1、1探索勾股定理(2)
第一节：探索勾股定理课时二
8
D
C
即X2=256-32X+X2 +64 ∴ X=10 ∴ S∆ABC=BC•AD/2=2 •6 •8/2=48
拓 展 与 拔 高 2
如图，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上 取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F， 求CE的长.
拓展与拔高3：
美国总统证法：
D c a
C
c b a B
b
A
勾股定理的做用途
• 你认为利用勾股定理可以解决什么数学问题？
• 在直角三角形中，若已知任意2边，就可以运用勾 股定理求出第三边
蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘 只要求答案 米？（小方格的边长为 1 厘米） A
B G E
C
F
D
生 活 中 勾 股 定 理 的 应 用
1 1
？
•
趣闻调查组报告 勾股定理的
在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华 盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏 的美景……他走着走着，突然发现附近的一个小 石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么 ，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱 使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到 底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝 在地上画着一个直角三角形……
例题： 飞机在空中水平飞行，某一时刻 刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处， 过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000 米，飞机每小时飞行多少千米？
20秒后
C
4Km
B
A
生 活 中 勾 股 定 理 的 应 用
拓展练习
1.如图是某沿江地区交通平面图，为了加快 经济发展，该地区拟修建一条连接 M,O,Q三城 市的沿江高速，已知沿江高速的建设成本是 100万元/千米，该沿江高速的造价预计是多少 ？
1.1.1探索勾股定理(教案)
-掌握勾股定理的证明方法：讲解几何拼贴法和代数推导法两种证明方法，帮助学生理解定理的严谨性。
举例：在直角三角形ABC中，设a、b分别为直角边，c为斜边，则勾股定理可表示为：a² + b² = c²。
4.培养学生的数学文化素养，了解勾股定理的历史背景，感受数学在人类文明发展中的价值，激发学生学习数学的兴趣。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握勾股定理的概念：勾股定理是指直角三角形中，直角边（即“勾”和“股”）的平方和等于斜边（即“弦”）的平方。重点讲解直角三角形的边长关系，使学生明确勾股定理的核心内容。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。它是解决直角三角形边长计算问题的关键。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算直角三角形的边长，展示勾股定理在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
另外，小组讨论的环节也让我看到了学生们的合作精神和解决问题的能力。他们能够积极地参与到讨论中，提出自己的见解，也能倾听同伴的意见。不过，我也观察到有些小组在讨论时可能会偏离主题，需要我适时地引导他们回到正题上。这可能提示我在设置讨论主题时，需要更加明确和具体，以便学生们能够更有针对性地展开讨论。
此外，我觉得在课程中增加实验操作环节是一个不错的尝试，它能够让学生们通过动手实践来加深对勾股定理的理解。但在操作过程中，我也发现有些学生对于实验的步骤和目的不够清晰，导致实验效果不尽如人意。因此，我需要在下一次的实验前，更详细地解释实验步骤和目的，确保每个学生都能够从实验中获得收获。
勾股定理(2)光明实验学校孙老师-6864-
一、小测： 在△ABC中，∠C = 90°， AB = 8
（1）若∠A = 45°，求 BC 、 CA 的长度；
解： 在Rt△ABC中，根据勾股定理
B
8 A
45°
AC CB AB 2 2 2 x x 8
2 2
2
x x
C B ； C
x 16 2
CA 的长为
2
x 32 x4 2
1 的过 验 三程 证 边， 勾 之体 股 间验 定 的直 理 特角 的 殊三 探 关角 索 系形 。
学 习 目 标 ：
.
.
利用拼图来验证勾股定理： 1、准备四个全等的直角三角形（设直角三 角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c）； 2、你能用这四个直角三角形拼成一个以 斜边c正方形吗？拼一拼试试看?
