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平面向量应用举例练习题
一、选择题
1．一物体受到相互垂直的两个力
f 1、f 2 的作用，两力大小都为 5 3N ，则两
个力的合力的大小为 (
)
A ． 10 3N
B ． 0N
C ．5
6N
5 6
D.
N
2
2．河水的流速为
2m/s ，一艘小船想以垂直于河岸方向
10m/s 的速度驶向对岸，
则小船在静水中的速度大小为
(
)
A ． 10m/s
B ．2
26m/s
C ． 4 6m/s
D ．12m/s
3．(2010 ·山东日照一中 )已知向量 a ＝ (x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若 |a|＝2，|b|＝3，
x 1＋ y 1
a ·
b ＝－ 6，则 x 2＋ y 2的值为 ( )
2
2
5
5
A. 3
B ．－ 3
C.6
D ．－ 6
4．已知一物体在共点力 F ＝(lg2 ，lg2)，F 2
＝(lg5，lg2)的作用下产生位移 S
1
＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功 W 为 (
)
A ． lg2
B ．lg5
C ．1
D ．2
．在△ 所在的平面内有一点
→ → → → ABC P ，满足 PA ＋PB ＋PC ＝AB ，则△ PBC 与
5
△ABC 的面积之比是 ( )
1 1 A. 3 B.2
2 3
C. 3
D.4 6．点 P 在平面上作匀速直线运动，速度 v ＝(4，－ 3)，设开始时点 P 的坐标 为(－ 10,10)，则 5 秒后点 P 的坐标为 (速度单位： m/s ，长度单位： m)(
)
A ． (－2,4)
B ． (－30,25)
C ．(10，－ 5)
D ．(5，－ 10)
7．已知向量 a ，e 满足： a ≠ e ， |e|＝1，对任意 t ∈R ，恒有 |a －te|≥ |a － e|，则 ()
A ． a ⊥ e
B ．a ⊥(a － e)
C ．e ⊥(a － e)
D ．(a ＋ e)⊥(a －e)
→
→
， → →
→
8．已知 |OA|＝1，|OB|＝
⊥OB ，点 C 在∠ AOB 内，∠AOC ＝30°，设OC
3 OA
→→m
＝mOA＋nOB，则n＝()
1 3 3
A. 3 B．3 C．3 3 D. 2
二、填空题
9．已知 a＝(1,2)，b＝(1,1)，且 a 与 a＋λb 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 ________．
．已知直线
ax＋by＋ c＝ 0 与圆
O
：
x
2＋y2＝ 4 相交于 A、B 两点，且 |AB|＝
10
→→
2 3，则 OA·OB＝________.
三、解答题
11．已知△ ABC 是直角三角形， CA＝CB，D 是 CB 的中点， E 是 AB 上的一点，且 AE＝2EB.
求证： AD⊥CE.
12．△ ABC 是等腰直角三角形，∠ B＝90°，D 是 BC 边的中点， BE⊥AD，垂足为 E，延长 BE 交 AC 于 F，连结 DF ，求证：∠ ADB＝∠ FDC.
13．(2010 ·江苏， 15)在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A(－ 1，－ 2)，B(2,3)，C(－2，－ 1)
(1)求以线段 AB、 AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
→→→
(2)设实数 t 满足 (AB－tOC) ·OC＝0，求 t 的值．
14．一条宽为3km 的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头A、B，已知AB＝3km，船在水中最大航速为4km/h，问该船从A 码头到B 码头怎样安排航行速
度可使它最快到达彼岸 B 码头？用时多少？
1
15．在 ?ABCD 中，点 M 是 AB 的中点，点 N 在 BD 上，且 BN＝3BD，求证：M，N，C 三点共线．
16．如图所示，正方形ABCD 中， P 为对角线 BD 上的一点， PECF 是矩形，用向量方法证明PA＝EF.
17．如图所示，在△ ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点， DE⊥ AC，E 是垂足，F 是 DE 的中点，求证 AF⊥ BE.
平面向量应用举例参考答案
1．[ 答案 ] C
[ 解析 ]根据向量加法的平行四边形法则，合力f 的大小为2×5 3＝56(N) ．
2. [答案 ] B
[ 解析 ] 设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v 1|＝2，|v|＝ 10， v ⊥v 1.∴v 2＝ v－ v1，v ·v1＝ 0，
∴ |v 2 ＝ 2 1 2 －＋＝＝
1
|v － 2v ·v ＋v ＝100 0 4 104 2 26.
