已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；（Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围.4．【2016高考北京文数】（本小题13分）设函数()32.f x x ax bx c =+++（I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围；（III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.【解析】（I ）由()32f x x ax bx c =+++，得()232f x x ax b '=++．因为()0f c =，()0f b '=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y bx c =+．（II ）当4a b ==时，()3244f x x x x c =+++，所以()2384f x x x '=++．令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或23x =-．()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：x(),2-∞-2-22,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭23-2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()f x '+-0 +()f xc3227c -所以，当0c >且32027c -<时，存在()14,2x ∈--，222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()()()1230f x f x f x ===．由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点．5．【2015高考天津，文11】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为．【答案】3【解析】因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==.6. 【2015高考新课标1，文14】已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则 a = . 【答案】1【解析】∵2()31f x ax '=+，∴(1)31f a '=+，即切线斜率31k a =+，又∵(1)2f a =+，∴切点为（1，2a +），∵切线过（2,7），∴273112a a +-=+-，解得a =1.7.【2015高考陕西，文15】函数xy xe =在其极值点处的切线方程为____________.【答案】1y e=-8.【2015高考广东，文21】设a 为实数，函数()()()21f x x a x a a a =-+---．（1）若()01f ≤，求a 的取值范围；（2）讨论()f x 的单调性；（3）当2a ≥时，讨论()4f x x+在区间()0,+∞内的零点个数．【解析】（1）22(0)f a a a a a a =+-+=+，因为()01f ≤，所以1≤+a a ，当0≤a 时，10≤，显然成立；当0>a ，则有12≤a ，所以21≤a .所以210≤<a . 综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.（2）()⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥--=ax a x a x a x x a x x f ,2)12(,12)(22,对于()x a x u 1221--=，其对称轴为a a a x <-=-=21212，开口向上，所以)(x f 在),(+∞a 上单调递增；对于()a x a x u 21221++-=，其对称轴为a a a x >+=+=21212，开口向上，所以)(x f 在),(a -∞上单调递减.综上所述，)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减.（3）由（2）得)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),0(a 上单调递减，所以2min )()(a a a f x f -==.(ii)当2>a 时，2min )()(a a a f x f -==，当),0(a x ∈时，42)0(>=a f ，2)(a a a f -=，而xy 4-=在),0(a x ∈上单调递增，当a x =时，a y 4-=.下面比较2)(a a a f -=与a4-的大小,因为0)2)(2()4()4(2232<++--=---=---a a a a a a a a a a ,所以aa a a f 4)(2-<-=结合图象不难得当2>a 时，)(x f y =与x y 4-=有两个交点. 综上所述，当2=a 时，()4f x x+有一个零点2x =；当2>a 时，()4f x x+有两个零点. 9.【2015高考重庆，文19】已知函数32()f x ax x =+（a R ∈）在x=43-处取得极值. (Ⅰ)确定a 的值，(Ⅱ)若()()xg x f x e =，讨论的单调性.【解析】略10. 【2014高考安徽卷文第15题】若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) ①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3yx =②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y ③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln = 【答案】①③④11. 【2014高考湖南卷文第9题】若1201x x <<<，则（）A.2121ln ln xxe e x x ->- B.2121ln ln xxe e x x -<- C.1221xxx e x e > D.1221xxx e x e <【答案】C12. 【2014高考重庆文第19题】已知函数23ln 4)(--+=x x a x x f ，其中R a ∈，且曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线垂直于x y 21=. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间与极值. 【解析】（Ⅰ）对()f x 求导得()2114a f x x x '=--，由()f x 在点()()1,1f 处切线垂直于直线12y x =知()32,4f x a '=--=-解得54a =；【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 导数及运算是高考的热点，年年都出题，作为导数应用时求导中用到,一般不单独命题,导数的几何意义有时作为选择题,填空题单独命题，有时作为解答题的第一问，难度中档左右．【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式, 导数重点考查一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，与三角函数等的求导公式，导数运算重点是高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商的运算方法，试题的命制往往与导数的应用结合，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，它只作为解题的一部分，难度不大，只需会运用公式求导即可．因此在2017年高考备考中应狠下功夫,掌握求导公式,会灵活应用求导法则,理解导数的几何意义即可.在2016年高考考查了导数的运算，新课标1卷没有对导数的几何意义进行考查, 预测2017年可能会对导数的几何意义进行考查,对函数与其它函数积与商的导数运算是必考．【2017年高考考点定位】高考对导数的运算，导数的几何意义的考查，一般不单独出题，特别是导数的运算，往往和导数的几何意义，导数的应用结合起来，作为第一步求导来进一步研究导数其它应用. 考点一、导数的基本运算【备考知识梳理】1．常见函数的导出公式．（１）0)(='C （C 为常数）；（２）1)(-⋅='n nxn x ；（３）x x cos )(sin ='；（４）x x sin )(cos -='；（5）()'ln xxaaa =；（6）()'x xe e =；（7）()1log '(0ln a x a x a =>且1)a ≠；（8）()1ln 'x x=． 2．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''Cu Cu =法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）． 3.形如y=f [x (ϕ])的函数称为复合函数．复合函数求导步骤：分解——求导——回代．法则：y ＇|X = y ＇|U ·u＇|X 【规律方法技巧】(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．【考点针对训练】（1）求)11(32x x x x y ++=的导数；（2）求)11)(1(-+=xx y 的导数；（3）求2cos 2sin x x x y -=的导数；（4）求y=x x sin 2的导数；（5）求y ＝xx x x x 9532-+-的导数【解析】（1）2311xx y ++= ,.2332'x x y -=∴ （2）先化简,2121111-+-=-+-⋅=xx xx xx y ，∴.112121212321'⎪⎭⎫⎝⎛+-=--=--x x x x y考点二、导数的几何意义【备考知识梳理】函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率．也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）．