用基本不等式求最值的常见类型及解题方法Word版

用基本不等式求最值的类型及方法

均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。

一、几个重要的均值不等式 ①，、)(222

22

2R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222

+∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(333

33333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333

3+∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：b

a 112

+2a b +≤≤222b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+>、图象及性质 (1)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、图象如图：

(2)函数()0)(>+=b a x

b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ；

②单调递增区间：(,-∞

，)+∞

；单调递减区间：(0,

，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型

类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。

例1、 已知54x <，求函数14245

y x x =-+-的最大值。

练习 （1）231,(0)x x y x x ++=> （2）12,33

y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈

类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。

例2、 当

时，求(82)y x x =-的最大值。

练习 ①23(32)(0)2

y x x x =-<<

类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。

例3、若x 、y +∈R ，求4()f x x x =+

)10(≤

类型Ⅳ：条件最值问题。

例4、已知正数x 、y 满足811x y

+=，求2x y +的最小值。

类型Ⅴ：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。

例5、已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围。

类型 条件求最值

例6、若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是

练习

1、若44log log 2x y +=，求11x y

+的最小值.并求x ,y 的值 2、已知0,0x y >>，且191x y

+=，求x y +的最小值。

四、均值不等式易错例析：

例1. 求函数()()y x x x =

++49的最值。

例2. 当x >0时，求y x x =+

492的最小值。

例3. 求y x x x R =

++∈2254()的最小值。

例4.已知+∈R y x ,且141=+y

x ，求y x u +=的最小值.

综上所述，应用均值不等式求最值要注意：

一要正：各项或各因式必须为正数；

二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；

三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。

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