3．[ 答案 ] B
[ 解析 ]因为|a|＝2，|b|＝3，又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×3×cos〈a，b〉＝
－6，可得 cos〈a，b〉＝－ 1.即 a，b 为共线向量且反向，又 |a|＝2，|b|＝ 3，所以
2
有 3(x1，y1)＝－ 2(x2
2 2 x1＋y1 －3(x2＋y2) 2 ，y2)? x1＝－ x2， y1 ＝－ y2，所以＝＝－，
3 3 x
2＋y2 x2＋y2
3
从而选 B.
4．[ 答案 ] D
[ 解析 ] W＝ (F1＋ F 2) ·S＝ (lg2 ＋ lg5,2lg2) (2lg5,1)·＝ (1,2lg2) (2lg5,1)·＝ 2lg5 ＋2lg2＝2，故选 D.
5．[ 答案 ] C
→→ → →→→→→→→[ 解析 ] 由PA＋PB＋PC＝AB，得PA＋PB＋BA＋ PC＝ 0，即PC＝2AP，所以点
S PC 2
P 是 CA 边上的三等分点，如图所示．故△PBC ＝ .
＝
AC
S△ABC 3
6．[ 答案 ] C
[ 解析 ] 5 秒后点 P 的坐标为： (－10,10)＋ 5(4，－ 3)＝(10，－ 5)．
7[答案 ] C[解析 ] 由条件可知 |a－te|2≥ |a－e|2对∈
R 恒成立，又∵
|e|
＝，
t 1
∴ t 2－ 2a ·e ·t ＋2a ·e －1≥0 对 t ∈ R 恒成立，即
＝ 4(a ·e)2－ 8a ·e ＋4≤0 恒成
立． ∴ (a ·e －1)2≤0 恒成立，而 (a ·e －1)2≥ 0， ∴a ·e －1＝0.
即 a ·e ＝1＝e 2，∴ e ·(a －e)＝0，即 e ⊥(a －e)．
8．[ 答案 ] B
[ 解析 ] → →→ 2→ →
∵OC ·OA ＝ m|OA| ＋ nOA ·OB ＝ m ，
→ →
→ →
→ 2
m
OC ·OB ＝
·OB ＋ ·
|
＝ ， ∴ ＝
mOA
n |OB
3n
3n
二、填空题
→ →
° m
|OC| |OA ·| ·cos30
→ →
＝1，∴ n ＝3. |OC| |OB ·| ·cos60 °
5
9． [答案 ]
λ>－3且 λ≠ 0
[ 解析 ] ∵a 与 a ＋λb 均不是零向量，夹角为锐角，
∴ a ·(a ＋λb)>0，∴ 5＋ 3λ>0，∴λ>－5
当 a 与 ＋ λ 同向时， ＋λ＝
ma(m>0) ，
3
.
a b
a
b
即(1＋λ，2＋λ)＝ (m,2m)．
＋λ＝ m
λ＝0
1
5
∴
，得
， ∴λ>－ 3且 λ≠0.
2＋λ＝2m m ＝ 1
10． [答案 ] － 2
[ 解析 ] ∵|AB|＝2 3， |OA|＝ |OB|＝ 2， ∴∠ AOB ＝120°.
→ → → → · °＝－
∴ OA ·
＝|OA ·
2.
OB
| |OB| cos120
三、解答题
11．[ 证明 ] 以 C 为原点， CA 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系．
a 1 2
设 AC ＝a ，则 A(a,0)，B(0，a)，D 0，2 ， C(0,0)，E 3a ，3a . →
－ a ，
a
， → ＝ 1 ，2
∴ AD ＝
2
CE 3
a
3a .
→ →
1 a 2
∵ AD ·CE ＝－ ·a ＋ ·a ＝ 0， ∴AD ⊥CE.
a 3 2 3
12． [证明 ] 如图，以 B 为原点， BC 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，设
→
A(0,2)，C(2,0)，则 D(1,0)，AC ＝(2，－ 2)
→ → 设 AF ＝ λAC ，
→ → →
→ 则 BF ＝ BA ＋ AF ＝(0,2)＋(2λ，－ 2λ)＝(2λ，2－2λ)，又 DA ＝ (－ 1,2)
→ →
→ → ＝ 0， ∴－2λ＋ 2(2－2λ)＝ 0， ∴λ＝ 2
由题设 BF ⊥DA ，∴ BF ·
3
.