相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）．【规律方法技巧】求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数()y f x =在0x x =的导数，即曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率；（2）在已知切点()()00,P x f x 和斜率的条件下，求得切线方程()()()000y f x f x x x '-=-特别地，当曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线平行于y 轴时（此时导数不存在），可由切线的定义知切线方程为0x x =；当切点未知时，可以先设出切点坐标，再求解. 【考点针对训练】1. 【2016年河南郑州高三二模】曲线3)(3+-=x x x f 在点P 处的切线平行于直线12-=x y ，则P 点的坐标为（）A ．)3,1(B ．)3,1(-C ．)3,1(和)3,1(-D ．)3,1(- 【答案】C.【解析】因2'()31f x x =-，令'()2f x =，故23121x x -=⇒=或1-，所以(1,3)P 或(1,3)-，经检验，点(1,3)，(1,3)-均不在直线21y x =-上，故选C ．2. 【河南八市2016年4月高三质检卷】.已知曲线x ay e +=与2(1)y x =-恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围为________ 【答案】223ln -∞-（，）．【应试技巧点拨】1. 利用导数求切线问题中的“在”与“过”在解决曲线的切线问题时，利用导数求切线的斜率是非常重要的一类方法.在求解过程中特别注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的要切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个.因此在审题时应首先判断是“在”还是“过”.若“在”，利用该点出的导数为直线的斜率，便可直接求解；若“过”，解决问题关键是设切点，利用“待定切点法”,即：设点A （x 0,y 0）是曲线y=f(x)上的一点，则以A 为切点的切线方程为y －y 0=f ))((00/x x x -,再根据题意求出切点.2.函数切线的相关问题的解决，抓住两个关键点：其一，切点是交点；其二，在切点处的导数是切线的斜率．因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系——方程(组)．其三，求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异．过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上；在点P 处的切线，点P 是切点．二年模拟1. 【2016届海南省农垦中学高三考前押题】曲线21cos sin sin -+=x x x y在点)0,4(πM 处的切线的倾斜角为（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．65π【答案】A【解析】由已知得x x x x x x x x x y 2sin 11)cos (sin )sin (cos sin )cos (sin cos 2+=+--+='在点)0,4(πM 处的斜率21=k ，则倾斜角为6π,故选A.2. 【2016届吉林大学附中高三第二次模拟】已知a b ，为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则22a b+的取值范围（）（A ）1(0)2，（B ）(01)，（C ）(0)+∞，（D ）[1)+∞，【答案】A3. 【2016年河南省商丘市高三第三模】曲线)0(>=a x a y 与曲线x y ln =有公共点，且在公共点处的切线相同，则a 的值为（）A ．eB ．2e C ．2-e D ．1-e【答案】D【解析】设公共切点横坐标为0x ,1''21211222y ax y x x -===,依题意有00001ln 2122x x x x ⎧=⎪⎪⎨=,两式相除得200002ln ,x x x x e ==,故01a ex ==． 4. 【2016届重庆一中高三5月模拟考试】设曲线11x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线30ax y ++=有相同的方向向量,则a 等于（） A ．-12 B ．12C. -2 D ．2 【答案】B【解析】因为()12111x y f x x x +===+--，()()22'1f x x =--，在点()3,2处的切线与直线30ax y ++=有相同的方向向量，所以()()2221'34231f a =-=-=-=--，12a =，故选B.5. 【2016届重庆一中高三5月模拟考试】设函数32()f x ax bx cx d =+++有两个极值点12,x x ，若点11(,())P x f x 为坐标原点，点22(,())Q x f x 在圆22:(2)(3)1C x y -+-=上运动时，则函数()f x 图象的切线斜率的最大值为（） A.32+B.23+C. 22+D. 33+【答案】D6. 【2016届海南省华侨中学高三考前模拟】已知函数()32f x x ax bx c =+++在定义域[]2,2x ∈-上表示的曲线过原点，且在1x =±处的切线斜率均为1-．有以下命题：①()f x 是奇函数；②若()f x 在[],s t内递减，则t s -的最大值为4；③若()f x 的最大值为M ，最小值为m ，则0m M +=；④若对[]2,2x ∀∈-，()k f x '≤恒成立，则k 的最大值为2．其中正确命题的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】由题意得函数过原点，则0c =．又()232f x x ax b '=++．则必有()()13211321f a b f a b '=++=-⎧⎪⎨'-=-+=-⎪⎩，解得04a b =⎧⎨=-⎩，所以()34f x x x =-．令()2340f x x '=-=得233x =±．则函数在[]2,2-上的最小值是负数．由此得函数图象大致如图：得出结论是：①③正确；②④错误．故选B ．7. 【2016江西师大附中高三上学期期末】已知函数()y f x =的图象在点()()2,2M f 处的切线方程是4y x =+，则()()22f f '+=．【答案】7【解析】由函数在某点的导数等于函数在该点的切线的斜率可知1)2(='f ，有点M 必在切线上，代入切线方程4y x =+，可得6)2(=f ，所以有7)2()2(=+'f f ．8. 【2016届重庆一中高三下高考适应性考试】一条斜率为1的直线与曲线：xy e =和曲线：24y x =分别相切于不同两点，则这两点间的距离等于． 29.【2016届辽宁省大连师大附中高三模拟】已知函数321()2,()()3x f x x x ax b g x e cx d =+++=+，且函数()f x 的导函数为()f x '，若曲线()f x 和曲线()g x 都过点A （0,2），且在点A 处有相同的切线42y x =+．（1）求,,,a b c d 的值；（2）若2x -≥时，()()2,mg x f x '-≥求实数m 的取值范围.10. 【2016届贵州省贵阳六中高三5月高考模拟】已知函数()223=+-x f x e x x . （1）求曲线()=y f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求证函数()f x 在区间[)0,1上存在唯一的极值点，并利用二分法求函数取得极值时相应x 的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据.0.32.7, 1.6, 1.3≈≈≈e e e ）.【解析】（1） ()'43=+-x f x e x ，则()11=-f e ，∴曲线()=y f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()()111-+=+-y e e x ，即：()120+--=e x y .（2）∵()()0'0320,'110=-=-<=+>f e f e ，∴()()'0'10⋅<f f ，令()()'43==+-x h x f x e x ，则()()'40,'=+>x h x e f x 在[]0,1上单调递增，∴()'f x 在[]0,1上存在唯一零点，()f x 在[]0,1上存在唯一的极值点.取区间[]0,1作为起始区间，用二分法逐次计算如下由上表可知区间[]0.3,0.6的长度为0.3，所以该区间的中点20.45x =，到区间端点的距离小于0.2，因此可作为误差不超过0.2一个极值点的相应x 的值，∴函数()=y f x 取得极值时，相应0.45≈x .11. 【河南省开封市2015届高三上学期定位考试】函数()ln f x x ax =+存在与直线20x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围是（）A ．(],2-∞B ．(),2-∞C ．()2,+∞D ．()0,+∞ 【答案】B12. 【湖北省重点中学2015届高三上学期第三次月考试题】已知函数()f x 的导数为()f x '，且满足关系式2()3(2)ln f x x xf x '=++，则(2)f '的值等于（）A.2-B.2C.94- D. 94【答案】C.【解析】因为2()3(2)ln f x x xf x '=++，所以x f x x f 1)2(32)(''++=，所以21)2(322)2(''++⨯=f f ，解之得49)2('-=f .故应选C. 13.【河南许昌平顶山新乡三市2015届10月高三第一次调研】设()x f 是定义在R 上的奇函数，且()02=-f ，当0>x 时，有()()02>-'x x f x f x 恒成立，则不等式()0>x xf 的解集是A 、()()+∞-,20,2B 、()()2,00,2 -C 、()()2,02, -∞-D 、()()+∞-∞-,22, 【答案】D14.