积分的换元法与分部积分法
定积分的换元法和分部积分法
10
1 1 ( x)2
d( x) 2
arcsin
x 2
1 0
π 2
2
例3
计算
02
sin6xcosxdx
解
02
sin6xcosxdx02
sin6xd(sinx)
π
sin
7x
2
7 0
1 7
例4
计算
1e
1 lnx x
dx
解
e 1
1 lnx dx x
e1(1lnx)d(1lnx)
(1
ln
1
1
解法1
2 0
arcsinxdx
02arcsixnd(x)
1 1 xdx
xarcsixn02
2 0
1 x2
1 26
1
1 2
20
1 d(1x2) 1x2
12
1
1x2
2
0
31.
12 2
解法2
1
02arcsixndx
换 元t： arcsxin
6td(sitn)
则xsin t 0
分 部 积 分
2. 第二类换元积分法
设函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续 ，函数 xφ(t)
满足 (1) φ(α)a, φ(β)b
(2) φ(t)在 [α, β]（或 [β, α]）上具有连续
导数，且 φ(t)[a, b] ，于是
a bf(x)dx βf[φ(t)φ ](t)dt
注意: （1）换元前后，上限对上限、下限对下限；
2
t
3
2 t
3 1
8 3
例7
计算
04
换元积分法与分部积分法
d
xn
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法
(4) 巧妙换元或配元
2022年9月29日8时31分
21
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思考与练习 1. 下列各题求积方法有何不同?
(1)
dx 4 x
(2)
4
d
x x
2
(3)
x 4 x2
dx
1 2
d(4 x2 ) 4 x2
13
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例10 求
解法1
cos x cos2 x
dx
1
d
sin x sin2 x
1 2
1 1 sin
x
1 1 sin
x
d
sin
x
1 ln 1 sin x ln 1 sin x C
2 1 ln 1 sin x C
2 1 sin x
2022年9月29日8时31分
ax t
a2 x2
26
例17 求
解
令
x
a
tan
t
,
t
(
2
,
2
)
,
则
x2 a2 a2 tan2 t a2 a sect
dx a sec2 t d t
∴ 原式
a sec2 a sec t
t
d
t
sec t
d
t
ln sect tan t C1
ln
x2 a2
x a
C1
x2 a2
不定积分是求导运算的逆运算, 相应 于复合函数求导数的链式法则和乘法 求导公式, 不定积分有换元积分法和分 部积分法.
定积分换元法与分部法教案
定积分换元法与分部法教案教案内容：一、引言定积分是微积分学中的重要概念之一，它被广泛应用于求解曲线下面积、求解平均值、求解弧长等问题。
而在计算定积分时，换元法与分部法是两种常用的方法。
本教案将详细介绍定积分中的换元法与分部法，并通过案例讲解它们的具体应用。
二、换元法换元法是通过引入一个新的变量来简化被积函数的形式，从而更容易进行积分运算。
下面我们以一个简单的例子来说明换元法的基本思想和步骤。
例子1：计算∫(2x+1)^2 dx，其中被积函数为(2x+1)^2。
解：我们首先进行变量替换，令u=2x+1，那么x=(u-1)/2。
同时计算du/dx=2，可以得到dx=du/2。
将这些结果代入原式中得到：∫(2x+1)^2 dx = ∫u^2 (du/2) = 1/2 ∫u^2 du = 1/2 * (u^3/3) + C，其中C 为常数。
最后将u=(2x+1)带回，得到最终结果为1/6 (2x+1)^3 + C。
通过这个例子，我们可以总结出换元法的一般步骤和注意事项：1. 将被积函数中的一部分或全部替换成新的变量，构造一个合适的换元公式。
2. 计算新变量对应的微分形式，并将其代入原式中进行变换。
3. 进行简化和积分运算。
4. 将新变量转换回原变量，并得到最终结果。
三、分部法分部法（也称为积分法）是求解含有乘积形式的函数积分时常用的方法。
它基于积分的乘法法则，通过选取合适的被积函数和积分函数，将原积分问题转化为两个较简单的积分问题。
以下是分部法的一般步骤和一个案例来说明：步骤：1. 选取合适的被积函数和积分函数。
2. 计算分部积分公式∫u dv = uv - ∫v du。
3. 通过代入具体值计算被积函数和积分函数的值，并将结果代入分部积分公式。
4. 对右侧的两个积分进行继续的分部积分，直到能够得到可直接求解的积分表达式。
例子2：计算∫x ln(x) dx。
解：我们选取被积函数u = ln(x) 和积分函数dv = x dx。
-定积分的换元法与分部积分法
x t 0, 2
返回
微积分
第三章 一元函数积分学
2 f (sin x)dx
0
0
2
f
sin
2
t
dt
3
2 arcsin(
ln x)
e4 e
. 6
返回
微积分
第三章 一元函数积分学
例4
a
计算
0 x
1
dx.