DA
→
4 2
→ → →
1 2 →
∴ BF ＝ 3，3 ， ∴DF ＝BF －BD ＝ 3，3 ，又 DC ＝(1,0)，
→ → 5 → → 5
∴ cos ∠ ADB ＝ DA ·DB ，cos ∠FDC ＝ DF ·DC
→ → ＝
5
→ → ＝ 5 ， |DA| |DB ·| |DF | ·|DC|
又 ∠ADB 、∠FDC ∈(0，π)，∴∠ ADB ＝∠ FDC.
13．[解析 ]
→
， → ＝ － ，则 → ＋ → ＝ ， → － →
(1)由题设知 AB ＝
AC
AC (3,5) AC ( 1,1)
AB (2,6) AB → → → → 2.
＝(4,4)．所以 |AB ＋ AC|＝2 10，|AB －AC|＝ 4
故所求的两条对角线长分别为 4 2和 2 10.
→
－ ，－ ， → － → ＝ ＋ ＋ ．
(2)由题设知 OC ＝
tOC (3 2t,5
( 2 1) AB t)
→→ →
由 (AB －tOC) ·OC ＝0，得 (3＋2t,5＋t) ·(－2，－ 1)＝0，从而 5t ＝－ 11，所以 t
11
＝－ 5
.
14． [解析 ]
→ →
如图所示，设 AC 为水流速度， AD 为航行速度，以 AC 和 AD 为
邻边作 ?ACED 且当 AE 与 AB 重合时能最快到达彼岸．根据题意
AC ⊥AE ，在
Rt △ADE 和 ?ACED 中，
→→ → →
→ 2→ 2 3，
|DE|＝|AC|＝2， |AD|＝4，∠AED ＝90°.∴ |AE|＝ |AD| － |DE| ＝ 2
1
sin ∠EAD ＝2，∴∠ EAD ＝ 30 °，用时 0.5h.
答：船实际航行速度大小为
4km/h ，与水流成 120 角°时能最快到达 B 码头，
用时半小时．
15．
[ 证明 ] → → →
MN ＝BN －BM.
→ 1
→ →
1 → 1
→ →
→ 1 → 1 → 1
→
因为 BM ＝2BA ， BN ＝ 3BD ＝3(BA ＋BC)，所以 MN ＝ 3BA ＋3BC －2BA ，
1 → 1 →→ → → → 1 →
＝ 3BC －6BA. 由于 MC ＝BC －BM ＝BC －2BA ，
→ → → →
可知 MC ＝3MN ，即 MC ∥ MN.又因为 MC 、MN 有公共点 M ，所以 M 、N 、C
三点共线．
16
[ 分析 ] 本题所给图形为正方形， 故可考虑建立平面直角坐标系，用向量坐标
→ →
来解决，为此只要写出 PA 和 EF 的坐标，证明其模相等即可．
[ 证明 ] 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为
，则 ， a) ．设 → ＝λλ ，则 F 2 λ， 0 ，P 2 2
，E ， 2 ，
aA(0 |DP| ( >0)
2 2 λ， 2 λ a 2
λ
→
2 2 →
2
2
所以 EF ＝ 2 λ－a ，－ 2 λ，PA ＝ － 2 λ，a － 2 λ
，
→ 2 2 2 → 2 2 2
→ → 因为 |EF| ＝λ－ 2a λ＋a ， |PA| ＝λ－ 2a λ＋a ，所以 |EF|＝|PA|，
即 PA ＝ EF.
17．
[ 证明 ] ∵AB ＝AC ，且 D 是 BC 的中点， →
→
→ →
→ →
→ →
∴ AD ⊥ BC ， ∴
· ＝ 又
DE ⊥ AC ， ∴
· ＝
AD BD 0.
DE AE 0.
