2020届高考数学二轮复习专题《数列中的新定义问题》

专题25数列中的新定义问题

以数列为背景的新定义问题是高考命题创新型试题的一个热点，考查频次较高．解决新定义问题，首先考察对定义的理解．其次是考查满足新定义的数列的简单应用，主要考察综合分析能力，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，在新环境下灵活应用已有知识，从而找到恰当的解决方法.

a n各项均不相同，a1＝1，定义

b n(k)＝a n＋(－1)k a n

已知数列{}

，其中n，k∈N*.

＋k

(1)若b n(1)＝n，求a5；

a n的前n项和为

(2)若b n＋1()k＝2b n()k对k＝1,2均成立，数列{}

a n的通项公式．

S n.求数列{}

数列新定义问题是近几年高考的热点，解题的关键在于在“新”上做文章，解题前应深刻理解“新数列”的含义，并将其进行转化，使“新数列”问题变成一个熟知的常规题型．本题从数列“b n(k)”的构造入手，找到它与原数列{a n}之间的关系，再利用条件中n，k的任意性，应用特殊化思想解决第(1)题；第(2)题则是从已知出发，先得到两个关于递推关系式，然后通过代数恒等变形及消元方

的关系，从而证得最终结果.

法，推出a n与a n

＋1

(2019·南京二模)设数列{a n}的各项均为正数．若对任意的n∈N*，存在k∈N*，使得a2n＋k＝a n·a n＋2k成立，则称数列{a n}为“J k 型”数列．

(1)若数列{a n}是“J2型”数列，且a2＝8，a8＝1，求a2n；

(2)若数列{a n}既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数

列{a n }是等比数列．

已知数列{}a n 、{}b n 、{}c n ，对于给定的正整数k ，记b n ＝a n －a n ＋k ，c n ＝a n ＋a n ＋k (n ∈N *)．若对任意的正整数n 满足：b n ≤b n ＋1，且{}c n 是等差数列，则称数列{}a n 为“H (k )”数列．

(1)若数列{}a n 的前n 项和为S n ＝n 2，证明：{}a n 为H (k )数列；

(2)若数列{}a n 为H (1)数列，且a 1＝1，b 1＝－1，c 2＝5，求数列{}a n 的通项公式；

(3)若数列{}a n 为H (2)数列，证明：{}a n 是等差数列．

(2020·徐州模拟)设数列{}a n 的各项均为不等的正整数，其前n 项和为S n ，我们称满足条件“对任意的m ，n ∈N *，均有(n －m )S n ＋m ＝(n ＋m )(S n －S m )”的数列{}a n 为“好”数列．

(1)试分别判断数列{}a n ，{}b n 是否为“好”数列，其中a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，n ∈N *，并给出证明；

(2)已知数列{}c n 为“好”数列，若c 2 017＝2 018，求数列{}c n 的通项公式．

设数列{}a n 的首项为1，前n 项和为S n ，若对任意的n ∈N *，均有S n ＝a n ＋k －k (k 是常数且k ∈N *)成立，则为“P (k )数列”．

(1)若数列{}a n 为“P (1)数列”，求数列{}a n 的通项公式；

(2)是否存在数列{}a n 既是“P (k )数列”，也是“P (k ＋2)数列”？若存在，求出符合条件的数列{}a n 的通项公式及对应的k 的值；若不存在，请说明理由；

(3)若数列{}a n 为“P (2)数列”，a 2＝2，设T n ＝a 12＋a 222＋a 323＋…＋

a

n 2n ，证明： T n <3.