a2 x2
(a 0)
解 令 x a sin t, dx a cos tdt,
x a t , x 0 t 0,
2
原式 2
a cos t
2
2 cos5 x sin xdx 0
x 0 t 1,
0 t 5dt t 6 1 1 .
1
60 6
返回
微积分
第三章 一元函数积分学
例2
计算
sin3 x sin5 xdx.
0
3
解 f ( x) sin3 x sin5 x cos x sin x2
微积分
第三章 一元函数积分学
第七节 定积分的换元法与分部积分法
一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法 三、小结
返回
微积分
第三章 一元函数积分学
一、定积分的换元法
定理 假设
（1） f ( x)在[a, b]上连续；
（2）函数 x (t ) 在[ , ]上是单值的且有连续
导数；
（3）当t 在区间[ , ]上变化时， x (t ) 的值 在[a,b]上变化，且 ( ) a 、 ( ) b，
求积分的方法
求积分的方法一、换元法。
换元法是求解不定积分中常用的一种方法。
当被积函数中含有较为复杂的函数时，可以通过引入新的变量来简化被积函数，从而更容易进行积分运算。
换元法的关键是选择合适的替换变量，通常要根据被积函数的形式和特点来选择。
例如，当被积函数中含有平方根、三角函数等形式时，可以尝试使用三角代换或者根式代换来简化被积函数，然后进行积分运算。
二、分部积分法。
分部积分法是求解不定积分中常用的另一种方法。
当被积函数是两个函数的乘积形式时，可以通过对被积函数进行分解，然后利用分部积分公式进行积分运算。
分部积分法的关键是选择合适的分解方式，通常要根据被积函数的形式和特点来选择。
例如，当被积函数中含有指数函数、三角函数等形式时，可以尝试使用指数函数、三角函数的导数和原函数之间的关系来进行分解，然后进行积分运算。
三、换限积分法。
换限积分法是求解定积分中常用的一种方法。
当被积函数的自变量的取值范围较为复杂时，可以通过引入新的变量来简化定积分的计算。
换限积分法的关键是选择合适的变量替换方式，通常要根据定积分的积分区间和被积函数的形式来选择。
例如，当定积分的积分区间为无穷大区间时，可以尝试使用新的变量替换无穷大，然后进行积分运算。
四、利用积分表。
在实际应用中，有些函数的积分可以通过积分表来直接查找得到。
积分表中包含了许多常见函数的不定积分和定积分的结果，可以直接利用积分表来求解一些特定函数的积分。
在使用积分表时，需要注意查找的函数形式和积分的范围，以确保得到正确的积分结果。
五、数值积分法。
当无法通过解析方法求解积分时，可以通过数值积分法来进行近似计算。
数值积分法通过将积分区间进行等分，然后利用数值计算方法对每个小区间进行积分运算，最后将各个小区间的积分结果相加得到整个积分的近似值。
常见的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则等。
总结。
求解积分是数学中的一个重要问题，通过合理选择求积分的方法，可以更加高效地进行积分运算。
定积分的换元法和分部积分法
x = (t)
f [ (t) ] '(t) d t
a
b u d v = u vb −
b
v du
a
aa
a
aa
此公式称为定积分的分部积分公式.
