定积分的换元法与分部积分法
定积分的换元法和分部换元法
换元积分法
一、定积分的换元法
二、定积分的分部积分法
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一、定积分的换元法
定理1. 设函数 单值函数 1 ( t ) C [ , ] , ( ) a , ( ) b ; 1) 2) 在[ , ] 上 则 满足:
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(t ) (t )
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(t ) (t )
说明: 1) 当 < , 即区间换为[ , ] 时， 定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
(t ) (t )
或配元
f ( x) d x (令 x (t ) )
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例 4’
计算
1
1
1
2 x 2 x cos x dx . 2 1 1 x
1 x cos x 2x dx dx 1 2 2 1 1 x 1 1 x
解 原式 1
2
偶函数
奇函数
40
1
2 2 x 1 x (1 1 x ) dx 4 dx 2 2 0 1 1 x 1 (1 x )
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例7 计算
1
0
ln(1 x ) dx. 2 (2 x )
解
0
1
1 ln(1 x ) 1 dx 0 ln(1 x )d 2 (2 x ) 2 x
定积分的换元法和分部积分法
第五章 定积分第四讲 定积分的换元法和分部积分法教学目的 １．掌握定积分的换元公式和分部积分公式；２．了解有关奇偶函数在关于原点对称的区间上的积分的性质； ３．了解三角函数积分的下列结果：教学重点 利用换元积分法和分部积分法计算定积分． 教学难点 利用递推法计算含有自然数参数n 的定积分，如x x x x n nnId cos d sin 2020⎰⎰==ππ.教学时数 2学时． 教学过程上节我们学习了Newton-Leibniz 公式：[]ba bax F x x f )(d )(=⎰．这个公式说明，一个连续函数在[]b a ，上的定积分等于它的任一个原函数在[]b a ，上的增量．从而我们只需找到()x f 的一个原函数()x F ，再求它在[]b a ，上的增量即可．我们已经知道，可以利用换元积分法和分部积分法来求一些函数的原函数．因此，在一定条件下，可以采取这两种方法来计算定积分．按照Newton-Leibniz 公式，定积分的计算方法已经解决，但为了简化计算，特别是推导定积分公式，我们要介绍定积分的换元法和定积分的分部积分法．一、定积分的换元法我们给出下面的定理：定理 假设函数()x f 在区间[]b a ，上连续，函数()t x ϕ=满足条件： (1)()()；，b a ==βϕαϕ(2)()t ϕ 在[]βα，(或[]αβ，)上具有连续导数，且值域[]b a R ，⊂ϕ，则有()()[]()t t t f x x f bad d ϕϕβα'=⎰⎰. (1)公式(1)称为定积分的换元公式．分析 要想证明两个积分相等，只需证明它们的一个原函数在积分区间上的增量相等．证 由假设可知，(1)式两边的被积函数均连续，因此两个定积分都存在，并且由上节的定理2知道两个被积函数的原函数也都存在．设()x F 是()x f 的一个原函数，则()()()a F b F x x f ba-=⎰d .又设()()[]t F t ϕΦ=，则()()()()[]()t t f t x f txx F t ϕϕϕΦ'='=='d d d d .这说明()t Φ是()[]()t t f ϕϕ'的原函数，于是()[]()()()αΦβΦϕϕβα-='⎰t t t f d .再由()()[]()b F F ==βϕβΦ，()()[]()a F F ==αϕαΦ知()()()()a F b F -=-αΦβΦ，所以(1)式成立．证毕．注 (1) 当()t ϕ的值域[][]b a B A R ，，⊃=ϕ，但满足其它条件时，只要()x f 在[]B A ，上连续，则(1)式仍然成立；(2) 应用公式(1)时，将x 换成 ()t ϕ，则x d 成了()t x ϕ=的微分 ()t t x d d ϕ'=； (3) 将x 换成()t ϕ时，积分限也要换成相应于新变量t 的积分限； (4) 换元公式也可以反过来用，即()[]()()()t t f tx xx x f bad d ⎰⎰='βαϕϕϕ，其中 ()()βϕαϕ==b a ，．例1计算0x ⎰ (0>a ).分析 从定理可以看出，将被积函数的自变量x 换成哪一个函数()t ϕ，可以参考不定积分中的技巧． 