【2015届山东省青岛市高三下学期第二次模拟】已知函数1()1ln a f x x x=-+（a 为实数）．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的图象在点11(,())22f 处的切线方程；（Ⅱ）设函数2()32h a a a λ=-（其中λ为常数），若函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，且存在a 满足()≥h a 18+λ，求λ的取值范围．【解析】（Ⅰ）当1a =时，11()1ln f x x x =-+，211()f x x x '=-，则1()4222f '=-=，1()12ln 2ln 212f =-+=-，∴函数()f x 的图象在点11(,())22f 的切线方程为：1(ln 21)2()2y x --=-，即2ln 220x y -+-= ；（Ⅱ）221()a a xf x x x x-'=-=，由()0f x '=x a ⇒=，由于函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，所以0≤a 或2≥a ，由于存在a 满足()≥h a 18+λ，所以max ()≥h a 18+λ，对于函数2()32h a a a λ=-，对称轴34a λ=，①当304λ≤或324λ≥，即0λ≤或83λ≥时，2max 39()()48h a h λλ==，由max ()≥h a 18+λ29188⇒≥+λλ，结合0λ≤或83λ≥可得：19≤-λ或83λ≥，②当3014λ<≤，即403λ<≤时，max ()(0)0h a h ==，由max ()≥h a 18+λ108⇒≥+λ，结合403λ<≤可知：λ不存在；③当3124λ<<，即4833λ<<时，max ()(2)68h a h λ==-；由max ()≥h a 18+λ1688⇒-≥+λλ，结合4833λ<<可知：13883≤<λ ，综上可知：19≤-λ 或138≥λ ．15.【2015届北京市东城区5月综合练习】已知函数325()2f x x x ax b =+++ ,327()ln 2g x x x x b =+++，（a ，b 为常数）．（Ⅰ）若()g x 在1x =处的切线过点(0,5)-，求b 的值；（Ⅱ）设函数()f x 的导函数为()f x '，若关于x 的方程()()f x x xf x '-=有唯一解，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）令()()()F x f x g x =-，若函数()F x 存在极值，且所有极值之和大于5ln 2+，求实数a 的取值范围．（Ⅲ）2()ln ,F x ax x x =--所以221'()x ax F x x-+=-．因为()F x 存在极值，所以221'()0x ax F x x-+=-=在),0(+∞上有根，即方程0122=+-ax x在),0(+∞上有根，则有2=80a ∆-≥．显然当=0∆时，()F x 无极值，不合题意；所以方程必有两个不等正根．记方程0122=+-ax x 的两根为21,x x ，则12121022x x a x x ⎧=>⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，2212121212()()()()(ln ln )F x F x a x x x x x x +=+-+-+21ln 14222-+-=a a >15ln 2- , 解得162>a ，满足0∆>．又1202ax x +=>，即0a >，故所求a 的取值范围是),4(+∞．拓展试题以及解析 1. 已知函数()2115πsin()42f x x x =--，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象是（）【答案】A【入选理由】本题主要考查诱导公式、基本初等函数的求导法则、函数的图象等知识，意在考查学生的识图能力、逻辑思维能力.此题难度不大，出题角度较新，故选此题． 2．函数21()ln 2f x xx ax 存在与直线03=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围是（） A. ),0(+∞ B. )2,(-∞ C. ),2(+∞ D. ]1,(-∞【答案】D【解析】因为1()fx x a x'=++，直线的03=-y x 的斜率为3，由题意知方程13x a x ++=（0x ）有解，因为12xx，所以1a ，故选D ．【入选理由】本题考查导数的几何意义、基本不等式等基础知识，意在考查转化与化归的思想和基本运算能力．本题导数的几何意义巧妙地与基本不等式结合起来，出题方式新颖，试题难度不大，同时对导数运算的深层次考查，体现灵活运用导数知识解决问题能力；故选此题.3.已知函数1,0,()2,0x x a x f x x a x ⎧++>⎪=⎨⎪+≤⎩，若方程()f x x =-有且仅有一解，则实数a 的取值范围为_______. 【答案】[1,){22}-+∞-【入选理由】本题考查函数图象，函数单调性，利用导数求切线等基础知识，意在考查分析问题的能力、基本运算能力及推理能力．本题比较综合，出题方式新颖，试题难度不大，故选此题. 4.已知函数2ln ()xf x x bx a=++(a,b R)∈，若(x)f 在点(1,f(1))的切线为1y x =+，则a b += . 【答案】0【解析】切点(1,f(1))代入切线1y x =+得，(1)112f =+=，故(1)012f b =++=，求得b=1，求导得1'()21f x x ax =++，切线斜率1'(1)212,1k f a a==++=∴=-,0a b ∴+=. 【入选理由】本题考查导数与函数、切线方程，结合转化思想和和函数思想求切线方程问题,意在考查分析问题的能力、基本运算能力及推理能力．本题比较常规，是高考经常考的题型,故选此题.5.已知函数()4ln f x x x ，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为_____．【答案】310x y 【解析】易得1()4f x x，则(1)3f ，又因为(1)4f ，所以切线方程为43(1)y x ，即310x y ．【入选理由】本题考查导数的几何意义等基础知识，意在考查基本运算能力.本题比较常规，是高考经常考的题型,故选此题.6.已知函数32()f x ax bx =+，()ln g x k x =，若()f x 在3x =处的切线平行于直线122270x y +-=，且()10f '=.(Ⅰ)求函数()f x 的解析式；(Ⅱ)若对任意的[1,)x ∈+∞，()()f x g x '≤恒成立，求实数k 的取值范围.【入选理由】本题考查利用导数研究曲线上在某点处的切线方程,函数解析式的求解及常用方法,利用导数研究函数的最大值、最小值问题等基础知识，意在考查综合分析问题、解决问题的能力和基本运算能力．本题比较综合，特别是第二问恒成立问题是高考常考题型，故选此题.7. 已知函数()ln .a f x x ax x =-+ (Ⅰ) 若函数()f x 在1x =处的切线过点(0,)a ，求a 的值；（Ⅱ）若01a <<，求证：2()02a f >；（Ⅲ）若()f x 恰有三个不同的零点，求a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)因为21()a f x a x x'=--，所以(1)12f a k '=-=，又(1)10f a k a -==--，所以12, 1.a a a -=-= （Ⅱ）因为223322()ln 2ln ln 22222a a a a f a a a =-+=-+-，所以令32()2ln ln 22a g a a a=-+-，则242223234(1)()22a a a g a a a a -+-'=--=．因为01a <<，所以()0g a '<，从而1()(1)2ln 202g a g >=-->，即2()02a f >.【入选理由】本题考查导数几何意义、利用导数证明不等式、利用导数研究函数零点等基础知识，意在考查学生转化与化归能力、综合分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力．本题比较综合，特别是第二问证明不等式问题是高考常考题型，故选此题.8.已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？（2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间；（3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合.【解析】（1）()x f x e '=，∴(0)1f '=，又(0)1f =，∴()y f x =在0x =处的切线方程为1y x =+，又()2g x ax b '=+，∴(0)g b '=，又(0)1g =，∴()y g x =在0x =处的切线方程为1y bx =+，所以当0,a a R ≠∈且1b =时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线.（2）由1a =，21()x x bx h x e ++=，∴2(2)1()xx b x b h x e -+-+-'=，∴2(2)1(1)((1))()x x x b x b x x b h x e e-+-+----'==-，由()0h x '=，得11x =，21x b =-， ∴当0b >时，函数()y h x =的减区间为(,1)b -∞-，(1,)+∞；当0b =时，函数()y h x =的减区间为(,)-∞+∞；当0b <时，函数()y h x =的减区间为(,1)-∞，(1,)b -+∞.【入选理由】本小题主要考查利用导数求切线方程，利用导数求单调区间及最值，不等式恒成立等基础知识，考查学生转化与化归能力、综合分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力．本题比较综合，本题比较综合，出题方式新颖，故选此题.。

5.2 导数的运算(精讲)(解析版)--人教版高中数学精讲精练选择性必修二

2x 1 1 2 1
（2）
2 2x 1
2x 1 ，
y
x 2x 1 ， y
2x 1 x 2x 1
2x 1
2x 1 x
2x 1 2x 1
x 1
2x 1 2x 1
.