(2020·苏州模拟)定义：对于任意n ∈N *，x n ＋x n ＋2－x n ＋1仍为数列{}x n 中的项，则称数列{}x n 为“回归数列”．

(1)己知a n ＝2n (n ∈N *)，判断数列{}a n 是否为“回归数列”，并说明理由；

(2)若数列{}b n 为“回归数列”，b 3＝3，b 9＝9，且对于任意n ∈N *，均有b n

①求数列{}b n 的通项公式；

②求所有的正整数s ，t ，使得等式b 2s ＋3s ＋1－1b s 2＋3s －1

＝b t 成立．

(本小题满分16分)(2019·南京三模)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，若存在正整数r ，t 且r

(1)若首项为3，公差为d 的等差数列{}a n 是“M (r ,2r )数列”，求d 的值；

(2)已知数列{}a n 为等比数列，公比为q .

①若数列{}a n 为“M (r ,2r )数列”，r ≤4，求q 的值； ②若数列{}a n 为“M (r ，t )数列”，q ∈(－1,0)，求证：r 为奇数，t 为偶数．

(1)d ＝－1；(2)①q ＝－12或q ＝－132

；②略．

(1)因为{a n }是M (r ,2r )数列，所以S r ＝2r ，且S 2r ＝r .

由S r ＝2r ，得3r ＋r (r －1)2d ＝2r .因为r ＞0，所以(r －1)d ＝－2 (*)；

由S 2r ＝r ，得6r ＋2r (2r －1)2

d ＝r ，因为r ＞0，所以(2r －1)d ＝－5 (**)；

………………………2分(从条件中得到关于r ，d 的方程组(*)，(**))

由(*)和(**)，解得r ＝3，d ＝－1.

………………………4分(解方程(*)(**)) (2)①(i)若q ＝1，则S r ＝ra 1，S t ＝ta 1.因为{a n }是M (r ,2r )数列，所以ra 1＝2r (*)，2ra 1＝r (**)，

由(*)和(**)，得a 1＝2且a 1＝12，矛盾，所以q ≠1 (5)

分(讨论q ＝1的情形)

(ii)当q ≠1，因为{a n }是M (r ,2r )数列，所以S r ＝2r ，且S 2r ＝r ， 即a 1(1－q r )1－q ＝2r (*)，a 1(1－q 2r )1－q

＝r (**)，由(*)和(**)，得q r ＝－12. ………………………………………………6分(求出q 的值)

当r ＝1时，q ＝－12；当r ＝2,4时，无解；当r ＝3时，q ＝－132

. 综上，q ＝－12或q ＝－132

.………………………8分(分类讨论确定r 、q 的值)

②证明：因为{a n }是M (r ，t )数列，q ∈(－1,0)，所以S r ＝t ，且S t ＝r ，

即a 1(1－q r )1－q ＝t ，且a 1(1－q t )1－q ＝r ，两式作商，得1－q r 1－q t ＝t r ，即r (1－q r )＝t (1－q t )．

(i)若r为偶数，t为奇数，则r(1－|q|r)＝t(1＋|q|t)．

因为r＜t,0＜1－|q|r＜1,1＋|q|t＞1，所以r(1－|q|r)＜t(1＋|q|t)，这与r(1－|q|r)＝t(1＋|q|t)矛盾，所以假设不成立．

………………………………………………10分(证明r为偶数，t为奇数时，导出矛盾不成立)

(ii)若r为偶数，t为偶数，则r(1－|q|r)＝t(1－|q|t)．

设函数y＝x(1－a x)，0＜a＜1，则y′＝1－a x－xa x ln a，

当x＞0时，1－a x＞0，－xa x ln a＞0，所以y＝x(1－a x)在(0，＋∞)为增．

因为r＜t，所以r(1－|q|r)＜t(1－|q|t)，

这与r(1－|q|r)＝t(1－|q|t)矛盾，所以假设不成立.

………………………………………………………………………12分(证明r，t均为偶数也产生矛盾)

(iii) 若r为奇数，t为奇数，则r(1＋|q|r)＝t(1＋|q|t)．

设函数y＝x(1＋a x)，0＜a＜1，则y′＝1＋a x＋xa x ln a.