→
→
→
1→
∵ BD ＝ DC ，F 是 DE 的中点， ∴EF ＝－ 2DE. → → → ＋
→ → → ∴ AF · ＝
· ＋
DE)
BE (AE EF) (BD → → → → → → → → ＝ AE ·BD ＋ AE ·DE ＋EF ·BD ＋EF ·DE
→ → → → → →
＝ AE ·BD ＋ EF ·BD ＋EF ·DE
→ → → → → → →
＝ (AD ＋DE) ·BD ＋EF ·BD ＋EF ·DE
→ → → → → → → →
＝ AD ·BD ＋DE ·BD ＋EF ·BD ＋EF ·DE
→ →
1 → → 1 → →
＝ DE ·DC －2DE ·DC －2DE ·DE
1 → →
1 → →
＝ 2DE ·DC － 2DE ·DE
1
→ → →
1
→ →
＝ 2DE ·(DC －DE)＝ 2DE ·EC ＝0.
→ →
∴AF ⊥BE ，∴ AF ⊥BE.
人教版高中数学必修四 2.5平面向量应用举例
一、选择题 1．已知作用在A 点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)且A (1,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标为( ) A ．(9,1) B ．(1,9) C ．(9,0) D ．(0,9) 解析：F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8,0)． 又因为起点坐标为(1,1)，所以终点坐标为(9,1)． 答案：A 2．初速度为v 0，发射角为θ，若要使炮弹在水平方向的速度为1 2v 0，则发射角θ应为( ) A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 解析：炮弹的水平速度为v ＝v 0·cos θ＝12v 0?cos θ＝12?θ＝60°. 答案：D 3．△ABC 中，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，则AD ＋BE ＋CF ＝( ) A ．0 B ．0 C ．AB D ．AC 解析：设AB ＝a ，AC ＝b ， 则AD ＝12a ＋1 2 b ， BE ＝BA ＋12AC ＝－a ＋1 2b ， CF ＝CA ＋1 2AB ＝－b ＋1 2a . ∴AD ＋BE ＋CF ＝0. 答案：B 4．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，已知AB ＝a ，AC ＝b ，则下列向量中与AD 同向的是( ) A.a ＋b |a ＋b | B.a |a |＋b |b | C.a －b |a －b | D.a |a |－a |b | 解析：AD ＝12AB ＋12AC ＝1 2(a ＋b )，而a ＋b |a ＋b | 是与a ＋b 同方向的单位向量．
答案：A 二、填空题 5．平面上有三个点A (－2，y )，B (0，y 2)，C (x ，y )，若AB ⊥BC ，则动点C 的轨迹方 程为________． 解析：AB ＝(2，－y 2)，BC ＝(x ，y 2 )． ∵AB ⊥BC ，∴A AB ·BC ＝2x －1 4y 2＝0，即y 2＝8x . 答案：y 2＝8x 6．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上的两点，且|AB |＝5，则AC · CB ＝________. 解析：由弦长|AB |＝5，可知∠ACB ＝60°， AC ·CB ＝－CA ·CB ＝－|CA ||CB |cos ∠ACB ＝－5 2. 答案：－5 2 7．质量m ＝2.0 kg 的物体，在4 N 的水平力作用下，由静止开始在光滑水平面上运动了3 s ，则水平力在3 s 内对物体所做的功为________． 解析：水平力在3 s 内对物体所做的功：F·s ＝F ·12at 2＝12F ·F m t 2＝12m F 2t 2＝12×1 2×42×32 ＝36(J)． 答案：36 J 8．设坐标原点为O ，已知过点(0，12)的直线交函数y ＝1 2x 2的图像于A 、B 两点，则OA · OB 的值为________． 解析：由题意知直线的斜率存在，可设为k ，则直线方程为y ＝kx ＋12，与y ＝1 2x 2联立 得12x 2＝kx ＋1 2 ， ∴x 2－2kx －1＝0，∴x 1x 2＝－1，x 1＋x 2＝2k ， y 1y 2＝(kx 1＋12)(kx 2＋12) ＝k 2x 1x 2＋14＋k (x 1＋x 2) 2 ＝－k 2＋k 2＋1 4 ＝14 ， ∴OA · OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝－1＋14＝－3 4.