（3） y 2x 3sin 2x 5 ，
y 2sin 2x 5 2x 3 2cos2x 5 2sin 2x 5 4x 6cos2x 5 .
(6)
y
sin
sin x
x cos
x
．
【答案】(1) 6x2
6x (2) 2x2 4 x 12 (3)
1 (4) xn1ex n x (5) 3x2 sin x x3 1
x ln 2
sin2 x
cos x
1 (6) 1 sin 2 x
【解析】（1） y
2x3
3x2
5 6x2 6x .
(5) f (x) cos x 4x cos x 4 4sin x
(6)
f
(x)
1 (x 1)2
2x
ln 2
(7)
f
x
1 x2
lnx
1
【解析】（1）由 y 3cos x 4 sin x 2ex ，可得 y 3sinx 4cosx 2ex
（2）由
y
log 2
x 3x
，可得
y
1 xln 2
3x ln3
（3）由
y
x2
sin
x
cos x x
，可得
y
2 xsinx
x2cosx
x sinx
cosx 2x
2xsinx
x2cosx

第9练导数的概念及运算(解析版)-2023年高考数学一轮复习精讲精练宝典(新高考专用)

第9练导数的概念及运算学校____________ 姓名____________ 班级____________一、单选题1．已知曲线()()e xf x x a =+在点()()1,1f --处的切线与直线210x y +-=垂直，则实数a的值为（）A ．e 2-B ．2e C ．e 2-D ．e 2【答案】D 【详解】由()()e x f x x a =+，得()()()e e 1e x x xf x a x x a '=++=++，则()e1af '-=，因为曲线()()e xf x x a =+在点()()1,1f --处的切线与直线210x y +-=垂直，所以1e 2a=，故e 2a =.故选：D.2．若点P 是曲线2ln y x x =-上任一点，则点P 到直线60x y --=的最小距离是（）AB．C．D．【答案】C 【详解】解：设与直线60x y --=平行的直线与曲线2ln y x x =-切于()00,P x y ，由2ln y x x =-定义域为()0,∞+，得12y x x'=-，则0001|2x x y x x ='=-，由00121x x -=，解得01x =（舍去负值）．()1,1P ∴，则点P 到直线60x y --==故选：C ．3．曲线33y x x =-在点()2,2处的切线斜率是（）A ．9B ．6C ．3-D ．1-【答案】A 【详解】解：∵()()()()32332322696y x x x x x ∆=+∆-+∆-+=∆+∆+∆，∴()296y x x x∆=+∆+∆∆，∴()200lim9lim 96x x y x x x ∆→∆→∆+⎡∆⎤=⎣+∆⎦=∆，由导数的几何意义可知，曲线33y x x =-在点()2,2处的切线斜率是9；故选：A4．下列导数运算正确的是（）A ．()2222'+=+x xB ．cos sin 66ππ'⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．'=D ．()e e x x--'=【答案】C 【详解】对于A ，()222x x '+=，A 错误；对于B ，cos 06π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，B 错误；对于C ，'=C 正确；对于D ，()e e x x --'=-，D 错误.故选：C.5．已知函数()()22ln 223f x x f x x '=+++，则()1f =（）A ．－2B ．2C ．－4D ．4【答案】D 【详解】解：()()2222f x f x x''=++，则()()21422f f ''=++，解得()21f '=-，所以()22ln 23=-++f x x x x ，故()11234f =-++=．故选：D6．方程()log 00,1xa a a =>≠有两个不相等实根，则a 的取值范围是（）A ．()0,1B ．2e 0,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2e 1,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2e e ,【答案】C 【详解】方程()log 00,1x a a a =>≠有两个不相等实根)log 0,1xa a a ⇒>≠有两个不同的交点，()0t t =>，所以2x t =，则2log =a t t ，所以log =2a t t ，所以log a y t =与2t y =的图象有两个交点.①当01a <<时，如下图可知log a y t =与2ty =的图象有一个交点，不满足.②当1a >时，如下图，当2x y =与log a y x =相切于点00,2x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1ln y x a '=，则000112ln log 2a x a x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：02e e e x a =⎧⎪⎨⎪=⎩，所以要使log a y t =与2t y =的图象有两个交点，所以a的取值范围是：2e 1,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C.7．若y ax b =+是()ln f x x x =的切线，则a b +的取值范围为（）A ．[)1,-+∞B ．[)1,+∞C ．(],0-∞D ．[]1,0-【答案】C 【详解】解：设点()000,ln x x x （00x >）是函数()ln f x x x =图象上任意一点，由()ln 1f x x '=+，00()ln 1f x x '=+，所以过点()000,ln x x x 的切线方程为0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-，即00(ln 1)y x x x =+-，0ln 1a x ∴=+，0b x =-，所以00ln 1a b x x +=+-令()ln 1g x x x =+-，()0,x ∈+∞，所以()111x g x xx -'=-=，所以当01x <<时()0g x '>，当1x >时()0g x '<，所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 10g x g ==，所以()0g x ≤，即(],0a b +∈-∞；故选：C8．已知曲线()40y x x x=+<在点P 处的切线与直线310x y -+=垂直，则点P 的横坐标为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】B 【详解】设()()40f x x x x =+<，点00(,)P x y ，则()241f x x '=-，由在点P 处的切线与直线310x y -+=垂直可得()03f x '=-，即20413x -=-，又00x <，∴01x =-,故选：B9．已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（）A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【答案】C 【详解】解：对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭为奇函数，则，当4x π=时，，与图象相符；对于D ，2()sin 1()4g x xy f x x ==+，是奇函数，，当4x π=时，，与图象不符，所以排除选项D.故选：C.10．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '．若()05f =，且()()2f x f x '->，则使不等式()3e 2x f x ≤+成立的x 的值可能为( )A ．－2B ．－1C ．12-D ．2【答案】D 【详解】设()()2e xf x F x -=，则()()()2e xf x f x F x '-+'=，∵()()2f x f x '->，∴()()20f x f x '-+<，∴()0F x '<，即()F x 在定义域R 上单调递减．∵()05f =，∴()03F =，∴不等式()3e 2xf x ≤+等价于()23e xf x -≤，即()()0F x F ≤，解得0x ≥，结合选项可知，只有D 符合题意．故选：D ．二、多选题11．函数()f x 的导函数为()f x '，若已知()f x '的图像如图，则下列说法正确的是（）A ．()f x 一定存在极大值点B ．()f x 有两个极值点C ．()f x 在(),a -∞单调递增D ．()f x 在x ＝0处的切线与x 轴平行【答案】ACD 【详解】由导函数()f x '的图象可知，当x a <时()0f x '≥，当x a >时()0f x '<，当0x =或x a =时()0f x '=，则()f x 在(),a -∞上单调递增，在(),a +∞上单调递减，所以函数()f x 在x a =处取得极大值，且只有一个极值点，故AC 正确，B 错误；因为()00f '=，所以曲线()y f x =在0x =处切线的斜率等于零，即()f x 在x ＝0处的切线与x 轴平行，故D 正确.故选：ACD.12．若函数()()ln 2f x x x =+，则（）A ．