弹塑性力学复习课件详解

5、极坐标里的3组方程组；
极坐标系下的平衡方程为
几何关系：
r r
r r
r
r
Fr
0
r r
r
2 r r
F
0
r
u r
1 r
v
u r
r
1 u r
v r
v r
r
1 2 E
( r
1
)
1 2 E
(
1
r ]
r
1 G
r
2(1 E
)
r
r
1 E
(
r
)
) )
x
y
2u 2v
0 0
应力解法：Michell－Beltrami
(
)
z
2 w
0
4、解的唯一性：
2 ij
1
1
( I1 ),ij
1
fk ,kij ( fi, j f j ,i )
5、圣维南原理：掌握基本思想（注意局部性和静力等效性）
如果把物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等 效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近 处的应力分布将有显著的改变，但是在远处所受的影响可以不 计。
1 E
(
r
r
1 G
r
6、具体问题的解法： 半无限平面问题，园孔的应力集中。
能量原理
1、功能原理：应变能应变余能； 2、虚位移原理：导出平衡方程及边界条件；
虚位移原理： 在外力作用下处于平衡状态的可变形体，当给予物体约束允
许的微小虚位移时，外力在虚位移上所做虚功等于物体的虚应变 能。
3、最小总势能原理基本思想；与虚位移原理的比较； 在给定外力作用下而保持平衡的弹性体，在满足位移边
l i
'i
l
j'
j
ij
xl
6、边界条件，尤其是应力边界条件； xyl
xym ym
xzn yzn
px py
7、应力分解：球张量＋偏张量；
xzl
yzm zn
pz
弹塑性力学复习要点
8、主应力、主应力方向；3个应力不变量；偏应力张量的3
个不变量；
I1 x y z
x xy xz
界条件的位移场中，真实的位移场使总势能取最小值。该 原理称为最小势能原理。
优点：直接用形函数近似位移场，满足本节条件，并通 过使总势能最小来确定这些场。
4、两种原理的应用：能够利用其解受力问题。
5、Ritz法和Galerkin法的区别、应用求解边值问题
Ritz法：所选取的位移函数不需要先满足应力边界条件， 只需满足位移边界条件； Galerkin法：选择的位移函数表达式，不仅能满足位移边 界条件，还能满足应力边界条件
弹塑性力学复习要点
应力理论 1、弹性力学的4个基本假定；
2、应力张量，各向同性介质6个独立的应力分量；
3、平衡方程；
px
4、一点的应力状态；py
xl yxl
xym y m2
xyzznn
pz
zxl zym zn
pi ijl j ,
n
pili
,
2 n
pi2
2 n
5、坐标变换； i' j'
MP1
max
1 2
1
3
; MP2
1 2
1
3 1
2
2
1 2
1
3
Lode 参数定义为：
MP2 MP1
22 3 1 3
1
(2.32)
单轴拉：1 0, 1；单轴压： 3 0, 1 ；纯剪：1 3 , 0 。 Lode 参数相等的莫尔园相似，应力状态也相似。
应变理论
几何方程； 主应变与主应变方向；
, 与工程材料常数之间有如下关系
E (3 2) ,
2( )
通常也将广义虎克定律写为
x
1 E
x
( y
z
),
y
wenku.baidu.com
1 E
y
( z
x
),
z
1 E
z
( x
y
),
xy yz zx
xy
G
yz
G
zx
G
弹性力学边值问题
1、3组方程：平衡方程、几何方程、物理方程
S33
这样 I1 ,J 2 , J 3 为三个独立常数，且
J2
I2
1 3
I12
；
J
3
1 27
(2
1
2
3 )(2 2
3
1 )(2 3
1
2 )
=
1 27
(2I13
9I1I 2
27I3 )
Lode 参数
应力的 Lode 参数用于表征应力状态。它是三维应力莫尔园中两个参数的比值。
图 2.8 三维应力莫尔园
xy
x
u x
yx
yz
; y
u y
zy
v y
;z
v x
2 xy
2 yz 2
w ; z
2
zy
yx
应变协调方程：一般应力状态 zx xz 2 zx 2 xz
6个方程。
平面问题的变形协调方程：
2 x
y 2
2 y
x2
2 xy
xy
广义胡克定律从一般到各向同性的推导；
各向同性2各弹性常数； 平面应力与平面应变的弹性模量、泊淞比之间的关系； 弹性应变能。
I3 xy
y
yz
x
y
z
2 xy
yz xz
( x
2 yz
2
y xz
z
2 xy
)
xz yz z
I2
x y
y z
z x
(
2 xy
2 yz
2 xz
)
主值 Sn
n
m
由下式确定：
S
3 N
J1S
2 N
J2SN
J3
0
J1 Sii S1 S2 S3 0 ；
J2
1 2
Sij Sij
6、叠加原理：适用范围：小变形、线弹性本构关系
平面问题
1、两种平面问题及其弹性常数 E, , E, 之间的关系：
E
1
E
2
1
2、应力函数与应力之间的关系； x
2
y 2
y
2
x 2
xy
2
xy
3、应力函数满足重调和方程；
4 2 4 4 0
x4 x2y 2 y 4
4、两种解法：逆解法及半逆解法；
Sii S jj
1 2
Sij Sij
1 2
S12
S
2 2
S32
S1S2 S2 S3 S1S3 ；
J 3 Sij
1 6
2Sij S jk Ski 3Sij Sij Skk Sii S jj Skk
1 2
Sij Sij
1 3
Sij S jk Ski
S1S2 S3
1 3
S13
S
3 2
ij ,j Fbi 0
ij
1 ui 2 x j
u j xi
x
1 E
x ( y z ) ,
y
1 E
y
( z
x
),
z
1 E
z
( x
y
),
xy yz zx
xy
G
yz
G
zx
G
2、3类边值问题：应力边值问题、位移边值问题、混合边 值问题
(
3、基本解法：位移法：Lame-Navier方程；(
薄板问题
1、掌握基尔霍夫-乐甫假定；
1）、变形前垂直于中面的任一直线线段，变 形后仍为垂直于变形后的中面的直线线段，且 长度不变。（法直线假设）
2）、忽略垂直于板中面的应力。 2、各种量用挠度w 来表示的表达式；
3、板的平衡方程： D22w q
式中