解 设t a x sin =，则t t a x t a x a d cos d cos 22==-，，且当0=t 时0=x ，当2π=t 时a x =，而在⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上，t a t a cos cos =，于是注 应用换元公式时，求出()[]()t t f ϕϕ'的一个原函数()t Φ后，直接将t 的上、下限分别代入()t Φ中相减就行了，而不必像计算不定积分那样再把()t Φ换成x 的函数．例2 计算x x x d sin cos 25⎰π．分析 在求解对应不定积分时，是采用“凑”微分的方法来进行的：()x x x x x cos d cos d sin cos 55⎰⎰-=．故本题可考虑设x t cos =．解 设x t cos =，则t x x d d sin -=，且当0=x 时1=t ，当2π=x 时0=t ，于是6161d d d sin cos 106105015205=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-=⎰⎰⎰t t t t t x x x π． 注 在例2中，我们可以不必明显地写出新变量t ．但此时要注意，定积分的上、下限也不要变更．这种记法的计算过程如下：相应不定积分采用“凑”微分方法时，该定积分通常用上述方法解较为简单．例3 计算x x x d sin sin 053⎰-π.分析 首先应将被积函数化简：x x x x cos sin sin sin 353=-．由于在[]π，0∈x 时，x cos 的符号有变化，故需将积分区间[]π，0分成两个区间：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ππππ,22,0,0Y ．这样在每个小区间上x cos 就保号了．解()x x x x x x x x x x x x d cos sin d cos sin d cos sin d sin sin 223202302353-+==-⎰⎰⎰⎰πππππ224555⎛⎫=--= ⎪⎝⎭. 注 如果忽略x cos 在⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ , 2上为负，而按x x x x cos sin sin sin 2353=-计算，将导致错误．例4 计算x x x d 1224⎰++.解 设t x =+12，则t t x t x d d ,212=-=，且当0=x 时1=t ，当4=x 时3=t ．于是322359236d 232d 221d 1223133123124=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-=++⎰⎰⎰t t t t t t t t x x x . 例5 证明：(1)若()x f 在[]a a ,-上连续且为偶函数，则 ()()x x f x x f aaad 2d 0⎰⎰=-；(2)若()x f 在[]a a ,-上连续且为奇函数，则 ()0d =⎰-x x f aa．解 仅证(1)，(2)的证明留给同学练习． 因为()()()x x f x x f x x f a aaad d d 00⎰⎰⎰+=--，对积分()x x f ad 0⎰-作代换t x -=，则得又()x f 在[]a a ,-上为偶函数，故()()t f t f =-([]a a t ,-∈)，于是 注 (1)这里用到了“定积分与积分变量的记法无关”这一结论;(2)利用例5的结论，常可简化计算奇函数、偶函数在以原点为对称的区间上的定积分． 例6 若()x f 在[]1 , 0上连续，证明: (1) ()()⎰⎰=2020d cos d sin ππx x f x x f ；(2)()()⎰⎰=πππd sin 2d sin x x f x x xf ，并由此计算x xxx d cos 1sin 02⎰+π．分析 在定积分中经常遇到正、余弦间的互化问题，同名函数间往往采用代换t x -=π(或t x -=π2等等)，异名函数间往往采用代换t x -=2π(或t x +=2π等等)来解决这类问题．证 (1) 设t x -=2π，则t x d d -=，于是()()()()⎰⎰⎰⎰==-=0220202d cos d cos d cos d sin ππππx x f t t f t t f x x f .(2)设t x -=π，则t x d d -=，于是 所以()()⎰⎰=πππd sin 2d sin x x f x x xf ． 利用上述结论，得 这里需注意到()22xxx f -=在[]1 , 0上连续． 例7 设函数 ()2e , 0, 1, 10,1cos x x x f x x x-⎧≥⎪=⎨-<<⎪+⎩ 计算()x x f d 241⎰- 分析 令t x =-2，则()()t t f x x f d d 22141⎰⎰-=-．由于()f t 是分段函数，故需根据0≥t 及0≤t 将积分区间[]2 ,1-进行分段．解 设t x =-2，则t x d d =，于是二、定积分的分部积分法回顾：不定积分的分部积分公式为 由Newton-Leibniz 公式，我们有 简记作[]⎰⎰'-='ba ba ba x u v uv x v u d d 或 []d d bb ba a au v uv v u =-⎰⎰ (2) 称为定积分的分部积分公式．