()f x 的定义域是()0,∞+B ．()f x 有两个零点C ．()f x 在点()()1,1f --处切线的斜率为1-D ．()f x 在()0,∞+递增【答案】BCD 【详解】对于A ：函数的定义域是()2,-+∞，故A 错误；对于B ：令()0f x =，即()ln 20x x +=，解得：0x =或1x =-，故函数()f x 有2个零点，故B 正确；对于C ：斜率()()11ln 12112k f -'=-=-++=--+，故C 正确；对于D ：()()ln 22xf x x x '=+++，0x >时，()ln 20x +>，02xx >+，故()0f x '>，()f x 在()0,∞+单调递增，故D 正确.故选：BCD.13．下列求导运算正确的有（）A ．()()()221221x x '+=+B ．'=C ．()21log ln 2x x '=D ．()sin cos x x x'=【答案】BC 【详解】解：对A ：()()()()2212212421x x x '+=+⨯=+，故选项A 错误；对B ：'=B 正确；对C ：()21log ln 2x x '=，故选项C 正确；对D ：()sin sin cos x x x x x '=+，故选项D 错误.故选：BC.14．已知函数()f x 及其导数()f x '，若存在0x ，使得()()00'=f x f x ，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是（）A ．()2f x x =B ．()exf x -=C ．()ln f x x =D ．()1f x x=【答案】ACD 【详解】对于A ，()()22，'==f x x f x x 由22x x =，解得0,2x =，因此此函数有 “巧值点” 0，2；对于B ，()()e e ，--='=-x xf x f x 由 e e x x --=- ，即 e 0-=x ，无解，因此此函数无 “巧值”；对于C ，1()ln ,()'==f x x f x x，由1ln x x=，分别画出图象：1ln ,(0)==>y x y x x ，由图象可知：两函数图象有交点，因此此函数有“巧值点” ；对于D ，()()211f x f x xx '==-，，由 211x x=- ，解得 1x =-，因此此函数有 “巧值点”1-. 故选： ACD.三、填空题15．已知函数()ln 2f x x x =-，则()f x 在1x =处的切线方程为______.【答案】10x y ++=【详解】()12f x x'=-，易得()12f =-，()11211f '=-=-，所以切线方程为()12y x =---，即10x y ++=.故答案为：10x y ++=.16．已知函数()()321f x f x x x '=-+-，则()1f '-的值为______．【答案】32【详解】∵()()321f x f x x x '=-+-，∴()()23121f x f x x ''=-+-，∴(1)3(1)3f f ''-=--∴()312f '-=．故答案为：32.17．集美中学高101组高二（15）班小美同学通过导数的学习，对直线与曲线相切产生浓厚兴趣，并试着定义：若曲线1C 与曲线2C 存在公共点P ，且1C 、2C 在点P 处的切线重合，称曲线1C 与2C 相切．现出一问题：若函数x y a =与log (0,1)a y x a a =>≠相切，则=a __________．【答案】1e e 【详解】设切点为()00,x y ，则01x >，则00000ln ,log ln xa x y a y x a===，即00ln ln xx a a =①因为函数x y a =与log a y x =的导数分别为1ln ,ln xy a a y x a''==所以001ln ln x a a x a =②，联立①②可得001ln ln x x a=因为函数x y a =与log a y x =的图象关于y x =对称所以000ln ln x y x a==③，所以00011ln ln ln ln ln x x x a a==⋅，即0ln 1x =，0ex =代入③可得1ln ea =，1ee a =故答案为：1ee 18．双曲正弦函数()e e sinh 2x x x --=和双曲余弦函数()e e cosh 2x xx -+=在工程学中有广泛的应用，也具有许多迷人的数学性质．若直线x m =与双曲余弦函数1C 和双曲正弦函数2C 的图象分别相交于点A 、B ，曲线1C 在A 处的切线与曲线2C 在B 处切线相交于点P ，则如下命题中为真命题的有______（填上所有真命题的序号）．①()()()sinh cosh x x '=，()()()cosh sinh x x '=；②()()22sinhcosh 1x x +=；③点P 必在曲线e x y =上；④PAB △的面积随m 的增大而减小．【答案】①④【详解】对于①，()()()e e e e sinh cosh 22x x x xx x --'⎛⎫-'===⎪⎭+⎝，()()()e e e e cosh sinh 22x x x xx x --'⎛⎫-=⎪=⎭+'=⎝，①对；对于②，()()222222e e e e e e sinh cosh 222x x x x x x x x ---⎛⎫⎛⎫-+++=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不恒为1，②错；对于③，e e ,2m mA m -⎛⎫+ ⎪⎝⎭、e 2,e m mB m -⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以，切线PA 的方程为()e e e e 22m m m mx m y --+-=--，切线PB 的方程为()e e e e 22m m m mx m y ---+=--，联立()()e e e e 22e e e e 22m m m mm m m my x m y x m ----⎧+--=-⎪⎪⎨-+⎪-=-⎪⎩，解得1e m x m y =+⎧⎨=⎩，即点()1,e mP m +，所以，点P 不在曲线e x y =上，③错；对于④，e mAB -=，点P 到直线AB 的距离为1，则1e 2mPAB S -=△，所以，PAB △的面积随m 的增大而减小，④对.故答案为：①④.四、解答题19．求下列函数的导数：(1)5y x =；(2)22sin y x x =+；(3)ln xy x=；(4)()211ln 22x y e x -=+．【答案】(1)45y x '=(2)22cos y x x '=+(3)21ln x y x -'=(4)2112e 2-'=+x y x 【解析】(1)因为5y x =，所以45y x '=；(2)因为22sin y x x =+，所以22cos y x x '=+；(3)因为ln x y x =，所以21ln 'x y x -=；(4)因为()212x y e x -=，所以2112e 2-'=+x y x20．已知函数()3f x x =.(1)求()f x 的导数()f x '；(2)求曲线()f x 在()()1,1f 处切线的方程.【答案】(1)()23f x x '=(2)32y x =-【解析】(1)函数()3f x x =定义域为R ，()23f x x '=．(2)由（1）知，()13f '=，而()11f =，于是得函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程是13(1)y x -=-，即32y x =-．。

2023年高考数学一轮复习精讲精练第12练导数的综合问题(解析版)

第12练导数的综合问题学校____________ 姓名____________ 班级____________一、单选题1．若不等式4342x x a ->-对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围是（） A ．27a <- B ．25a >- C ．29a ≥ D ．29a >【答案】D 【详解】43322()4,()4124(3)f x x x f x x x x x '=-=-=-,当3x <时，()0f x '<，当3x >时，()0f x '>，()f x 的递减区间是(,3)-∞，递增区间是(3,)+∞，所以3,()x f x =取得极小值，也是最小值， min ()(3)27f x f ==-，不等式4342x x a ->-对任意实数x 都成立，所以272,29a a ->->. 故选:D. 2．函数在区间(0,1)内的零点个数是 A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B3．已知函数()2,0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，若方程()e xf x a =有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B 【详解】()e x f x a =2,0e ,0e x x x x a x x ⎧≥⎪⎪⇔=⎨-⎪<⎪⎩设()2,0e,0e x x xx g x x x ⎧≥⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩当0x ≥时，()1e x x g x ='-所以当01x ≤<时，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >时，()0g x '<，()g x 单调递减1x =时，()g x 取得极大值1e当x 趋向于+∞，()g x 趋向于0当0x <时，()()20e xx x g x -'=>，()g x 单调递增依题意可知，直线x a =与()g x 的图象有两个不同的交点如图所示，a 的取值范围为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭故选：B4．