勾股定理（gou-gutheorem)
直角三角形两直角边的平方和等于斜边 的平方。
如果直角三角形两直角边分别为
a、b,斜边为c，那么
a b c
2 2
2
a
c
b
探索勾股定理（2）
a c b a2+b2=c2
角应 形用 中勾 未股 知定 边理 求 解 直 角 三
重 点 与 难 点 ：
2 长直 能 。角 应 三用 角勾 形股 中定 未理 知求 边解 的
也可以表示为 c2 +4•ab/2 b a b c c a c ∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab/2 a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴a2+b2=c2 a a
b b
c
你能用此图证明勾有股定理吗？
c a
b
例题1：蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬
1.1探索勾股定理(教案)
今天在教授《1.1探索勾股定理》这一章节时，我发现学生们对勾股定理的概念和应用表现出很大的兴趣。在导入新课环节，通过提出与日常生活相关的问题，成功激发了学生的好奇心。然而，我也注意到在讲授过程中，部分学生对代数证明部分的理解存在困难。
在理论介绍环节，我尽量用简单明了的语言解释勾股定理，并通过案例分析让学生了解其在实际中的应用。不过，我意识到在讲解难点时，需要更多具体的例子和图形演示来帮助学生理解。今后，我可以在这一部分增加一些互动环节，如让学生自己动手画图，加深对定理的理解。
2.教学难点
（1）理解勾股定理的证明过程，尤其是代数证明部分。
（2）将勾股定理应用于解决实际问题，特别是需要将实际问题转化为数学模型的能力。
举例：
-在代数证明部分，学生可能对平方的概念理解不深，教师需要通过具体例子和图形演示，帮助学生理解平方的含义。
-在解决实际问题时，学生可能不知道如何将问题转化为直角三角形的模型。教师可以通过案例分析和示范，引导学生学会提取关键信息，建立数学模型。
3.培养学生的数学应用意识，将勾股定理应用于解决实际问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
4.培养学生的合作意识和探究精神，鼓励学生在小组讨论、合作探究中发展团队协作能力和创新思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解并掌握勾股定理的表达式：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
§1.1.2探索勾股定理(第二课时)
党岘中学八年级第一学期数学导学案 使用时间： 编制人：靳军强 审核人：孙 慎 班 级： 小 组： 姓 名： 导学案编号：81SX002第一章 勾股定理§1.1.2探索勾股定理（第二课时）【学习目标】我要掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题. 【重点】我会用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题. 【难点】利用数形结合的方法验证勾股定理。
预 习 案一、自主预习（1）勾股定理的内容是（2）直角三角形两边长为3和4，求第三边长（3）、求出x 的值探 究 案自主探究一 我们通过测量和数格子的方法发现了勾股定理，在图1-4中（图为课本第4页），分别以直角三角形的三条边为边长向外作三角形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？你是如何做到的？与同伴交流。
自主探究二 1. 课本5页做一做2.轮船从海中岛A 出发，先向北航行9km ，又往西航行9km ，由于遇到冰山，只好又向南航行4km ，再向西航行6km ，再折向北航行2km ，最后又向西航行9km ，到达目的地B ，求AB 两地间的距离.达标测评1、若△ABC 中，∠C=90°，（1）若a =5，b =12，则c = ；（2）若a =6，c =10，则b = ； （3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a = ，b = . 2、直角三角形两直角边长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高为 . 3、如图在△ABC 中，∠ACB=90º， CD ⊥AB ，D 为垂足，AC=2.1cm,BC=2.8cm. 求 ① △ABC 的面积； ②斜边AB 的长；③斜边AB 上的高CD 的长x 1517。
1.1.2探索勾股定理(教案)
（二）新课讲授（用时10分钟）
在学生小组讨论环节，我尽量让自己成为一个引导者和协助者，让学生们充分发表自己的观点。从讨论成果来看，学生们对于勾股定理在实际生活中的应用有了更深入的认识。但同时，我也发现有些学生在讨论中较为沉默，可能是因为缺乏自信或者不敢表达自己的看法。针对这个问题，我打算在以后的教学中多关注这部分学生，鼓励他们积极参与讨论。
（3）学会运用勾股定理解决实际问题，例如计算直角三角形的斜边长度或已知斜边长度求直角边的长度。
举例：在讲解勾股定理时，可以引用教材中的例子，如一个直角三角形，两直角边分别为3和4，求斜边长度。通过计算3²+4²=9+16=25，然后开方得到斜边长度为5，使学生理解并掌握勾股定理的应用。
2.教学难点
（1）理解并证明勾股定理：对于部分学生来说，理解直角三角形两条直角边与斜边之间的数量关系可能存在困难。因此，教师需要采用生动形象的方法，如实物操作、动画演示等，帮助学生突破这一难点。
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的逻辑推理能力，通过探索勾股定理的过程，让学生理解数学结论的严谨性，提高他们的逻辑思维水平；
2.培养学生的空间想象力和几何直观，通过观察和分析直角三角形的性质，发展学生对图形的认识和处理能力；
3.培养学生的数学建模素养，使学生能够运用勾股定理解决实际问题，建立数学模型，感受数学与现实生活的紧密联系；
1.1 .2探索勾股定理（教案）
衡水市第五中学八年级数学上册 第一章 勾股定理 1.1 探勾股定理第2课时 验证勾股定理教学课件 新
9．(9分)利用完全平方公式计算 : (1)2012 ; 解 : 原式＝(200＋1)2 ＝40 000＋2×200＋1 ＝40 000＋401 ＝40 401 (2)99.82 ; 解 : 原式＝(100－0.22) ＝10 000－0.4×100＋0.22＝9 960.04
根据勾股定理得
92122 x2，
解得x=15, 15+9=24(m).