设g(x)＝1＋a x＋xa x ln a，则g′(x)＝a x ln a(2＋x ln a)，令g′(x)＝0，

得x＝－2

ln a.因为a

x＞0，ln a＜0，

所以当x＞－2

ln a，g′(x)＞0，则g(x)在区间(－

2

ln a，＋∞)递增；

当0＜x＜－2

ln a，g′(x)＜0，则g(x)在区间(0，－2

ln a)递减，所以

g(x)min＝g(－2

ln a)＝1－a 2

ln a.

因为－2

ln a＞0，所以a 2

ln a＜1,所以g(x)min＞0，从而g(x)＞0在(0，＋∞)恒成立，

所以y＝x(1＋a x)，0＜a＜1在(0，＋∞)上单调递增．因为r＜t，

所以r (1＋|q |r )＜t (1＋|q |t )，

这与r (1－|q |r )＝t (1－|q |t )矛盾，所以假设不成立.

………………………………………………14分(证明r 为奇数，t 为偶数时，也产生矛盾)

(iv) 若r 为奇数，t 为偶数．由①知，存在等比数列{a n }为“M (1,2)数列”．

综上，r 为奇数，t 为偶数.

………………………16分(由①推证过程，导出结论)

第一步：利用条件列出关于r 、d 的方程组；

第二步：解第一步中的方程组，求出r 、d 的值；

第三步：先考虑公比q ＝1的特殊情形、导出矛盾，此时无解；

第四步：解方程组得q r

＝－12； 第五步：将r ＝1,2,3,4代入验证，求得q 的值；

第六步：验证r 为偶数，t 为奇数时，导出矛盾；

第七步：验证r ，t 均为偶数时，也导出矛盾；

第八步：验证r 为奇数，t 为偶数，也导出矛盾；

第九步：验证r 为奇数，t 为偶数时，存在满足题设的数列并得出结论．

作业评价

若数列{a n }满足 1a n ＋1－1a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为“调和数列”．已知正项数列????

??1b n 为“调和数列”，且b 1＋b 2＋…＋b 9＝90，则b 4·b 6的最大值是_________．

若数列{a n }满足1

a n ＋1－p a n

＝0，n ∈N *，p 为非零数列，则称数列{a n }为“放飞”数列．已知正项数列??????1b n 为“放飞”数列，且b 1b 2b 3…b 99＝299，则b 8＋b 92的最小值是________．

若数列{a n }满足a n －1＋a n ＋1≥2a n (n ≥2)，则称数列{a n }为凹数

列．已知等差数列{b n }的公差为d ，b 1＝4，且数列????

??b n n 为凹数列，则d 的取值范围是________．

对于数列A ：a 1，a 2，a 3，…，定义{a n }的“差数列”ΔA ：a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…

(Ⅰ)若数列A ：a 1，a 2，a 3，…的通项公式a n ＝2n －1＋1，写出ΔA 的前3项；

(Ⅱ)试给出一个数列A ：a 1，a 2，a 3，…，使得ΔA 是等差数列； (Ⅲ)若数列A ：a 1，a 2，a 3，…的差数列的差数列Δ(ΔA )的所有项都等于1，且a 19＝a 92＝0，求a 1的值．

若数列{a n }中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n }为 “等比源数列”．

(1)已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1. ①求数列{a n }的通项公式；

②试判断数列{a n }是否为“等比源数列”，并证明你的结论．

(2)已知数列{a n }为等差数列，且a 1≠0，a n ∈Z (n ∈N *)．求证：{a n }为“等比源数列”

(2020·苏州期中)已知数列{a n }的首项为1，定义：若对任意的n ∈N *，数列{a n }满足a n ＋1－a n >3，则称数列{a n }为“M 数列”．

(1)已知等差数列{a n }为“M 数列”，其前n 项和S n 满足S n <2n 2＋2n (n ∈N *)，求数列{a n }的公差d 的取值范围；

(2)已知公比为正整数的等比数列{a n }为“M 数列”，记数列{b n }

满足b n ＝34a n ，且数列{b n }不为“M 数列”，求数列{a n }的通项公式．