北师大版数学高一 2.7《平面向量应用举例》教案(必修4)
2.7平面向量应用举例 一.教学目标： 1.知识与技能 （1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具. （2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力. 2.过程与方法 通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化. 3.情感态度价值观 通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力. 二.教学重、难点 重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 三.学法与教学用具 学法：(1)自主性学习法+探究式学习法 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【探究新知】 同学们阅读教材P116---118的相关内容思考： 1.直线的向量方程是怎么来的？ 2.什么是直线的法向量？ 【巩固深化，发展思维】 教材P118练习1、2、3题 例题讲评（教师引导学生去做） 例1．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。 证：设BE、CF交于一点H， ?→ ? AB= a, ?→ ? AC= b, ?→ ? AH= h, 则 ?→ ? BH= h-a , ?→ ? CH= h-b , ?→ ? BC= b-a ∵ ?→ ? BH⊥ ?→ ? AC, ?→ ? CH⊥ ?→ ? AB B C
北京四中数学必修四平面向量应用举例基础版
平面向量应用举例 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 3．体会用向量方法解决实际问题的过程，知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力． 【要点梳理】 要点一：向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：//λ?=a b a b （或x 1y 2－x 2y 1=0）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：0⊥??=a b a b （或x 1x 2+y 1y 2=0）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cos |||| θ?=a b a b ． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 要点诠释： 用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了． 要点二：向量在解析几何中的应用 在平面直角坐标系中，有序实数对（x ，y ）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决． 常见解析几何问题及应对方法：
(完整版)平面向量应用举例练习题含答案
平面向量应用举例练习题 一、选择题 1．一物体受到相互垂直的两个力f 1、f 2的作用，两力大小都为53N ，则两个力的合力的大小为( ) A ．103N B ．0N C ．56N D.56 2N 2．河水的流速为2m/s ，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( ) A ．10m/s B ．226m/s C ．46m/s D ．12m/s 3．(2010·山东日照一中)已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6，则x 1＋y 1x 2＋y 2 的值为( ) A.2 3 B ．－23 C.56 D ．－56 4．已知一物体在共点力F 1＝(lg2，lg2)，F 2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移S ＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W 为( ) A ．lg2 B ．lg5 C ．1 D ．2 5．在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与 △ABC 的面积之比是( ) A.1 3 B.12 C.2 3 D.3 4 6．点P 在平面上作匀速直线运动，速度v ＝(4，－3)，设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为(速度单位：m/s ，长度单位：m)( ) A ．(－2,4) B ．(－30,25) C ．(10，－5) D ．(5，－10) 7．已知向量a ，e 满足：a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则( ) A ．a ⊥e B ．a ⊥(a －e ) C ．e ⊥(a －e ) D ．(a ＋e )⊥(a －e ) 8．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →⊥OB →，点C 在∠AOB 内，∠AOC ＝30°，设OC →
平面向量应用举例
平面向量应用举例 【学习目标】 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 3．体会用向量方法解决实际问题的过程，知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力． 【要点梳理】 要点一：向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：//λ?=a b a b （或x 1y 2－x 2y 1=0）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：0⊥??=a b a b （或x 1x 2+y 1y 2=0）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cos |||| θ?= a b a b ． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 要点诠释： 用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了． 要点二：向量在解析几何中的应用 在平面直角坐标系中，有序实数对（x ，y ）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决． 常见解析几何问题及应对方法： （1）斜率相等问题：常用向量平行的性质． （2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程． （3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件． （4）夹角问题：利用公式cos |||| θ?= a b a b ． 要点三：向量在物理中的应用 （1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象． （2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv 是数乘向量；④功即是力F 与所产生位移s 的数量积． （3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论． 【典型例题】 类型一：向量在平面几何中的应用
平面向量应用举例(教学案)
2.5平面向量应用举例 一、教材分析 向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。 二、教案目标 1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题 2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。 三、教案重点难点 重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 四、学情分析 在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。 五、教案方法 1.例题教案，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。 2.学案导学：见后面的学案 3.新授课教案基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的应用 2.教师的教案准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 七、课时安排：1课时 八、教案过程 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教案具有了针对性。 (二）情景导入、展示目标 教师首先提问：（1）若O为ABC 重心,则OA+OB+OC=0 （2）水渠横断面是四边形ABCD,DC=1 2 AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形 为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系? (3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？ 教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。 （设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。） （三）合作探究、精讲点拨。
