工程弹塑性力学-第八章-2015[CompatibilityMode]详解

第八章理想刚塑性的平面应变问题

8.5 典型的滑移线场

8.6 滑移线场的数值求解

8.7 楔体的单边受压

8.8 刚性压模的冲压问题

8.9圆形切口板条的极限拉力

8.10板条的抽拉拉

利用非线性的塑性本构关系求解问题，而是在研究了平面应变状态下塑性变形的一些特点后，将问题转为建立研究了滑移线的某些性质研究了滑移线的某些性质，建立了滑移线与塑性变形规律之间的联系，从而为求解工程实际问题提供了必要的依据。

解决塑性加工工艺中的题提供了有用的参考数据并为等课题的研究提供了有利的条件。

(4)与变形平面相平行的各层之间没有相对错动物体的各点位移发生在xoy 平面内：

(,)(,u u x y v v x y ==,x u x εε∂=

∂xy v x γ∂∂=+∂∂由(8.1)得应变分量:

3中间主应力

01(2z x σσσ==+因此，在平面塑性应变条件下，垂直于变形平面的法向应力等于平均应力。

min z σσσσ

==任意一点的应力状态都可以用平均应力τ来表示，最大剪应力所作用的面与应力主平面成45

3

s

k σ=

(σσ−x y 使用Tresa(特雷斯卡)屈服条件时，主应力表达式为：

121(22

x y σσσσσ+=±

2

s

k σ=

(σσ−x y 可见在塑性平面应变问题中，两种屈服条件的形式是

相同的，只是σs 前面的系数不同。

e

α

σn

a

y

στx

σx σ

O 1

σ3

σ1

σ2

滑移线法的原理及应用

3. 不同应力状态下莫尔圆的圆心坐标不同：

0z σσσ

==τ

3

σk

k

σ

o

大圆的直径为2k ，圆心的横坐标为σ。由图中可见，最大切应力平面上正应力等于平均压力σ，即在塑性平面应变情况下，应力由σ和k 确定。由于k 对于理想塑性材料是常数，因此只要找到平均应力σ，一点的应力状态便可以确定。

1

σ

滑移线法的原理及应用

4. 用平均应力σ与最大剪应力和x 轴夹角θ表示应力状态：

x

σ根据单元法线方向的平衡条件：

1

σ2

σϕ

τϕϕ22121

2

12121cos 21cos 2cos sin 22

11

()()cos 2cos 222

x ϕϕ

σσϕσϕσσσσσσϕστϕ+−=+=+=++−=+由垂直于法线方向上力的平衡条件得：

12cos sin cos sin ϕτσϕϕσϕϕ

=−121

()sin 2sin 2

σσϕτ=−=上述两式平方相加得：

22()x ϕσστ−+=

cos2x σσκ=+cos 2y σσκϕ=−i 上述两式平方相加得：

22()x ϕσστ−+=sin 2xy τκϕ

=cos 2xy τκθ

=1σσκ=+2σσκ=−z σσ

=X方向是主应力方向

位移分量：

(,)u u x y v ==,x u x εε∂=

∂xy v x γ∂∂=+∂∂几何分量：

(20ij y ε

=⎢∂∂⎢⎢&⎢⎣

由塑性增量理论的Levy—Mises 关系得：

(),(x x y ελσσελσ=−=&&&&ij ij

ελε=&&

y x

∂∂x v ∂∂+x ∂由材料的体积不可压缩性可得：

在塑性区由5个方程求5两个平衡方程(8.8)，屈服条件(8.10)，位移速度表示的本构方程将塑性区内各点最大剪应力的方向连接起来并绘成连续的曲线，则可以得到两族正交的曲线，这两族正交的曲线称为方向不同，一族曲线称为αα线

β顺时针

逆时针

(3)若应力场不同，则滑移线场亦不同。滑移线场分布于整个变形体中，而且可以一直延伸到变形体的边界。

(4)在滑移线场中，任意点的最大剪应力都等于相同的值，即但是各点的平均正应力σ则不同。利用滑移线场求解问题时，需要求出平均正应力σ和α族滑移线上切线与ctg dx βθ⎪

=−⎪⎭

族:

2(cos 2x x σθκθ∂∂−∂∂2(sin 2y x

σθκθ∂∂−∂∂dy

tg dx α=沿线:

积分

dy

dx β=−沿线: αβ沿线:

沿线:

写成改变量形式

xy x γ=∂(x x xy

xy σσσττ⎧=⎪

⎨

⎪=⎩0

z ε=dt ⎡∂1(2x ij v y ε⎢∂⎢

⎢∂=⎢∂⎢⎢⎢⎣

&应变率张量

中间主应力

2

z σσ==xz yz ττ==0,未知的应力分量只有注意到：(x x x s σσσ=−=−12222()2x y xy J s s s s ′=++=塑性区：刚性区：

y x v v y x

∂∂+∂∂在塑性区由5个方程求若采用Tresca 屈服条件其表达式与Mises 屈服条件相同。

n

τ+n

τΓn

σ−图8.1 刚塑性交界线

两侧应力间断值