若关于x 的不等式()()22e 222ln 1x a x a a x -+-+>+-在()2,+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．1,e ⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭B ．()1,-+∞C ．[)1,-+∞D ．[)2,-+∞【答案】D 【详解】依题意，()()()22e 221ln 1x a x x a x -+->-+-，则()()222elne 21ln 1x x a x a x --+>-+-（*）．令()2ln g t t a t =+(1)t >，则（*）式即为()()2e 1x g g x ->-．又2e 11x x ->->在()2,+∞上恒成立，故只需()g t 在()1,+∞上单调递增，则()20ag t t'=+≥在()1,+∞上恒成立，即2a t ≥-在()1,+∞上恒成立，解得2a ≥-．故选：D.5．已知函数()22x f x xe x x m =---在()0,∞+上有零点，则m 的取值范围是（） A ．)21ln 2,-+∞⎡⎣B ．)2ln 21,--+∞⎡⎣C ．)2ln 2,-+∞⎡⎣D ．21ln 2,2-+∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【详解】由函数()y f x =存在零点，则()220x m xe x x x =-->有解，设()()220x h x xe x x x =-->，则()()()()120xh x x e x '=+->，当0ln 2x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减；当ln 2x >时，()0h x '>，()h x 单调递增．则ln 2x =时()h x 取得最小值，且()2ln 2ln 2h =-，所以m 的取值范围是)2ln 2,-+∞⎡⎣．故选：C6．若存在()2,1x ∈--，使得不等式220x kx -+>成立，则实数k 的取值范围为（）A ．()-+∞ B ．(,-∞-C ．()3,-+∞D ．[)3,∞-+【答案】C 【详解】存在(2,1)x ∈--，不等式220x kx -+>成立，则22x k x+>，(2,1)x ∈--能成立，即对于(2,1)x ∈--，22x k x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭成立，令222()x f x x x x +==+，(2,1)x ∈--，则22222()1x f x x x -'=-=，令()0f x x '=⇒=所以当(2,x ∈-，()0()f x f x '>，单调递增，当(1)x ∈-，()0()f x f x '<，单调递减，又(2)(1)3f f -=-=-，所以f(x)>−3，所以3k >-. 故选：C7．已知函数1e ,0,()e ,0,x x x f x x x -⎧>⎪=⎨⎪⎩若关于x 的方程2()(1)()0f x m f x m -++=有三个实数解，则实数m 的取值范围是（） A ．1,(e,)e ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．1,0(1,e)e ⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭C ．1,0(e,)e ⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．1,(1,e)e ⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭【答案】B 【详解】2()(1)()0f x m f x m -++=等价于(()1)(())0f x f x m --=，函数()y f x =的图象如图，因为()y f x =的图象与1y =有且仅有一个交点，即()0f x m -=有两个实数解，所以1(1e)e m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0，，故选:B .8．若函数21()2f x x a x=--，当13x ≥时，()0f x ≤恒成立，则a 的取值范围（） A ．(],3-∞ B ．[)3,+∞C ．25,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．25,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【详解】解：依题意，当13x ≥时，212a x x ≥-恒成立，令21()2g x x x =-，13x ≥，则max ()a g x ≥，又3321'()2210g x x x -⎛⎫=-=-+< ⎪⎝⎭， ∴()g x 在1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，∴max 1225()9333a g x g ⎛⎫≥==-= ⎪⎝⎭，即253a ≥故选：D ．二、多选题9．已知函数22,0(),0x x x f x e x ⎧+<=⎨≥⎩，满足对任意的x ∈R ，()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值可以是（） A．-B ．C D ．【答案】ABC 【详解】因为函数22,0(),0x x x f x e x ⎧+<=⎨≥⎩，满足对任意的x ∈R ，()f x ax ≥恒成立，当0x <时，22x ax +≥恒成立，即2a x x≥+恒成立，因为2x x+≤-2x x =，即x =所以a ≥-当0x =时，00e ≥恒成立.当0x >时，xe ax ≥恒成立，即xe a x≤恒成立，设()x e g x x =，()()221xx x e x xe e g x x x --'==， ()0,1x ∈，()0g x '<，()g x 为减函数，()1,x ∈+∞，()0g x '>，()g x 为增函数，所以()()min 1g x g e ==，所以a e ≤，综上所述：a e -≤. 故选：ABC10．已知函数()()ln 1f x x x a x x =+-+在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数a 的取值可以为（） A ．－1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】ABC【详解】()()ln 1ln 1a f x x x a x x x x a x ⎛⎫=+-+=+-+ ⎪⎝⎭，设()ln 1a g x x a x =+-+则在1x >上，()y f x = 与()y g x =有相同的零点.故函数()f x 在区间()1,+∞内没有零点,即()g x 在区间()1,+∞内没有零点()221a x a g x x x x-'=-=当1a ≤时，()20x ag x x -'=>在区间()1,+∞上恒成立,则()g x 在区间()1,+∞上单调递增.所以()()110g x g >=>，显然()g x 在区间()1,+∞内没有零点. 当1a >时, 令()0g x '>，得x a >，令()0g x '<，得1x a << 所以()g x 在区间()1,a 上单调递减增.在区间(),a +∞上单调递增. 所以()()ln 2g x g a a a ≥=+- 设()()ln 21h a a a a =+->，则()()11101a h a a a a-=-=<> 所以()h a 在()1,+∞上单调递减,且()()3ln310,4ln420g g =->=-< 所以存在()03,4a ∈，使得()00h a =要使得()g x 在区间()1,+∞内没有零点，则()ln 20g a a a =+-> 所以()013,4a a <<∈综上所述，满足条件的a 的范围是()03,4a a <∈由选项可知：选项ABC 可使得()g x 在区间()1,+∞内没有零点，即满足题意. 故选：ABC11．若存在正实数x ，y ，使得等式24(3e )(ln ln )0x a y x y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则a 的取值可能是（） A ．1e-B ．31e C ．21e D ．2【答案】ACD 【详解】解：由题意，a 不等于0，由24(3e )(ln ln )0x a y x y x +--=，得24(3e )ln 0y y a x x +-=，令(0)y t t x =>，则24ln 3e ln t t t a -=-，设2()ln 3e ln g t t t t =-，则23e ()1ln g t t t'=+-，因为函数()g t '在(0,)+∞上单词递增，且2(e )0g '=，所以当20e t <<时，()0g t '<，当2t e >时，()0g t '>，则()g t 在2(0,e )上单调递减，在2(e ,)+∞上单调递增，从而22min ()(e )4e g t g ==-，即244e a -≥-，解得21ea ≥或0a <. 