例4.计算 1 x e x d x 0
0 x cos x d x
解: 1 x e x d x = 1 x d (e x )
0
0
=
x
e
x
1 0
−
1
e
x
d
x
0
=
x
e
x
1 0
−
e
x
1 0
= e − (e −1)
=1
1
例5.计算 arctan x d x 0
定积分的换元法和分部积分法
一 定积分的换元法
提出问题
对于
1
e
2x
d
x
,
令
t
=
2
x
, 即令
x
=
1
t
,则
0
2
e 2x d t = 1 e t d t = 1 e t + C = 1 e 2x + C
2
2
2
于是
1
e
0
2x
d
x
=
1 2
e
2x
1 0
=
1 (e 2
2
− 1)
分析问题
1
(t
10−
t
11
)
d
t
定积分的换元法与分部积分法
原式
2
ln1xe1
011
(3) 2 cos5xsinxdx. 0
解
2
co5sxsinxdx 2co5sxdcoxs
cos
6
x
2
1
.
0
0
6
6
0
4
2
sinx dx
0
2
2
解 0 sinxd x 0sinx d x sinx d x
cosx0cosx2 1 1 1 1 4
即Φ(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
证 (x x)x xf(t)dt
a
xx
x
( x x ) ( x ) f(t)d t f(t)dt
a
a
x
x x
x
xx
af( t) d t x f( t) d a tf( t) dt x f(t)dt,
由积分中值定理得 f() x [x ,x x ],
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)
仍成立.
例2 求下列定积分
1 1 x 2dx 0
解 因为y x 2 在 [ 0 , 1 ] 上连续，y 1 x 3 是它的一个原函数 3
所以
1x2dx
0
(1x3) 3
1 0
1 3
2 2 dx
e11 x
解
1lnx5 5
e 1
1 5
凑微分d ln x
不换元则不变限
另解 原式
u lnx
1u 4du
0
1 5
u5
定积分的换元积分法与分部积分法
定积分的换元积分法与分部积分法教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法 难 点：定积分换元条件的掌握 重 点：换元积分法与分部积分法由牛顿－莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数．在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的．1．定积分换元法 定理 假设(1) 函数)(x f 在区间],[b a 上连续；(2) 函数)(t x ϕ=在区间],[βα上有连续且不变号的导数；(3) 当t 在],[βα变化时，)(t x ϕ=的值在],[b a 上变化，且b a ==)(,)(βϕαϕ， 则有[]dt t t f dx x f ba⎰⎰'=βαϕϕ)()()(． (1)本定理证明从略．在应用时必须注意变换)(t x ϕ=应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分．例1 计算⎰-211dx xx ． 解 令t x =-1，则tdt dx t x 2,12=+=．当1=x 时，0=t ；当2=x 时，1=t ．于是⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⋅+=-102102211112211dt t tdt t t dx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-=-=412)arctan (210πt t ．例2 计算⎰-adx x a 022)0(>a ．解 令t a x sin =，则tdt a dx cos =．当0=x 时，0=t ；当a x =时，2π=t ．故⎰-adx x a 022dt t a t a ⎰⋅=20cos cos πdt t a )2cos 1(2202+=⎰π2022sin 212π⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=t t a42aπ=．显然，这个定积分的值就是圆222a y x =+在第一象限那部分的面积(图5－8)．