公式表明原函数已经“积”出的部分可以先代上、下限．例8 计算⎰21d arcsin x x ．解[][]123121621d 1arcsin d arcsin 210 22102210210-+=-+⋅=--=⎰⎰ππx x x xx x x x ．例9 计算x xd e1⎰．分析 若直接应用分部积分公式，则积分化得更复杂．所以需要先用换元法．解 令t x =，则t t x t x d 2d ,2==，于是()[][]()21e 2e 2e 2e 2d e 2e 2e d 2d e 2d e 101101101=--=-=-===⎰⎰⎰⎰tt tt t x t t t t t x ．例10 证明定积分公式(积分表(147))：分析 由于被积函数与自然数(参数)n 有关，我们采用递推的方法．证 ()⎰--=201cos d sin πx x I n n于是有21--=n n I nn I ． 称为积分n I 关于下标n 的递推公式．我们可以得到11232541222122I m m m m I m Λ--+=+ (Λ ,2 ,1=m ),而 1d sin ,2d 201200====⎰⎰x x I x I πππ,因此 2214322322122πΛ---=m m m m I m , 3254122212212Λ--+=+m m m m I m (Λ ,2 ,1=m ), 或写为 132,1,23131,.222n n n n n n I n n n n n π--⎧⎪-=⎨--⎪-⎩L L 为大于的奇数为正偶数又由例6(1)可知⎰⎰=2020d cos d sin ππx x x x n n． 证毕．注 关于该结果要熟悉，在很多积分运算中经常会遇到．三、总结本节我们学习了1．定积分的换元法，要注意何时须明显地写出新变量并将上、下限变为新变量积分限，何时无须明显地写出新变量，而积分限也不要变更；2．定积分的分部积分法，要掌握它与换元积分法的结合使用，并了解递推公式法的使用及奇偶函数在以原点为对称的区间上的积分．作业 习题5-3(249页) 1(2，5，8，11，15)，2(1，3)，11(1，5，12)．。
定积分的换元法和分部积分法课件
定积分具有常数倍性质，即对于任 意非零常数c，有c乘以被积函数的 定积分等于该常数乘以被积函数在 积分区间上的增量。
定积分的计算
直接法
直接代入被积函数进行计算，适 用于简单的被积函数和明确的积
分区间。
换元法
通过变量替换简化被积函数或积 分区间，适用于较为复杂的积分
问题。
分部积分法
通过将两个函数的乘积进行分部 积分，将一个复杂函数的积分转 化为更简单函数的积分，适用于
计算旋转体的体积
01
定积分可以用于计算旋转体的体积，例如旋转抛物面下的体积
。
求解平面图形的面积
02
定积分可以用于求解平面图形的面积，例如椭圆、圆、三角形
等。
求解曲线长度
03
定积分可以用于求解曲线的长度，例如圆的周长、正弦函数的
长度等。
05
定积分的应用
定积分在物理中的应用
计算物体在恒力作用下的运动轨迹
分部积分法在求解三角函数的不定积分中有着广泛的应用，例如求解$int sin x dx$或$int cos x dx$等。
求解复杂函数的不定积分
对于一些复杂函数的不定积分，分部积分法可以将其转化为简单函数的定积分 ，从而简化计算过程。例如求解$int x^2 e^x dx$等。
04
定积分的几何意义
03
分部积分法在定积分中的应用
分部积分法的定义和原理
分部积分法的定义
分部积分法是一种求解定积分的技巧 ，通过将一个不定积分转化为两个函 数的乘积的导数，从而简化计算过程 。
分部积分法的原理
基于微积分基本定理，通过将一个复 杂函数的不定积分转化为简单函数的 定积分，实现积分的求解。
高等数学5-3定积分的换元法和分部积分法
设t=-u有
0
F （ x ） xf( u )( d u ) xf( u )d u
0
0
即 F （ x） xf(u)duF(x) 0
证毕，同理可证(2)
29
二、定积分的分部积分法
设函数u( x)、v( x)在区间a,b上具有连续导数，
则有abudv
uvb a
abvdu.
定积分的分部积分公式
推导 uvuvuv, a b(u v)d xa buvd xa bu vd x,
x2, x2.
1 4 f ( x - 2 ) d x 1 2 1 + c o s 1 ( x - 2 ) d x 2 4 ( x - 2 ) e - ( x - 2 ) 2 d x
tg
1 2
1e-4 2
1. 2
16
解2 令x-2=t，有
4 f(x-2)dx 2 f(t)dt
1
1
011+c1ostdt02te-t2dt
0
0
只和s有关
28
例13若 f (是t ) 连续奇函数，证明
x f是( t 偶) d t函数； 0
若 f ( t ) 是连续偶函数，证明 x f ( t是) d奇t 函数。 0
证明:(1)令 F(x) x f (t)dt, 则F （x） x f(t)dt
0
0
对
F（x）
x
f(t)dt,
12 20
(1 x2)12
1 2
12
0
3 1 12 2
31
例15 计算
4
xdx .
