点到平面的距离(精品课件)

∴ n MC 2 ax ay 0 且 2
N D
C
y
n MN a y a z 0
M
22
解得 2 x y z ,
A
2
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x
B
∴可取 m ( 2,1, 1)
∴ MA 在 n 上的射影长 d MA n a 即点 A 到平面 MNC 的距离为 a .
n2
2
．四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平 面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．
S
A
D
y
B
C
x
练习2:
练习(用向量法求距离): 如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
P
N
D
C
M
A
B
解：如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D－xyz
则 D(0,0,0),A( 2 a ,0,0),B( 2 a ,a ,0),C(0,a ,0),P(0,0,a )
A1
E
C1
B1
D
C
A
B
练习1：
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中， E、F分别是B1C1和C1D1 的中点，求点A1到平 面DBEF的距离。
z
D1 F
C1
A1
E B1
D A
x
C y
B
练习2：
如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1,
∠ACB=900,AA1= 2 ,
求B1到平面A1BC的距离。C1 z
EF (2, 2, 0), EG (2, 4, 2),
设平面 EFG 的一个法向量为 n ( x, y, z)x
D
C
n
EF，n
EG
2x 2y 2x 4
0 y2
0
F
n ( 1 , 1 ,1) ,BE (2, 0, 0) A 33
E
| n BE| 2 11
B
y
d
.
n
11
答:点 B 到平面 EFG 的距离为 2
(2)∵DE∥平面 PFB，∴点 E 到平面 PFB 的距离等于点 D 到平 面 PFB 的距离． 设平面 PFB 的一个法向量 n＝(x，y，z)，
则n·FB＝0， n·FP ＝0
⇒x－＋x2＋y＝2z＝0，0.
令 x＝2，得 y＝－1，z＝1.
∴n＝(2，－1,1)，FD＝(－1,0,0)，∴点 D 到平面 PFB 的距离 d
∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,∴ M ( 2 a , 0, 0) N ( 2 a , 1 a, 1 a)
2
2 22
∴ MC ( 2 a, a, 0) , MN (0, 1 a, 1 a) ,
z
2 MA ( a, 0, 0)
2
22
P
2
设 n ( x, y, z) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n MN , n MC
(1)证明：DE∥平面PFB； (2)求点E到平面PFB的距离．
解：(1)以 D 为原点，建立如图所示的坐标系， 则 P(0,0,2)，F(1,0,0)、 B(2,2,0)，E(0,1,1)． FP ＝(－1,0,2)， FB＝(1,2,0)， DE ＝(0,1,1)， ∴ DE ＝12FP ＋12FB， ∴ DE ∥平面 PFB. 又∵D∉平面 PFB，∴DE∥平面 PFB.
11 .
11
练习5： 在三棱锥S-ABC中，ABC 是边长为4的正三角 形，平面SAC垂直平面ABC，SA=SC= 2 3 ， M、N分别为AB、SB的中点，
(1)证明：AC SB; (2)求二面角N CM B的大小；S
z
(3)求 点B到 平 面CMN的 距 离.
N
C
O
y
B
A
M
x
练习:
SA 平面ABCD，DAB ABC 90， SA AB BC a，AD 2a, 求A到平面SCD的距离。 z
＝| F|Dn|·n|＝
2＝ 6
6 3.
∴点 E 到平面 PFB 的距离为 36.
A1
B1
C
A
B
x
y
练习: 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是
AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2，求点 B 到
平面 EFG 的距离.
z
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．
G
由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，
D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
z
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为
1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离.
解 : 建立坐标系.
A1E
=
(-1,
1 2
,
0),
A1B
=
(0,1,
-1)
设u = (1, y, z)为面A1BE的法向量
z
由u A1E = 0, 得 u = (1, 2, 2)
立体几何中的向量方法
3.2.4 利用向量解决 点到面的距离
线面夹角问题：
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l,的夹角为， sin cos a,u
u
a
l
一、求点到平面的距离
P
一般方法：
利用定义先作出过
d
这个点到平面的垂
线段，再计算这个
u A1B = 0,
D1
E
C1
A1B1 = 0,1,0,
A1
B1
B1到面A1BE的距离为 d = A1B1 n = 2 n3
D
C
y
Ax
B
例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为 1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离.
解2 等体积法
V V B1 A1BE
E A1BB1
D1
垂线段的长度。
O
还可以用等积法求距离.
向量法求点到平面的距离
d
sin
AP
d | AP | sin
P
| AP n |
n
sin
d
AP n
O
d | AP n | A
n
其中AP为斜向量， n为法向量。
[一点通] 用向量法求点面距离的方法与步骤：
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求： B1到面A1BE的距离；