例3 计算⎰205sin cos πxdx x ．解法一 令x t cos =，则xdx dt sin -=． 当0=x 时，1=t ；当2π=x 时，0=t ，于是6161sin cos 01650125=-=-=⎰⎰t dt t xdx x π． 解法二 也可以不明显地写出新变量t ，这样定积分的上、下限也不要改变．即x d x xdx x cos cos sin cos 205205⎰⎰-=ππ61610cos 61206=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=πx ．此例看出：定积分换元公式主要适用于第二类换元法，利用凑微分法换元不需要变换上、下限．例4 计算dx x ⎰-π0sin 1．解dx x ⎰-πsin 1⎰-=π2cos 2sindx xx 注去绝对值时注意符号．=⎰⎰-+-πππ220)2cos 2(sin )2sin 2(cos dx xx dx x x=222(sin cos )2(cos sin )2222x x x xπππ+--=)12(4-．例5 计算⎰+π2sin 3sin dx xx ．解 设x t cos =，则当0=x 时，1=t ；当π=x 时，1-=t ．⎰+π2sin 3sin dx xx =⎰⎰---=--1111224141dt tdt t11arcsin23t π-==．例6 设)(x f 在],[a a -上连续，证明： (1) 若)(x f 为奇函数，则0)(=⎰-aa dx x f ；(2) 若)(x f 为偶函数，则dx x f dx x f aa a)(2)(0⎰⎰=-．证 由于dx x f dx x f dx x f aaaa)()()(0⎰⎰⎰+=--,对上式右端第一个积分作变换t x -=，有dt t f dt t f dx x f aaa)()()(00-=--=⎰⎰⎰-dx x f a)(0-=⎰．故dx x f x f dx x f aaa)]()([)(0+-=⎰⎰-．(1) 当)(x f 为奇函数时，)()(x f x f -=-，故00)(0==⎰⎰-dx dx x f aaa．(2) 当)(x f 为偶函数时，)()(x f x f =-，故dx x f dx x f dx x f aaaa)(2)(2)(0⎰⎰⎰==-．利用例6的结论能很方便地求出一些定积分的值． 例如0sin 6=⎰-xdx x ππ．⎰⎰---+=-+1122112)424()4(dx x x dx x x 80411=+=⎰-dx ．2．定积分的分部积分法设函数)(x u 与)(x v 均在区间],[b a 上有连续的导数，由微分法则vdu udv uv d +=)(，可得vdu uv d udv -=)(．等式两边同时在区间],[b a 上积分，有vdu uv udv baba ba⎰⎰-=)(． (2)公式(2)称为定积分的分部积分公式，其中a 与b 是自变量x 的下限与上限． 例7 计算xdx eln 1⎰．解 令dx dv x u ==,ln ，则x v xdxdu ==,．故 xdx x x x xdx e ee⋅-=⎰⎰111]ln [ln 1)1()0(=---=e e ．例8 计算xdx x 3cos 0⎰π．解x xd xdx x 3sin 313cos 00⎰⎰=ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰xdx x x 3sin 3sin 3100ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=π03cos 31031x 92-=． 例9 计算⎰+42cos 1πdx xx．解⎰+42cos 1πdx x x =⎰⎰=4042tan 21cos 2ππx xd dx x x=)tan tan (214040⎰-ππxdx x x =)cos ln 4(2140ππx +=2ln 418-π． 例10 计算⎰403sec πxdx ．解⎰⎰⎰=⋅=40402403tan sec sec sec sec πππx xd xdx x xdxxdx x x x x tan sec tan tan sec 4040⋅-=⎰⎰ππxdx x sec )1(sec 2240--=⎰π⎰⎰+-=40403sec sec 2ππxdx xdx40403)tan ln(sec sec 2ππx x xdx ++-=⎰)12ln(sec 2403++-=⎰πxdx ．