0 1cos2x
解 1 c2 o x 2 s c2 o x , s
4
6[1][1]3定积分的换元积分法和分部积分法-PPT精品文档
![6[1][1]3定积分的换元积分法和分部积分法-PPT精品文档](https://img.taocdn.com/s3/m/770ff890960590c69ec3764a.png)
a
0
a
f ( x ) dx x t f ( t ) dt f ( x ) dx a a 0
【6-3-7】
0
0
a
f ( x ) d x f ( x ) d x f ( x ) d x [ f ( x ) f ( x )] dx a 0 0 0
（2）与不定积分换元法的区别：
①换元后积分限也应作相对应的变换。此处变换强调对应，而 不一定是下限小于上限。 ②积分结果不需换回，直接利用新变量计算出来。 4 应用举例 例1 求下列定积分：
( 1 ) x 32 x dx
0
1
(2) 2 xsinx2dx
0
【6-3-3】
1 (3 ) dx 1 x 1lnx
即 F ( x ) f ( x ), 则有 f ( x ) dx F ( b ) F ( a )
b
而 F [ ( t )] F ( x ) x ( t ) f ( x ) x ( t ) f [ ( t )] ( t )
a
F [ ( t )] 是 f[ ( t )] ( t ) 在 与 之间的一个原函
a 0
a
a
【6-3-8】
例3 设f(x)是以T(T>0)为周期的连续函数，试证明：对任何 常数a，有 a T T
a
f( x ) dx x ) dx f(
0
证明：
a
a T
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx ( x ) dx f
( 3 ) a ( ), b ( )
第三讲：分部积分法及反常积分
b
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例1. 计算反常积分 解:
= [ arctan x] −∞ π π = − (− ) = π 2 2
+∞
yOy=来自1 1+x2x
思考: 思考 分析: 分析 原积分发散 !
注意: 注意 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .
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0 dx 下述解法是否正确: 1dx
的收敛性 .
1 1 = − + − =∞ = + 解: 2 2 −1 x x −1 x 0+ 1 dx 1 1 0x Q∫ 2 = − = −1−1 = −2 , ∴积分收敛 −1 x 所以反常积分 x −1 发散 .
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若 f (x) ∈C(−∞, + ∞), 则定义
lim ∫a f (x) dx + b→+∞ ∫c f (x) dx a→−∞ lim
( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 .
c b
无穷限的反常积分也称为第一类反常积分 第一类反常积分. 第一类反常积分 说明: 说明 上述定义中若出现 ∞ − ∞ , 并非不定型 , 它表明该反常积分发散 .
这时称反常积分 就称反常积分
收敛 ; 如果上述极限不存在, 发散 .
类似地 , 若 f (x) ∈C[a, b), 而在 b 的左邻域内无界, 则定义
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而在点 c 的 邻域内无界 , 则定义
∫a f (x) dx + ∫c f (x) dx
定积分换元法与分部法教案
定积分换元法与分部法教案教案内容：一、引言定积分是微积分学中的重要概念之一，它被广泛应用于求解曲线下面积、求解平均值、求解弧长等问题。
而在计算定积分时，换元法与分部法是两种常用的方法。
本教案将详细介绍定积分中的换元法与分部法，并通过案例讲解它们的具体应用。
二、换元法换元法是通过引入一个新的变量来简化被积函数的形式，从而更容易进行积分运算。
下面我们以一个简单的例子来说明换元法的基本思想和步骤。
例子1：计算∫(2x+1)^2 dx，其中被积函数为(2x+1)^2。
解：我们首先进行变量替换，令u=2x+1，那么x=(u-1)/2。
同时计算du/dx=2，可以得到dx=du/2。
将这些结果代入原式中得到：∫(2x+1)^2 dx = ∫u^2 (du/2) = 1/2 ∫u^2 du = 1/2 * (u^3/3) + C，其中C 为常数。
最后将u=(2x+1)带回，得到最终结果为1/6 (2x+1)^3 + C。
通过这个例子，我们可以总结出换元法的一般步骤和注意事项：1. 将被积函数中的一部分或全部替换成新的变量，构造一个合适的换元公式。
2. 计算新变量对应的微分形式，并将其代入原式中进行变换。
3. 进行简化和积分运算。
4. 将新变量转换回原变量，并得到最终结果。
三、分部法分部法（也称为积分法）是求解含有乘积形式的函数积分时常用的方法。
它基于积分的乘法法则，通过选取合适的被积函数和积分函数，将原积分问题转化为两个较简单的积分问题。
以下是分部法的一般步骤和一个案例来说明：步骤：1. 选取合适的被积函数和积分函数。
2. 计算分部积分公式∫u dv = uv - ∫v du。
3. 通过代入具体值计算被积函数和积分函数的值，并将结果代入分部积分公式。
4. 对右侧的两个积分进行继续的分部积分，直到能够得到可直接求解的积分表达式。
例子2：计算∫x ln(x) dx。
解：我们选取被积函数u = ln(x) 和积分函数dv = x dx。
微积分ch6--6.5-6.6
x )]
2 3 [ 2 2 ln 3 ] 3 ln 3 .
