3.2011高考湖南数学(理)

2011年普通高等学校招生全国统一考试

（湖南卷）

数学（理工农医类）

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。 参考公式：（1）()

()()

P AB P B A P A =

，其中,A B 为两个事件，且()0P A >， （2）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高。 （3）球的体积公式34

3

V R π=

，其中R 为求的半径。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+则

A ．1a =，1b = B. 1,1a b =-= C.1,1a b =-=- D. 1,1a b ==-

2.设集合{}{}

2

1,2,,M N a ==则 “1a =”是“N M ?”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分又不必要条件 3.设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为

A.

9

122π+ B. 9

182

π+

C. 942π+

D. 3618π+

4. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

由()()()()()

22n ad bc k a b c d a c b d -=++++算得，()2

2

110403020207.860506050k ??-?=≈???.

参照附表，得到的正确结论是

A.再犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

B.再犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

D.有99%一上的把握人物“爱好该项运动与性别无关”

5.设双曲线()22

2109

x y a a -

=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为 A.4 B.3 C.2 D.1 6.由直线,,03

3

x x y π

π

=-

=

=与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为

A.

12 B.1

C.

D. 7.设m ＞1，在约束条件1y x

y mx x y ≥??

≤??+≤?

下，目标函数Z=X+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为

A.（1

，1 B.

（1+∞） C.（1,3 ） D.（3，+∞）

8.设直线x=t 与函数2()f x x = ()ln g x x = 的图像分别交于点M,N,则当MN 达到最小时t 的值为

A.1

B.

12

C. 2

D. 2

二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应号后的

横线上。

（一）选做题（请考生在9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）

9.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,

1sin x y αα=??=+?

（α为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy

取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴中，曲线C 2的方程为()cos sin 10p θθ-+=，则C 1与C 2的交点个数为 10.设,x y R ∈,则2

22

211

()(4)x y y x

+

+的最小值为 。 11.如图2，A,E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4， AD ⊥BC,垂足为D,BE 与AD 相交与点F ，则AF 的长为 。

（二）必做题（12～16题）

12.设n S 是等差数列{}n a ()n N *

∈，的前n 项和，且

411,7a a ==，则9S = .

13.若执行如图3所示的框图，输入11x =

，

232,3,2x x x ==-=,则输出的数等于 。

14.在边长为1的正三角形ABC 中, 设BD BC 2=，CE CA 3=，则=?BE AD . 15.如图4，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形。将一颗豆子随机地

扔到该院内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”， B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴C 影部分）内”，则 （1）P(A)= _____________;

（2）P(B|A)= . 16.对于n N +

∈ ,将n 表示为

12100121222...22k k k k k n a a a a a ---=?+?+?++?+? ,当i o =时，1i a =,当1i k ≤≤时, 1a 为0或1.记

()I n 为上述表示中a i 为0的个数（例如：021012,4120202I =?=?+?+?）,故(1)0I =, (4)2I =),则

（1）(12)I =________________;(2)

()

1

2

m

f n n =∑________________;

三、解答题：本大题共6小题，东75分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤 17.（本小题满分12分）

在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且满足csinA=acosC. （Ⅰ）求角C 的大小；

4

π

)的最大值，并求取得最大值时角A 、B 的大小。 18. （本小题满分12分）

某商店试销某种20天，获得如下数据：

试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充．．至3件，否则不进货．．．，将频率视为概率。 （Ⅰ）求当天商品不进货的概率；

（Ⅱ）记x 为第二天开始营业时该商品的件数，求x 的分布列和数学期型。 19.（本小题满分12分）

如图5，在圆锥PO 中，已知PO O 的直径2AB =,C 是的中点，D 为AC 的中点.

(Ⅰ)证明：平面POD ⊥平面PAC ; (Ⅱ)求二面角B PA C --的余弦值。

20.（本小题满分13分）

如图6，长方形物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，速度为v （v ＞0），雨速沿E 移动方向的分速度为)(R c c ∈。E 移动时单位时间．．．．

内的淋雨量包括两部分：（1）P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与v c -×S 成正比，比例系数为

110；（2）其它面的淋雨量之和，其值为1

2，记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=3

2

时。

（Ⅰ）写出y 的表达式

（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少。

21、(本小题满分13分）

如图7，椭圆)0(1:22221>>=+b a b

y a x C 的离心率为23

，x 轴被曲线b x y C -=22: 截得的线段长等于1

C 的长半轴长。

（Ⅰ）求21,C C 的方程；

（Ⅱ）设2C 与y 轴的焦点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A,B,直线MA,MB 分别与1C 相交与D,E.

(i)证明：MD ⊥ME;

(ii)记△MAB,△MDE 的面积分别是21,S S .问：是否存在直线l,使得32

17

21=

S S ? 请说明理由。

22.（本小题满分13分）

已知函数f (x ) =3

x ，g (x )=x

（Ⅰ）求函数h (x )=f (x )-g (x )的零点个数。并说明理由；

（Ⅱ）设数列{ n a }（n

n N ∈）满足1(0)a o a =>，1()()n n f a g a +=，证明：存在常熟M,使得 对于任意的n

n N ∈，都有n a ≤ M .