第4讲 平面向量应用举例
第4讲 平面向量应用举例 一、选择题 1．△ABC 的三个内角成等差数列，且(AB → ＋AC →)·BC →＝0，则△ABC 一定是( )． A ．等腰直角三角形 B ．非等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．钝角三角形 解析 △ABC 中BC 边的中线又是BC 边的高，故△ABC 为等腰三角形，又A ，B ，C 成等差数列，故B ＝π3 . 答案 C 2. 半圆的直径AB ＝4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 的中点，则(PA →＋PB →)·PC →的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．2 D ．无法确定，与C 点位置有关 解析 (PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2. 答案 A 3. 函数y ＝tan π4x －π2的部分图象如图所示，则(OA →＋OB →)·AB →＝ ( )． A ．4 B ．6 C ．1 D ．2 解析 由条件可得B (3,1)，A (2,0)， ∴(OA →＋OB →)·AB →＝(OA →＋OB →)·(OB →－OA →)＝OB →2－OA →2＝10－4＝6. 答案 B 4．在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边BC 的三等分点，则
AE →·AF →＝( )． A.53 B.54 C.109 D.158 解析 法一 依题意，不妨设BE →＝12 E C →，B F →＝2FC →， 则有AE →－AB →＝12(AC →－AE →)，即AE →＝23AB →＋13 AC →； AF →－AB →＝2(AC →－AF →)，即AF →＝13AB →＋23 AC →. 所以AE →·AF →＝? ????23AB →＋13AC →·? ?? ??13AB →＋23AC → ＝19(2AB →＋AC →)·(AB →＋2AC →) ＝19(2AB →2＋2AC →2＋5AB →·AC →) ＝19(2×22＋2×12＋5×2×1×cos 60°)＝53，选A. 法二 由∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1可得∠ACB ＝90°， 如图建立直角坐标系，则A (0,1)，E ? ????－233，0，F ? ?? ??－33，0， ∴AE →·AF →＝? ????－233，－1·? ????－33，－1＝? ????－233·? ????－33＋(－1)·(－1)＝23＋1＝53，选A. 答案 A 5．如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ， N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC → ，则x ·y x ＋y 的值为( )．
平面向量的应用举例
平面向量应用举例 课型：新课 设计人： 设计时间：2011.3.2 使用时间： 学习目标： 1.通过应用举例，学会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题 2.通过本节的学习，体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强积极主动的探究意识，培养创新精神。 重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几 何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问 题加以解决. 学习过程： 例1．证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD ． 求证：2 2 2 2 2 2 AC BD AB BC CD DA +=+++． 利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？ （1） 建立平面几何与向量的联系， （2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系， （3） 把运算结果“翻译”成几何关系。 变式训练：ABC ?中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，BF 与CD 交于点O ，设,.AB a AC b == （1）证明A 、O 、E 三点共线； （2）用,.a b 表示向量AO 。 例2，如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？ 例3.如图，一条河的两岸平行，河的宽度500d =m ，一艘船从A 处出发到河对岸．已知船的速度|v 1|=10km/h ，水流的速度|v 2|=2km/h ，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到 0.1min)？ 变式训练：两个粒子A 、B 从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为(4,3),(2,10)A B s s ==， （1）写出此时粒子B 相对粒子A 的位移s; (2)计算s 在A s 方向上的投影。 当堂检测 1.已知0 60,3,2===?C b a ABC 中，，求边长c 。 2.在平行四边形ABCD 中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC 的长。 3.在平面上的三个力321,,F F F 作用于一点且处于平衡状态， 2121,2 2 6,1F F N F N F 与+= =的夹角为o 45， 求：（1）3F 的大小；（2）1F 与3F 夹角的大小。 课后练习与提高 一、选择题 1.给出下面四个结论： ① 若线段AC=AB+BC ，则向量AC AB BC =+； ② 若向量AC AB BC =+，则线段AC=AB+BC ； ③ 若向量AB 与BC 共线，则线段AC=AB+BC; ④ 若向量AB 与BC 反向共线，则 BC AB BC AB +=+.其中正确的结论有 （ ） A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.河水的流速为2s m ，一艘小船想以垂直于河岸方向10s m 的 速度驶向对岸，则小船的静止速度大小为 （ ） A.10s m B. 262s m C. 64s m D.12s m 3.在ABC ?中，若)()(CB CA CB CA -?+=0，则ABC ?为 （ ） A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定 二、填空题 4.已知ABC ?两边的向量21,e AC e AB ==，则BC 边上的中线向量AM 用1e 、2e 表示为 5.已知10321321=++=++OP OP OP ，OP OP OP ，则1OP 、 2OP 、3OP 两两夹角是 反思总结：
高中数学-2.5《平面向量应用举例》教学设计
2.5《平面向量应用举例》教学设计 【教学目标】 1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐 标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题； 2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的 积极主动的探究意识，培养创新精神. 【导入新课】 回顾提问： （1）若O 为ABC ?重心,则OA +OB +OC =0. （2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12 AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系? (3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？ 教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来. 新授课阶段 探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若a b =，则||||a b =，且,a b 所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例． 教师：平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及 数量积表示出来： 例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图： 平行四边行 ABCD 中，设AB ＝a ,AD ＝b ，则AC AB BC a b =+=+（平移） ，DB AB AD a b =-=-，2 22||AD b AD ==（长度）．向量AD ，AB 的夹角为DAB ∠.因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题.通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．把运算结果 “翻译”成几何关系．本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中的运用 例1 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． 已知：平行四边形ABCD ．
平面向量应用举例#精选.