8 0
一、定积分的换元积分法
定理 设函数 f ( x ) 在[ a , b ] 上连续，令 x
( t ) ，若
（1）函数 x ( t ) 在[ , ] 上具有连续导数；
（2）当 t 从 变到 时， x ( t ) 从 ( ) a 单 调地变到 ( ) b ，
解
令 x 1 t , 则 x 0 t 1,
f ( x 1 ) dx
t
x 2 t 1
1
0
2
1
1
f ( t ) dt
1 1 e t d t 0 1 t dt
1
0
1
1
1 1
0
0
1 e e
t
1 e dt
t
d t ln( 1 t ) | 0
§6.5 ~§6.6
定积分的换元法和 分部积分法
不定积分
换元积分法
分部积分法
定积分
换元积分法
分部积分法
一、定积分的换元法
二、定积分的分部积分法
例 计算
解
8
1 1
3
dx x
dx ，再利用牛顿 x
x t ，
3
0
先求
令
3
1
dx
1
3
莱布尼兹公式
x t，
1
1
3
x
1 t dt
1
8(e 2e 2e 2 )
8(e 2 ) .
练习
计算下列积分：
(1 )
定积分的换元法和分部积分法教学课件ppt
xx年xx月xx日
目录
• 定积分的换元法 • 定积分的分部积分法 • 定积分的几何意义 • 定积分的物理应用 • 定积分的经济应用 • 定积分的优化方法
01
定积分的换元法
换元法的定义与性质
换元法的定义
将一个定积分中的被积函数或积分区间变换 成另一个函数或区间，以求得定积分的值。
THANKS
谢谢您的观看
总结词
功率的概念、能量转换的效率、机械能与热能的转换
详细描述
首先介绍功率的概念，然后通过分析能量转换的效率 和机械能与热能的转换关系，说明功率在不同能量转 换中的重要作用。同时，还介绍如何利用功率公式求 解机械能与热能转换等问题。
05
定积分的经济应用
需求价格弹性
需求价格弹性定义
需求价格弹性是衡量商品需求量 对价格变动敏感程度的指标，用 需求量变动百分比与价格变动百 分比的比值来表示。
成本函数表示企业在一定时期内生产一定数量产品所需投入的成本的函数关系。
收益函数与成本函数的关系
收益函数和成本函数之间存在一定的关系，当销售量增加时，收益增加，但成本也会增加，因此需要找到一个最优的生产 量和销售量组合，使得企业获得最大利润。
利润函数与最优生产量
利润函数定义
利润函数表示企业在一定时期内销售产品 所获得的收益减去生产成本的函数关系。
换元法应用
将复杂的积分区间变换成简单的积分 区间，简化计算。
将非标准形式的积分转换成标准形式的积 分，以便使用积分的性质和公式进行计算 。
将难以求导的被积函数变换成容易 求导的函数，以便使用微积分基本 定理进行计算。
02
定积分的分部积分法
高数换元法与分部积分法
二、定积分的分部积分法
定理2. 设 u ( x) , v( x) C1[a , b] , 则 b
a
证: [u ( x) v( x)] u( x)v( x) u ( x)v( x)
两端在 [a, b] 上积分 b b b u ( x) v( x) u ( x)v( x) dx u ( x)v( x) dx a a a b b u ( x)v( x) u ( x) v( x) dx a a
3/2/2017
并由此计算
0
(2)
n
1 sin 2 x dx
a
a nT
f ( x ) dx
则有
0
3/2/2017
n
1 sin 2 x dx n
0
1 sin 2 x dx
周期的周期函数
0
n
1 sin 2 x dx n n
0
0
1 sin 2 x dx
提示: 令 u x t , 则
0
3/2/2017
x
sin
100
(x t) d t
sin
100
u
2. 设
解法1.