故21(,0),e a ⎡⎫∈-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭.故选：ACD.12．已知函数()x af x a x =-（0x >，0a >且1a ≠），则（）A ．当e a =时，()0f x ≥恒成立B ．当01a <<时，()f x 有且仅有一个零点C ．当e a >时，()f x 有两个零点D ．存在1a >，使得()f x 存在三个极值点【答案】ABC 【详解】对于A 选项，当e a =时，()0f x ≥，即eln 1e eln e x x x x x x ≥⇔≥⇔≤，设()ln x g x x=，则()21ln xg x x-'=，故当()0,e x ∈时，()0g x '>，当()e,x ∈+∞时，()0g x '<，所以()()ln e 1e e eg x g ≤==，故A 正确；对于B 选项，当01a <<时，()x af x a x =-单调递减，且当0x +→时，()1f x →，()110f a =-<，因此()f x 只有一个零点，故B 正确；对于C 选项，()0ln ln x af x a x x a a x =⇔=⇔=，即ln ln x ax a=，当e a >时，由A 选项可知，()10eg a <<，因此()()g x g a =有两个零点，即()f x 有两个零点，故C 正确；对于D 选项，()1ln xa f x a a ax-'=-，令()0f x '=，得11ln x a a a x --=，两边同时取对数可得，()()()1ln ln ln 1ln x a a a x -+=-，设()()()()1ln ln ln 1ln h x x a a a x =-+--，则()1ln a h x a x -'=-，令()0h x '=，得1ln a x a -=，则()h x 在10,ln a a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,ln a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因此()h x 最多有两个零点，所以()f x 最多有两个极值点，故D 错误. 故选：ABC. 三、填空题13．已知()f x 是R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()2cos 12x f x x =-+，且()()21f x a f x +<+对x R ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】33,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】()()()()2cos 1sin 1cos 02x f x x g x f x x x g x x ''=-+⇒==-+⇒=-≥，故()g x 为增函数，当0x ≥时，()()00g x g ≥=，可得()f x 为增函数. 又()f x 为偶函数，故()()f x a f x a +=+，()()22221111f x a f x x a x x x a x x +<+⇔+<+⇔---<<-+恒成立. 因为221331()244x x x -+=-+≥，221331()244x x x -+-=---≤-，所以有3344a -<<，故答案为：33,44⎛⎫- ⎪⎝⎭14．已知函数ln ()1x xf x ae x=--两个不同的零点，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】10,e ⎛⎫⎪⎝⎭【详解】令ln ()10xxf x ae x=--=，则 ln 0x axe x x --=，令 ()ln xg x axe x x =--，则 ()()1111x x x g x ae axe x ae x x ⎛⎫'=--=+- ⎝+⎪⎭，当 0a ≤时， ()0g x '<在()0,∞+上恒成立，()g x 递减，不可能有两个零点，当0a >时，存在0x 使得 ()00g x '=，即 01x ae x =，当00x x <<时， ()00g x '<，当 0x x >时， ()00g x '>，若()f x 两个不同的零点，即()g x 有两个零点，则 ()00g x <，即()0000001ln 1ln 1ln0x xg x ax e x x e x a=--=-=-<，解得10a e<<，故答案为：10,e ⎛⎫⎪⎝⎭15．已知函数212,0()ln(),0x x f x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-<⎩，()()g x f x x a =-+，若函数()g x 只有唯一零点，则实数a 的取值范围是________. 【答案】[)2,-+∞【详解】令()()0g x f x x a =-+=，得()f x x a -=-，则12,0()ln(),0x f x x xx x x ⎧+>⎪-=⎨⎪--<⎩ 当0x <时，令()ln y x x =--，所以110y x'=-<，则ln()y x x =--在(,0)-∞单调递减，所以函数12,0()ln(),0x f x x x x x x ⎧+>⎪-=⎨⎪--<⎩与y a =-的图象，由图象可知，当2a -≤，即2a ≥-时，图象有1个交点，即()g x 存在1个零点. 故答案为：[)2,-+∞16．已知函数()()e ln xf x m x m =+∈R ，若对任意正数12,x x ，当12x x >时，都有()()1212f x f x x x ->-成立，则实数m 的取值范围是______．【答案】[)0,∞+ 【详解】由()()1212f x f x x x ->-得，()()1122f x x f x x ->- 令()()g x f x x =-，∴()()12g x g x > ∴()g x 在()0,∞+单调递增，又∴()()e ln xg x f x x m x x =-=+-∴()e 10x mg x x'=+-≥，在()0,∞+上恒成立，即()1e x m x ≥- 令()()1e x h x x =-，则()()e 110xh x x '=-++<∴()h x 在()0,∞+单调递减，又因为()()001e 00h =-⨯=，∴0m ≥．故答案为：[)0,∞+. 四、解答题 17．已知函数211()(1)ln (,0)22f x x a x a a =-+-∈≠R ．（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围．【详解】解：（1）由已知定义域为()0,∞+，()211'()x a a f x x x x-++=-=当10a +≤，即1a ≤-时，()'0f x >恒成立，则()f x 在()0,∞+上单调递增；当10a +>，即1a >-时，x =x =()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增.所以1a ≤-时，()f x 在()0,∞+上单调递增；1a >-时，()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增.（2）由（1）可知，当1a ≤-时，()f x 在()1,+∞上单调递增，若()0f x ≥对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，只需(1)0f ≥，而(1)0f =恒成立，所以1a ≤-成立；当1a >-1，即10a -<≤，则()f x 在()1,+∞上单调递增，又(1)0f =，所以10a -<≤成立；若0a >，则()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增，又(1)0f =，所以(0x ∃∈，()0()10f x f <=，不满足()0f x ≥对任意的[1,)x ∈+∞恒成立.所以综上所述：0a ≤.18．已知函数()3222f x x ax =-+．（1）若3a =，求函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值；（2）若函数()f x 有三个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）6；（2）()+∞【详解】解：（1）当3a =时，()32232f x x x =-+，所以()()26661f x x x x x '=-=-，令()0f x '>，解得1x >或0x <，令()0f x '<，解得01x <<，所以()f x 在(),0-∞和()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减，所以当0x =时，()f x 取得极大值为()02f =，当2x =时()26f =，所以函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值为6；（2）由()3222f x x ax =-+，所以()()26223f x x ax x x a '=-=-，当0a =时()260f x x '=≥所以函数在定义域上单调递增，则()f x 只有一个零点，故舍去；所以0a ≠，令()0f x '=得0x =或3a x =，函数()f x 有三个零点，等价于()f x 的图象与x 轴有三个交点，函数的极值点为0x =，3a x =，当0a >时，令()0f x '>得0x <或3a x >，所以函数在(),0-∞和,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，令()0f x '<得03a x <<，所以函数在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以函数在0x =处取得极大值()02f =，在3a x =处取得极小值320327a a f ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，解得a >；当0a <时，令()0f x '>得0x >或3a x <，所以函数在,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和()0,∞+上单调递增，令()0f x '<得03a x <<，所以函数在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以函数在0x =处取得极小值()02f =，所以()f x 的图象与x 轴不可能有三个交点；综上可得a >，即()a ∈+∞ 19．