平面向量应用举例 一.教学目标： 1.知识与技能 （1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具. （2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力. 2.过程与方法 通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化. 3.情感态度价值观 通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力. 二.教学重、难点 重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 三.学法与教学用具 学法：(1)自主性学习法+探究式学习法 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【探究新知】 [展示投影] 同学们阅读教材P116---118的相关内容思考： 1.直线的向量方程是怎么来的？ 2.什么是直线的法向量？ 【巩固深化，发展思维】 教材P118练习1、2、3题 [展示投影]例题讲评（教师引导学生去做） 例1．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。 证：设BE、CF交于一点H， ?→ ? AB= a, ?→ ? AC= b, ?→ ? AH= h, 则 ?→ ? BH= h-a , ?→ ? CH= h-b , ?→ ? BC= b-a ∵ ?→ ? BH⊥ ?→ ? AC, ?→ ? CH⊥ ?→ ? AB B C
平面向量的应用举例
平面向量的应用举例 Corporation standardization office #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8
2．5平面向量的应用举例 班级学号姓名 .一选择题 1．已知A、B、C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若 + + +，则点P与△ABC的位置关系是 （） A、点P在△ABC内部 B、点P在△ABC外部 C、点P在直线AB上 D、点P在AC边上 2．已知三点A（1，2），B（4，1），C（0，-1）则△ABC的形状为 （） A、正三角形 B、钝角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰锐角三角形 3．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力都为|F|，若 |F|=|G|，则θ的值为（） A、300 B、600 C、900 D、1200 4．某人顺风匀速行走速度大小为a，方向与风速相同，此时风速大小为v，则此人实际感到的风速为 （） A、v-a B、a-v C、v+a D、v 二、填空题 5．一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成300角，则水流速度为 km/h。 6．两个粒子a，b从同一粒子源发射出来，在某一时刻，以粒子源为原点，它 们的位移分别为S a =（3，-4），S b =（4，3），（1）此时粒子b相对于粒子a 的位移； （2）求S在S a 方向上的投影。 三、解答题 7．如图，点P是线段AB上的一点，且AP︰PB=m︰n，点O是直线AB外一点，设OA =a，OB =b，试用,,, m n a b的运算式表示向量OP．
8．如图，△ABC 中，D ，E 分别是BC ，AC 的中点，设AD 与BE 相交于G ，求证：AG ︰GD=BG ︰GE=2︰1． G E D C B A 9．如图， O 是△ABC 外任一点，若1 ()3 OG OA OB OC =++，求证：G 是△ABC 重心（即三条边上中线的交点）． 10．一只渔船在航行中遇险，发出求救警报，在遇险地西南方向10mile 处有一只货船收到警报立即侦察，发现遇险渔船沿南偏东750，以9mile/h 的速度向前航行，货船以21mile/h 的速度前往营救，并在最短时间内与渔船靠近，求货的位移。
最新5-4平面向量应用举例汇总
5-4平面向量应用举 例
一、选择题 1．已知△ABC 中，|AB →|＝|AC →|，则一定有( ) A.AB →⊥AC → B.AB →＝AC → C ．(AB →＋AC →)⊥(AB →－AC →) D.AB →＋AC →＝AB →－AC → [答案] C [解析] ∵|AB →|＝|AC →| ∴(AB →＋AC →)(AB →－AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝0， ∴(AB →＋AC →)⊥(AB →－AC →)． 2．已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 1的大小为( ) A ．53N B ．5N C ．10N D ．52N [答案] B