f ( x3 )
解法2. 对已知等式两边求导,
得
思考: 若改题为
提示: 两边求导, 得
3/2/2017
3. 设
求 解:
(分部积分)
3/2/2017
作业
P253 1 (4) , (10) , (16) ,(24) ;
例4. 设 f (x) 是连续的周期函数, 周期为T, 证明：
并由此计算
I
nπ 0
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定积分的换元法与分部积分法定积分是微积分中的重要概念之一，它用于计算曲线与坐标轴之间的面积、弧长等问题。
在定积分的计算过程中，换元法与分部积分法是常用的两种方法。
本文将详细介绍这两种方法的定义、原理和具体应用，并通过实例来加深理解。
一、换元法
换元法，也称为反向链式法则，是利用复合函数的导数来进行积分运算。
在定积分的换元法中，我们通过引入一个新的变量来简化被积函数的形式，使得积分的计算更加容易。
具体步骤如下：
1. 假设被积函数为f(x)，且能够表示为g(u)·u'(x)，其中u是一个关于x的函数。
2. 将u关于x求导得到u'(x)，并解出x关于u的表达式，即x=g^(-1)(u)。
3. 将f(x)中的x替换为g^(-1)(u)，得到f(g^(-1)(u))·u'(x)。
4. 将上述表达式中的dx替换为u'(x)·du。
5. 得到新的被积函数F(u)=f(g^(-1)(u))·u'(x)·du。
6. 对新的被积函数F(u)进行积分。
换元法的主要思想是将原本复杂的积分问题转化为一个简单的积分问题，从而更容易地求解。
下面通过一个例子来说明：
例子：计算定积分∫(1+2x)^3·2dx。
解：步骤如下：
1. 令1+2x=u，求导得到dx=du/2，将其带入被积函数中得到
(1+2x)^3·2·(du/2)。
2. 将x=(u-1)/2，得到被积函数(u^3)·du。
3. 计算新的被积函数的积分即可，∫u^3·du=u^4/4+C，其中C为常数。
4. 将u替换为1+2x，得到最终的结果为(1+2x)^4/4+C。
通过换元法，我们成功地将原本复杂的被积函数简化为了一个简单
的表达式，从而更容易地求出其积分。
二、分部积分法
分部积分法是用于求解含有积分符号的乘积函数的积分。
在分部积
分法中，我们通过对被积函数进行适当的分解和重新组合，使得积分
的计算更加容易。
具体步骤如下：
1. 假设被积函数为f(x)·g(x)，其中f(x)和g(x)均为可导函数。
2. 将f(x)和g(x)中的一个函数作为u，另一个函数作为v，即u=f(x)，v=g(x)。
3. 分别求出u和v的导数u'(x)和v'(x)。
4. 利用分部积分公式∫(u'(x)·v(x))dx=u(x)·v(x)-∫(u(x)·v'(x))dx进行积分计算。
5. 对∫(u(x)·v'(x))dx继续应用分部积分法，直至得到可直接求解的积分。
分部积分法的核心思想是将原本复杂的积分问题分解成两个相对简
单的积分问题，通过反复应用分部积分法，逐步降低被积函数的难度。
下面通过一个例子来说明：
例子：计算定积分∫x·cos(x)dx。
解：步骤如下：
1. 令u=x，v'=cos(x)，得到u'=1，v=sin(x)。
2. 根据分部积分公式∫u'(x)·v(x)dx=u(x)·v(x)-∫u(x)·v'(x)dx，得到积分
∫x·cos(x)dx=x·sin(x)-∫sin(x)dx。
3. 对∫sin(x)dx进行积分得到-cos(x)+C，其中C为常数。
4. 将结果代入步骤2的公式，得到最终的结果x·sin(x)-(-
cos(x))+C=x·sin(x)+cos(x)+C。
通过分部积分法，我们成功地将原本复杂的被积函数分解成了两个
简单的积分问题，从而更容易地求解出其积分。
综上所述，定积分的换元法与分部积分法是常用的积分计算方法。
通过适当选择合适的方法，结合具体问题，我们可以更有效地计算定
积分。
在实际应用中，根据被积函数的形式和性质，选择合适的方法
非常重要，可以大大简化积分计算的过程。