答 : 旗杆原来高24 m.
9m
12 m
4.如下图 , 某住宅小区在施工过程中留下了一块空地〔图中的四边形ABCD〕 , 经测量 , 在四边形ABCD中 , AB=3m , BC=4m , AD=13m , ∠B=∠ACD=90°．小区为美化环境 , 欲在空地上铺草坪 , 已知草坪每平方米 100元 , 试问铺满这块空地共需花费多少元 ？
按照前面的规律 , 那么(a＋b)5＝a_5_＋__5_a_4_b_＋__1__0_a_3b__2＋__1__0_a_2_b_3_＋__5_a_b_4_＋__b_5__．
（三）解答题(共44分) 14．(12分)计算 : (1)(a－1)(a＋1)(a2－1) ; 解 : 原式＝(a2－1)(a2－1) ＝(a2)2－2a2＋1＝a4－2a2＋1
∴ a2+b2=c2
; (a+b)2
b
ac
c
b a
a
cb ca
b
方式小结 : 我们利用拼图的方式 , 将形的问题与数的问题结合起来 , 再进行整式 运算 , 从理论上验证了勾股定理．
《探索勾股定理》教学设计
《探索勾股定理》教学设计《探索勾股定理》教学设计嘴角上翘一、教材分析勾股定理历史悠久，是初中数学中非常重要的一个结论，称为"几何学的基石",在数学学习中有重要的地位。
它是平面几何有关度量的最基本定理，它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，学习勾股定理是进一步认识和理解直角三角形的需要，也是后续有关几何度量运算和代数学习的必要基础。
因而勾股定理具有学科的基础性和广泛的应用。
二、学情分析：八年级学生已经学习了三角形的一些基本知识；也经历过利用图形面积来探求数学公式过程。
如探求乘法公式、单项式乘多项式法则、多项式乘多项式法则等。
本节课在学生这些原有的认知水平基础上，探求直角三角形的又一重要性质——勾股定理。
让学生的知识形成知识链，使学生已具有的数学思维能力得以充分发挥和发展。
但是这个年龄的孩子的思维偏重于直观。
而勾股定理的探究方法虽然很多，但对于八年级的学生，如果直接让探究直角三角形三边之间的关系，学生大多会思考三边之间的一次关系，而较难想到三边之间的平方关系，可能会陷入较长时间的困惑，而且没有教师的指引可能最终都不能走到正确道路上来，为此，从特殊的等腰直角三角形入手，提出问题，课堂中，注重学生的动手操，引导学生从具体到一般，层层递进，引导学生亲历定理的产生和验证过程，作为以后相关知识的继续学习奠定良好的基础。
让学生经历勾股定理的探究过程，进一步丰富学生的数学活动经验，发展学生的推理能力，以及分析问题、解决问题的能力，同时感受勾股定理的文化价值。
三、教学目标：1、让学生亲历"发现问题—提出问题—一解决问题"、从"特殊到一般"的过程，体会类比、转化、数形结合的数学思想和方法。
2、让学生经历实践操作、计算分析、拼图实验的过程，在过程中养成独立思考、合作交流的学习习惯；让各类型的学生在这些过程中发挥自己特长，通过解决问题增强自信心，激发学习数学的兴趣；通过老师的介绍，感受勾股定理的文化价值。
《探索勾股定理》优秀教案1
以博致雅：“八有效”文化课堂讲学案年级科目主备人审核人总课时数讲学日期八年级数学姜忠英吴智慧 2 月日课题 1、探索勾股定理（二）课型新授课教具多媒体课时 2 教法引导发现法目标有效1、知识与技能：了解多种拼图方法，验证勾股定理，感受解决问题方法的多样性。
2、过程与方法：进一步了解勾股定理，应用勾股定理进行简单的计算和证明。
3、情感态度与价值观：使学生养成互助协作意识，使自己成为高雅之人。
讲学重点能熟练应用拼图法（用面积）证明勾股定理．讲学难点能熟练应用拼图法（用面积）证明勾股定理．教学流程有效展示：有效导课：有效合作：小组负责选题、主持课前提问的展示必答题抢答题板答题请同学们画四个与右图全等的直角三角形，并把它剪下来。
用这四个三角形拼一拼、摆一摆，看看是否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用它说明勾股定理吗？并与同伴交流。
（一）探究勾股定理如图，用这四个直角三角形拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，并与同学们交流。
在同学操作的过程中，教师提问：大正方形的面积可表示为什么？图1有效拓展有效总结：有效检测：有效讲评：（二）、讲解例题例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000 米处，过了2021，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？解：由勾股定理得)(945222222千米=-=-=ACABBC即BC=3千米飞机2021行3 千米．那么它小时飞行的距离为：5403203600=⨯（千米／时）答：飞机每小时飞行540千米。
我方侦查员小王在距离东西向公路400米处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶。
他赶紧拿出红外线测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？学生总结，老师点拨及补充1、收获2、心得一个25m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24m，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移4m吗？1、总结检测情况2、评价小组表现板书设计1、探索勾股定理（二）探究勾股定理讲解例题--------------- -----------------教学反思第 2 次 有 效 作 业1★． 如果Rt △的两直角边长分别为2－1，2（ >1），那么它的斜边长是（ ）A 、2B 、1C 、2－1D 、21 2 ★一座建筑物发生了火灾，消后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（ ）A 、 12米B 、 13米C 、 14米D 、15米3．如图，黑部分（长方形） 面积应为A 18B 24C 30D 484．若△ABC 中，∠C=90°，（1）若a =5，b =12，则c = ；（2）若a =6，c =10，则b = ；（3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a = ，b =5★在∆ ABC 中, ∠C=90°,若AC=6,CB=8,则∆ABC 面积为_____,斜边为上的高为______ 6如图，已知中，，，，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ．7有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了＿＿＿米． 8．已知正方形①、②在直线上，正方形③如图放置，若正方形①、②的面积分别42cm 和152cm ，则正方形③的面积为9在直角三角形中，如果两直角边之和为7，两直角边的乘积为12，则斜边的长10．等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则面积为32111．有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？12．一个25m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24m，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移4m吗？13．折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长14如图：要修建一个育苗棚，棚高h=3 m,棚宽a=4 m,棚的长为d=12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？批改有效ECFBDA。