即 )12ln(2sec 2403++=⎰πxdx 注移项得．故 )12ln(2122sec 43++=⎰πxdx ． 例11 计算dx e x ⎰10．解 先用换元法，令t x =，则tdt dx t x 2,2==． 当0=x 时，0=t ；当1=x 时，1=t ． 于是dt te dx e t x⎰⎰=112．再用分部积分法，得dx e x ⎰111122()t t t tde t e e dt ==-⎰⎰2)]1([2=--=e e ．小结：1．定积分换元积分定理：假设 (1) 函数)(x f 在区间],[b a 上连续；(2) 函数)(t x ϕ=在区间],[βα上有连续且不变号的导数；(3) 当t 在],[βα变化时，)(t x ϕ=的值在],[b a 上变化，且b a ==)(,)(βϕαϕ． 则有[]dt t t f dx x f ba⎰⎰'=βαϕϕ)()()(．2．定积分分部积分法：设函数)(x u 与)(x v 均在区间],[b a 上有连续的导数，则有vdu uv udv baba ba⎰⎰-=)(．。
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积分的换元法与分部积分法
积分作为微积分中重要的概念和工具，被广泛应用于数学、物理、
工程等领域。
积分可以通过不同的方法来求解，其中换元法和分部积
分法是常见且重要的两种方法。
本文将介绍积分的换元法和分部积分法，并对其原理和应用进行详细讨论。
一、换元法
换元法又被称为变量代换法，其核心思想是通过引入新的变量来简
化被积函数的形式。
具体步骤如下：
1. 选择合适的变量代换。
2. 计算新变量关于原变量的导数，确定微元的变换关系。
3. 将被积函数和微元用新变量表示，进行积分计算。
4. 将结果用原变量表示，得到最终的积分结果。
举例来说，如果要计算∫(2x+1)^2 dx，可以选择变量代换u = 2x + 1。
根据导数的链式法则，有du/dx = 2，从而dx = du/2。
将被积函数和微
元用新变量表示，得到∫u^2 (du/2)。
对该表达式进行积分计算，并将结
果用原变量表示，即可得到∫(2x+1)^2 dx的积分结果。
换元法在解决一些形式复杂的积分问题时非常有用，可以将原函数
变换为更简单的形式，进而实现积分的计算。
二、分部积分法
分部积分法是对求导和求积分的相互关系的一种应用。
其基本原理是根据乘积的求导法则，将被积函数分解为两个函数的乘积的导数形式，从而利用求导法进行积分的计算。
具体步骤如下：
1. 选择合适的分解形式。
2. 对乘积中的一个函数求导。
3. 对另一个函数进行积分。
4. 将结果用原变量表示，得到最终的积分结果。
举例来说，如果要计算∫x*sin(x) dx，可以将被积函数分解为两个函数的乘积形式，即f(x) = x和g(x) = sin(x)。
根据导数的乘法法则，有(fg)' = f'g + fg'，其中f'和g'分别表示f(x)和g(x)的导数。
将该等式与积分的相互关系结合，得到∫f(x)g'(x)dx = fg - ∫f'(x)g(x)dx。
利用该等式进行计算，即可得到∫x*sin(x) dx的积分结果。
分部积分法常用于解决含有特殊函数（如三角函数、指数函数等）的积分问题，通过分解和求导求积分的结合，实现了积分的计算。
三、换元法与分部积分法的比较
换元法和分部积分法在积分计算中都具有重要的作用，但其适用范围和应用场景有所不同。
- 换元法适用于需要对被积函数进行代换以简化形式的情况，适合解决复杂函数的积分计算。
然而，换元法求解积分问题时，需考虑变
量代换的选取和计算新变量关于原变量的导数，对于复杂的函数关系会增加计算的复杂度。
- 分部积分法适用于含有乘积形式的积分问题，特别是当被积函数中的一个函数的导数形式较简单时，通过分解和求导求积分的组合，可以有效地简化积分的计算。
然而，分部积分法求解积分问题时，需要选择合适的分解形式，较复杂的分解形式可能会导致计算的困难。
总体而言，换元法和分部积分法是解决积分问题中常用的方法，应根据具体问题的特点和计算的复杂度来选择合适的方法。
通过灵活的应用这两种方法，可以有效地求解各种类型的积分问题，提高积分计算的准确性和效率。
综上所述，积分的换元法和分部积分法是常用且重要的两种积分方法。
它们分别通过引入新的变量和将被积函数分解为两个函数的乘积来简化积分的计算。
通过合理选择适用的方法，可以有效地求解积分问题，提高数学和科学领域中的计算效率和准确性。