《工程弹塑性力学》PPT课件

x y x y
物理方程 : { } [D]{}， [D] : 弹性矩阵
2. 基本方程：


[D]

1
E

2
1


0

1
0
0
0 （平面应力问题）
1




2
3. 虚功方程： 外力虚功=内力虚功
{ f *}T {p}d x d y { f *}T {p}d s {*}T { }d x d y
单元结点位移向量{d}e=[ui vi uj vj um vm]T
•
体力、面力
静力等效 ——
等效结点荷载
3. 整体分析
建立： {F}=[K]{d}， [K]：整体刚度矩阵
由各结点平衡{F}={R}，得有限元方程：
[K]{d}= {R}
0.3 位移模式与解答的收敛性
1. 什么是位移模式（位移函数）
a5
a3
2
x
(2) 反映常量应变：x=a2， y=a6，xy=a2+a3
• 三结点三角形单元的完备性和连续性： p
(3) 位移连续性： ▲单元内：单值连续；
y
j
(2) i
(1)
m x
▲相邻单元之间：uij(1)=uij(2)？vij(1)=vij(2) ？
ij边的方程：y=ax+b，则
uij=a1+a2 x+a3(ax+b)= cx+d
答收敛：
(1) 位移模式必须能反映单元的刚体位移 (2) 位移模式必须能反映单元的常量应变 (3) 位移模式应尽可能反映位移的连续性
必要 条件
充分 条件
• 三结点三角形单元的完备性和连续性：
(1)
反映刚体位移：u
a1
a2x

a5
a3
2
y

a5
a3
2
y
v

a4
a6 y

a5
a3
2
x

• 基本量及基本方程的矩阵表示
应力 : { } [ x y xy]T , 1. 基本量：应变 : {} [x y xy]T , 位移: { f } [u v]T，
体力 : {p} [X Y ]T， 面力: {p} [X Y ]T
几何方程 : {} [u v v u ]T
利用单元的结点位移将整个单元的位移分量表
示为坐标的函数。
y
i
2. 三结点三角形单元的位移模式 j P
设：u=a1+a2 x+a3 y v=a4+a5 x+a6 y
m x
系数a1~a6由结点位移 ui , vi , uj , vj , um , vm确定。
• 将位移模式写成结点位移的显式：
i
u= Niui+ Njuj +Nmum
uij(1)、uij(2)均为坐标的线性函数，故可由i、j两
点的结点位移唯一确定。
0.4 单元刚度矩阵
建立： {F}e=[k]{d}e
单元刚度矩阵：
[k] [B]T [D][B]d x d yt
y vj j
vi , (Vi) i ui , (Ui)
uj
vm
m um
x
结点位移 位移 应变
应力 结点力
y P
v= Nivi+ Njvj +Nmvm
j
Ni、Nj、Nm：形函数 (插值函数)
m
1x y
x
1 xj
1 Ni 1
xm xi
1 xj
1 xm
yj ym , (i, j,m 轮换 ) yi yj ym
1
i j
Ni(x, y)
m
• 形函数的性质 (1) (Ni )i=1，(Ni )j=0，(Ni )m=0 (2) 单元内任一点：Ni+Nj+Nm=1
3. 位移模式的矩阵表示
1
i j
Ni(x, y)
m
{
f
}

u v


Niui Nivi

N N
ju jv
j j

N mum Nmvm


[N
]{d
}e
其中
[N]

Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
为形函数矩阵
4. 位移模式应满足以下条件，才能保证有限元解
• 弹性力学问题的求解方法： 解析方法：函数解、级数解——少数简单问题 差分法、变分法 数值方法： 有限单元法：适应性强，概念直观
• 有限单元法的发展概况 1956年提出 1960-70年代理论基础研究 1960至今：实际工程应用、复杂问题理论研究 通用有限元软件：SAP、ADINA、NASTRAN ANSYS、ABAQUS等
{d}e ——{f} ——{} ——{} —— {F}e
位移模式 几何方程 物理方程 虚功方程
{f }=[N]{d}e
{}=[B]{d}e {}=[S]{d}e ，[S]= [D][B]
{F}e=[k]{d }e，[k]= [B]T [D] [B]tA
[B]：应变矩阵； [S]：应力矩阵；
在集中力{F}作用下，虚功方程简化为
{d *}T {F} {*}T { }t d x d y
{F}=[U1 V1 U2 V2 … Un Vn]T 为结点力向量；
{d}=[u1 v1 u2 v2 … un vn]T 为结点位移向量。
0.2 有限单元法的概念
1. 离散化 划分为有限数目、有限大小的单元。
• 平面问题的常用单元：
rg
连续体
三结点三角形单元
六结点三角形单元
矩形单元 任意四边形单元 8结点曲边 四边形单元
2. 单元分析
建立： {F}e=[k]{d}e
[k]：单元刚度矩阵
y vj j
vi , (Vi) i ui , (Ui)
uj
vm
m um
x
单元结点力向量{F}e=[Ui Vi Uj Vj Um Vm]T
工程弹塑性力学
(有限元、塑性力学部分)
演示稿
第0章 平面问题的有限单元法
0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示 0.2 有限单元法的概念 0.3 位移模式与解答的收敛性 0.4 单元刚度矩阵 0.5 等效结点荷载 0.6 整体刚度矩阵 0.7 单元划分应注意的问题
0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示

2)
A

brbs

1

2
crcs

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

crbs

1

2
brcs
brcs

1

2
crbs
crcs

1

2
brbs
,
(r, s i, j, m)。 bi y j ym, ci x j xm, (i, j, m 轮换)
vi , (Vi)
三结点三角形单元中，[B]、 [S] y vj i ui , (Ui)
的元素均为常数，故这种单元又称 j uj vm
常应变单元，或常应力单元。
m um x
kii kij kim
[k
]


k
ji
k jj
k jm ,
kmi kmj kmm
[krs
]

4(1
Et