1.1.1 认识勾股定理
1.1
探索勾股定理
第 1 课时
认识勾股定理
1
课堂讲解 勾股定理 课时流程
逐点 导讲练 课堂 小结
勾股定理和面积的关系
2
作业 提升
一个直角三角形的两条直角边长分别是3和4，
你知道它的斜边长是多少吗?已知直角三角形的两条
边长，你能求出它的第三条边长吗？实际上，利用勾 股定理我们可以很容易地解决这些问题. 勾股定理是一个古老的定理，人类很早就发现 了这个定理，加之反映勾股定理内容的图形形象直
变形关系式：c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2
＋2ab；a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)等．
1.完成教材P4 ，习题T1-T4
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜
边称为弦.因此，我国称上面的结论为勾股定理.
知1－讲
定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边 和斜边，那么a2＋b2＝c2.
数学表达式：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b， BC＝a，则a2＋b2＝c2.
即一分：分清哪条边是斜边、哪些边是直角边；二 代：代入a2＋b2＝c2；三化简．
（来自《点拨》）
知1－练
1
若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b， 斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正 确的是( ) B．a2＝c2－b2 D．c2＝a2＋b2
A．b2＝c2－a2 C．b2＝a2－c2
1
如图，字母B所代表的正方形的面积是( A．12 C．144 B．13 D．194
)
（来自《典中点》）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课题：《1.1探索勾股定理（2）》课型： 新授课 年级：七年级 科目： 数学 日期：
设计人：七年级数学备课组 审核人： 赵美成 姓名:
【学习目标】
1.掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.
2.经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.
3.在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强
爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识.
【学习重点】
用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题.
【学习难点】
用面积法验证勾股定理
。
教学
环节
教学流程
复备设计
预习
导学
预习教材第4--6页的内容，完成绩优学案中的“自主探究”部分
导入
新课
（1）勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）
（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，在具体的直角三角形中
探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需
要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定
理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.
课堂
探究
一、活动探究
活动1： 教师导入，小组拼图.
教师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己
准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每
位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.）
活动2：层层设问，完成验证一.
学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：
图2
在此基础上教师提问：
（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生
先独立思考，再4人小组交流）；
（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板
图1
书(a+b)2=4×21ab+c2.并得到222cba）
活动3 ： 自主探究，完成验证二.
1876年，美国总统加菲尔德利用右图验证了勾股定
理，你能利用它验证勾股定理吗？
4、议一议
观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边
长是否满足
a2+b2=c2
二、例题学习
1、我方侦查员小王在距离东西向公路400米处侦查,发现一辆敌方
汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外线测距仪,测得汽车与他相距400米,10
秒后,汽车与他相距500米,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？
2、一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边长度比为
3:4，求两直角边的长。
三、小结
请学生谈收获
a
a
b
b
c
c
A
C B
_b
_a
_a
_c
_b
_c
巩固
训练
1、 课后的随堂练习
2、练习册中的相关习题
布置
作业
板书
设计
教学
反思