已知函数()1ln f x x a x x=-+. (1)若()f x 在()0,+∞上为单调函数，求实数a 的取值范围；(2)记()f x 的两个极值点为1x ，2x ，求证：()()12122f x f x x x +<+-.【解析】(1)()f x 的定义域为()0,+∞，()222111a x ax f x x x x -+'=--+=-，又()f x 单调， ∴210x ax -+≥对0x >恒成立，即1a x x≤+(0x >)恒成立，而12x x +≥，当且仅当1x =时取等号，∴2a ≤.(2)由（1）知：1x ，2x 是210x ax -+=的两个根，则120x x a +=>，121=x x ，且240a ∆=->， ∴2a >，故122x x a +=>，()()()121122121211ln ln ln 0f x f x x a x x a x a x x x x +=-++-+==，而20a ->， ∴()()12122f x f x x x +<+-，得证.。

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（2）证明：∵
∴
∵当
时，
∴
＝
------8分
又∵
∴ ∴当
时，
(3)∵
.---------------------------------------------10分
∴ ＝
-----------------------------------------------------12分
当
时,要
只需
即需而
∴
例 5.已知数列
……………………12分
的首项
，前项和为，且
、、分别是直线上
的点 A、B、C的横坐标，点 B分所成的比为
，设
。
⑴ 判断数列
是否为等比数列，并证明你的结论；
⑵设
，证明：
。
3
解 ⑴由题意得
……………3分
数列则 ⑵由
则
是以
为首项，以 2为公比的等比数列。………………6分
（
）]
，若存在
，使
成立，则称为
有且仅有两个不动点、，且
（Ⅰ）试求函数
的单调区间；
（Ⅱ）已知各项不为 1的数列满足
，求证：
的不动点.如果函数 .
；
（Ⅲ）在（2）中，设
，为数列的前项和，求证：
.
解：（1）设
∴
………………………1分
∴
由又∵ ∴
∴ …… 3分
于是由
得
或
；由
得
或
7
故函数
的单调递增区间为
（1）“添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。
例 1. 已知
求证：
证明：
若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值
变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用
不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了
又
，则
．所以
（2）因为对
，
于是
记
，则
，且
．令
. ……………5分
所以
在
内单调递减.
…………………8分
11
所以函数
在
是单调增函数，
所以
，故命题成立. ………………… 12分
7.设数列是公差不为 0的等差数列，为其前项和，数列为等比数列，且
，当
时，
两边平方得：
，公比
的等比数列………………4分
，
………………5分
……
相加得：又
∴
…………………………………………9分
例 4.已知
数列的前 n项和为，点
在曲线
上
且
.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：
.
解：(1)
2
∴
∴
∴数列
是等差数列，首项
∴ ∴ ∵
∴…………（4分）
(2)
∴
公差 d=4
，综合知结论成立。的解集中的整数的个数，且已知
（1）求数列的通项公式；
（2）若
的前 n项和
（3）求证：对
解：（1）不等式解得
，其中整数解有 n个，
（2）由（1）知，（3）
，用错位相减法可求得 …………7分
6
又由
得证
…………9分，两式相减，得：
的最小值是综上，对
递增， …………12分
2.对于函数
时，是否有
？说明理由.
（1）解法：∵
∴
（）
∴
-------------------------------------1分
4
----------------------------------------------------3分
∴
又
也适合上式，
（
）
∴
-------------------------------------------------5分
单调减区间为
和
（2）由已知可得
，当
两式相减得
∴
或
……6分
当
时，
，若
∴
∴
和时，
，则
于是，待证不等式即为
.
，……4分 ……5分
这与 ……7分
矛盾
为此，我们考虑证明不等式
令
则，
再令 ∴当即
，时，单调递增
……9分
由 ∴
①
知于是
令
，
由
知
∴当
时，单调递增 ∴
于是
即
②
由①、②可知
所以，
，即
……11分
（3）由（2）可知在
则
,只须证
4.已知函数
（1）求
在
………………12分令
成立.
上的最小值；
9
（2）对一切（3）证明对一切解：
恒成立，求实数的取值范围；
都有
成立
（2）由题意知：
（3）等价证明由（1）知
10
5.已知函数
（1)求函数 f(x)的单调区间；（2）若
（3）证明
时函数 f(x)的递增区间为
当
时函数 f(x)的递增区间为
则中令
，并将各式相加得
即
3.数列满足
，
（Ⅰ）求，，及；（Ⅱ）证明：
，若数列满足
……14分，
;
8
（Ⅲ）求证：
解：（Ⅰ）由 ∴
（Ⅱ）∵
，
，
……………1分
…………………………3分
∴
，
∴
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
………6分
而
当
时，
法 1：∴
………………8分 ………………9分
………………10分
∴
法 2:只须证
及
得
，……………………………………………………………8分
……………………10分
………………12分
（3）.裂项放缩
若欲证不等式含有与自然数 n有关的 n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。
例 7.设数列满足
，
（
），数列
的前 n
项和为 .
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：当
时，
；
（3）试探究：当
即
，
恒成立，试确定实数 k的取值范围；
解：（1）
，当
，函数 f(x)的递减区间为
（2）由
得
，令
，则
当（3）由（2）知
，所以 y的最大值为 1，故
在
上恒成立，令
，则
6.已知二次函数 g（x）对任意实数 x都满足
．
（1）求 g(x)的表达式；
（2）设
，
证明:对任意 x,x
，，恒有
解（1）设
，于是
所以
，从而是使和式得到化简.
例 2．函数 f（x）= ，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+
.
证明：由 f(n)=
=1-
得 f（1）+f（2）+…+f（n）>
.
此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征,先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子,分母如果同时存在变量时,要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。
（2）.分式放缩
一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。
例 3..数列满足
，
.
（1）求通项公式；
（2）令
，数列前项和为，
1
求证：当解（1）
时，
，两边同除以
；得：
∴
∴
是首项为
∴
∴
（2）
，显然这在
时成立
,当
时
显然5即当时 Nhomakorabea也成立
综上所述：当
时，有
（4）先放缩再求和（或先求和再放缩）
例 8.已知
且
有正整数 n都成立。
证明：因为
，所以
.------------------------------14分，求证：，
对所
又
，
所以二.数列导数与不等式综合问题 1.数列的通项是关于 x的不等式